ĆWICZENIA Na początku mamy dziesięć zadań ze szczegółowymi rozwiązaniami. Z kolei lista z zestawami zawiera zadania do

(1)

ZADANIA Z ROZWIĄZANIAMI PRZYKŁAD 1.

Narysuj dziedzinę funkcji f (x) =√

9 − x²− y²+ ln(x²+ y²− 4).

O CO CHODZI?

Jeśli dziedzina funkcji nie jest podana, tak jak w tym zadaniu, to przyjmujemy, że jest nią zbiór tych punktów (x, y) ∈ R², dla których prawa strona jest określona (wtedy wzór na f (x) ”ma sens”).

ROZWIĄZANIE.

Jak wiemy, wyrażenie pod pierwiastkiem parzystego stopnia musi być nieujemne, a liczba logarytmowana musi byćdodatnia. Otrzymamy dwa warunki, które powinny speł- niać punkty (x, y) należące do dziedziny (zapisuję przy pomocy ”klamry” bo oba wa- runki są spełnione jednocześnie - i jeden, i drugi; na końcu znajdziemy część wspólną obu zbiorów):

( 9 − x²− y²  0

x²+ y²− 4 > 0 , równoważnie

( x²+ y² ¬ 9 x²+ y² > 4 .

Dwa pierwsze rysunki zaprezentowane poniżej (niebieski i pomarańczowy) nie są po- trzebne, zwykle od razu przechodzimy do rysunku 3/4.

Równanie x² + y² = 3² opisuje okrąg o promieniu 3 i środku w punkcie (0, 0).

Nasza nierówność (¬) wyznacza obszar ograniczony tym okręgiem, czyli odpowiednie koło (wraz z brzegiem).

x y

0 1 2 3 x

y

0 1 2 3

Równanie x²+ y² = 2² opisuje okrąg o promieniu 2 i środku w punkcie (0, 0). Nasza druga nierówność (>) wyznacza obszar leżący na zewnątrz odpowiedniego koła.

Uwzględniamy oba warunki. Dziedziną funkcji jest zbiór punktów zaznaczonych i na niebiesko, i na pomarańczowo. Rozwiązując to zadanie na tablicy, albo na kartce, bym ten zbiór jakoś zakreskował (obszar leżący “między” okręgami, bez mniejszego okręgu, ale z więszym). Tutaj go zaznaczę nowym kolorem:

1

(2)

x y

0 1 2 3

x y

0 1 2 3

Jeśli to zadanie było za trudne (przy pierwszym czytaniu) to teraz zadanie łatwiejsze:

PRZYKŁAD 2. Narysuj dziedzinę funkcji f (x) = sin(x³+y⁵·e^2x)+cos(xy³−√³

9 − x²− y²)+arctg(x−2y sin x)+2^x−y+log₃(2x−2).

ROZWIĄZANIE.

Dziedziną funkcji sinus jest zbiór liczb rzeczywistch. Podobnie dla cosinusa, pier- wiastka trzeciego stopnia (trzy jest liczbą nieparzystą), arcusa tangensa, funkcji po- tęgowych i wykładniczych. Jedyny “kłopot” sprawia logarytm (liczba logarytmowana musi być dodatnia). Warunek do spełnienia: 2x − 2 > 0, czyli x > 1.

Dziedziną funkcji jest półpłaszczyzna otwarta (bez prostej x = 1):

x y

0 1 2 3

PRZYKŁAD 3. Narysuj dziedzinę funkcji f (x) = ²⁰²⁰√

1 + x +√

y + 1 + ln(1 − x) + ln(1 − y) +_y−x¹ . ROZWIĄZANIE.

Tym razem warunków jest więcej (pominę zapis z klamrą):

1 + x 0, czyli x −1, y + 1 0, czyli y −1, 1 − x > 0, czyli x < 1, 1 − y > 0, czyli y < 1, y − x 6= 0, czyli y 6= x.

Cztery pierwsze warunki (kolorowe) wyznaczają cztery półpłaszczyzy.

(3)

0 1 2 3 x

Piąty warunek (czarny) wyznacza całą płaszczyznę z wyjątkiem prostej o równaniu y = x.

Dziedziną jest część wspólna tych zbiorów, czyli zbiór:

x y

0 1 2 3

PRZYKŁAD 4. Narysuj dziedzinę funkcji f (x) = √⁴

4y − x². ROZWIĄZANIE.

Jedyny warunek, jaki musi być spełniony to: 4y − x²  0, czyli y  ¹₄x². Najpierw rysujemy parabolę opisaną równaniem y = ¹₄x², następnie zaznaczamy zbiór punktów leżących na tej paraboli (y = ¹₄x²) i leżacych nad parabolą (y > ¹₄x²).

x y

0 1 2 3

PRZYKŁAD 5. Narysuj dziedzinę funkcji f (x) = √⁴

1 − x⁴− 4y.

ROZWIĄZANIE.

Jedyny warunek, jaki musi być spełniony to: 1 − x⁴ − 4y 0, czyli y ¬ ¹₄(1 − x⁴).

Najpierw rysujemy krzywą opisaną równaniem y = ¹₄(1 − x⁴), następnie zaznaczamy zbiór punktów leżących na tej krzywej (y = ¹₄(1 − x⁴)) i leżacych pod nią (y < ¹₄(1 − x⁴)).

(4)

x 1

0 1 2 3

Dobrnęliśmy do ostatniego zadania z tego cyklu.

PRZYKŁAD 6. Narysuj dziedzinę funkcji f (x) = arc sin¹₉x²+ ¹₄y². ROZWIĄZANIE.

Liczba, której liczymy arcus sinus powinna być z przedziału domkniętego od −1 do 1.

Otrzymamy więc dwie nierówności: −1 ¬ ¹₉x² +¹₄y² ¬ 1.

Pierwsza z nich (lewa) jest spełniona zawsze - dla wszystkich (x, y) ∈ R² mamy

1

9x²+¹₄y²  −1 (lewa strona jest zawsze nieujemna).

Druga nierówność ¹₉x²+¹₄y² ¬ 1 opisuje obszar ograniczony elipsą ¹₉x²+¹₄y² = 1.

Dziedziną jest zbiór:

x y

0 1 2 3

1 2

Nadszedł czas na drugi typ zadań.

PRZYKŁAD 7^∗. Oblicz pochodną funkcji f (x) = x³+ 2. ODPOWIEDŹ. f⁰(x) = 3x². PRZYKŁAD 7. Oblicz pochodną funkcji f (t) = t⁴+ 2. ODPOWIEDŹ. f⁰(t) = 4t³. PRZYKŁAD 8⁴. Oblicz pochodną funkcji f (x) = 2 · sin x. ODPOWIEDŹ. f⁰(x) = 2 · cos x.

PRZYKŁAD 8^◦. Oblicz pochodną funkcji f (z) = z²· sin 2. ODPOWIEDŹ. f⁰(z) = 2z · sin 2.

PRZYKŁAD 7.

Oblicz pochodne cząstkowe pierwszego rzędu funkcji f (x, y) = x³+ y⁴+ 2.

O CO CHODZI?

(5)

czeniu pochodnej względem y, co zapisujemy f_y⁰(x, y), lub, krócej, f_y⁰, ewentualnie ^∂f_∂y, zmienną jest y, a pozostałe “literki”, na przykład x, traktujemy jak stałe.

ODPOWIEDŹ. f_x⁰ = 3x², f_y⁰ = 4y³.

WYJAŚNIENIE. Przy liczeniu pochodnej funkcji f (x, y) = x³ + y⁴ + 2 względem x jedyniexjest zmienną ((x³)⁰ = 3x²), a zarówno y⁴ jak i 2 traktujemy jako stałe (c⁰ = 0), więc f_x⁰ =3x²+ 0 + 0 = 3x².

Podobnie, przy liczeniu pochodnej funkcji f (x, y) = x³ +y⁴ + 2 względem y jedynie y jest zmienną ((y⁴)⁰_y = 4y³), a zarówno x³ jak i 2 traktujemy jako stałe (c⁰ = 0), więc f_y⁰ = 0 +4y³+ 0 = 4y³.

PRZYKŁAD 8. Oblicz pochodne cząstkowe pierwszego rzędu funkcji f (x, y) = y²· sin x.

ROZWIĄZANIE. Tym razem stałe są w iloczynie, zastosujemy wzór: (c·f (x))⁰ = c·f⁰(x).

f_x⁰ = y²· cos x (tutaj y² traktujemy jak stałą - zostaje, a pochodna sin x to cos x), f_y⁰ = 2y · sin x (tutaj sin x traktujemy jak stałą - zostaje, a pochodna y² to 2y).

PRZYKŁAD 9. Oblicz wszystkie pochodne cząstkowe pierwszego rzędu funkcji

f (x, y, z, t, u, v, w) = 2 sin(x

³

+y

²

)+z

⁵

·(1+3t)

²¹

+u

^v

+

^w_w⁴2^+u−u²

+ln v +we

^w

,

przy założeniu, że u > 0, v > 0, u 6= w². ROZWIĄZANIE.

f_x⁰ = 2 · 3x²cos(x³+ y²), f_y⁰ = 2 · 2y cos(x³+ y²), f_z⁰ = 5z⁴· (1 + 3t)²¹, f_t⁰ = z⁵· 21(1 + 3t)²⁰· 3,

f_u⁰ = v · u^v−1+^2u(w²^−u)−(w_(w2−u)⁴^+u² ²⁾⁽⁻¹⁾, f_v⁰ = u^vln u + ¹_v,

f_w⁰ = ^4w³^(w²^−u)−(w_(w2−u)⁴²^+u²^)·2w + 1 · e^w + we^w.

PRZYKŁAD 10. Dana jest zależność pV = nRT. Oblicz _∂T^∂p · ^∂T_∂V · ^∂V_∂p.

Ze wzoru pV = nRT obliczamy: p = ^nR_V · T , zatem _∂T^∂p = _∂T^∂ ^nR_V · T= ^nR_V · 1 = ^nR_V .

Zastosowaliśmy wzór x⁰= 1, naszym x jest T , stała w iloczynie zostaje.

Ze wzoru pV = nRT obliczamy: T = _nR^p · V , zatem _∂V^∂T = _∂V^∂ _nR^p · V= _nR^p · 1 = _nR^p .

Zastosowaliśmy wzór x⁰= 1, naszym x jest V , stała w iloczynie zostaje.

Ze wzoru pV = nRT obliczamy: V = nRT ·¹_p, zatem ^∂V_∂p = _∂p^∂ nRT ·¹_p= nRT ·−_p¹2

.

Zastosowaliśmy wzór (¹_x)⁰= −_x¹₂, naszym x jest p, stała w iloczynie zostaje.

(6)

Nadszedł czas na

DWA ZADANIA DO SAMODZIELNEGO ROZWIĄZANIA właściwy numer zestawu to dwie ostatnie cyfry numeru indeksu, na rozwiązane zadania czekam do 10.04.2020

[04] (1) Narysuj dziedzinę funkcji f (x, y) = arc sin(¹₃x) +√

16 − x²− y². (2) Oblicz f_x⁰ oraz f_y⁰, gdy f (x, y) = arc sin(¹₃x) +√

16 − x²− y². [05] (1) Narysuj dziedzinę funkcji f (x, y) = arc sin(¹₂y) + ln(9 − x²− y²).

(2) Oblicz f_x⁰ oraz f_y⁰, gdy f (x, y) = arc sin(¹₂y) + ln(9 − x²− y²).

[17] (1) Narysuj dziedzinę funkcji f (x, y) = arc sin x + _y+1¹ + ln(4 − x²− y²).

(2) Oblicz f_x⁰ oraz f_y⁰, gdy f (x, y) = arc sin x +_y+1¹ + ln(4 − x²− y²).

[32] (1) Narysuj dziedzinę funkcji f (x, y) = ln(x + y) +√

4 − x²− y². (2) Oblicz f_x⁰ oraz f_y⁰, gdy f (x, y) = ln(x + y) +√

4 − x²− y². [53] (1) Narysuj dziedzinę funkcji f (x, y) = ln(x − y) +√

9 − x²− y². (2) Oblicz f_x⁰ oraz f_y⁰, gdy f (x, y) = ln(x − y) +√

9 − x²− y². [56] (1) Narysuj dziedzinę funkcji f (x, y) =√

x²+ y²− 1 + arc sin x.

(2) Oblicz f_x⁰ oraz f_y⁰, gdy f (x, y) =√

x²+ y²− 1 + arc sin x.

[58] (1) Narysuj dziedzinę funkcji f (x, y) = x²+_2y+1¹ +√

1 − x²− y². (2) Oblicz f_x⁰ oraz f_y⁰, gdy f (x, y) = x²+_2y+1¹ +√

1 − x²− y². [63] (1) Narysuj dziedzinę funkcji f (x, y) =√

1 − y²· ln(x + 1).

[67] (1) Narysuj dziedzinę funkcji f (x, y) =√

4 − x²· sin y + ln(1 − y).

[69] (1) Narysuj dziedzinę funkcji f (x, y) = ln(3 − x) + x³·√

4 − y². (2) Oblicz f_x⁰ oraz f_y⁰, gdy f (x, y) = ln(3 − x) + x³·√

4 − y². [70] (1) Narysuj dziedzinę funkcji f (x, y) = x +√

y + ln(x²+ y² + 1).

(2) Oblicz f_x⁰ oraz f_y⁰, gdy f (x, y) = x +√

y + ln(x²+ y² + 1).

[74] (1) Narysuj dziedzinę funkcji f (x, y) = e^xy² +√

y + ln x.

(2) Oblicz f_x⁰ oraz f_y⁰, gdy f (x, y) = e^xy² +√

y + ln x.

[75] (1) Narysuj dziedzinę funkcji f (x, y) = ln(x⁴+ y⁴+ 1) +√ 3 + x.

(2) Oblicz f_x⁰ oraz f_y⁰, gdy f (x, y) = ln(x⁴+ y⁴+ 1) +√ 3 + x.

[77] (1) Narysuj dziedzinę funkcji f (x, y) = x³+ 3xy + y³+√

4 + x +√ 4 + y.

(2) Oblicz f_x⁰ oraz f_y⁰, gdy f (x, y) = x³+ 3xy + y³+√

4 + x +√ 4 + y.

[80] (1) Narysuj dziedzinę funkcji f (x, y) = x³− 3xy + y³+√

x − 2 +√ y − 2.

(2) Oblicz f_x⁰ oraz f_y⁰, gdy f (x, y) = x³− 3xy + y³+√

x − 2 +√ y − 2.

[81] (1) Narysuj dziedzinę funkcji f (x, y) = sin(x + 2y) +√

y + 2x.

(2) Oblicz f_x⁰ oraz f_y⁰, gdy f (x, y) = sin(x + 2y) +√

y + 2x.

[84] (1) Narysuj dziedzinę funkcji f (x, y) = cos(2y + x) +√

y − 2x.

(2) Oblicz f_x⁰ oraz f_y⁰, gdy f (x, y) = cos(2y + x) +√

y − 2x.

(7)

(2) Oblicz f_x⁰ oraz f_y⁰, gdy f (x, y) = e^2x+y² + ln(y + 2x).

[89] (1) Narysuj dziedzinę funkcji f (x, y) = sin(3x + y²) +√

y + x + 1.

(2) Oblicz f_x⁰ oraz f_y⁰, gdy f (x, y) = sin(3x + y²) +√

y + x + 1.

x + 1 +√

1 − x + arc sin(y²).

x + 1 +√

1 − x + arc sin(y²).

y + 2 +√

2 − y + arc sin(x²).

y + 2 +√

2 − y + arc sin(x²).

x + 3 +√

3 − x + arc sin(y²).

x + 3 +√

3 − x + arc sin(y²).

[95] (1) Narysuj dziedzinę funkcji f (x, y) = (2x + 3y)⁶+√

4 − x²− y². (2) Oblicz f_x⁰ oraz f_y⁰, gdy f (x, y) = (2x + 3y)⁶+√

4 − x²− y². [96] (1) Narysuj dziedzinę funkcji f (x, y) = (2x − 3y)⁵+√

1 − x²− y². (2) Oblicz f_x⁰ oraz f_y⁰, gdy f (x, y) = (2x − 3y)⁵+√

1 − x²− y². [97] (1) Narysuj dziedzinę funkcji f (x, y) = ln(y − x²) +√

4 − y.

(2) Oblicz f_x⁰ oraz f_y⁰, gdy f (x, y) = ln(y − x²) +√ 4 − y.

[98] (1) Narysuj dziedzinę funkcji f (x, y) = ln(y − 2x²) +√ 2 − y.

(2) Oblicz f_x⁰ oraz f_y⁰, gdy f (x, y) = ln(y − 2x²) +√ 2 − y.