Fizyka — III rok ĆWICZENIA Zadania - lista No 1 Zad. 1)
Znaleźć długość fali fotonu po zderzeniu spr¸eżystym z elektronem (efekt Comptona).
Zad. 2)
Jaka jest długość fali de Broglie’a dla elektronu o enegii kinetycznej 120 eV ? Zad. 3)
Folia wykonana z potasu znajduje się odległości r = 3, 5 m od izotropowego źródła światła, emitującego energię z mocą P = 1, 5 W . Praca wyjścia dla potasu wynosi 2, 2 eV . Przypuśćmy, że energia jest przekazywana przez pa- dające światło w sposób ciągły (tak jakby fizyka klasyczna brała górę nad fizyką kwan- tową). Jak długo folia musiałaby pochłaniać energię, aby moż- liwe było wybicie z niej pojedynczego elektronu? Załóżmy, że folia pochłania całość energii padającego na nią światła i że elektron, który ma być uwolniony z folii, przejmuje energię pochłoniętą przez okrągły kawałek folii o promieniu 5, 0 · 10−11m a więc o rozmiarze typowego atomu.
Zad. 4)
Rozważmy przestrzeń wektorową CN = {x = (x1, ...xN) : xi ∈ C}.
a) Pokazać, że dla x , y ∈ CN wielkość (x, y) :=
N
X
n=1
x∗nyn jest iloczynem skalarnym.
b) Rozważmy macierz 2 × 2 działającą w przestrzeni C2. Znaleźć warunki, które musi spełniać ta macierz, aby była hermitowska?
c) Znaleźć wartości i wektory własne poniższych macierzy 0 i
−i 0
! 0 1
1 0
!
Zad. 4∗)
Rozważmy nieskończenie wymiarową przestrzeń wektorową C∞ = {x = (x1, ...) : xi ∈ C , P∞n=1|xn|2 < ∞}.
a) Pokazać, że dla x , y ∈ Cn wielkość (x, y) :=
∞
X
n=1
x∗nyn jest iloczynem skalarnym.
Zad. 6∗)
Przestrzeń wektorowa L2(R) zdefiniowana jest jako L2(R) =
f (x) :
Z
R
|f (x)|2dx < ∞
.
a) pokazać, że dla f (x), g(x) ∈ L2(R) (f, g) def=
Z
R
f∗(x)g(x) dx jest iloczynem skalarnym.
b) W przestrzeni L2(R) działa operator ˆD zdefiniowany jako Df (x) =ˆ d
dxf (x)
z dziedziną D( ˆD) = {f : Df ∈ Lˆ 2(R)}. Znaleźć operator ˆD+ będący sprzężeniem hermitowskim ˆD.
c) W przestrzeni L2(R) działa operator ˆpx zdefiniowany jako pˆxf (x) = −i~ d
dxf (x)
z dziedziną D(ˆp) = {f : ˆpf ∈ L2(R)}. Znaleźć operator ˆp+x. Zad. 6∗∗)
Przestrzeń wektorowa L2(a, b) zdefiniowana jest jako L2(a, b) =
f (x) :
Z b
|f (x)|2dx < ∞
.
a) pokazać, że dla f (x), g(x) ∈ L (a, b) (f, g)def=
Z b a
f∗(x)g(x) dx jest iloczynem skalarnym.
b)W przestrzeni L2(a, b) działa operator ˆp zdefiniowany jako pf (x) = −iˆ d
dxf (x).
z dziedziną D(ˆp) = {f : ˆpf ∈ L2(R), u(a) = α u(b)}, gdzie α ∈ C. Dla jakiego α mamy ˆp = ˆp+?
Zad. 7)
Cząstka poruszająca się wzdłuż osi X w ograniczonym przedziale [0, 10] znaj- duje się w stanie opisanym funkcją ψ(x) = x. Jakie jest prawdopodobieństwo znalezienia tej cząstki w przedziale [0, 1]?
Zad. 8)
Komutator [ ˆA, ˆB ˆC] wyrazić poprzez komutatory [ ˆA, ˆB], [ ˆA, ˆC].
Zad. 9∗)
Pokzać że, operatory ˆA, ˆB maj¸a wspólne funkcje własne wtedy i tylko wtedy gdy [ ˆA, ˆB] = 0.
Zad. 1)
Find the length of the photons wave in elastic scattering with an electron.
Compton effect.
Zad. 2)
Find the length of the de Broglie’a wave of an electron with the kinetic energy 120 eV ?
Zad. 3)
The foil made of potassium is located at the distance r = 3, 5 m from the iso- tropic source of light, emitting energy with power P = 1, 5 W . The function work for potassium is 2, 2 eV . Suppose the incident light transmits energy in a continuous way (as if classical physics were going up above quantum physics). How long would the foil have to absorb the energy to scatter a single electron? Let’s assume that the film absorbs the whole energy of the incident light and the electron to be released from the foil, takes over the energy absorbed by a round piece of foil with a radius 5, 0 · 10−11m, so the size of a typical atom.
Zad. 4)
Consider vector space CN = {x = (x1, ...xN) : xi ∈ C}.
a) Show that for x , y ∈ Cn the quantity
(x, y) :=
N
X
n=1
x∗nyn determines the scalar product.
b) Consider 2 × 2 matrix acting in the space C2. Find conditions the matrix should satisfy to be hermition.
c) Find eigenvalues and eigenvectors of the following matrixes 0 i
−1 0
! 0 1 1 0
!
Zad. 5∗)
Consider infinitely dimensional space vector space C∞ = {x = (x1, ...) :
∞
a) Show that for x , y ∈ C the quantity (x, y) :=
∞
X
n=1
x∗nyn
determines the scalar product.
Zad. 5∗)
The space L2(R) is defined by L2(R) =
f (x) :
Z
R
|f (x)|2dx < ∞
.
a) Show that for f (x), g(x) ∈ L2(R) (f, g) def=
Z
R
f∗(x)g(x) dx defines the scalar product.
b) Operator ˆD acts in L2(R) and it is defined by Df (x) =ˆ d
dxf (x).
Find its hermition adjoint ˆD+.
c) Operator ˆpx acts in L2(R) and it is defined by ˆ
pxf (x) = −i~ d dxf (x).
Find ˆp+x. Zad. 6)
A particle moves in in the segment [0, 10] and its state is determined by a function ψ(x) = x. What is a probability that the particle is localized in the segment [0, 1]?
Zad. 7)
Express the commutator [ ˆA, ˆB ˆC] by means of [ ˆA, ˆB], [ ˆA, ˆC].
Zad. 8∗)
Show that the operators ˆA, ˆB have common system of eigenvectors if and only if [ ˆA, ˆB] = 0.
