ZADANIE 1
Dla jakich warto´sci parametru m prosta y=5x+m jest styczna do wykresu funkcji y = x2+−3x?
ROZWI ˛AZANIE
Liczymy pochodn ˛a funkcji
f0(x) = 1· (2−x) − (x+3) · (−1) (2−x)2 =
5
(2−x)2
Sprawdzamy teraz w jakich punktach współczynnik kierunkowy stycznej do wykresu funk-cji f jest równy 5.
5 (2−x)2 =5 /· (2−x)2 5 1 = (2−x)2 2−x= −1 ∨ 2−x =1 x=3 ∨ x =1.
Styczne w tych punktach przechodz ˛a odpowiednio przez punkty
(3, f(3)) = (3,−6) i (1, f(1)) = (1, 4). Pozostało wyznaczy´c odpowiednie warto´sci m
−6=15+m ⇒ m= −21 4=5+m ⇒ m= −1. Na koniec rysunek dla ciekawskich.
-5 -1 +3 +5 x -5 -1 +1 +5 y Odpowied´z: m = −1 lub m= −21 ZADANIE 2
ROZWI ˛AZANIE
B˛edziemy korzysta´c z tego, ˙ze współczynnik kierunkowy stycznej do wykresu funkcji f w punkcie x0 jest równy pochodnej f0(x0) w tym punkcie. Mo ˙zna te ˙z od razu skorzysta´c ze
wzoru na styczn ˛a y = f0(x0)(x−x0) + f(x0). Liczymy pochodn ˛a f0(x) = −3x+1 x−4 0 = −3(x−4) − (−3x+1) ·1 (x−4)2 = 11 (x−4)2 f0(2) = 11 4 .
Zatem styczna jest postaci y = 114x+b. Współczynnik b wyliczamy z tego, ˙ze ma ona prze-chodzi´c przez punkt(2, f(2)) = (2,52).
5 2 =
11
4 ·2+b ⇒ b= −3. Na koniec obrazek dla ciekawskich.
-5 -1 +1 +5 x -5 -1 +1 +5 y Odpowied´z: y = 114x−3 ZADANIE 3
Oblicz pole trójk ˛ata utworzonego przez prost ˛a x−y+6=0, o´s Ox oraz styczn ˛a do wykresu funkcji f(x) = (x+3)(x+1)(x−2)w punkcie o pierwszej współrz˛ednej x= −2.
ROZWI ˛AZANIE
Obliczmy najpierw drug ˛a współrz˛edn ˛a punktu, w którym mamy poprowadzi´c styczn ˛a do wykresu.
f(−2) = 1· (−1) · (−4) =4. Aby obliczy´c pochodn ˛a funkcji f przekształcamy jej wzór.
Liczymy pochodn ˛a
f0(x) = 3x2+4x−5 f0(−2) = 12−8−5 = −1.
Styczna do wykresu funkcji f w punkcie A= (x0, y0) = (−2, 4)ma wi˛ec równanie
y= f0(x0)(x−x0) +y0
y= −(x+2) +4= −x+2. Szkicujemy teraz opisan ˛a sytuacj˛e.
-5 -1 +5 x -5 -1 +1 +5 y A B C D
W wykresu powinno by´c jasne, ˙ze mamy do czynienia z trójk ˛atem ABC o wierzchołkach A = (−2, 4), B = (−6, 0)i C= (2, 0). Wysoko´s´c AD tego trójk ˛ata ma długo´s´c 4, a podstawa BC =6+2=8. Jego pole jest wi˛ec równe
1 2 ·BC·AD = 1 2 ·8·4=16. Odpowied´z: 16 ZADANIE 4
Funkcja f okre´slona jest wzorem f(x) = 3x2+2x−5 dla ka ˙zdej liczby rzeczywistej x. Wy-znacz równania tych stycznych do wykresu funkcji f , które przechodz ˛a przez punkt (−1,
−7).
ROZWI ˛AZANIE
Musimy sprawdzi´c w jakim punkcie styczna do wykresu f(x) jest prost ˛a przechodz ˛ac ˛a przez punkt (−1,−7). Zacznijmy od wyznaczenia ogólnej postaci stycznej do danej para-boli w punkcie(a, f(a)) = (a, 3a2+2a−5). Liczymy pochodn ˛a.
f0(x) =6x+2.
Styczna do paraboli w punkcie (a, f(a))ma wi˛ec współczynnik kierunkowy równy 6a+2, czyli jest to prosta o równaniu
y= f0(a)(x−a) + f(a)
Sprawdzamy teraz kiedy styczna przechodzi przez dany punkt(−1,−7).
−7= (6a+2)(−1−a) +3a2+2a−5 0= −6a−6a2−2−2a+3a2+2a+2 3a2+6a =0
3a(a+2) =0.
Mamy st ˛ad a= −2 lub a=0. Styczne maj ˛a wtedy odpowiednio równania y = −10(x+2) +12−4−5= −10x−17 y =2x−5. -2 +1 +2 x -5 -1 +1 +5 y Odpowied´z: y = −10x−17 i y =2x−5 ZADANIE 5
Wyznacz asymptoty funkcji y = 2xx−+53.
ROZWI ˛AZANIE Poniewa ˙z lim x→5+ 2x+3 x−5 = +∞ lim x→5− 2x+3 x−5 = −∞ lim x→±∞ 2x+3 x−5 =x→±lim∞ 2+3x 1−5x =2
funkcja ma ma asymptot˛e pionow ˛a x =5 i poziom ˛a y=2. Na koniec obrazek.
-10 -2 +2 +10 x -10 -2 +2 +10 y y=2 x=5 Odpowied´z: x=5 i y =2 ZADANIE 6
Zbadaj przebieg zmienno´sci funkcji y= 4x−2−x12.
ROZWI ˛AZANIE
Miejsca zerowe funkcji to x= −2 i x=2. Funkcja jest parzysta: f(−x) = f(x). Zacznijmy od asymptot. lim x→1+ 4−x2 x2−1 = 3 0+ = +∞ lim x→1− 4−x2 x2−1 = 3 0− = −∞ lim x→−1+ 4−x2 x2−1 = 3 0− = −∞ lim x→−1− 4−x2 x2−1 = 3 0+ = +∞ lim x→±∞ 4−x2 x2−1 =x→+lim∞ 4 x2 −1 1− 1 x2 = −1.
Zatem funkcja ma asymptoty pionowe x = −1 i x=1 oraz asymptot˛e poziom ˛a y= −1. Zbadajmy teraz monotoniczno´s´c i wypukło´s´c funkcji.
f0(x) = −2x(x 2−1) − (4−x2) ·2x (x2−1)2 = 2x−8x (x2−1)2 = −6x (x2−1)2.
Wida´c st ˛ad, ˙ze funkcja jest rosn ˛aca na przedziałach (−∞,−1) i (−1, 0i (bo pochodna jest dodatnia), malej ˛aca na przedziałachh0, 1) i(1,+∞) (pochodna jest ujemna), oraz ma mak-simum lokalne w punkcie x=0 (pochodna zmienia znak z ’+’ na ’-’).
Teraz badamy wypukło´s´c f00(x) = −6(x 2−1)2+6x·2· (x2−1) ·2x (x2−1)4 = = (x 2−1)(−6x2+6+24x2) (x2−1)4 = (x2−1)(18x2+6) (x2−1)4 .
Wida´c teraz, ˙ze funkcja jest wypukła na przedziałach(−∞,−1)i(1,+∞)(druga pochodna dodatnia) oraz wkl˛esła na(−1, 1)(druga pochodna ujemna). Nie ma punktów przegi˛ecia.
Teraz bez trudu rysujemy wykres funkcji.
-5 -1 +1 +5 x -5 -1 +1 +5 y ZADANIE 7
Zbadaj przebieg zmienno´sci funkcji y= x3−4x.
ROZWI ˛AZANIE
Poniewa ˙z
f(x) = x(x2−4) = x(x−2)(x+2),
wi˛ec miejscami zerowymi funkcji s ˛a liczby−2, 0, 2. Funkcja jest nieparzysta.
Poniewa ˙z jest to wielomian, nie ma asymptot, wi˛ec przechodzimy do badania monoto-niczno´sci. f0(x) = 3x2−4=3 x2−4 3 =3 x−√2 3 x+√2 3 . Widzimy zatem, ˙ze funkcja jest rosn ˛aca na przedział ˛ach(−∞,−2
√
3 3 iih
2√3
3 ,+∞)(pochodna
dodatnia), oraz malej ˛aca na przedzialeh−2
√
3 3 ,
2√3
3 i(pochodna jest ujemna). W punkcie x=
−2
√
3
3 jest maksimum lokalne, a w punkcie x= 2√3
3 minimum lokalne.
Zbadajmy jeszcze wypukło´s´c.
f00(x) =6x.
Zatem funkcja jest wypukła na przedzialeh0,+∞)(druga pochodna dodatnia) i wkl˛esła na przedziale(−∞, 0i(druga pochodna ujemna). W punkcie x =0 jest punkt przegi˛ecia (druga pochodna zmienia znak).
-5 -1 +1 +5 x -5 -1 +1 +5 y ZADANIE 8
Oblicz granic˛e lim
x→−2
x3+4x2+5x+2 x4+5x3+6x2−4x−8.
ROZWI ˛AZANIE
Wstawiaj ˛ac x = −2 do licznika i mianownika łatwo si˛e przekona´c, ˙ze mamy do czynienia z wyra ˙zeniem postaci 00. Skoro obydwa wielomiany zeruj ˛a si˛e w x = −2, to musz ˛a si˛e dzieli´c przez(x+2). Wykonajmy to dzielenie (my zrobimy togrupuj ˛ac wyrazy).
x3+4x2+5x+2= (x3+2x2) + (2x2+4x) + (x+2) = = (x+2)(x2+2x+1) x4+5x3+6x2−4x−8= (x4+2x3) + (3x3+6x2) −4(x+2) = = (x+2)(x3+3x2−4) Zatem lim x→−2 x3+4x2+5x+2 x4+5x3+6x2−4x−8 =xlim→−2 x2+2x+1 x3+3x2−4.
Wstawiamy teraz x = −2 i otrzymujemy wyra ˙zenie 10. No wi˛ec jest to prawie koniec, bo to oznacza, ˙ze b˛edziemy mieli ±∞, ale ˙zeby wiedzie´c jaki wybra´c znak, musimy ustali´c, jaki
jest znak mianownika w okolicach x = −2. Aby to zrobi´c, ponownie dzielimy go przez x+2.
x3+3x2−4= (x3+2x2) + (x2−4) =
= (x+2)x2+ (x+2)(x−2) = (x+2)(x2+x−2). Rozkładamy jeszcze trójmian w nawiasie, mo ˙zna z∆-y, ale mo˙zna te˙z wprost:
x2+x−2 =x2+2x− (x+2) = (x+2)(x−1). W takim razie mamy
lim x→−2 x2+2x+1 x3+3x2−4 =xlim→−2 x2+2x+1 (x+2)2(x−1).
Wida´c teraz, ˙ze mianownik jest ujemny w okolicach x = −2, wi˛ec lim x→−2 x2+2x+1 (x+2)2(x−1) = 1 0− = −∞. Odpowied´z:−∞
ZADANIE 9
Oblicz granic˛e lim
x→−2
x2−8x−20 x6−64 .
ROZWI ˛AZANIE
Łatwo sprawdzi´c, ˙ze zarówno licznik jak i mianownik zeruj ˛a si˛e dla x= −2, wi˛ec oba musz ˛a dzieli´c si˛e przez(x+2). Rozkładamy trójmian w liczniku.
x2−8x−20=0 ∆ =64+80=144 x= 8−12 2 = −2 ∨ x= 8+12 2 =10.
Mamy zatem (korzystamy ze wzorów na ró ˙znic˛e kwadratów i sze´scianów).
lim x→−2 x2−8x−20 x6−82 =xlim→−2 (x+2)(x−10) (x3−8)(x3+8) = = lim x→−2 (x+2)(x−10) (x3−8)(x+2)(x2−2x+4) = = lim x→−2 x−10 (x3−8)(x2−2x+4) = −2−10 (−8−8)(4+4+4) = 12 16·12 = 1 16. Odpowied´z: 161 ZADANIE 10
Oblicz granic˛e jednostronn ˛a funkcji lim
x→−4− x3+64 x2+8x+16. ROZWI ˛AZANIE Liczymy lim x→−4− x3+43 x2+8x+16 =x→−lim4− (x+4)(x2−4x+16) (x+4)2 = = lim x→−4− x2−4x+16 x+4 = 48 0− = −∞. Odpowied´z:−∞ ZADANIE 11
Oblicz granic˛e funkcji lim
x→−∞
(9−2x3)(8+3x2)
x(1−3x2+2x)2 .
Liczymy – dzielimy licznik i mianownik przez x5. lim x→−∞ (9−2x3)(8+3x2) x(1−3x2+2x)2 =x→−lim∞ 9−2x3 x3 8+3x2 x2 1−3x2+2x x2 2 = = lim x→−∞ 9 x3 −2 8 x2 +3 1 x2 −3+ 2x 2 = (0−2)(0+3) (0−3+0)2 = − 6 9 = − 2 3. Odpowied´z:−2 3 ZADANIE 12
Dana jest funkcja f(x) = x2+x6x+3+10.
a) Okre´sl przedziały monotoniczno´sci tej funkcji. b) Znajd´z ekstrema lokalne funkcji f.
ROZWI ˛AZANIE a) Korzystaj ˛ac ze wzoru f g 0 = f 0g− f g0 g2
liczymy pochodn ˛a danej funkcji
f0(x) =(2x+6)(x+3) − (x 2+6x+10) ·1 (x+3)2 =2x 2+12x+18−x2−6x−10 (x+3)2 =x 2+6x+8 (x+3)2 .
Aby wyznaczy´c przedziały monotoniczno´sci danej funkcji, musimy zbada´c znak po-chodnej. Mianownik jest dodatni (o ile x 6= −3), musimy zatem rozło ˙zy´c trójmian w liczniku.∆ =36−32 =4, x1 = −4, x2 = −2. Widzimy zatem, ˙ze licznik jest dodatni
dla x∈ (−∞,−4) ∪ (−2,∞)i ujemny dla x ∈ (−4,−2). Uwzgl˛edniaj ˛ac jeszcze fakt, ˙ze musi by´c x6= −3 mamy
(
f jest rosn ˛aca na przedziałach(−∞,−4iorazh−2,∞)
f jest malej ˛aca na przedziałachh−4,−3)oraz(−3,−2i
b) Z poprzedniego podpunktu wiemy, ˙ze miejsca zerowe pochodnej to x = −4 i x = −2. Ponadto w pierwszym z tych punktów funkcja zmienia znak z ’+’ na ’-’, a w drugim odwrotnie. Zatem w x = −4 mamy maksimum lokalne, a w x= −2 minimum lokalne. Odpowiadaj ˛ace warto´sci f , to f(−4) = −2 i f(−2) =2.
Odpowied´z: Minimum lokalne: f(−2) = 2, maksimum lokalne: f(−4) = −2. Dla ciekawskich, wykres funkcji f .
-5 -1 +1 +5 x -5 -1 +1 +5 y ZADANIE 13
Wyznacz warto´s´c najwi˛eksz ˛a i najmniejsz ˛a funkcji y= 1+2xx2 w przedzialeh−2; 2i.
ROZWI ˛AZANIE Liczymy pochodn ˛a f0(x) = 2(1+x 2) −2x·2x (1+x2)2 = 2(1+x2) −4x2 (1+x2)2 = = 2−2x 2 (1+x2)2 = 2(1−x)(1+x) (1+x2)2 .
Wida´c zatem, ˙ze na przedziałach(−∞,−1iih1,+∞)funkcja maleje (pochodna jest ujemna), a na przedzialeh−1, 1iro´snie (pochodna dodatnia). Zatem w x= −1 jest minimum lokalne, a w x =1 maksimum lokalne. Mo ˙zemy sobie schematycznie naszkicowa´c wykres funkcji f .
-2.5 +1 +2.5 x -2.5 -0.5 +0.5 +2.5 y
Warto´s´c najwi˛eksza b˛edzie przyj˛eta w maksimum lokalnym lub w lewym ko ´ncu prze-działu (bo przy prawym funkcja maleje). Sprawdzamy
f(1) = 2 1+1 =1 f(−2) = −4 1+4 = − 4 5. Zatem fmax = f(1) = 1.
Warto´s´c najmniejsza b˛edzie przyj˛eta w minimum lokalnym lub w prawym ko ´ncu prze-działu (bo przy lewym funkcja maleje). Sprawdzamy
f(−1) = −2 1+1 = −1 f(2) = 4 1+4 = 4 5. Zatem fmin = f(−1) = −1.
Odpowied´z: fmax = f(1) =1 oraz fmin = f(−1) = −1
ZADANIE 14
Wyznacz przedziały monotoniczno´sci i ekstrema lokalne funkcji f(x) = 3−x3x2.
ROZWI ˛AZANIE
Oczywi´scie liczymy pochodn ˛a. f0(x) = 3x 2(3−x2) −x3(−2x) (3−x2)2 = 9x2−x4 (3−x2)2 = x2(9−x2) (3−x2)2 = x2(3−x)(3+x) (3−x2)2
Wida´c st ˛ad, ˙ze (
f0(x) 6 0 dla x∈ (−∞,−3i ∪ h3,∞)
Zatem
(
f(x)maleje dla x∈ (−∞,−3i, x ∈ h3,∞)
f(x)ro´snie dla x∈ h−3,−√3), x ∈ (−√3,√3), x ∈ (√3, 3i
Z powy ˙zszej analizy widzimy, ˙ze f0(x)zmienia znak w punktach x = −3 i x =3. W pierw-szym z nich jest minimum a w x=3 maksimum lokalne. Obliczamy jeszcze warto´sci w tych punktach. f(−3) = −27 3−9 = 27 6 = 9 2 f(3) = 27 3−9 = − 27 6 = − 9 2. Dla ciekawskich wykres funkcji f(x).
-5 -1 +1 +5 x -5 -1 +1 +5 y
Odpowied´z: Minimum lokalne: f(−3) = 92, maksimum lokalne: f(3) = −92.
ZADANIE 15
Wyznacz najmniejsz ˛a m i najwi˛eksz ˛a M warto´s´c funkcji f(x) = x3−3x+20 w przedziale
h−3; 3i.
ROZWI ˛AZANIE
Aby zobaczy´c jak zmienia si˛e funkcja f (gdzie ro´snie, maleje itd.), liczymy pochodn ˛a f0(x) = 3x2−3=3(x−1)(x+1).
Widzimy zatem, ˙ze pochodna jest dodatnia (a wi˛ec wyj´sciowa funkcja ro´snie) na przedzia-łach(−∞,−1)i(1,∞)oraz pochodna jest ujemna (wyj´sciowa funkcja maleje) na przedziale
(−1, 1). Najlepiej sobie to naszkicowa´c – my od razu narysujemy dokładny wykres, ale tak naprawd˛e w zupełno´sci wystarczy szkic, jak funkcja ro´snie i maleje.
-10 -2 +2 +10 x -2 +2 +10 +20 y
Poniewa ˙z funkcja ma minimum lokalne w punkcie x = 1 i na prawo od tego punktu ro´snie, to najmniejsza warto´s´c na przdzialeh−3; 3ito f(1)lub f(−3). Liczymy, która z tych liczb jest mniejsza
f(−3) =2< f(1) = 18.
Zatem m=2. Podobnie, najwi˛eksza warto´sc to f(−1)lub f(3). Liczymy f(−1) = 22< f(3) =38.
Zatem M=38.
Odpowied´z: m =2, M=38
ZADANIE 16
Funkcja f jest okre´slona wzorem f(x) = xx−24 dla ka ˙zdej liczby rzeczywistej x 6= 4. Oblicz pochodn ˛a funkcji f w punkcie x =12.
ROZWI ˛AZANIE
Korzystamy ze wzoru na pochodn ˛a ilorazu f g 0 = f 0g− f g0 g2 . Liczymy x2 x−4 0 = 2x(x−4) −x 2 (x−4)2 = x2−8x (x−4)2. Mamy zatem f0(12) = 12 2−8·12 82 = 48 64 = 3 4. Odpowied´z: f0(12) = 34
Arkusz zada ´n znajdziesz na stronie
