Zadania domowe
(termin: 11 stycznia 2017)
Zadanie 9.
Poka˙z, ˙ze algorytm Hornera obliczania warto´sci w(ξ) wielomianu danego w postaci potegowej,, vn := an;
for j := n − 1 downto 0 do vj := vj+1∗ x + aj;
jest jednocze´snie algorytmem dzielenia tego wielomianu przez jednomian (x−ξ). Dok ladniej, je´sli w(x) =Pn
j=0ajxj to
w(x) =
n X
j=1
vjxj−1
(x − ξ) + v0.
Zadanie 10.
Wyka˙z, ˙ze dla funkcji f (x) = xn i dowolnych punkt´ow xj, 0 ≤ j ≤ k, r´o˙znica dzielona
f [x0, x1, . . . , xk] =
0 je´sli k ≥ n + 1,
1 je´sli k = n,
x0+ x1+ · · · + xk je´sli k = n − 1.
Zadanie 11.
Niech s : R → R bedzie funkcj, a sklejan, a pierwszego stopnia (tzn. funkcj, a ci, ag l, a i kawa lkami, wielomianem stopnia ≤ 1) oparta na w, ez lach x, 0 < x1 < · · · < xn. Wyka˙z, ˙ze s mo˙zna jednoznacznie przedstawi´c w postaci
s(x) = a + bx +
n
X
j=0
cj|x − xj| dla pewnych a, b, cj, 0 ≤ j ≤ n.
Zadanie 12.
Niech w bedzie wielomianem, kt´, orego rozwinieciem w bazie wielomian´, ow Czebyszewa jest w(x) =Pn
k=0akTk(x). Poka˙z, ˙ze wielomian w1(x) =
n−1
X
k=0
akTk(x)
najlepiej przybli˙za w w normie jednostajnej Czebyszewa na przedziale [−1, 1] w klasie Πn−1
wszystkich wielomian´ow stopnia co najwy˙zej n − 1, oraz kw − w1kC([−1,1]) = |an|.
Czy w2(x) =Pn−2
k=0akTk(x) najlepiej przybli˙za w w tej samej normie w klasie Πn−2?
