Algebra I - pier´scienie
1 Znale´z´c dzielniki zera, elementy odwracalne i nilpotentne w Z24iZ16. 2 CzyZ24 zawiera podpier´scie´n izomorficzny z Z8?
3 Znale´z´c podpier´scienie pier´scienia Z2×Z2×Z2.
4 Udowodni´c, ˙ze je´seli R jest nieskonczona,, dziedzina,calkowito´sci, to homomorfizm Φ : R[X] → RR dany wzorem Φ(f )(a) = f (a) jest monomorfizmem.
5 Udowodni´c, ˙ze je´seli x jest elementem nilpotentnym w pier´scieniu R to 1 − x jest elementem odwracalnym. Wywnioskowa´c, ˙ze suma elementu nilpotentnego i odwracalnego jest elementem odwracal- nym.
6 Znale´z´c elementy odwracalne w Z4[X].
7 Udowodni´c, ˙ze niezerowy pier´scien sko´nczony jest cia lem wtedy i tylko wtedy, gdy nie zawiera w la´sciwych dzielnikow zera.
8 Wykaza´c, ˙ze je˙zeli R jest dziedzina,ca lkowito´sci to R[X] tak˙ze jest dziedzina,calkowito´sci. (Udowdni´c tak˙ze, ˙ze pier´scie´n szereg´ow formalnych R[[X]] jest dziedzina,ca lkowito´sci.)
9 Znale´z´c wszystkie idea ly pier´scieniaZ15iZ16. Wskaza´c w´srod nich pierwsze i maksymalne. Znale´z´c pier´scienie ilorazowe.
10 Czy pier´scie´nZ8 jest obrazem homomorficznym pier´scienia Z24?
11 Pokaza´c, ˙ze idea l pier´scienia sko´nczonego jest pierwszy wtedy i tylko wtedy gdy jest maksymalny.
12 Pokaza´c, ˙ze je˙zeli p|n to nie istnieje homomorfizm pier´scieni Z[1n] → Zp, gdzie Z[1n] jest pod- pier´scieniem Qgenerowanym przez Zi 1n.
13 Czy pier´scienZ[x]/(xn− 1) jest dziedzina,ca lkowito´sci?
14 Udowodni´c, ˙ze podzbi´or element´ow nilpotentnych pier´scienia jest idea lem. Wykaza´c, ze idea l ten jest iloczynem wszystkich idea low pierwszych pier´scienia.
15 Udowodni´c, ˙ze je˙zeli w pier´scieniu R dla kazdego elementu x istnieje n ∈N(zale˙zne od x ) takie,
˙ze xn= x, to ka˙zdy idea l pierwszy w R jest maksymalny.
16 Czy idea l (7 +√
5) jest maksymalny wZ[√
5] ? A idea l (4 +√ 5)?
17 Udowodni´c, ˙ze w Z[√
2] ka˙zdy idea l jest g l´owny. Poda´c przyklad idea lu w Z[√
5], kt´ory nie jest g l´owny.
18 Udowodni´c, ˙ze pier´scie´n R[X] jest dziedzina,idea low g l´ownych wtedy i tylko gdy R jest cia lem.
Poda´c przyk lad idea lu wZ[X], kt´ory nie jest g l´owny.
19 Niech I1 oraz I2 be,da,idea lami pier´scienia R. Wykaza´c, ˙ze zbi´or {x1+ x2 | x1 ∈ I1, x2 ∈ I2} jest idea lem generowanym przez I1∪ I2.
20 Znale´z´c wszystkie homomorfizmy pier´scieni:
a)Z[X]/(X2) → Z24 b) Z[X, Y ]/(X2− Y3) →Z c)Z[X]/(Xn− 1) →Q d) Z[X]/(Xn− 1) →C
1
21 Wykaza´c, ˙ze δ(a + b√
−2) = a2+ 2b2jest norma,, euklidesowa,, w pier´scieniuZ[√
−2]. Analogicznie dlaZ[√
−2].
22 Wykaza´c, ˙ze δ(a + b√
5) = |a2− 5b2| nie jest norma,euklidesowa,, w pier´scieniu Z[√ 5].
23 Pokazac, ˙ze dla pier´scienia R naste,puja,ce warunki sa,r´ownowa˙zne:
a) suma element´ow nieodwracalnych jest elementem nieodwracalnym, b) zbi´or element´ow nieodwracalnych jest idea lem,
c) w R istnieje dokladnie jeden idea l maksymalny.
Pier´scien, jak wy˙zej nazywa sie lokalnym.
24 Udowodni´c, ˙ze je˙zeli I ⊂ R jest idea lem pierwszym, za´s S = R − I to pier´scien S−1R jest lokalny.
25 Udowodni´c, ˙ze K[[X]] jest pier´scieniem lokalnym, gdzie K jest cia lem.
26 Znale´z´c cia lo u lamkow pier´scienia Z[√ 2].
27 Znale´z´c cia lo u lamkow pier´scienia Z[X, Y ]/(X2+ Y2).
28 Udowodni´c, ˙ze pier´scie´n Z[√
2] jest dziedzina,z jednoznacznoscia,rozk ladu, aZ[√
5] nia,nie jest.
29 Udowodni´c, ˙ze je˙zeli K jest cia lem, to K[X, Y ] jest dziedzina, z jednoznacznoscia, rozk ladu, ale K[X, Y ]/(X2− Y2) nia,nie jest, (jednoznaczno´s´c rozkladu nie dziedziczy sie,na pier´scienie ilorazowe).
30 Udowodni´c, ˙ze je˙zeli K jest cia lem, to podpier´scien K[X2, X5] pier´scienia K[X] nie jest dziedzina, z jednoznacznoscia,rozk ladu. (jednoznaczno´s´c rozk ladu nie dziedziczy sie,na podpier´scienie).
31 Udowodni´c, ˙ze je˙zeli R jest dziedzina,z jednoznaczno´scia,rozk ladu za´s S systemem multyplikaty- wnym, to S−1R jest dziedzina,z jednoznaczno´scia,rozk ladu.
32 Udowodni´c, ˙ze dla liczby pierwszej p > 2 naste,puja,ce warunki sa,rownowa˙zne:
a) p jest elementem rozk ladalnym pier´scienia Z[i], b) p ≡ 1 (mod 4),
c) p = m2+ n2 dla pewnych m, n ∈N.
Wywnioskowa´c, ˙ze w rozk ladzie na czynniki pierwsze wZliczby naturalnej l postaci l = m2+ n2 ka˙zdy czynnik postaci 4k − 1 wyste,puje w pote,dze parzystej.
33 Znale´z´c N W D(3456, 18564).
34 Wiedza,c, ˙ze Z[√
−2] jest pier´scieniem euklidesowym znale´z´c przy pomocy algorytmu Euklidesa N W D(6 + 4√
−2, 8 − 2√
−2).
35 W pier´scieniu Z5[X] znale´z´c generator idea lu (x3− x2+ 2x + 3, x4+ 4x3+ 3x2− 2x + 2).
36 Zbada´c, kt´ore z ni˙zej podanych wielomian´ow sa,nierozk ladalne w pier´scieniu Z[x] i Q[x]:
a) 2x8+ 22x3− 66x + 44 b) x4− 21
c) x4+ x3+ x2+ x + 1 d) x3− 7x2+ 3x + 3
37 Zbada´c czy rozk ladalne sa,wielomiany:
a) x4+ 15x3+ 7 wZ5[x]
b) x4+ 7 wZ17[x]
c) x3− 5 wZ11[x]
38 Zbada´c rozkladalno´s´c nad ZiQwielomianu x4+ 15x3+ 7. (Wskaz´owka: zredukowa´c modulo 5.) 39 CzyZ5[x]/(x2+ 2) jest cia lem?
2
40 Znale´z´c kryterium nierozkladalnosd wielomian´ow stopnia 2 nad cia lem charakterystyki r´o˙znej od 2.
41 Wypisa´c nierozk ladalne wielomiany stopnia 2 nad ciaiem Z5. 42 Udowodni´c, ˙ze C[x, y]/(x2− y3) 'C[t2, t3].
43 Niech p be,dzie liczba,pierwsza,. Udowodni´c, ˙ze wielomian xp−1+ ... + x + 1 jest nierozk ladalny w Q[x].
3
