Analiza wymiarowa równania zachowania energii

J .Szantyr – Wykład nr 5 – Podobieństwo przepływów II Analiza wymiarowa równania zachowania energii

Postać wyjściowa równania zachowania energii:

 



 





 



 



 



    



 



 



    

 

  u c T f u div p E u

grad u

T u c

t 

 2 2

2 2

 

 





u div

div   



 



      

  2 

3 2

Konieczne jest wprowadzenie dodatkowych współczynników skal:

c

c _c T _TT

   



Warunek równoważności równania zachowania energii w obu skalach prowadzi do warunku:

2 2

2 3

2

l T l

u l

u u

f l

T c u l

u t

T c l

u

















 



 



























 _{  }









       

Z powyższego równania wynikają znane już wcześniej liczby Strouhala, Froude’a, Eulera i Reynoldsa oraz dwa nowe kryteria podobieństwa:

Liczba Eckerta:

T c

u cT

Ec u





 

 ^{2 2}

Liczba Eckerta wyraża stosunek energii kinetycznej makroskopowego ruchu

płynu do energii ruchu molekularnego (energii wewnętrznej) płynu.

Liczba Prandtla:













 

 c c Pr

Liczba Prandtla wyraża stosunek

intensywności transportu pędu płynu do intensywności transportu energii płynu

Liczba Prandtla jest jedyną liczbą kryterialną składającą się tylko ze stałych materiałowych.

Ernst Eckert 1904 - 2004 Ludwig Prandtl

1875 - 1953

Przy wykorzystaniu liczb kryterialnych równanie zachowania energii może być zapisane w postaci bezwymiarowej:

  





 



 



 







 u grad cT

Ec grad u

u t cT

Ec Sh u

Sh t   ¹ 

2 2

2 2

 

     



 



  









 f u Eu div E u div divu E u D u

Fr    2

3 2 Re

1 1





Ec div 



 

Re Pr

1

Wszystkie parametry przepływu występujące w powyższym równaniu są odniesione do wartości charakterystycznych tych parametrów.

Analiza wymiarowa równania bilansu entropii Postać wyjściowa równania bilansu entropii:

T grad

t u s p

T e

grad t u

e

m   



 



   

 

 



 



 



   

 

 

   

 ^ 

Równanie bilansu entropii nie wymaga wprowadzenia dodatkowych skal. Wykorzystanie skal już wprowadzonych daje następujący

warunek identyczności równań zapisanych w dwóch różnych skalach:

2 2

2

l T l

u p t

p l

u l

T c u t

T c



















































Z warunku tego nie wynikają żadne nowe liczby kryterialne.

Równanie bilansu entropii może być przedstawione w postaci bezwymiarowej przy użyciu dotąd wyprowadzonych liczb kryterialnych.

Bezwymiarowa postać równania bilansu entropii:

    



 









 

 

t Ec p

Sh Eu

s Ec T cT

grad u

t cT

Sh _m



 



Re





Ec p

Eu 

 





  

 Pr Re

1

Podsumowanie

Bezwymiarowa postać równań mechaniki płynów pozwala na łatwą ocenę względnej ważności poszczególnych członów równania w opisie konkretnego przepływu. Mała wartość współczynnika

złożonego z liczb kryterialnych może być podstawą do

wprowadzenia uproszczenia polegającego na usunięciu danego członu równania. Należy jednak uważać, aby przez takie

uproszczenie nie zmieniać rzędu równania. Np. odrzucenie członów lepkościowych w równaniu zachowania energii obniża rząd

równania, co uniemożliwi spełnienie warunków brzegowych.

Rozwiązanie układu równań mechaniki płynów w postaci bezwymiarowej ma ogólną postać:

 ^{Sh , Fr , Eu , Re, Ec , Pr}  ^{ 0}

F

Jeżeli wszystkie liczby kryterialne zawarte w powyższym wzorze mają te same wartości w przepływach o różnych skalach, to znaczy że między tymi przepływami istnieje pełne podobieństwo.

Przykład 3: podobieństwo hydromechaniczne w badaniach modelowych turbiny wodnej Kaplana

Obiekt

Model

Celem obliczeń jest sprawdzenie, czy równość wyróżników

szybkobieżności dla modelu i dla obiektu rzeczywistego zapewnia pełne podobieństwo hydromechaniczne

Dane modelu i turbiny rzeczywistej

Model Turbina rzeczywista

Średnica wirnika

Spad hydrauliczny

Przełyk ?

Prędkość obrotowa ?

Moc ?

  ^m

D

 0 , 250 ^D

^{ 6 , 0}   ^m

  ^m

H

 2 , 5 ^H

^{ 15 , 0}   ^m

  ^{m s}

Q

 0 , 074

 ^{1 min} 

0 ,

 650 n

  ^kW

N

 1 , 5

Długość cięciwy

charakterystycznego przekroju łopaty

  ^m

C

 0 , 06 ^C

^{ 1 , 44}   ^m

Obliczenia

Wyróżnik szybkobieżności turbiny modelowej Sprawność turbiny modelowej

83 , 5 0

, 2 074 ,

0 81 , 9 10

10 5

, 1

3

3









 





 

M M

M

M

M

g Q H

N

 

 ^{1 min} 

5 235 ,

2 5 , 2

5 , 735

10 5

, 650 1

3









m M

M M

SM

H H

N n n

91 , 0 0

, 6 16 1

25 , 0 16 1

83 , 1 0

16 16 1















T M M

T

D

 D



Sprawność turbiny rzeczywistej (wzór przybliżony Broszki)

Przełyk turbiny rzeczywistej

  ^{m s}

H g

Q N H

Q g

N

T T

T

T T

T T

T

T T

3 3

3

8 , 0 94

, 15 81

, 9 10

91 , 0

10 0

, 12698

 





 

 



 

 



 





 

Moc turbiny rzeczywistej

  ^{kW H H}

H H

D N D

N

M M

T T

M T M

T

0 , 12698

5 , 2 5 , 2

0 , 15 0

, 15 25

, 0

0 , 10 6

5 , 1

2 3

2





 



 



 





 



 



 



Prędkość obrotowa turbiny rzeczywistej w oparciu o założenie równości wyróżników szybkobieżności turbiny modelowej i rzeczywistej

 ^{1 min} 

104

5 , 2 5 , 2

15 15

10 0

, 12698

10 5

,

650 1

3





 

 









T T

M M

T M M

T

H H

H H

N n N

n

Wyznaczenie parametrów opływu przekroju charakterystycznego turbiny modelowej (na promieniu równym 0,75 promienia wirnika)

  ^{m s}

D V Q

M M

XM

1 , 508

25 , 0 1415 ,

3

074 ,

0 4 4

2

2





 



 



Osiowa prędkość przepływu przez turbinę modelową

  ^{m s}

D n V

V

557 ,

60 6 0 , 25 650

, 0 75 , 0 1415 ,

3 508

, 1

75 60 , 0

2 2

2 2

 



 



   





 



 



   



 

Wypadkowa prędkość opływu przekroju łopaty modelu

Liczba Reynoldsa dla przekroju łopaty modelu

6 6

0 , 333 10 10

18 , 1

06 , 0 557 ,

Re 6  



 

 



RM M

C V

Współczynnik oporu tarcia dla łopaty modelu

 ^{log 0 Re , 075  2}  

^{ log 333000 0 , 075  2} 

^{ 0 , 006045}



M

C

Wyznaczenie parametrów opływu przekroju charakterystycznego łopaty turbiny rzeczywistej

  ^{m s}

D V Q

T T

XT

3 , 35

0 , 6 1415 ,

3

8 , 94 4

4

2

2





 

 



  ^{m s}

D n V

V

73 , 60 24

0 , 75 104

, 0 0 , 6 1415 ,

3 35

, 3

75 60 , 0

2 2

2 2

 



 



  





 



 



   



 

6 6

30 , 18 10 10

18 , 1

44 , 1 73 ,

Re 24  



 

 



RT T

C V

 ^{log 0 Re , 075  2}  

^{ log 30180000 0 , 075  2} 

^{ 0 , 0025}



T

C

Wniosek: w przypadku turbiny wodnej równość

współczynników szybkobieżności nie zapewnia pełnego podobieństwa hydrodynamicznego. Występuje efekt skali wynikający z różnicy wartości liczb Reynoldsa dla

turbiny modelowej i turbiny rzeczywistej. Konsekwencją tego efektu są niższe współczynniki oporu tarcia na

powierzchni łopat turbiny rzeczywistej.