Space-time manifolds and relativity of tlme (streszczenie po polsku)

Michał Heller

Space-time manifolds and relativity

of tlme (streszczenie po polsku)

Studia Philosophiae Christianae 10/1, 49-56

Stuädia P h ilo so p h ia e C h ris tia n a e ATK

10(1974)1

M ICH A Ł HELLER

SPACE-TIME MANIFOLDS AND RELATIVITY OF TIME

O. A b stra c t. 1. In tro d u c tio n . 2. T erm in o lo g y . 3. L ogical B ase. 4. A nti-L eibni- z ia n T heorem . 5. C o n clu sio n s

O. A b stra c t.

A n u ll-c o n e s tru c tu r e in d u c e s p a rtia l o rd e rin g (of k in d „ e a rlie r-la te r") an d fu ll to p o lo g y o n a sp a c e -tim e m an ifo ld w ith o u t a n y re fe re n c e to m a tte r fillin g th e sp ace-tim e. T h is sh o w h o w d e e p ly ro o te d a re th e a b so lu te p ro ­ p e rtie s of tim e. S p ace-tim e e q u ip p e d w ith a n u ll-c o n e s tru c tu r e c a n n o t b e a p h y sic a l m o d el of L eibniz’s e n tire ly re la tiv e tim e th e o ry .

1. Introduction.

1.1 The so-called relational concept of tim e and space has

been given by Leibniz who, in a polemic w ith Clarke, h ad ex­

pressed the view th at space is an „order of coexistences" and

time an „order of successions".1 A ccording to this concept,

space and tim e m ay be thus draw n to relations w hich order in

a certain m anner the set of events, w here events are under­

stood m aterially. W ithout m atter filling the Universe, th e con­

cepts of tim e and space lose their meaning. Instead of th e term

„relational concept of time and space", sometimes the term

is used, after Leibnizî, of the „concept of relative time and r e ­

lative space", we shall often state it simply as the concept of

Leibniz.2

1.2 A concept w hich rem ains in opposition to that of Leib­

niz's, is the concept of absolute tim e and absolute space. It is

usually attributed to New ton. A ccording to this concept, time

and space have an „object" character. A fter rem oving the

„m aterial contents" of th e Universe, th ere rem ains an em pty

tim e and em pty space.3

1.3 Time and space w hich occur in classical mechanics, are

physical models of the absolute time and space. The th eo ry of

relativ ity (special and general) has, to a certain extent, „rela­

tivised" tim e and space, how ever, con trary to a fairly general

opinion, has not been able to fully realize the concept of Leib­

niz. In the present p ap er we shall show that w ith the p resently

used geom etry, it is not possible to construct a physical model

of fully relative (relational) time.

1.4 The rem ark is triv al th at a null-cone stru ctu re m ay be

determ ined on a spatio-tem poral manifold w ithout referring to

anything outside, such as e.g. m atter filling the space-time.

A lready in this sense, such a stru ctu re is anti-Leibnizian. It

turns out, how ever, th at it is such a strong stru ctu re that it

induces all the topology, and even certain m etric properties.

In order to m ake the following argum ents m ore precise, we

introduce certain term inology conventions.

2. Term inology

2.1 W e understand events m aterially, and not only as points

in space-time.

2.2 W e shall call tim e (model of, concept of) w e a k l y r e ­

l a t i v e if it is partially absolute and only partially defined

by relations on th e set of events.

2.3 W e shall call time (model of, concept of) s t r o n g l y

r e l a t i v e — if it is to taly defined by relations on the set

of events.

2.4 R elativity of tim e (weak or strong) may be l o c a l o r

2.5. W e shall distinguish betw een t o p o l o g i c a l

and

m e t r i c properties of time.

2.6

W e shall also discuss t i m e o r d e r i n g if and only

if on the set of events relations of the type „earlier — later"

are defined, w hich partially order th e set of events and indu­

ce a topology (ordinary „manifold topology") on this set. —

Time ordering m ay be absolute, w eakly or strongly relative.

2.7

In the definitions presented above not v ery sharp con­

cepts (such as „event understood m aterially", „time p artially

absolute", ect.) are used on purpose, in order for th e following

discussion to concern a w ide class of philosophical concepts

of time. These definitions suffice, how ever, to ascertain

enough rigour to the fu rther considerations.

3. Logical Base

3.1 By the sparce-tim e M w e m ean n-dimensional; connec­

ted, C°° (usualy C2 suffices) differentiable manifold on w hich

a continuous oriented null-cone stru ctu re is defined.

3.2 The oriented null-cone stru ctu re is equivalent to the fol­

lowing: for each

M, th e re is a basis at th e tangent space

Tx, relative to w hich the Lorentzian m etric tensor of signatu­

re 2 — n exists,.4

The existence of the continuous oriented null-cone stru cturé

allows us to introduce the following definitions:

3.3 A future-directed piecew ise tim elike geodesic is called

a trip. If a trip from x to y exists we w rite: x

y (x chrono­

logically precedes y).

3.4 The chronological luture of x, I+(x), is defined:

I+(x) = {y: x ^ y }

Similarly, the chronological past of x:

I~(x) = {y: У<|х}

3.5 A future-directed piecew ise curve, w hose pieces m ay be

either tim elike or null geodesics is called a causal trip. If

a causal trip from x to y exists, we w rite: x < y (x causally

precedes y).

3.6 The causal luture and causal past of x m ay be defined

respectively:

J+(x) = {γ: x < y}

3.7 P r o p o s i t i o n : I+(x) and I~(x) are open sets, for ev e­

ry x ε M. For proof see w ork of Lerner.5

3.8 P r o p o s i t i o n : Sets I+(x) rs I“ (x) are open, for ev e­

ry x,y ε M and induce th e so-called A lexa n d ro ii Topology

(A-topology) on M.6

A-topology, in th e general case, is coarser than ordinary

manifold topology.

3.9 A space-tim e is strongly causal at x ε M, if th e re is no

such neighbourhood U of x, th at U intersects some trip m ore

th an once. M is strongly causal, if it is strongly causal at each

point.

3.10 The notion of strong causality being of especially im ­

portance for furth er considérations, let us rem ind th a t strong

causality fails at a poit p ε M, if and only if th ere is a point

q > p, p + q, such th a t for all x ε I+(p) and y ε I- (q) th e re is:

У *4 x·7

3.11 P r o p o s i t i o n : The A -topology on a space-tim e M

coincides w ith th e ordinary manifold topology if and only if

M is strongly causal. Proof m ay be found in th e cited Lerner's

paper.8

4. Anti-Leibnizian Theorem

4.1 T h e o r e m : A space-time M, on w hich a continuous

orien ted null-cone stru ctu re is defined, cannot be a model of

strongly relativ e time ordering (globally), if: (i) th ere are no

closed trips on M; (ii) M is strongly causal.9

4.2 P r o o f : A continuous oriented null cone stru ctu re in­

duces the existence of the relation

and the existence of

sets: I+(x), I“ (x). The relation

is transitive by definition,

and antireflexive by th e condition (i) of the theorem . So , , ^ r'

is partially ordering. Sets I+(p)

I_ (q), p, q ε M, form a basis

for A -topology (proposition 3.8). In strength of th e proposition

3.11 and th e condition (ii) of the theorem , A -topology coincides

w ith the ord in ary manifold topology. So the partial ordering

of „earlier ■

— later" kind of the m anifold and its full topology

are induced w ithout any reference to m atter filling the space-

-time. This rem ark ends the proof.

5. Conclusions

5.1 Theorem 4.1 shows how deeply are absolute elem ents

em bedded in the m athem atical stru ctu re of contem porary spa­

ce-time theories.

5.2 On rejection of condition (i) of the theorem , it becom es

tru e only locally; th e non-validity of th e relation x

x is al­

w ays guarenteed locally10.

5.3 Invariaratly, th e re is no sense in discussing m etric p ro ­

perties of time; one m ay invariantly discuss only m etric pro­

perties of space-time.

5.4 M etric properties of space-tim e M cannot be strongly

relative (in th e sense analogous to definition 2.3) either, as

they are locally induced by the Lorentzian structure of ta n ­

gent space in ev ery point ρ ε M 11.

5.5 The above results do not contradict the possibility of

constructing a w eakly relative model of time (space-time). As

it is known, w eak relativity of time (space-time) is realized in

the G eneral T heory of Relativity.

ROZMAITOŚCI CZASOPRZESTRZENNE I WZGLĘDNOŚĆ CZASU

S treszczen ie

1. P o s t a w i e n i e p r o b l e m u . Is tn ie ją dw ie, k o n k u ru ją c e ze sobą, k o n c e p c je czasu i p rz e s trz e n i. W e d łu g p ie rw s z e j czas i p rz e s trz e ń s p ro w a ­ d z a ją się do r e la c ji w ja k iś sp o só b p o rz ą d k u ją c y c h zb ió r z d a rz e ń ; p rzy czym z d a rz e n ia ro zu m ie się m a te ria ln ie . Bez m a te rii w y p e łn ia ją c e j W sz e c h ­ św iat p o ję c ia czasu i p rz e s trz e n i tr a c ą sen s. W e d łu g d ru g ie j k o n c e p c ji czas i p rz e s trz e ń m a ją c h a ra k te r „ o b ie k tó w ” . P o u s u n ię c iu „ m a te ria ln e j z a w a r­ to ści" W sz e c h ś w ia ta p o z o sta je p u s ty czas i p u s ta p rz e strz e ń . P ie rw sz ą kon- ce p c ję o k re ś la się m ian em k o n c e p c ji w z g lę d n e g o la b re la c y jn e g o czasu i w z g lę d n e j lu b r e la c y jn e j p rz e s trz e n i, d ru g ą — m ian em k o n c e p c ji a b so ­ lu tn eg o c zasu i a b s o lu tn e j p rz e s trz e n i. P ierw szą p rz y p is u je się z w y k le L eib­ nizow i, d ru g ą — N ew to n o w i.

C zas i p rz e s trz e ń w y s tę p u ją c e w m e c h a n ic e k la s y c z n e j są fizy czn y m i m o d elam i a b so lu tn e g o c zasu i p rz e strz e n i. T e o ria w zg lęd n o ści (szczególna i o gólna) w p e w n y m sto p n iu u re la ty w n iła czas i p rz e strz e ń , n ie z d o ła ła je d ­ n a k — w b re w d o ść ro z p o w szech n io n y m p o g ląd o m — w p e łn i zre a liz o w a ć k o n c e p c ji L eibniza. P o k ażem y , że p rzy sto so w a n y m o b ecn ie a p a ra c ie g eo m e ­ try c z n y m n ie d a się sk o n s tru o w a ć fizy czn eg o m o d e lu c z a su ca łk o w ic ie w z g lęd n eg o .

2. T e r m i n o l o g i a . B ędziem y m ów ić o czasie (m odelu, k o n c e p c ji cza­ su) słab o w zg lęd n y m , je ż e li je s t on częścio w o a b so lu tn y , a ty lk o częścio w o o k re ś lo n y przez r e la c je n a zb io rze zd arzeń .

B ędziem y m ów ić o c zasie (m odelu, k o n c e p c ji czasu) siln ie w zg lęd n y m , je ż e li je s t o n c a łk o w ic ie o k re ś lo n y p rzez r e la c je n a zb io rze zd arzeń .

Z d a rz e n ia ro zu m ie się m a te ria ln ie , a n ie ty lk o ja k o p u n k ty w c z a so p rz e ­ strz e n i.

B ędziem y m ó w ić o p o rz ą d k u czaso w y m w te d y i ty lk o w te d y , je ż e li n a z b io rze z d a rz e ń są o k re ś lo n e r e la c je ty p u „w cześn iej — p ó ź n ie j" częścio w o p o rz ą d k u ją c e zb ió r z d a rz e ń i in d u k u ją c e to p o lo g ię (zw y k łą „ro zm aito ścio - w ą to p o lo g ię " — „m an ifo ld to p o lo g y ") n a ty m zb io rze. — P o rz ą d e k cz a so ­ w y m oże b y ć a b so lu tn y , lu b słab o , lu b siln ie w zg lęd n y .

3. B a z a l o g i c z n a . P rzez c z a so p rz e strz e ń M ro z u m ie m y n — w y m ia ­ ro w ą , z w artą, C o o ro z m a ito ść ró żn iczk o w ą, n a k tó re j je s t o k re ś lo n a ciąg ła, z o rie n to w a n a s tru k tu r a sto żk o w a, tzn . d la k aż d e g o p u n k tu χ β M is tn ie je baza w p rz e s trz e n i s ty c z n e j Tx , w zg lęd em k tó r e j o k re ś lo n y n a Tx lo re n t- zo w sk i te n s o r m e try c z n y p o sia d a s y g n a tu rę 2 — n.

N ie c h x, y ε M, je ż e li is tn ie je w M c z a so p o d o b n a k rz y w a p o s ia d a ją c a w p rzeszło ści p u n k t k o ń c o w y p i w p rz y sz ło śc i p u n k t k o ń c o w y q, piszem y: ρ <ξ q. D efin iu jem y : ch ro n o lo g ic z n ą p rzy szło ść p u n k tu x: I + (x) = { y :x < ^ y } ch ro n o lo g ic z n ą p rzeszło ść p u n k tu x: I - ( x ) = {y: y x} C z a so p rz e strz e ń M n a z y w a m y m o cn o p rz y c z y n o w ą w p u n k c ie χ ε M , je ­ żeli n ie m a ta k ie g o o to c z e n ia U p u n k tu x, że U p rz e c in a p e w n ą czaso p o d o b - n ą k rz y w ą w ię c e j n iż raz. M je s t m ocno p rz y czy n o w a, je ż e li je s t m ocno p rz y c z y n o w a w k a ż d y m p u n k c ie .

L e m a t 1: Z b io ry I + (x) I ” (y) są zb io ram i o tw a rty m i, d la k ażd eg o x, y ε M i in d u k u ją tzw . to p o lo g ię A le k sa n d ro w a (A -topologię) n a M.

A — to p o lo g ia , w o g ó ln y m p rz y p a d k u , je s t u b o ższa n iż z w y k ła to p o lo ­ g ia ro zm aito ścio w a.

L e m a t 2: A -to p o lo g ia n a c z a so p rz e strz e n i M p o k ry w a się ze z w y k łą to p o lo g ią ro z m a ito śc io w ą w te d y i ty lk o w te d y , g d y M je s t m ocno p rz y c z y ­ n o w a.

D ow ody obu le m a tó w m o żn a zn ale źć w p ra c y L e rn e ra (por. p rzy p . 5 w te k ś c ie angielskim ).

4. T w i e r d z e n i e a n t y - l e i b n i z o w s k i e : C z a so p rz e strz e ń M, n a k tó re j je s t o k re ś lo n a ciąg ła, z o rie n to w a n a s tru k tu r a sto ż k o w a n ie m oże być m o d elem siln ie w z g lę d n e g o p o rz ą d k u czaso w eg o (globalnie), je ż e li: (i) n a M n ie m a z a m k n ię ty c h k rz y w y c h c z aso p o d o b n y ch , (ii) M je s t m ocno p rz y ­ czy n o w a.

D o w ó d : C ią g ła , z o rie n to w a n a s tr u k tu r a sto ż k o w a u m o żliw ia o k re ś le ­ n ie re la c ji ,,<ξ" i zb io ró w I + (x), I~(x) n a M . R e la c ja je s t p rz e c h o d n ia z d e fin ic ji i p rz e c iw z w ro tn a d zięk i w a ru n k o w i (i) tw ie rd z e n ia . A zatem „■'■S" je s t r e la c ją częścio w o p o rz ą d k u ją c ą zb ió r M . Z b io ry I + (p) r\ I~ (q), p, q, ε M , tw o rz ą bazę d la A -to p o lo g ii (lem at 1). N a m o cy le m a tu 2 i w a ru n ­ ku (ii) tw ie rd z e n ia , A -to p o lo g ia p o k ry w a się ze z w y k łą to p o lo g ią rozm ai- 1 o ściow ą. A w ięc częścio w e u p o rz ą d k o w a n ie ty p u „w cześn iej — p ó ź n ie j” o raz p e łn a to p o lo g ia z o s ta ły w p ro w a d z o n e n a ro z m a ito śc i M bez o d n o sze­ n ia się do m a te rii w y p e łn ia ją c e j c z a so p rz e strz e ń . T a u w a g a k o ń c z y dow ód. 5. W n i o s k i . U d o w o d n io n e tw ie rd z e n ie p o k a z u je , ja k g łęb o k o w m a te ­ m a ty c z n e j s tru k tu r z e w sp ó łc z e sn y c h te o r ii c z a so p rz e strz e n i tk w ią e le m e n ty a b so lu tn e . — Po o d rz u c e n iu w a ru n k u (i) tw ie rd z e n ia s ta jê się ono słu szn e ty lk o lo k a ln ie ; n iesłu szn o ść re la c ji s ^ x je s t lo k a ln ie zaw sz e z a g w a ra n to ­ w an a. —. In w a ria n tn ie n ie m a se n su m ó w ić o m e try c z n y c h w ła sn o śc ia c h czasu ; in w a ria n tn ie m o żn a m ów ić ty lk o o m e try c z n y c h w ła sn o ś c ia c h czaso ­ p rzestrzen i. — M e try c z n e w ła sn o śc i c z a so p rz e strz e n i ró w n ie ż n ie m ogą b y ć siln ie w zg lęd n e, g d y ż są o n e w k a ż d y m p u n k c ie p ε M lo k a ln ie in d u k o w a ­ ne przez lo re n tz o w sk ą s tru k tu r ę p rz e s trz e n i s ty c z n e j (por. p rz y p . 11 w te k ś ­ cie angielskim ).

P o w y ższe w y n ik i nie przeczą m o żliw o ści z re a liz o w a n ia m o d elu czasu (czasoprzestrzeni) słabo w zg lęd n eg o . J a k w iad o m o , sła b a w zg lęd n o ść czasu (czaso p rzestrzen i) je s t z re a liz o w a n a w o g ó ln e j te o rii w zg lęd n o ści.

1 „As fo r m y ow n o p inion, I h a v e sa id m o re th a n once, th a t I h o ld sp ace to b e so m e th in g m e re ly re la tiv e , as tim e is; th a t I h o ld it to b e a n o rd er of c o e x iste n c e s, as tim e is an o rd e r of s u c c e s s io n s .'T h e L eib n iz — C la ik e

C o rresp o n d en ce (ed. H. G. A le x a n d e r), M a n c h e s te r U n iv e rs ity P ress, 1956.

2 Cf. Z. A u g u sty n e k : W ła s n o ś c i cza su (P ro p e rtie s of T im e — in P olish), W a rs z a w a 1970, PW N .

3 Ibid.

4 See e.g.: B. C a rte r: C ausal S tr u c tu re in S p a ce-T im e, G en era l R e la tiv ity

5 D. L ern er: T e c h n iq u e s oi T o p o lo g y a nd D iü e ie n tia l G e o m e try in G e n e ­

ral R e la tiv ity , in: M e th o d s o i L ocal an d G lobal D ille re n tia l G e o m e try in G en era l R e la tiv ity , „ P ro ceed in g s of th e R e g io n a l C o n fe re n c e on R e la tiv ity ",

P ittsb u rg h , P e n n sy lv a n ia , J u ly 13 — 17, 1970, S p rin g e r-V e rla g : B erlin-H ei- d e lb e rg -N e w Y ork 1972, p. 11.

6 Ibid., p. 23. 7 Ibid., pp. 21—22. 8 Ibid., p. 23.

9 A lm o st e v e ry p h y s ic a lly re a s o n a b le sp a c e -tim e is stro n g ly c a u sa l, and a lm o st e v e ry stro n g ly c a u s a l sp a c e -tim e h a s n o clo se d trip s.

10 S ee: D. L e rn e r: T e c h n iq u e s of T o p o lo g y..., pp. 18— 19.

“ T h is is sh o w n in p a p e r: M . H e lle r: M a ch 's P rinciple a nd D ilieren tia b le