Szacowanie charakterystyk sprężysto-tłumiących na równania energii układów nieliniowych

(1)

Maciej K U L ISIE W IC Z , Stanisław PIESIA K In ty tu t M ateriałoznaw stw a i Mechniki Technicznej P olitechniki W rocławskiej

SZACO W AN IE C H A R A K TER Y ST Y K SPR ĘŻ Y STO - TŁU M IĄ C Y C H NA RÓ W N A N IA EN ER G II U KŁA D Ó W N IELINIO W Y CH

Streszczenie. T raktując elem enty sprężysto - tłum iące m aszyn jako u kłady silnie nieliniowe, podano m etodę ich identyfikacji w oparciu o rów nanie energii. P rezentow ana m eto d a je st użyteczna w przypadku drgań okresowych dowolnego kształtu.

AN E STIM A TE O F T H E M A CHIN E DAM PING - ELA STIC C H A R A C T E R IS T IC S BY MEANS O F AN EN ER G Y EQ U A TIO N FO R

N ON LIN EA R SYSTEM S

Sum m ary. An identification way of m achine dam ping - elastic elem ents w hich can be tre a te d as markedly nonlinear system s is presented. In the way a balance energy equation is used. T he m eth o d is useful in cases of a rb itra ry periodic vibration.

3 C T H M A H H J I X A P A K T E P H C T H K

y n p y r o - z i E M n ^ H p y i o m H X m a h i h h h a o c h o b e

y P A B H E H H J I S H E P T H H H E J IH H E H H B I X C H C T E M Pe3K>Me. npHHHMan h t o ynpyro-fleM nclm pyiom e aneMeHTbi M am ra HBJIHIOTCfl CHJIbHO HeJIHHeHHŁIMH CHCTeMaMH IipeflCTaB JieH MeTOfl HX nfleHTH(I)HKai(HH ocHOBaH Ha ypaBHeHHio SHeprHH. npeAJiojKeHHbiii Me-

t o x npHMeHHM b c n y n a e nepno,gnwaecKHx ocm uuiauH H m o S o ii fliopMBi.

1. O PIS PR O B LEM U

W zagadnieniach konstruow ania zawieszeń m aszyn w yodrębnić m ożna dw a zasadnicze problem y:

a) wpływ ro d zaju zawieszenia na pracę maszyny,

(2)

2 0 2 M. Kulisiewicz, S. Piesiak

b) analizę pracy zaw ieszenia w w arunkach eksploatacji (żywotność, zm iany własności dynam icznych i t p .).

W ym agania techniczne staw iane obecnie nowoczesnym układom dynam icznym , a do

tyczące głównie oszczędności energii i m ateriałów (konstrukcje lekkie), ciągle rosną. Stąd też zadow alające rozw iązania w wyżej wymienionej problem atyce w ym agają stosow ania dokładnych (najczęściej nieliniowych !) modeli dynam icznych, co stw arza dodatkow e tr u dności w sferze m odelow ania i identyfikacji elem entów sprężysto - tłum iących m aszyn.

Pew ne nowe koncepcje w tej dziedzinie przedstaw iono w pracach [1, 2], P olegają one na możliwości w ykorzystania do celów m odelowania rów nania energii układu dynam icz

nego w p rzypadku drgań okresowych dowolnego kształtu. W pracy [2] podano przykład w ykorzystania tego pom ysłu dla układu zdegenerowanego z tarciem suchym . W niniej

szej pracy skoncentrujem y się głównie n a przypadku ogólnym w ażnym d la nieliniowych ch arak tery sty k tłu m ien ia i sprężystości dowolnego kształtu. P rzyjm ijm y więc, że kształt funkcji restytucyjnej F opisującej oddziaływ anie elem entu sprężysto - tłum iącego na ruch m asy m (por. rys. 1) opisuje funkcja F ( x , i ) , w której zachodzi separacja oddziaływ ań sprężystych od tłum iących, co możemy zapisać w postaci:

F ( x , i ) = Fs(x ) + Ft(x ), (1)

w której funkcje Fs(x ) i Ft(x ) są dowolne nieliniowe. Założenie (1) d aje się fizycznie spraw dzić (por. np. [3]).

Rys. 1. Schem at przyjętego modelu b) układu fizycznego a) Fig. 1. D iagram of th e accepted m odel b) of th e physical system a)

P rzedstaw iona poniżej m eto d a postępow ania um ożliw ia w yznaczenie k sz ta łtu tych fu

nkcji. Funkcje Fs(x ) , F t( i ) opisują oddziaływ ania sprężysto -tłu m ią c e elem entów m aszyn, zwane dalej charakterystykam i sprężysto - tłum iącym i.

2. IDEA ROZW IĄ ZA N IA

Dla opisu idei rozw iązania ograniczym y się n a w stępie do m odelu opisanego rów naniem : m x + k i x -f k 3 x 3 + Ci x + C3 x3 = p (t), (2 ) gdzie k i , k 3, c i , c 3 - stałe w spółczynniki rzeczywiste.

(3)

Załóżmy, że w ym uszenie p (t) i odpowieź x ( t) tego układu są opisane przez dowolne funkcje okresowe o okresie T . Począwszy od dostatecznie dużego czasu t, w k tó ry m odpo

wiedź je st niezależna od w arunków początkowych, założenie to jest spełnione zasadniczo dla układów fizycznych. Spełniony jest zatem w arunek:

x ( t + T ) = x (t), p[t + T ) = p(t) (3)

(por. rys. 2 ).

Układ nieliniowy

Rys. 2. Podstawowe założenie m etody Fig. 2. Basic assum ptions of th e m ethod

R ów nanie energii dla układu (2) uzyskamy w ym nażając je obustronnie przez dx — x d t i całkując w obrębie okresu T . Łatwo jest wykazać, że d la (3) zachodzi:

/ m i i d t — / (c \x + c3 x 3)xd t = 0 , (4)

J o J o

skąd otrzym ujem y:

ki L i 4- k3L 3 = L p, (5)

gdzie przez L \ , L3, L P oznaczono zmienne:

L i — i i dt, ¿3 = I x 3x d t, Lp = p i d i. (6 )

J o J o J o

Podobnie, w ym nażając rów nanie (2) przez d i = i dt i całkując otrzym ujem y:

[ [ k i i + k 3 x 3 ) x d t = 0 , (7)

J o

skąd

m Łm -f- Ci Li -f- C3 L3 = L,,, (S ) gdzie

L„, = / x x d t , L i = x x d t , L3⁼ ^/ x 3 x d t , Lp = / p x d t .

J o J o J o J o

(9) U zyskane rów nania (5) i (8) są algebraicznym i rów naniam i o nieznanych stałych k i , k 3 oraz n r , C i , C 3 . M ogą być one w ykorzystane do w yznaczenia tych stałych, jeśli wartości

(4)

204 M. Kulisiewicz, S. Piesiak

zm iennych Li, L 3,L ,, oraz Lm,L j,L 3, Lp są wyznaczone w wyniku eksperym entu bądź obserwacji w p rzy p ad k u różnych wymuszeń okresowych p(t).

3. O PIS M E T O D Y

P rzed staw io n ą w punkcie 2 ideę postępow ania m ożna uogólnić na funkcje tłum ienia Ft(x ) i sprężystości F ,(x ) dowolnej postaci. Przyjm ijm y więc postacie ogólne c h arak tery  styk sprężysto - tłum iących następująco:

Ft(x) = li S y n i + k„ i " , F ,(x ) = ^ c„ x l/, (10)

u=l i/=l

gdzie s ta ła h określa w artość tzw. ta rc ia suchego, zaś n , n - dowolnie duże liczby n atu raln e. D la funkcji postaci (10) rów nanie różniczkowe ruchu m odelu przyjm ie postać:

u ' n "

m x + h S g n x + Y ^ ku i " + Y ^ c„ x v = p ( t) . (11)

i/=i i/=i

W p rzy p ad k u układ u (11) podejście opisane w punkcie 2 d aje dw a n astęp u jące rów nania:

n '

+ = Lp' ( 12)

u=l

ni L m -I ^ ’ c„ Lu ~ Lp, (13)

i/=i gdzie zm ienne L 0,L u ,L u oznaczają:

i T . . /-T . . r T .

L o = S g n i i d t , L u = x u x d t , L„ = / i ^ i d t , (14)

J o J o J o

zaś i p , L p, Ł m są określone przez wzory (6) i (9).

Zauważmy, że rów nania (12) i (13) są rozseparowanym i rów naniam i algebraicznym i i z tego w zględu w ygodnym i do oszacowania mierzonych stałych li, ku oraz m ,c „ , (dla v = 1 , 2 , . . . , n lub n ” ) w p rzypadku, gdy wartości odpow iednich zm iennych L i Ł są dane z pom iaru. P ro sty sposób pom iaru wielkości L i Ł m ożna przeprow adzić zauw ażając, że

(5)

w artości całek postaci (6 ), (9) i (14) d la dowolnych drgań okresowych są równe polom ograniczonym przez odpow iednie krzywe zam knięte (pętle) następujących zależności:

[T r*V)

dla L u = I x l/x d t = I i " dx =>■ x l/( x ) ,

J o J x (0)

[ T r i i T )

d la Ł„ = / x l/x d t = I x v d i = > ^ ( i ) >

J o J x ( 0⁾

[ T r * W ' )

dla L v = / p i d t = / p d x = > p ( x ) ,. (15)

J o J x ( o )

i T [ i(T)

dla Łp = I p x d t = p d i = > p ( i ) ,

J o J i( o)

/•T /-¿(r)

dla Łm = / x x d t = x d x =>• .i(:ć ),

io Ji(0)

/•i1 /•*(!■)

d la Lo = / (S g n i ) i d t = I (S g n x ) d x = > S g n i ( x ) ,

J O J x ( 0 )

gdzie S g n x ( x ) oznacza zależność zmiennej ( S g n i ) od zmiennej z . Przykłady zależności (15) d la pew nego układu o nieliniowej charakterystyce tłum ienia p rzedstaw ia rys. 3. Ba

d an ia w ykonano m eto d ą sym ulacyjną za pom ocą program u T U T SIN [4] n a kom puterze IBM P C , sto su jąc wym uszenia harm oniczne. W artości całek (odpow iednich pól pętli) obliczono k o rzy stają c z własnego oprogram ow ania [10]. W yznaczone eksperym entalnie wartości L o ,L „ ,L p oraz Lm,L „ ,L p dla różnych wymuszeń okresowych (np. różne wa

rtości częstości w ym uszenia bądź różne rodzaje wymuszeń) tw orzą pew ne dw ie m acierze obserwacji o postaci następującej:

A i —

r

^U

W

L[ . L [‘ .

• L{.

■ L ‘J L l

, a 2 =

'

¿o

l" £ i ł •

■ c

. c

d

LP

[

¹» Ł ? . ■ L * L ?

i c

^{¿ f •} ^.

c d

gdzie przez jV oznaczono liczbę eksperym entów rów ną liczbie zadaw anych wymuszeń.

O ptym alne w artości param etrów h ,k „ ,(i/ = 1,2, . . . , n ' ) d la danych m acierzy A j (oraz w artości p aram etró w m ,c „ dla danych macierzy A 2) m ożna uzyskać np. stosując znany algorytm najm niejszej sumy kw adratów błędów osobno dla rów nania (12) i osobno dla rów nania (13). A lgorytm ten stanowi podstaw ę wielowymiarowej analizy regresji (por.

np. [5,6]), której zastosow anie w ty m przypadku um ożliw ia także odpow iednią redukcję zm iennych w rów naniu (12) i (13) a w ślad za ty m odpow iednie uproszczenie m odelu wyjściowego ( 11).

(6)

Kończąc zauważmy, że przedstaw iona m etoda jest dużo w ygodniejsza niż p rezento

w ana np. w pracach [7,8]. Nie w ym aga ona bowiem stosow ania wymuszeń dodatkow ych generujących d rg an ia harm oniczne w ukiadach nieliniowych [9]/a po n ad to je s t d o b ra dla w ym uszenia okresowego dowolnej postaci, co zwiększa jej uniw ersalność zastosowań-

Rys. 3. Przykładow e w artości całek b) dla funkcji tłum ienia a) przy okresie w ym uszenia T = 10.0 sek

Fig. 3. Exem plary values of integrals b) for a dam ping function a) a t a period of facing T = 10.0 sec

(7)

L IT E R A T U R A

[1] K ulisiew icz K., Piesiak S t., A M odelling P rocedure of the Sim ple M echanical D yna

mic System s w ith Using a N onlinear M odel, C om putational System Analysis 1992, A. Sydow (E d ito r), Elsevier Sc. Pub. B. V., 1992, pp. 501 - 505.

[2] Kulisiewicz K ., Piesiak St., Zastosowanie rów nania energii do identyfikacji układu zdegenerow anego z tarciem suchym, K onferencja Naukowa, M etody D oświadczalne w Budowie i E ksploatacji Maszyn R o b o c z y c h , Szklarska Poręba, 1993.

[3j K ulisiew icz M ., An E xperim ental Technique of Testing th e Parallel Spring - D am per C onfiguration of th e D ynam ic M echanical System w ith a Single Degree of Freedom . M odelling, Sim ulation, Control, B, AM SE Press, Vol 11, No 1, 1987, pp. 15 - 28.

[4] C ontinuous D ynam ic System s Sim ulation for M icrocom puter, Version 7 T utsin for IB M ’S PC .

[5] M ańczak, K., M etody identyfikacji wielowymiarowych obiektów sterow ania.W N T , W arszaw a 1971.

[6] Jo h n sto n I .,J ., Econom etric M ethods, Mc Graw - Hill Book Comp. Inc. N.Y. 1968.

[7] M. Kulisiewicz, A N onparam etric M ethod of Identification of V ibration D am ping in Non - Linear D ynam ic System s, Int. Jo u rn al Solids and S tru ctu res, Vol 19, No 7.

1983, pp. 601 - 609.

[S] K ulisiew icz M., Identification M ethod for th e D ynam ic P roperties of th e M echanical S tru c tu re s on th e Basis of the Duffing Non - Sym etrical Model, N onlinear V ibration P roblem s, No 20 Polish Ac. of Sc.,1981, p p .203 - 245.

[9] K ulisiew icz M ., S aladra W ., CAM AC - SM4 C om puter System in E xciting H arm o

nic V ib ratio n in Non - Linear D ynam ic System s, System s Analysis - M odelling - S im ulation 5, 19SS, pp. 81 - 84

jlOj K uśm ierczyk D., K om puterow a identyfikacja dynam icznych układów nieliniowych z w ykorzystaniem rów nania bilansu energii. P raca dyplom owa, Inst. M ater. i Mech.

Tech. Pol. W rocławska 1993.

Recenzent: Prof, dr hab. inż Eugeniusz Świtoński W płynęło do R edakcji w grudniu 1993 r.

(8)

A b s t r a c t

A contin u atio n of som e new concepts useful in identification of th e dynam ic properties of th e dam ping - elastic m achine elem ents (i.e: elastic m achine suspension) is presented.

In th e m eth o d suggested a basic model w ith complex configuration of nonlinear elem ents is a prori assum ed. N ext, by m eans of a proper experim ent a reduction of th e m odel is m ade possible. In th is step a balance energy equation for a rb itra ry periodic excitation can be applied. T h e p ap er describes a case when the physical model has a parallel configuration (internal force F ( x , x) is split into spring force and dam ping force). T he m ethod is useful not only for m achine vibration area b u t also in testing of m aterial properties and th eir m odification. Some results of com puter sim ulation experim ent of th e concept ar shown too.