Efekty skali a wzrost gospodarczy

EFEKTY SKALI A WZROST GOSPODARCZY

Tomasz Tokarski

Wydawnictwo Uniwersytetu Jagiellońskiego

RECENZENT

Prof. dr hab. Emil Panek

PROJEKT OKŁADKI Marcin Bruchnalski

ADIUSTACJA JĘZYKOWA Jerzy Hrycyk

KOREKTA Jadwiga Rolińska

SKŁAD I ŁAMANIE Wojciech Wojewoda

© Copyright by Tomasz Tokarski & Wydawnictwo Uniwersytetu Jagiellońskiego Wydanie I, Kraków 2008

All rights reserved

Książka, ani żaden jej fragment, nie może być przedrukowywana bez pisemnej zgody Wydawcy.

W sprawie zezwoleń na przedruk należy zwracać się do Wydawnictwa Uniwersytetu Jagiellońskiego

ISBN 978-83-233-2462-1

www.wuj.pl

Wydawnictwo Uniwersytetu Jagiellońskiego Redakcja: ul. Michałowskiego 9/2, 31-126 Kraków tel. 012-631-18-81, tel./fax 012-631-18-83 Dystrybucja: ul. Wrocławska 53, 30-011 Kraków tel. 012-631-01-97, tel./fax 012-631-01-98

tel. kom. 0506-006-674, e-mail: wydaw@if.uj.edu.pl Konto: Bank BPH SA, nr 62 1060 0076 0000 3200 0047 8769

od którego uczyłem się teorii wzrostu gospodarczego

Wprowadzenie... 9

Rozdział 1. Efekty skali w modelu typu Solowa ... 13

1.1. Wprowadzenie ... 13

1.2. Model wzrostu Solowa ... 13

1.2.1. Model z ogólną funkcją produkcji ... 13

1.2.2. Przypadek szczególny: funkcja produkcji Cobba-Douglasa ... 21

1.3. Równowaga Solowa w warunkach efektów skali ... 28

1.4. Złote reguły akumulacji ... 32

1.5. Podsumowanie i wnioski ... 37

Rozdział 2. Efekty skali w modelu typu Mankiwa-Romera-Weila ... 39

2.1. Wprowadzenie ... 39

2.2. Model wzrostu Mankiwa-Romera-Weila ... 39

2.3. Równowaga Mankiwa-Romera-Weila w warunkach efektów skali ... 49

2.4. Złote reguły akumulacji ... 54

2.5. Podsumowanie i wnioski ... 61

Rozdział 3. Efekty skali a wzrost zatrudnienia ... 63

3.1. Wprowadzenie ... 63

3.2. Równowaga typu Solowa ... 64

3.3. Równowaga typu Mankiwa-Romera-Weila ... 78

3.4. Podsumowanie i wnioski ... 101

Rozdział 4. Polityka fiskalna a wzrost gospodarczy ... 103

4.1. Wprowadzenie ... 103

4.2. Model podstawowy... 104

4.3. Model z wyodrębnionym kapitałem publicznym ... 116

4.4. Podsumowanie i wnioski ... 119

Rozdział 5. Reguły monetarne. Równowaga typu Domara-Solowa ... 123

5.1. Wprowadzenie ... 123

5.2. Stałe efekty skali ... 124

5.3. Reguły monetarne w warunkach efektów skali ... 136

5.4. Podsumowanie i wnioski ... 142

Rozdział 6. Efekty skali a optymalne ścieżki wzrostu gospodarczego ... 145

6.1. Wprowadzenie ... 145

6.2. Wybrane modele wzrostu endogenicznego ... 146

6.2.1. Model Ramseya ... 147

6.2.2. Model Lucasa ... 156

6.2.3. Model Romera ... 165

6.3. Optymalizacja dynamiczna w modelu typu Mankiwa-Romera-Weila ... 171

6.4. Podsumowanie i wnioski ... 180

Zakończenie ... 183

Literatura ... 189

Celem pracy jest próba teoretycznej analizy wpływu uchylenia założenia o stałych efektach skali makroekonomicznej funkcji produkcji na ważniejsze aspekty równowagi długookresowego wzrostu gospodarczego. Rozważania te prowadzone są głównie na gruncie neoklasycznych modeli wzrostu gospodarczego Roberta M. Solowa (1956), N. Gregory’ego Mankiwa, Davida Romera i Davida N. Weila (1992) oraz modeli przedstawionych w pracach T. Tokarskiego (2001a i 2005a).

Stałe efekty skali procesu produkcyjnego utożsamiane są w opracowaniu z jedno- rodnością stopnia pierwszego makroekonomicznej funkcji produkcji. Wynika to stąd, iż jeśli funkcja produkcji jest jednorodna stopnia pierwszego względem nakładów czynników produkcji, to ζ-krotne (ζ > 1) zwiększenie nakładów każdego z czynników produkcji prowadzi do ζ-krotnego wzrostu strumienia wytworzonego produktu. Nato- miast malejące (rosnące) efekty skali występują wówczas, gdy makroekonomiczna funkcja produkcji jest jednorodna stopnia mniejszego (większego) od jedności. Ozna- cza to, iż przy malejących (rosnących) efektach skali skutkiem ζ-krotnego (ζ > 1) zwiększenia nakładów czynników produkcji jest mniej (więcej) niż ζ-krotny wzrost produktu. Wynika stąd m.in., że jeśli makroekonomiczna funkcja produkcji charakte- ryzuje się stałymi efektami skali, to wydajność pracy (utożsamiana z produktem na pracującego) jest niezależna od liczby pracujących. Natomiast w warunkach maleją- cych (rosnących) efektów skali stopa wzrostu wydajności pracy jest ceteris paribus tym wyższa, im niższa (wyższa) jest stopa wzrostu liczby pracujących w gospodarce.

Prowadzone w pracy analizy, podobnie jak rozważania prowadzone w książkach Tokarskiego (2001a i 2005a), oparte są na podażowych, matematycznych modelach wzrostu gospodarczego.

Wybór podażowych modeli wzrostu gospodarczego wynika z przekonania autora (zgodnego z dominującymi koncepcjami zarówno wśród teoretyków nowej ekonomii keynesowskiej, jak i nowej ekonomii klasycznej i szkoły realnego cyklu koniunktural- nego), że długookresowy wzrost gospodarczy zdeterminowany jest w głównej mierze przez podażową stronę gospodarki. Wynika to stąd, iż (co prawda) krótkookresowe wahania zagregowanego popytu mogą prowadzić do fluktuacji produkcji i zatrudnie- nia, niemniej jednak w długim okresie pozytywne lub negatywne szoki popytowe pro- wadzą do powstania dodatniej lub ujemnej luki Okuna. Ta z kolei wywiera presję na ceny, sprowadza wielkość zagregowanego popytu w gospodarce do jej możliwości podażowych i zrównuje produkt rzeczywisty z potencjalnym (por. Hall, Taylor, 1995:

rozdz. 4 i 8)¹.

1 Wyjątek od założenia o pełnym wykorzystaniu istniejących w gospodarce zdolności produkcyjnych poczyniony jest w rozdziale 5, w którym szuka się długookresowych ścieżek wzrostu stóp procentowych, które gwarantują pełne wykorzystanie zdolności produkcyjnych gospodarki.

Wybór matematycznych modeli wzrostu gospodarczego oparty jest na dwóch na- stępujących przesłankach. Pierwszą z nich jest przekonanie autora, że w każdej gospo- darce występują dające się skwantyfikować matematycznie zależności przyczynowo- -skutkowe pomiędzy najważniejszymi zmiennymi makroekonomicznymi. Wynika stąd, że większość zmiennych makroekonomicznych powiązanych jest z sobą pewnymi zależnościami tożsamościowymi lub funkcyjnymi. Drugą przyczyną, dla której korzy- sta się w pracy właśnie z matematycznych modeli wzrostu gospodarczego, jest ich prostota oraz to, iż pozwalają one na wyraźne oddzielenie przyjmowanych w modelu założeń od uzyskiwanych tez. Ponadto matematyczne modele wzrostu gospodarczego wyznaczają logicznie precyzyjną drogę pomiędzy poczynionymi w modelu założenia- mi a płynącymi z nich wnioskami. Porównując zaś matematyczne metody analiz eko- nomicznych np. z analizami graficznymi, okazuje się, że

formalne metody mają dwojaką przewagę nad metodami geometrycznymi. Po pierwsze, z „do- wodem” geometrycznym jest taki problem, że nie można być pewnym, czy wykreśliło się krzywe w jedyny dopuszczalny sposób, a w konsekwencji, czy wykazane wyniki mają charakter ogólny.

Po drugie, podejście algebraiczne daje możliwość rozszerzenia analizy przez dodawanie lub roz- luźnianie ograniczeń w sposób, na który nie pozwala podejście geometryczne (Mayer, 1996: 62).

Rzecz jasna, wykorzystanie modeli matematycznych w analizach ekonomicznych natrafia na pewne ograniczenia, gdyż

o przydatności teorii matematycznej do rozwiązywania problemów praktycznych decyduje m.in.

to, czy jej założenia nie upraszczają zbyt mocno tych problemów, czyniąc je praktycznie niecie- kawymi. Jednocześnie, aby problem mógł być efektywnie rozwiązany na gruncie teorii matema- tycznej, powinien być sformułowany w możliwie prostej postaci, ponieważ teorie matematyczne bez „mocnych” założeń dają z reguły nieciekawe twierdzenia (Panek, 1986: 7).

Warto jednak zauważyć, że np. Evsey D. Domar (wybitny przedstawiciel myśli keynesowskiej w teorii wzrostu gospodarczego) twierdził, że jedna z metod analiz procesów wzrostu gospodarczego

polega na formułowaniu problemu jako systemu nielicznych prostych równań różniczkowych, których rozwiązanie daje stopę wzrostu jednej czy drugiej zmiennej (Domar, 1962: 35, por. też Tokarski, 2005a: 7–8).

Struktura pracy przedstawia się następująco.

W rozdziale 1 przedstawione są analizy determinantów wzrostu gospodarczego na gruncie modelu wzrostu gospodarczego typu Solowa. W modelu tym zakłada się m.in., że na wielkość wytworzonego w gospodarce strumienia produktu wpływają wielkość zatrudnienia, akumulacja kapitału rzeczowego oraz egzogeniczny postęp techniczny.

Rozważa się tam podstawowe podażowe czynniki wzrostu gospodarczego zarówno przy założeniu stałych efektów skali (jak ma to miejsce w oryginalnym modelu Solo- wa), jak i wówczas, gdy w gospodarce występują malejące lub rosnące efekty skali makroekonomicznej funkcji produkcji. W rozdziale 1 wyznacza się również złote regu- ły akumulacji kapitału Edmunda S. Phelpsa i pokazuje, że reguły te są (w zasadzie) takie same zarówno na gruncie stałych, jak i przy rosnących lub malejących efektach skali procesu produkcyjnego.

Rozdział 2 pracy zawiera analogiczne, do prowadzonych w rozdziale 1, rozważania dotyczące wspomnianych uprzednio uwarunkowań procesów wzrostu gospodarczego w gospodarce typu Mankiwa-Romera-Weila. Prowadzone w rozdziale 2 analizy sta- nowią rozszerzenie rozważań prowadzonych w rozdziale 1, gdyż w modelach typu

Mankiwa-Romera-Weila poza (występującą w modelu Solowa) akumulacją kapitału rzeczowego uwzględnia się również akumulację kapitału ludzkiego.

W rozdziale 3 autor poszukuje wzajemnych współzależności zachodzących pomię- dzy akumulacją kapitału, wzrostem produkcji oraz wzrostem zatrudnienia i (implicite) kształtowaniem się bezrobocia. W analizach tych czyni się założenie, że podażowa strona gospodarki opisana jest przez równania zbliżone do tych, które występują w modelach Solowa i Mankiwa-Romera-Weila oraz endogenizuje się proces zatrud- nienia i bezrobocia w gospodarce. Endogenizacja ta sprowadza się do przyjęcia zało- żeń, że – po pierwsze – podobnie jak w neoklasycznych modelach rynku pracy popyt na pracę wyznaczany jest przez zrównanie makroekonomicznego krańcowego produk- tu pracy z płacami realnymi oraz – po drugie – płace realne, które wyznaczają równo- wagę na rynku pracy, opisane są przez mechanizm płac efektywnościowych nawiązu- jący do modeli rynku pracy typu Solowa (1979) i Summersa (1988). Na gruncie tak zadanego modelu wzrostu gospodarczego szuka się wzajemnych sprzężeń zwrotnych zachodzących pomiędzy akumulacją kapitału, zatrudnieniem i bezrobociem oraz wzro- stem produkcji i wydajności pracy zarówno w modelu z jednym zasobem kapitału, jak i wówczas, gdy obok kapitału rzeczowego istotne znaczenie dla kształtowania się pro- dukcji ma również kapitał ludzki. Ponadto prowadzone w rozdziale 3 rozważania uwzględniają zarówno przypadek, w którym makroekonomiczna funkcja produkcji jest jednorodna stopnia pierwszego, jak i wówczas, gdy stopień jednorodności owej funkcji jest różny od jedności (a zatem dopuszcza się możliwość występowania malejących lub rosnących efektów skali procesu produkcyjnego).

W rozdziale 4 autor dezagreguje stopy inwestycji w zasoby kapitału rzeczowego i ludzkiego (na gruncie modelu wzrostu typu Mankiwa-Romera-Weila) na inwestycje sektora podmiotów mikroekonomicznych (gospodarstw domowych i przedsiębiorstw) oraz sektora budżetowego. Opierając się na tak zdezagregowanych stopach inwestycji, szuka się takiej struktury stóp inwestycji sektora budżetowego i takiej stopy fiskalizacji gospodarki, które przy danej strukturze stóp inwestycji sektora podmiotów mikroeko- nomicznych wyprowadzają analizowaną gospodarkę na możliwie najwyżej położoną ścieżkę wzrostu gospodarczego. W rozdziale tym autor próbuje również uzasadnić tezę, iż bez względu na rodzaj efektów skali makroekonomicznej funkcji produkcji istnieje pewna optymalna stopa fiskalizacji gospodarki i pewna optymalna struktura stóp inwestycji sektora budżetowego, przy której gospodarka zbliża się do ścieżki wzrostu odpowiadającej złotym regułom akumulacji kapitału Phelpsa.

Rozdział 5 stanowi próbę wyznaczenia reguł polityki monetarnej, przy których go- spodarka rozwija się przy pełnym wykorzystaniu istniejących w niej zdolności produk- cyjnych. W rozdziale tym szuka się takiej ścieżki wzrostu realnych stóp procentowych, przy której popytowe i podażowe efekty realizowanych nakładów inwestycyjnych (zależnych od realnej stopy procentowej) nie prowadzą ani do powstania luki inflacyj- nej, ani do niepełnego wykorzystania zdolności produkcyjnych gospodarki, zaś zatrud- nienie rośnie według stopy wzrostu równej egzogenicznej stopie wzrostu podaży pracy (a zatem stopa bezrobocia nie ulega zmianom w czasie). Prowadzone w tym rozdziale analizy oparte są na (zaproponowanym przez autora) modelu wzrostu gospodarczego typu Domara-Solowa.

W ostatnim, 6 rozdziale pracy przedstawiona jest krótka charakterystyka wybra- nych modeli wzrostu gospodarczego opartych na teorii optymalnego sterowania (mo- dele Franka Ramseya, Roberta E. Lucasa i Paula M. Romera) oraz wyznaczone są

optymalne stopy inwestycji w gospodarce typu Mankiwa-Romera-Weila. W rozdziale tym znaleźć można również porównanie wniosków płynących z optymalnych ścieżek wzrostu w prezentowanych tam modelach wzrostu gospodarczego.

W zakończeniu pracy znajduje się podsumowanie prowadzonych rozważań oraz ważniejsze, wynikające z nich wnioski.

Prowadzone w pracy analizy nie pretendują, rzecz jasna, do systematycznego prze- glądu modeli wzrostu gospodarczego we współczesnej teorii makroekonomii. Przegląd taki znajduje się m.in. w pracach Barro, Sala-i-Martina (1995) lub Aghiona, Howitta (1998) (por. też np. Tokarski, 2001b, 2005a: rozdz. 1, 2007a lub Kawa, 2005). Stano- wią one jednak – po pierwsze – wyniki przemyśleń i refleksji autora na temat wpływu efektów skali makroekonomicznej funkcji produkcji na długookresowy wzrost gospo- darczy oraz – po drugie – są modyfikacją i rozszerzeniem modeli wzrostu prezentowa- nych we wcześniejszych monografiach autora (Tokarski, 2001a, 2005a).

Na zakończenie tego krótkiego wprowadzenia autor pragnąłby podziękować tym wszystkim, którzy przeczytali całość lub część wstępnych wersji pracy i podzielili się z nim swoimi uwagami. Są to: prof. Emil Panek z Akademii Ekonomicznej w Poznaniu (recenzent książki), prof. Stanisława T. Surdykowska z Uniwersytetu Jagiellońskiego, prof. Władysław Welfe, dr Paweł Kaczorowski, dr Aleksandra Rogut, dr Iwona Świe- czewska, mgr Sylwia Roszkowska z Uniwersytetu Łódzkiego, dr Anna Zachorowska- -Mazurkiewicz z Uniwersytetu Jagiellońskiego oraz Paweł Dykas – student matematy- ki i ekonomii na Uniwersytecie Jagiellońskim. Uwagi te pozwoliły na uniknięcie kilku istotnych błędów. Oczywiście, cała odpowiedzialność za występujące w opracowaniu mankamenty spada wyłącznie na autora.

EFEKTY SKALI W MODELU TYPU SOLOWA

1.1. WPROWADZENIE

¹

Celem teoretycznych analiz prowadzonych w rozdziale 1 pracy jest próba odpowie- dzi na pytanie, na ile uchylenie neoklasycznego założenia o stałych efektach skali ma- kroekonomicznej funkcji produkcji wpływa na długookresowe rozwiązanie modelu wzrostu gospodarczego Solowa. Analizy te koncentrują się na wpływie efektów skali funkcji produkcji na długookresowe stopy wzrostu i ścieżki wzrostu podstawowych zmiennych makroekonomicznych (takich jak produkcja na pracującego, kapitał rze- czowy na pracującego i konsumpcja na pracującego) oraz na tzw. złote reguły akumu- lacji kapitału Phelpsa.

Struktura rozdziału 1 przedstawia się następująco. W punkcie 1.2 scharakteryzowa- ny jest oryginalny model wzrostu Solowa z postępem technicznym w sensie Harroda². W punkcie 1.2.1 prezentowany jest model Solowa z ogólną, neoklasyczną funkcją produkcji, zaś w punkcie 1.2.2 jego szczególny przypadek, tj. model z funkcją produk- cji Cobba-Douglasa. Punkt 1.3 zawiera analizy długookresowej równowagi Solowa po uchyleniu założenia o stałych efektach skali makroekonomicznej funkcji produkcji Cobba-Douglasa. W punkcie 1.4 wyznaczone są złote reguły akumulacji Phelpsa za- równo przy założeniu malejących, stałych, jak i rosnących efektów skali. Rozdział 1 kończy punkt 1.5, w którym znajduje się podsumowanie prowadzonych w nim rozwa- żań i ważniejsze, wynikające z nich wnioski.

1.2. MODEL WZROSTU SOLOWA

1.2.1. Model z ogólną funkcją produkcji

W oryginalnym neoklasycznym modelu wzrostu gospodarczego Solowa (1956) przyjmuje się następujące założenia³:

1 Wstępna wersja rozdziału 1 została opublikowana w artykule Tokarskiego (2006).

2 Przez postęp techniczny w sensie Harroda rozumiany będzie taki rodzaj postępu technicznego, który bezpośrednio potęguje produktywność pracy.

3 O wszystkich występujących dalej zmiennych makroekonomicznych implicite zakłada się, iż są ciąg- łymi i różniczkowalnymi funkcjami czasu t ∈ [0; +∞). Zapis x≡ x( ≡t) dx/dt oznaczał będzie pochodną zmiennej x po czasie t, czyli (ekonomicznie rzecz biorąc) przyrost wartości zmiennej x w momencie t.

Natomiast x≡ x(t)≡d²x/dt² to druga pochodna x po t.

1. Proces produkcyjny opisany jest przez neoklasyczną funkcję produkcji daną wzo- rem:

( ) ( )

(

K t Lt

)

F

(

K

( ) ( ) ( )

t At Lt

)

F t

Y( )= ,~ = , ⋅ , (1.1)

gdzie Y jest strumieniem wytworzonego produktu; K to zasób kapitału rzeczowego; A – dostępny w gospodarce zasób wiedzy naukowo-technicznej, który jest wykorzystywa- ny w procesach produkcyjnych; L – liczba pracujących, zaś L ≡~ AL to tzw. jednostki efektywnej pracy. O neoklasycznej funkcji produkcji F w równaniu (1.1) zakłada się, że (za Barro, Sala-i-Martin, (1995: 16–17))⁴:

(i) Dziedziną funkcji produkcji F jest zbiór nieujemnych K i L~ .

(ii) Funkcja F jest ciągła i przynajmniej dwukrotnie różniczkowalna w swojej dzie- dzinie.

(iii) F

( )

0,L~ =F(K,0)=0, co oznacza, że zerowym nakładom kapitału K bądź zero- wym nakładom jednostek efektywnej pracy L~ odpowiada zerowy strumień wy- tworzonego produktu. Innymi słowy, oba występujące w funkcji produkcji (1.1) zasoby czynników produkcji są niezbędne w procesie produkcyjnym.

(iv)

( )

⁼

( )

^=+∞

>

+∞

→

>

+∞

→ F K L F K L

K L L

K

,~

~ lim ,

lim;~ 0 ~ ; 0 . Założenie to interpretuje się ekono- micznie w ten sposób, że bardzo dużym (dążącym do +∞) nakładom jednego z czynników produkcji, przy niezerowych nakładach drugiego z tych czynników, towarzyszy bardzo duży (dążący do +∞) strumień wytworzonego produktu.

(v) ∂F/∂K>0 oraz ∂F/∂L~>0, czyli wraz ze wzrostem nakładów K lub L~ wielkość wytworzonego produktu rośnie. Założenie to oznacza również, że krańcowy pro- dukt kapitału MPK≡∂F/∂K i krańcowy produkt pracy MPL≡∂F/∂L=

L F A⋅∂ /∂~

= są dodatnie⁵.

(vi) Spełnione są tzw. warunki Inady postaci: =+∞

∂

∂

>

→ ⁺ K

F

L

K lim0 ;~ 0 , +∞

∂ =

∂

>

→ ⁺ L

F

K

L lim ~

0

;

~ 0 , lim 0

~ 0

; =

∂

∂

>

+∞

→ K

F

L

K oraz lim ~ 0

0

~ ; =

∂

∂

>

+∞

→ L

F

K

L . Warunki Inady in-

terpretuje się ekonomicznie w ten sposób, iż bardzo małym nakładom kapitału K (pracy L) odpowiada bardzo duży krańcowy produkt kapitału MPK≡∂F/∂K (krańcowy produkt pracy MPL≡∂F/∂L=A⋅∂F/∂L~), zaś bardzo dużym nakła- dom owych czynników produkcji odpowiadają bardzo małe ich produkty krań- cowe.

(vii) ∂²F/∂K²<0 oraz ∂²F/∂L~²<0 dla K > 0 i L~ <0, co w połączeniu z założe- niem (v) implikuje spełnienie prawa malejącej produkcyjności krańcowej zarów- no nakładów kapitału, jak i jednostek efektywnej pracy oraz liczby pracujących.

4 Szerzej na temat właściwości funkcji produkcji (w tym również neoklasycznych funkcji produkcji) por. np. Allen (1975: 52–53), Maciejewski (1980: rozdz. 3), Panek (1993: 68–69), Żółtowska (1997:

rozdz. II) lub Świeczewska (2004: 9–14).

5 Dokładnie rzecz biorąc, fakt, iż MPL≡∂F/∂L=A⋅∂F/∂L~ >0, wynika stąd, że ∂F/ >∂L~ 0 i A > 0.

Zasób A jest zaś dodatni na mocy założenia 6.

(viii) Neoklasyczna funkcja produkcji F jest jednorodna stopnia pierwszego względem K i L~ , czyli dla dowolnego ζ ≥ 0 zachodzi: F

(

ζK,ζL~

) ( )

=ζFK,L~ . Założenie to, jak już wspomniano, tożsame jest z występowaniem stałych efektów skali makro- ekonomicznej funkcji produkcji.

2. Przyrost zasobu kapitału rzeczowego K stanowi różnicę pomiędzy inwestycja- mi I a deprecjacją kapitału δ_K. δ ∈ (0;1) jest daną egzogenicznie stopą deprecjacji kapitału. Oznacza to, że zachodzi następujące równanie różniczkowe:

( ) ( )

t I t K

( )

t

K = −δ _{. (1.2)}

3. Produkcja Y finalnie rozkłada się na konsumpcję C oraz oszczędności S (czyli Y ≡ C + S). Zakładamy również, że wyłącznie oszczędności S finansują inwestycje I, co implikuje, że:

( ) ( )

t St

I = . (1.3)

4. Oszczędności stanowią s-tą (s ∈ (0;1)) część wytworzonego produktu. Dlatego też:

( )

t sY

( )

t

S = . (1.4)

Stopa s nazywana będzie dalej stopą oszczędności/inwestycji, gdyż (zgodnie z założe- niami 2–4 modelu Solowa) wyznacza część produktu przeznaczoną na oszczędno- ści/inwestycje. Co więcej, stopa oszczędności/inwestycji jest w modelu wzrostu go- spodarczego Solowa długookresową zmienną egzogeniczną.

5. Liczba pracujących rośnie według stopy wzrostu n > 0. Stopa ta wynika głównie z oddziaływania czynników demograficznych i jest zmienną egzogeniczną w rozważa- nym modelu wzrostu gospodarczego. Można to zapisać za pomocą następującej zależ- ności:

( ) ( )

, )

(t L₀e Lt nLt

L = ^nt ⇒  = _(1.5)

przy czym L(0) = L0 > 0 jest liczbą pracujących w momencie t = 0.

6. Wzrost zasobu wiedzy naukowo-technicznej określony jest egzogenicznie przez stopę postępu technicznego w sensie Harroda g > 0. Oznacza to, iż:

( ) ( )

, )

(t A₀e At gAt

A = ^gt ⇒  = _(1.6)

przy czym A(0) = A0 > 0 jest dostępnym zasobem wiedzy w momencie t = 0.

Relacje zachodzące między zasobami (oznaczanymi prostokątami) a strumieniami (zaznaczanymi strzałkami) w modelu wzrostu gospodarczego Solowa przedstawione są na rysunku 1.1.

Rys. 1.1. Zależność pomiędzy zasobami i strumieniami w modelu wzrostu Solowa

Z założeń 5–6 modelu wzrostu Solowa wynika, że stopa wzrostu jednostek efek- tywnej pracy LL ~~ dana jest wzorem: /

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

t ^{g n} L

t L t A

t A t L

t

L =  +  = +

~

~

, (1.7)

co oznacza, iż wspomniana stopa wzrostu jest sumą stopy postępu technicznego w sensie Harroda g i stopy wzrostu liczby pracujących n.

Z właściwości (viii) neoklasycznej funkcji produkcji (1.1) wyciągnąć można wnio- sek, że dla każdego ζ ≥ 0 zachodzi:

( )

t F

(

K

( ) ( )

t , L~t

)

,

Y ζ ζ

ζ = czyli, w szczególności, dla ζ =1 >/L~ 0:

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( )

^_^



= 



 



= 

t L

t f K t

L t F K t L

t

Y~ ~ 1, ~

lub:

( ) ( )

~

( )

,

~y =t f k t (1.8)

gdzie ~ ≡y Y/L~ to strumień produktu na jednostkę efektywnej pracy, zaś k~≡K/L~ jest zasobem kapitału rzeczowego przypadającym na jednostkę efektywnej pracy.

Funkcja f dana równaniem (1.8) opisuje relacje zachodzące pomiędzy nakładami kapitału rzeczowego na jednostkę efektywnej pracy a strumieniem produktu przypada- jącym na L~ . Funkcja y~ = f

( )

k~ nazywana jest również w literaturze funkcją produkcji

A

Y = C + I K

gA A =

nL L =

δK

L C = (1 – s)Y

I = S = sY

w postaci intensywnej. Można pokazać (por. np. Chiang, 1994: 412–414), iż charakte- ryzuje się ona następującymi właściwościami⁶:

(a) f(0) = 0;

(b) _~lim

( )

~ =+∞;

+∞

→ f k

k

(c) df/dk~>0;

(d) ₊ =+∞

→ dk df

klim ~

~ 0 oraz _~lim ~=0;

+∞

→ dk

df

k

(e) d²f/dk~²<0.

Z równań (1.2–1.4) oraz (1.8) uzyskuje się zależność:

( ) ( ) ( )

~

( )

~

( )

.

~ sf k t k t

t L

t

K = −δ

(1.9) Ponieważ K =k~L~, więc K =k~L~+k~L~, a stąd oraz z równania (1.7) dochodzi się do związku:

( ) ( )

~

( ) ( ) ( )

~ .

~ k t n g k t

t L

t

K =  + +

(1.10) Zależności (1.9–1.10) implikują równanie Solowa:

( ) ( )

~

( ) ( ) ( )

~ .

~t sf k t n g k t

k^ = − δ+ + (1.11)

Równanie Solowa (1.11) interpretuje się ekonomicznie w ten sposób, że przyrost zaso- bu kapitału rzeczowego na jednostkę efektywnej pracy k~ jest różnicą pomiędzy osz- czędnościami/inwestycjami przypadającymi na jednostkę efektywnej pracy

( )

k sy sY L S L I L

sf ~ = ~= /~= /~= /~ a ubytkiem kapitału na jednostkę efektywnej pracy

(

δ+n+g

)

k~, który to ubytek wynika z deprecjacji kapitału

( )

δk~ oraz wzrostu jedno- stek efektywnej pracy

( (

n+g

)

k~

)

. Z równania tego wyciągnąć można również wniosek, że jeśli oszczędności/inwestycje na jednostkę efektywnej pracy sf ~ są wyższe (niż-

( )

k sze) od ubytku kapitału na jednostkę efektywnej pracy

(

δ+n+g

)

k~, to przyrost owego kapitału jest dodatni (ujemny). Jeśli zaś sf

( )

k~ =

⁽

δ+n+g

⁾

k~, to k~ =0 i zasób kapitału na jednostkę efektywnej pracy nie ulega zmianom w czasie.

Z równania (1.11) oraz właściwości funkcji f wynika również, że:

( )

0

( )

~

( )

,

~

s g t n

k t

k^ > ⇔ Π >δ + + (1.12a)

6 Interpretacja ekonomiczna właściwości funkcji f jest analogiczna do odpowiednich właściwości neo- klasycznej funkcji produkcji F.

( )

⁰

( )

^~

( )

^~

^{( )}

^0,

~ = ⇔ = + + ∪ k t =

s g t n

k t

k^ Π δ (1.12b)

oraz:

( )

0

( )

~

( )

,

~

s g t n

k t

k^ < ⇔ Π <δ+ + (1.12c)

gdzie Π

( ) ( )

k~ ≡ f k~/k~= Y/K jest produktywnością kapitału.

Jeśli zasób kapitału na jednostkę efektywnej pracy równy będzie zeru

( )

k~=0 , to – zgodnie z zależnością (1.12b) – przyrost owego zasobu równy będzie zeru  = 0k~  i gospodarka będzie w stanie specyficznej długookresowej równowagi. Przypadek ten będzie jednak dalej pomijany, gdyż jest mało prawdopodobny i (tym samym) mało ciekawy z makroekonomicznego punktu widzenia.

Jeśli jednak k~∈(0;+∞), to⁷:

( ) ( )

_,

lim ~

~ lim ~ lim ~

~ 0 0 0

~ 0

~ 0 = =+∞

+ +

+ →



 





→

→ ^{k f}_k^k

=

_{k d}^df_k

H k

k Π (1.13a)

( )

~ 0

/ ~

~

~

~~

~ −₂ =−∂ ₂∂ <

= k

L F k

k f k k d df k d dΠ

(1.13b) oraz:

( ) ( )

₀

lim ~

~ lim ~

lim ~ _{~ ~}

~ = =

+∞

→



 





∞

∞

+∞

→ +∞

→ ^{k f}_k^k

=

_{k d}^df_k

H k

k Π . (1.13c)

Z zależności (1.13abc) oraz ciągłości funkcji f wynika, iż jeśli k~ zmienia się od 0 do +∞, to produktywność kapitału Π

( )

k~ spada w sposób ciągły od +∞ do 0. Oznacza to, iż w przedziale (0;+∞) istnieje dokładnie jeden zasób k przy którym ~_*,

( )

k =δ+ⁿ_s+^g

Π ^~* (por. rys. 1.2).

7 Zapis 



 



 0

H 0 oznaczał będzie regułę de l’Hopitala przy granicy typu

00 . Analogicznie rozumiane bę- dzie wyrażenie 



 





∞ H ∞ .

Rys. 1.2. Krzywa produktywności kapitału Π

( )

k~ i dochodzenie do długookresowej równowagi w modelu wzrostu gospodarczego Solowa

Z prowadzonych tu rozważań wyciągnąć można następujące wnioski:

• Jeśli wyjściowy kapitał na jednostkę efektywnej pracy ~ 0

0>

k jest mniejszy od ,k ~_* to w każdym momencie t ∈ [0;+∞) k~ >0 i gospodarka Solowa zmierza do k ~^* z lewej strony.

• W przypadku, w którym zasób k jest wyższy od ~₀ k przyrosty kapitału na jed-~_*, nostkę efektywnej pracy k~ są ujemne i gospodarka zbliża się do zasobu  k z pra-~^* wej strony.

• Gdy ~ ~_*,

0 k

k = wówczas k~ =0 i w każdym momencie t ∈ [0;+∞) k~(t)=k~_*.

• Wynika stąd, iż gospodarka Solowa ma naturalne tendencje do dążenia do zasobu kapitału na jednostkę efektywnej pracy równego k bez względu na to, na jakim ~^* (dodatnim) poziomie ukształtuje się wartość owej zmiennej makroekonomicznej w momencie t = 0. Zasób ów nazywany będzie dalej zasobem kapitału na jednostkę efektywnej pracy w długookresowej równowadze Solowa.

Jak już wspomniano, zasób k jest rozwiązaniem równania: ~^*

( ) ( )

s g t n

k + +

=δ Π ^~ lub:

( )

~

( )

− + + =0 s

g t n

k δ

Π (1.14)

0

~>0

k k~ <0

( )

k~

Π

~*

k s

g n + δ+

k~

względem .k Co więcej, ponieważ s i ~ δ mogą przyjmować dowolne wartości z prze- działu (0;1), zaś n, g > 0, zatem k jest pewną funkcją uwikłaną s, ~^* δ, n oraz g, która rozwiązuje równanie (1.14). Korzystając z twierdzenia o pochodnej funkcji uwikłanej, można pokazać, że:

(

/ ^~

)

^0,

~

* 2

* =− + + >

∂

∂

k d d s

g n s

k

Π

δ (1.15a)

oraz:

(

/ ^~

)

^0.

~ 1

~

~

*

*

*

* = <

∂

=∂

∂

=∂

∂

∂

k d d g s k n k k

δ Π ^(1.15b)

Zależności (1.15ab) interpretuje się ekonomicznie w ten sposób, iż zasób kapitału na jednostkę efektywnej pracy w równowadze Solowa k jest tym wyższy, im wyższa ~^* jest stopa oszczędności/inwestycji s oraz im niższe są: stopa deprecjacji kapitału δ i stopa wzrostu jednostek efektywnej pracy g + n.

Jeśli przez k ≡ K/L zdefiniuje się techniczne uzbrojenie pracy (rozumiane jako kapi- tał rzeczowy na pracującego), to k ≡(t) A(t)~k(t). Stąd zaś oraz z założenia 6 modelu wzrostu Solowa wynika, iż:

).

~( )

(t A₀e k t

k = ^gt (1.16)

Z równania (1.16) wyciągnąć można kilka następujących wniosków:

• Ponieważ

k g k k

k ~

 ~

+

= , zatem stopa wzrostu technicznego uzbrojenia pracy kk / jest tym wyższa, im wyższa jest stopa egzogenicznego postępu technicznego w sensie Harroda g oraz stopa wzrostu zasobu kapitału na jednostkę efektywnej pracy kk ~~ . /

• Jeśli wyjściowy zasób kapitału na jednostkę efektywnej pracy k jest wyższy (niż-~0

szy) od ,k~_* to stopa wzrostu jednostek efektywnej pracy kk ~~ jest ujemna (dodat-/ nia) i – co za tym idzie – stopa wzrostu technicznego uzbrojenia pracy kk / jest niż- sza (wyższa) od stopy postępu technicznego w sensie Harroda g.

• W warunkach długookresowej równowagi Solowa techniczne uzbrojenie pracy dane jest wzorem k^*(t)=A₀e^gtk~^*. Stąd oraz z zależności (1.15ab) wynika, że (po pierwsze) stopa wzrostu technicznego uzbrojenia pracy równa jest stopie harrodiań- skiego postępu technicznego g oraz (po drugie) położenie długookresowej ścieżki wzrostu technicznego uzbrojenia pracy jest tym wyższe, im wyższy jest wyjściowy zasób wiedzy A0, stopa oszczędności/inwestycji s oraz im niższe są: stopa deprecja- cji kapitału δ i stopa wzrostu jednostek efektywnej pracy g + n.

Z właściwości funkcji produkcji w postaci intensywnej (1.8) oraz z tego, że istnieje kapitał na jednostkę efektywnej pracy w długookresowej równowadze Solowa k ~*, przy którym k~ =0, wynika, iż istnieje również pewien produkt na jednostkę efektyw-

nej pracy ^~y =^* f

( )

k^~* , do którego dąży gospodarka Solowa bez względu na wyjściowe wartości k oraz ~₀ ^~y0= f

( )

k^~0 >⁰. Co więcej, ponieważ:

( )

~

( )

,

~ ~k t

k d t df

y =  (1.17)

przy czym df /dk~>0, zatem jeśli k <~₀ k~^*

(

k >~0 k~^*

)

, to k~ >0



 

 < 0k~ i, zgodnie z równaniem (1.17), ~ >y 0

( )

^{~ <}y ⁰ . Jeśli zaś k =~₀ k~^*, to ~y =k~ =0.

Ponadto z właściwości funkcji (1.8) oraz równań (1.15ab) wyciągnąć można wnio- sek, iż:

(

/ ^~

)

^0,

~

~

~ ~

* 2

*

* =− + + >

∂

= ∂

∂

∂

k d d s

g n k

d df s k k d df s y

Π

δ _(1.18a)

oraz:

(

/ ^~

)

^0.

~ 1

~

~

~

*

*

*

* = <

∂

=∂

∂

=∂

∂

∂

k d d s k d df g y n y y

δ Π ^(1.18b)

Interpretacja zależności (1.18ab) jest analogiczna do interpretacji związków (1.15ab).

Definiując przez y ≡ Y/L wydajność pracy (rozumianą jako produkt na pracujące- go), okazuje się, iż y =(t) A(t)~y(t ,) a stąd i z założenia 6 modelu Solowa wynika, że:

)

~( )

(t A₀e y t

y = ^gt (1.19a)

oraz:

( ) ( ) ( ) ( )

^.

~

~ t y

t g y t y

t

y = +  (1.19b)

Z równań (1.19ab) i prowadzonych uprzednio rozważań płyną następujące wnioski:

• Jeśli k <~0 k~^*

(

k >~0 k~^*

)

, to ~ >y 0

( )

~ <y 0 i stopa wzrostu wydajności pracy y/ y jest wyższa (niższa) od stopy postępu technicznego w sensie Harroda g. Jeśli zaś

~ ,

~ _*

0 k

k = wówczas stopa wzrostu wydajności pracy równa jest stopie harrodiań- skiego postępu technicznego.

• Położenie długookresowej ścieżki wzrostu wydajności pracy y*(t)=A0e^gt~y^* jest tym wyższe, im wyższe są A0, s oraz im niższe są δ _{i g + n.}

1.2.2. Przypadek szczególny: funkcja produkcji Cobba-Douglasa Szczególnym (najczęściej wykorzystywanym w modelowaniu procesu produkcyj- nego i procesów wzrostu gospodarczego) przypadkiem neoklasycznej funkcji produk- cji F danej równaniem (1.1) jest funkcja produkcji Cobba-Douglasa. Duża popularność funkcji produkcji Cobba-Douglasa

wynika z faktu, że opisuje ona w możliwie prosty sposób mechanizm powstawania dochodu na- rodowego [strumienia produktu – przyp. aut.] dzięki współdziałaniu dwóch zastępowalnych czynników, których substytucja jest ograniczona (Czerwiński, 1973: 83).

Funkcja ta dana jest wzorem:

( )

t =

(

K

( )

t

)

^α⋅

(

A

( ) ( )

t Lt

)

^1−α,

Y (1.20)

gdzie α ∈ (0;1). Parametry α i 1 – α w funkcji (1.20) można interpretować albo jako elastyczności produktu Y względem nakładów kapitału K i jednostek efektywnej pracy

AL

L ≡~ ₈, albo, na gruncie marginalnej teorii podziału Clarka, jako udziały kapitału K i pracy L w produkcie Y (por. też np. Tokarski, 2005a: rozdz. 1 i 2).

Pozostałe założenia tego szczególnego przypadku modelu wzrostu gospodarczego Solowa opisane są przez równania (1.2–1.6).

Dzieląc funkcję produkcji Cobba-Douglasa (1.20) przez liczbę pracujących L, uzy- skuje się funkcję wydajności pracy postaci:

( )

t

( )

A

( )

t ^{1 α}

( )

k

( )

t ^α,

y = ⁻ ⋅

a stąd oraz z założenia 6 modelu Solowa wynika, że:

( ) ( )

t A₀ ^{1 α}e^{(1 α)}

[ ]

k

( )

t ^α.

y = ^{− − gt} (1.21)

Logarytmując stronami i różniczkując po czasie t ∈ [0;+∞), równanie (1.21), uzyskuje się równanie stopy wzrostu wydajności pracy dane wzorem:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

^.

1 k t

t g k t

y t

y = −α +α  (1.22)

Równanie (1.22) interpretuje się ekonomicznie w ten sposób, iż w rozważanej tu wersji modelu wzrostu Solowa (z funkcją produkcji Cobba-Douglasa) stopa wzrostu wydaj- ności pracy

(

y / y

)

jest sumą stopy postępu technicznego w sensie Harroda (g) ważonej udziałem nakładów pracy w produkcie (1 – α) i stopy wzrostu technicznego uzbrojenia pracy

( )

k / k ważonej udziałem nakładów kapitału rzeczowego w produkcie (α).

Z równań (1.2–1.4) dochodzi się do zależności:

( )

t sY

( )

t K

( )

t K = −δ

lub (po podzieleniu powyższego związku przez liczbę pracujących L):

( ) ( )

sy

( )

t k

( )

t . t

L t

K = −δ

(1.23) Ponieważ K ≡ kL, zatem K =kL+kL. Stąd i z równania (1.5) płynie wniosek, iż:

8 Fakt, iż wyrażenie 1 – α jest elastycznością Y względem L~ implikuje również to, iż jest ono ela- stycznością produktu zarówno względem zasobu wiedzy A, jak i liczby pracujących L.

( ) ( )

k

( )

t nk

( )

t , t

L t

K =  +

(1.24) zaś z równań (1.21) oraz (1.23–1.24) uzyskuje się następujące równanie różniczkowe Bernoulliego⁹:

( )

^{( )}

[ ]

()

( )

( .)

)

(t s A₀ ¹ e¹ k t nk t

k^ = ^{−α −αgt α} − δ+ (1.25)

Całka (rozwiązanie) równania różniczkowego (1.25), przy danym k(0) = k0 > 0, wyzna- cza ścieżkę czasową technicznego uzbrojenia pracy w modelu Solowa z funkcją pro- dukcji Cobba-Douglasa (1.20). Mnożąc równanie (1.25) przez k^–α, dochodzi się do związku:

( )

( ) ( ) ( )

k t ^−αkt =s A₀ ^1−αe^(1−α)gt −

(

δ+n

) ( )

⋅

( )

k t ^1−α. _(1.26) Dokonując podstawienia Bernoulliego postaci (por. np. Leja, 1967: 420):

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , 1

1

v t k t k t

t k t

v

_α



_α



α

−

−

=

⇒ −

=

(1.27)

równanie (1.26) można sprowadzić do następującego równania różniczkowego linio- wego niejednorodnego:

( ) (

t 1

) ( )

s A₀ ¹ e^{(1 )}

(

1

)(

n

) ( )

vt .

v = −α ^{−α −α gt}− −α δ+ _(1.28)

Całkę szczególną równania różniczkowego (1.28) zapisać można wzorem¹⁰:

( )( ).

)

( ^{1 nt}

S t e

v = ^{− −α δ+} (1.29)

Niech całka równania (1.28) będzie iloczynem całki szczególnej (1.29) i nieznanej całki uzupełniającej vD. Wówczas:

( ) t v

_D

( ) t e

^{(1 )( n)t}

v ( ) t v

_D

( ) t e

^{(1 )( n)t}

v

_D

( ) ( t 1 )( n ) e

^{(1 )( n)t}

. v =

^{− −α δ+}

⇒  = 

^{− −α δ+}

− ⋅ − α δ +

^{− −α δ+}

(1.30)

Po wstawieniu zależności (1.30) do równania różniczkowego (1.28) można je prze- kształcić i zapisać następująco:

( ) ( 1 ) ( )

₀ ^{1 (1 )( g n)t}

,

D

t s A e

v  = − α

^{−α −α δ+ +}

9 Równanie (1.25) jest tożsame z równaniem Solowa ^k~=sf

( )

^{k~−(δ+n+g)k~} przy funkcji produkcji Cobba-Douglasa (1.20).

10.Całką szczególną równania różniczkowego liniowego niejednorodnego postaci

) ( ) ( ) ( )

(t txt t

x =Ψ +Ζ , gdzie Ψ (t) i Ζ (t) są pewnymi ciągłymi i różniczkowalnymi funkcjami czasu t ∈ [0;+∞), nazywana będzie dalej całka równania x_S( )t =Ψ( ) ( )tx_S t , czyli ₌ ∫ ^tdt

S t e

x () ^Ψ() . Jeśli Ψ (t) = ψ ∈ ℜ, to całka szczególna xS (t) równa będzie x₀e^ψt, gdzie x0 ∈ ℜ.

a stąd:

( ₁ ) ( )

^{( )( )}

( )

_{( )( )}

_,

) ( )

(

₀ ^{1 1 0 1}

e

¹

F

₀

n g A dt s e

A s dt

t v t

v

_{D D} ^{g nt g nt}

+

+

= +

−

=

= ∫ ^{ α}

^−α

∫

^{−α δ+ +}

_δ

^{−α −α δ+ + (1.31)}

gdzie F0 ∈ℜ jest stałą całkowania (stała ta nie ma bezpośredniej interpretacji ekono- micznej, ale jej wartość związana jest z wyjściowym zasobem technicznego uzbrojenia pracy k0). Wstawiając całkę szczególną (1.31) do równania (1.30), dochodzi się do całki równania różniczkowego (1.28) danej wzorem:

( )

( )( ) ( )( )

( )

( ) ( )( ).

)

( ^{0 1 1 g nt} ₀ ^{1 nt 0 1} e^{1 gt} F₀e ^{1 nt}

n g A e s

F ne

g A t s

v ^{− − + + − − + − −} + ^{− − +}

+

= +











 +

+

= + ^{α α δ α δ α α α δ}

δ δ

Stąd i z podstawienia Bernoulliego (1.27) uzyskuje się związek:

[ ] ( )

¹

^{( )}

^{0 1}

e

^{(1 )gt}

F

₀

e

^{(1 )( n)t}

. n

g A t s

k

^{− − −}

+

^{− − +}

+

= +

^{α α α δ}

α

δ

^(1.32)

Równanie (1.32) jest prawdziwe w każdym momencie t ∈ [0;+∞). Oznacza to, iż w szczególności w momencie t = 0 zachodzi:

( ) ( )

_,

0 01

0 1 F

n g A

k s +

+

= + ⁻

−

δ

α α

co implikuje, że przy k(0) = k0 stała całkowania F0 dana jest wzorem:

( )

1

( )

₀ ¹ _.

0

0 g n

A k s

F = ⁻ − + +⁻ δ

α α (1.33)

Z równania (1.33) wynika, że jeśli wyjściowe techniczne uzbrojenie pracy k0 jest wyż-

sze (niższe) od ^α

δ

−



 



 + +

1 1

0 g n

A s , to stała całkowania F0 jest dodatnia (ujemna). Jeśli

zaś ^α

δ

−



 



 +

= + ¹

1 0

0 g n

A s

k , to F0 = 0. Co więcej, wielkość ^α

δ

−



 



 +

= + ¹

1 0

0 g n

A s

k jest

iloczynem kapitału na jednostkę efektywnej pracy w długookresowej równowadze w tej wersji modelu Solowa (czyli )k i wyjściowego poziomu wiedzy naukowo- ~_* -technicznej (a więc A0)¹¹.

11 Wynika to stąd, iż równanie Solowa (1.11) przy funkcji produkcji Cobba-Douglasa (1.20) można za- pisać następująco:

( )t s

( )

k( )t ( g n) ( )kt k~^ = ~ ^α−δ+ + ~ .

Dzieląc stronami równanie (1.25) przez techniczne uzbrojenie pracy k dochodzi się do równania stopy wzrostu technicznego uzbrojenia pracy g_k(t)≡k(t)/k(t) postaci:

( )

^{( )}

[ ]

k t

⁽

ⁿ

⁾

e

A t s

g_k = ^{0 1−α}₁₋¹_α^−αgt − δ+ )

) (

( ,

a stąd i z równania (1.32) uzyskuje się związek:

( ) ( )

( )( )

(

n

)

e n F g A s

A t s

g

t n

k g − +

+ + +

=

+ +

−

− −

− δ

δ ^{α δ}

α

α 0 1 0 1

0 1

)

( . (1.34)

Równanie (1.34) wyznacza ścieżkę czasową stopy wzrostu technicznego uzbrojenia pracy. Różniczkując je po czasie t ∈ [0;+∞), dochodzi się do zależności:

( )

₂

0 0 0 1 0

1 1



 



 +

+ +

=

−

−

t t k

e n F g F e

t g

β β

δ β β β

 _(1.35a)

oraz:

( ) ( )

n e g

F

n e g

F t g t

g t

t k

k

+ + +

+

− +

= −

−

δ δ β

β

β β

β 0 0 0 0 1

1 1





 _{, (1.35b)}

gdzie β0 = s(A0)^1–α > 0, zaś β1 = (1 – α)(δ + g + n) > 0.

Z równań (1.35ab) oraz z zależności (1.33) wyciągnąć można następujące wnioski:

• Jeśli δ ^α

−



 



 +

= + ¹

1 0

0 g n

A s

k , to F0 = 0 i w każdym momencie t ∈ [0;+∞) stopy wzrostu technicznego uzbrojenia pracy nie ulegają zmianom w czasie. Co więcej, z równania (1.34) wynika również, że w rozważanym tu przypadku dla każdego t ∈ [0;+∞) stopa wzrostu technicznego uzbrojenia pracy równa jest stopie harro- diańskiego postępu technicznego.

Ponieważ k rozwiązuje powyższe równanie względem k~^* ~ przy k~=0, zatem ^α

δ

−



 



 +

= + ¹

1

~*

n g

k s .

Stąd zaś płynie wniosek, iż: ¹ ₀ ^*

1

0 Ak~

n g

A s  =

 



 + +

−α

δ

.