Modelowanie matematyczne tłumików akustycznych z falą objętościową

(1)

ZESZYTY NAUKOWE POLITECHNIKI ŚLĄSKIEJ Seria: ENERGETYKA z. 118

1993 Nr kol. 1221

K ry sty n a DYSZLEWSKA In s ty tu t Techniki Cieplnej, Łódź

MODELOWANIE MATEMATYCZNE TŁUMIKÓW AKUSTYCZNYCH Z FALĄ OBJĘTOŚCIOW Ą

S treszczen ie. O pisano dwie m etody obliczeń akustycznych z falą objętościową. Podstawą do obliczeń był model elektroakustyczny oraz model dyskretny. Przeprowadzono porów nanie c h a rak tery sty k i oblicze

niowej z wynikami pom iarów prototypu tłum ika.

MATHEMATICAL MODELLING OF NO ISE SILEN C ER S W ITH VOLUMETRIC WAVE

Sum m ary. The two calculation m ethods of noise silencers w ith volum etric wave w ere described. The calculations w ere based on an electroacoustic model and a discrete model. The com parison of calculation characteristic w ith resu lts of m easu rem en ts w as performed.

MATHEMATISCHE MODELLIERUNG VO N SCHALLDÄM PFER MIT VOLUMENWELLE

Z usam m enfassung. Zwei M ethoden zur B erechnung von Schalldäm pfer m it Volumenwelle w u rden dargestellt. Die B erechnungen basieren a u f einem elek tro ak ustischen Modell als auch a u f einem diskreten. Es w urde ein Vergleich zwischen der B erchnungscharakteristik u n d M eßresu ltate durchgeführt.

1. W STĘP

P ra c a urządzeń technicznych wiąże się z em isją h a ła s u do otoczenia, a szczególnie uciążliwe są te m aszyny, które posiadają niskoczęstotliwościową c h arak tery sty k ę akustyczną.

(2)

42 Krystyna Dyszlewska

W przypadku wym aganego ograniczenia h a ła su w zakresie częstotliwości niskich stosow ane są tłum iki w ykorzystujące rezonanse w ew nętrzne, czyli filtry akustyczne.

D ziałanie filtrów akustycznych rozpatryw ane je s t najczęściej z w ykorzysta

niem analogii elektroakustycznej, a tworzony model elektryczny u kład u ak u stycznego analizow any je s t za pomocą stosow anych m etod obliczeń układów elektrycznych [5].

2. METODA KONTYNUANTY BLOKOW EJ

W m etodzie k on ty n u an ty blokowej tłu m ik akustyczny modelowany jest układem kaskadow ym , składającym się z sekcji w postaci filtru doziemnie symetrycznego (rys. la ), przekształconych w u k ład doziem nie niesym etryczny (rys. Ib) [5],

Rys. 1. Schemat elektroakustyczny sekcji typu tłum ika ćwierćfalowego Fig. 1. Electro-acoustic scheme of quarter-w ave silencer section

(3)

M odelowanie matematyczne tłumików.. 43

Komory rezonansowe i odcinek falowodu m iędzy nim i modelowane są przez elem enty: L ’h L ’2, R ’2, C’2 [5, 7], Przy założeniu pełnego sp rzężenia akustycz

nego M między położonymi osiowosymetrycznie kom oram i tłu m ik a ćwierćfa- lowego m ożna jego elementy uzależnić od w ym iarów geometrycznych:

_ p (A+ B) L p (B + b)_

1" 2 (a x B) 2 2(B x b) ’

(1)

_ n l r x B x b _ j i p

C^2 = " --- 9— •fi2 -

pc2 4c co2

T łum ienie przenoszenia dla ta k potraktow anego tłu m ik a ćwierćfalowego, stanow iąc podstaw ę programu obliczeniowego, wynosi:

T L = 10 log [ Z x + y2n] [ Y 2 + y 2n] Yan“1 (2)

K orzystając z zastępczego sch em atu elektroakustycznego tłu m ik a ćwierćfa

lowego, dla każdej pulsacji co w yznaczana je s t w artość tłu m ien ia T L (Ib, B, co), gdzie:

Ib = [b(l), b(2 ),... b(z)7 - szerokość kom ory tłum ika, B - długość tłum ika,

co - pulsacja.

Rozwiązanie zadania polega n a tak im w yznaczeniu p aram etrów Ib, aby p rzy ustalonym param etrze B przedział:

del co = [co : co€ < co0, C0r > A T L (Ib, B, co) > stl]

był największy.

P a ra m e try optymalizacyjne poszukiw ane są w zbiorze:

W = (Ib = R n A b(n) e <, bmo, bmk > A p(Ib, B)< sp (3) i = 1 : n

gdzie:

p(Ib, B) - stra ty ciśnienia w tłum iku.

Do rozw iązania powyższego zad an ia zastosowano bezgradientow ą m etodę G au ssa poszukiw ań ekstrem um w kieru n k u . Ze względu n a istnienie w zbio

(4)

rze wielu lokalnych m aksim um , dla rozpatryw anego zadania przyjęto wielo

krotny losowy wybór pu n k tu startow ego obliczeń.

D anym i do program u TŁUMIK są:

sc - prędkość dźwięku w tem p eratu rze T,

sw r - podstawowa pulsacj a rezonatora (częstość łopatkowa), sq - gęstość czynnika w tem p eratu rze T,

sp - dopuszczalne stra ty ciśnienia, stl - w artość graniczna tłum ienia, sv - w ydatek objętościowy w entylatora,

bmo, bmk, bm d - krańce przedziału i zm iana składow ych p a ra m e tru Ib, bdo, bdk, bdm - k rańce przedziału i zm iana p a ra m e tru B,

n - liczba elem entów rezonansowych, nq - liczba równoległych sekcji tłum ika, ips - liczba punktów startow ych,

d e lw - dokładność obliczenia m iejsca zerowego funkcji.

<£TL

f Hz a - u a r t o s c i pon i arowe, t> -w a rto ś ci o b lic z e n io w e

Rys. 2. Porównanie akustycznej skuteczności tłum ika określonej według programu TŁU

MIK i uzyskanej metodą pomiarową

Fig. 2. Comparison of calculated by TŁUMIK program and measured acoustic effective

ness of silencer

(5)

M odelowanie matematyczne tłumików. 45

P rogram podaje na m onitor lub d ru k ark ę w yniki poszczególnych optym ali

zacji oraz końcowy rezu ltat w raz z policzonymi w artościam i elem entów sche

m a tu zastępczego. U zupełnieniem s ą w yniki w postaci tabelarycznej lub w form ie w ykresu przewidywanej w artości tłum ienia.

W ram ach testowania program u wykonano obliczenia tłu m ik a ćwierćfalo- wego. Porównanie wyników obliczeń z w artościam i będącym i w ynikiem po

m iarów skuteczności TL tłu m ik a ilu stru je rys. 2.

3. METODA ELEMENTÓW SKOŃCZONYCH

O bliczania skuteczności akustycznej tłum ików rezonansow ych wykonano n a podstaw ie opracowanej m etody elem entów skończonych, bazującej n a m e

todzie G alerkina [3]. Zagadnienie sprow adza się do rozw iązania rów nania o postaci:

J [V(p+ + p~) Vu - k 2 (p+ + p~)v] dD. + jA 0 J[pco (p+ - p “)o] d S -

£2 Sj

(4) - j A 0 J [pco (p+ + p~)v]dS

s2

M etoda elementów skończonych [7] je s t szczególnym przypadkiem m etody G alerk in a i wyróżnia się specjalną ko n stru k cją funkcji bazowych [u^jL i-

O bszar O stanowi przekrój osiowy pojedynczej kom ory tłu m ik a wielokomorowego. Obliczenia w ykonane są osobno dla każdej komory, przyjm ując ciśnienie n a wlocie jako ciśnienie wylotowe kom ory poprzedzającej. Tłum ik ćwierćfalowy je s t układem o sym etrii osiowej, dlatego obliczenia m ożna wyko

n ać w jednej płaszczyźnie. Dzięki tem u otrzym uje się zagadnienie płaskie, k tó re w pojedynczym cyklu obliczeniowym sprow adza się do rozw iązania z a d an ia (4).

O bszar Q stanowi dowolny trójk ąt, przy czym brzegi S j i S 2 są fragm entam i dowolnych przeciwległych boków. O bszar Q dzieli się n a n a trójkątów , a przez Nq oznacza się zbiór w szystkich wierzchołków tych trójkątów . Przez K(b) oznaczono obszar złożony ze w szystkich trójkątów o w ierzchołku b, przy czym węzeł b e N n. Funkcja bazowa m usi spełniać n astępujące w arunki:

(6)

H>b(& i)-{ o fc! e A rn _{6} (5)

Craggs A. [2] wykazał, że nośnikiem funkcji bazowej w b je s t obszar K(b), p rzy czym dla każdego tró jk ą ta należącego do obszaru K(b) funkcje m ożna przedstaw ić w postaci w ielom ianu pierwszego stopnia. T ak sform ułow ana przestrzeń je s t podprzestrzenią p rzestrzeni H 1 (Q) Sobolewa [3].

Do rozw iązania zadan ia (4) zastosowano m etodę elem entu skończonego z podprzestrzenią skończenie wym iarową. W artość ciśnienia akustycznego w węźle b wynosi:

P = Yu Pb^b

b e N n

przy czym p h e C.

Rozwiązywane rów nanie przybiera postać:

(Aj - k 2A 2) (p++ p ) + jkA 0B ip+- p ) - j k C p =0 (6)

Do num erycznego rozw iązania postawionego zagadnienia opracowano ze

staw program ów MES, napisanych w języku P askal 6,0, składających się z następujących programów:

PODZIAŁ - dokonuje podziału komór tłu m ik a n a elem enty skończone, INFO - przechowuje podstawowe informacje o podziale,

MESTYL - wykonuje obliczenia rozkładu ciśnienia akustycznego,

CSR - przedstaw ia wyniki obliczeń skuteczności akustycznej tłum ika, GRAF - prezentuje w postaci graficznej w yniki obliczeń.

W ykonanie obliczeń skuteczności akustycznej tłu m ik a ćwierćfalowego wy

m aga przygotow ania następujących danych:

coo - częstotliwość początkowa cyklu obliczeniowego, co& - częstotliwość końcowa cyklu obliczeniowego, dco - krok zm iany częstotliwości,

po - w artość skuteczna akustycznego ciśnienia wlotowego, n — m aksym alna liczba węzłów podziału n a elem enty,

1 -i- 8 - dane geometryczne w postaci współrzędnych charakterystycznych punktów kom ory tłum ika.

(7)

JOCMAT I U K I M m z w zffMMft : m i i*

K I O ZMWWIA : 1

2 M X 3 C Z n iO T tlW O X C I I cno.a- 3 .0 0 0 ,0 fe K H K ZW A N Y C Z E 3 I o n i MOS C I I

1 0 0 .0 M i

R E W ARY T U M KO I M O H B C : M 3 m K J B O K C I I . Z S I tm

WYKRES T Ł U M IE N IA DLA Z A D A N IA r M 2 * y / l DLA 3 KOMOR

Z A D A N IE « r 4 1 2 4 y | NUMER i l f w - 3 2 0 0 . 0 » T . L . - 7 1 . 3 1 R O ZK ŁA D F U N K C J I C I Ś N I E N I A F < p » « l p I

W AR TO ŚC I F U N K C J I C I Ś N I E N I A NO IZ O L I N I A C H

KOMORA 1 KOMORA 2 KOMORA 3

p « 2 . 7 0 E - 0 0 0 3 p « 1 . 6 5 E - 0 0 0 3 P" 5 . 6 3 E - O 0 O 6 p d 9 . B 7 E - 0 0 0 2 p d 1 . 7 7 E - 0 0 0 3 pd 1 . 3 5 E - 0 0 0 3 d p I . 2 O E - 0 0 O 2 d p I . S 3 E - 0 0 0 5 d p I . C O E -O O O * 1 0 . 7 O E -0 O O 3 i I . 6 6 E - 0 0 0 3 1 f i. 9 A E - O C 0 3 2 2 . 0 7 E - 0 0 0 2 2 I . 6 7 E - 0 0 0 3 2 2 . 3 7 E -O O O A 3 3 . 2 7 E -O O C 2 3 I . C 9 E - 0 0 0 3 3 4 . 2 5 E - O 0 0 4 4 4 7 C - 0 0 0 2 4 1 . 7 0 C - 0 0 0 3 4 3 . 9 2 E - G 0 0 * 3 5 . 6 7 E -O O G 2 3 1 . 7 2 C - 0 0 0 3 3 7 . C O E -O O O * 6 £ . . 0 7 C - 0 O 0 2 C :1 . 7 3 C - 0 0 0 3 L 9 . 2 7 C - 0 0 0 * 7 0 . 0 7 C - 0 0 0 2 7 11 . 7 3 E - 0 0 0 3 7 I . I 0 E - 0 0 0 3

fi9 . 2 7 E - 0 0 0 2 f i 11. 7 C C - 0 0 0 3 fi1 . 2 L E - 0 0 0 3

Rys. 4. Zestaw wyników obliczeń tłum ika ćwierćfalowego Fig. 4. Results of calculations.

(8)

Modelowanie matematyczne tłumików. 47

W celu przeprow adzenia obliczeń do

konuje się podziału obszaru obliczenio

wego osobno dla każdej części (A, B, C), p rzy czym liczba węzłów nie może p rze

kraczać ustalonej liczby n.

U stalone opcje program owe pozwala

j ą w prosty sposób zm ieniać niektóre p a

ram e try (dane) wejściowe, do których należą: ciśnienie akustyczne, zakres częstotliwości oraz krok zm iany i liczba

elem entów podziału. /

Program GRAF prezentuje n a stę p u jąc e wyniki przeprowadzonych obliczeń:

- wykres tłu m ien ia przenoszenia dla tłum ika wielokomorowego oraz m ię

dzy dwoma dowolnie w ybranym i ko

morami,

Rys. 3. Obszary obliczeniowe oraz współ

rzędne węzłów sekcji tłum ika ćwierćfa- lowego

- rozkład ciśnienia akustycznego dla Fig. 3. Computational fields and nodes coordinates of quarter-w ave silencer różnej liczby izolinii, przy ustalonej

wartości tłum ienia.

Równocześnie przedstaw iany je s t

szkic tłum ika oraz podaw ane są jego podstawowe p a ra m e try geom etryczne i zak res wykonywanych obliczeń.

Opracowane program y porównywane były z w ynikam i uzyskanym i w cza

sie pomiarów tłum ików modelowych (lub prototypowych). Zestaw wyników obliczeń tłu m ik a prototypowego przedstaw iono n a rys. 4, a porów nanie wyni

ków obliczeń tłu m ien ia uzyskanych m etodą, ze skutecznością określoną m eto

d ą pom iarową n a rys. 5.

4. UWAGI DOTYCZĄCE PROPONOWANYCH METOD OBLICZENIO

WYCH

Opracowane m etody obliczeniowe p osiadają cechy uniw ersalności dla do

wolnych układów rezonansowych. J e d n a k ze względu n a przyjęte założenia m etody obliczeniowej w ystępują pewne różnice m iędzy w ynikam i obliczeń a w ynikam i pomiarów. Porów nanie wyników pom iaru tłu m ien ia przenoszenia prototypowego tłu m ik a z c h a ra k te ry sty k ą określoną m etodą elektroakustycz

n ą i m etodą elem entów skończonych (rys. 6) pozwala n a wyciągnięcie n a stę pujących wniosków:

(9)

(fi

Rys. 5. Porównanie skuteczności akustycznej tłum ika określonej według programu MES i otrzymanej metodą pomiarową

Fig. 5. Comparison of calculated by MES program and measured acoustic effectiveness of silencet

ILdB

f to a - v a r l o s c i p o n ia ro w e , b -v g p ro g ra n u TLUHIK. c-w g p r o g ra n u MES

Rys. 6. Porównanie pomiarowej charakterystyki tłumika z określonymi według progra

mów obliczeniowych TŁUMIK i MES

Fig. 6. Comparison of “TŁUMIK” and “MES” characteristics

(10)

1) Skuteczność tłum ika obliczona z w ykorzystaniem zastępczego schem atu elektroakustycznego pozwala jedynie w przybliżeniu ocenić skuteczność proponowanego rozwiązania. C h ara k te ry sty k a tłu m ien ia nie wykazuje c h a ra k te ru ćwierćfalowego (duże tłum ienie tylko dla częstotliwości podsta

wowej). Należy jednak pam iętać, że m odelowanie u k ład u akustycznego schem atem elektroakustycznym nie pozw ala n a uw zględnienie nachylenia kom ór rezonansowych.

2) Obliczeniowa charakterystyka u zyskan a m etodą elem entów skończonych praktycznie pokrywa się z c h a ra k te ry sty k ą pom iarową. W ystępujące p rze

sunięcie harmonicznej częstotliwości podstawowej w ynika z tego, że zało

żono występowanie jedynie fal płaskich, a w czasie w ykonyw ania pom ia

rów powyżej częstotliwości 500 Hz obserw owane były fale cylindryczne.

3) M aksym alna liczba elem entów podziału dla poszczególnych kom ór tłu m ik a wielokomorowego wynosi 100. Przeprow adzone obliczenia tłu m ik a dla róż

nych węzłów podziału (rys. 7) wykazały, że liczba węzłów pow inna spełniać w arunek:

30 < n < 6 0

Tlde

onega Hz a- 10 wezlou. b- 27 wezlou^ c- GO wezlou, d- 85 wezlou

Rys. 7. Zależność charakterystyki tłum ienia od liczby węzłów podziału komór tłum ika ćwierćfalowego

Fig. 7. Relationship between attennation diagram and nodes num ber of partition of sound chambers

(11)

Zakres ten zapew nia dobrą zgodność z w ynikam i pom iarów, a jednocześnie pozwala n a stosunkowo szybkie obliczenia.

4) Program TŁUMIK posiada opcje uwzględniające p a ra m etry przepływowe w entylatora i m aksym alne opory instalacji. O kreślając zakres zm ian p a ra m etrów geometrycznych tłu m ik a (długość tłu m ika, szerokość kom ory rezo

nansowej) dla ustalonej wydajności objętościowej w entylatora i m aksym al

nego oporu przepływu instalacji z zam ontowanym tłum ikiem , m ożna prze

prowadzić optymalizację konstrukcji tłum ika.

5) O kreślone program em TŁUMIK p a ram etry geom etryczne należy weryfiko

wać program em MES dla ustalonych param etrów akustycznych w entyla

to ra przewidzianego do wyciszania (przy założeniu sinusoidalnej fali ak u

stycznej w k an ałach wentylacyjnych).

LITERATURA

[1] B eranek L. L.: Noise and vibration control, Mc G raw - Hill, New York 1971.

[2] Craggs A.: A finite elem ent m ethod for dam ped acoustic system s; an application to evaluate th e perform ance of reactive m ufflers, Jo u rn a l of Dound and V ibration, vol. 148/3, 1976.

[3] C laret P.: M etod koniecznych elem entów dla elipticzeskich zadacz, Mir, M oskwa 1980.

[4] Morse M. P., Ingard K.U.: Theoretical acoustics, Mc G raw - Hill, New York 1968.

[5] M unjal M. L.: Acoustical of ducts and m ufflers, Jo h n W iley & Sons, New York 1989.

[6] Olson H. F.: Dynamical analogies, In o stran n a L ite ra tu ra , M oskwa 1947.

[7] Young Ch. J., Crocker M. J.: F inite elem ent acoustical analysis of com

plex m uffler system s w ith and w ithouth wall vibrations, Noise Control Engineering, Septem ber-O ctober, 1977.

A b stra ct

The pap er p resents two m ethods of calculating noise silencers w ith volum etric wave. The calculations w ere based on th e electro-acoustic model

(12)

and on th e discrete model. The calculation ch aracteristics w ere compared w ith resu lts of m easurem ents. Figure 2 p rese n ts th e re su lts calculated for th e silencer prototype, whereas figure 5 p resen ts th e com parison betw een th e re su lts calculated by this model an d th e re su lts of m easurem ents.

The calculation methods p resented in th is p a p e r have some universal fea tu re s for any resonance system s. Due to th e assum ptions of th e calculation m ethods th ere are some differences betw een th e re su lts of calculations and th e resu lts of m easurem ents. The com parison of th e m ea su rem e n t resu lts for th e prototype silencer w ith th e ch aracteristics determ ined by th e electro-acoustic method and th e finite elem ent m ethod en tails th e following conclusions:

— th e efficiency of the silencer perform ance w as calculated on th e basis of a su b stitu te electro-acoustic diagram , therefore it is possible to evaluate th is solution only approximately.

- th e ch aracteristics calculated by th e fin ite ele m en t m eth o d is alm ost convergent w ith the c h a ra c te ristic s achieved by m e a su re m e n ts. The observed shift of the basic harm onic frequency is due to th e fact th a t only fla t waves were assumed, w hereas while m easu rem en ts w ere tak en , cylin

der wawes were also observed.