Sterowanie Mechanizmów Wieloczłonowych Temat 22 Kinematyczne równania więzów dla położenia, prędkości i przyspieszenia (constrained multibody systems)

Sterowanie Mechanizmów Wieloczłonowych

Temat 22

Kinematyczne równania więzów dla położenia, prędkości i przyspieszenia (constrained

multibody systems)

Kamil Wójtowicz, Robotyka

Opiekun pracy: mgr inż. Jan Klimaszewski

6 listopada 2018

Spis treści

1 Wprowadzenie 2

1.1 Cel oraz podsumowanie pracy . . . 2

1.2 Kinematyka w mechanice ogólnej . . . 2

1.2.1 Kinematyka - definicja, znaczenie . . . 2

1.2.2 Pojęcie punktu materialnego . . . 2

1.2.3 Więzy - definicja, klasyfikacja . . . 2

1.2.4 Równania więzów . . . 3

1.3 Kinematyka w robotyce . . . 4

1.3.1 Manipulatory - sposób opisu, więzy . . . 4

1.3.2 Równania więzów w manipulatorach . . . 5

2 Wyznaczanie kinematycznych równań więzów 6 2.1 Przygotowanie do wyznaczenia równań więzów . . . 6

2.2 Kinematyczne równania więzów dla położenia . . . 8 2.3 Kinematyczne równania więzów dla prędkości oraz przyspieszenia 9

1 Wprowadzenie

1.1 Cel oraz podsumowanie pracy

Cel pracy stanowi rozpatrzenie szeregu zagadnień związanych z kinematycznymi równaniami więzów dla położenia, prędkości i przyspieszenia, w ujęciu mechani- ki ogólnej oraz robotyki. Szczególny nacisk w pracy położony został na analizę kinematycznych równań więzów w zagadnieniach robotycznych, poprzez ich wy- znaczenie dla przykładowego manipulatora.

1.2 Kinematyka w mechanice ogólnej

1.2.1 Kinematyka - definicja, znaczenie

Jednym z problemów rozważanych w mechanice, jest próba opisania zjawisk ru- chowych oraz odkształceniowych poprzez wykorzystanie uniwersalnego aparatu matematycznego¹. Problemem tym zajmuje się mechanika analityczna. Jej odło- ga - kinematyka - podejmuje trud definiowania zmiennych oraz formułowania równań z ich wykorzystaniem, na bazie rzeczywistych zjawisk ruchu. W zakre- sie kinematyki badane jest położenie ciała, jego prędkość, przyspieszenie oraz pochodne wyższych rzędów względem zmiennych położenia. Związkami między występującymi ruchami a siłami oraz momentami sił które je wywołują, zajmuje się dynamika [1].

1.2.2 Pojęcie punktu materialnego

Analiza kinematyczna złożonych ciał stanowi skomplikowane zadanie. W celu uproszczenia, wykorzystane zostało pojęcie punktu materialnego. Zbiór punk- tów materialnych tworzy układ punktów materialnych. Ruchem punktów ma- terialnych zajmuje się mechanika newtonowska. Otoczenie ruchu punktu mate- rialnego stanowią czas oraz przestrzeń [2].

1.2.3 Więzy - definicja, klasyfikacja

Ruch wielu układów podlega ograniczeniom o charakterze geometrycznym oraz kinematycznym. Takie ograniczenia nazywane są więzami [2]. Każdy człon oraz para układu kinematycznego wnosi do układu więzy. W ujęciu geometrycznym może oznaczać to na przykład ustalenie odległości między punktami bądź ode- branie możliwości względnego ruchu obrotowego [3]. Więzy stanowią więc pewne

1https://pl.wikipedia.org/wiki/Mechanika

niewynikające z równań ruchu warunki nałożone na układ punktów. Opisują- ce te warunki związki analityczne nazywane są równaniami więzów. Układy z więzami noszą nazwę układów nieswobodnych, w przeciwieństwie do układów swobodnych - pozbawionych więzów [4].

Istnieje wiele sposobów klasyfikacji więzów, w zależności od elementów wystę- pujących w związkach analitycznych, które brane są pod uwagę. Więzy mogą zostać podzielone na:

• Więzy jednostronne i dwustronne - podstawę klasyfikacji stanowi postać zależności analitycznej określającej więzy, równanie (dwustronne) (równanie 1.1) albo nierówność (jednostronne) (równanie 1.2).

fp(t, xi, yi, zi, ˙xi, ˙yi, ˙zi) = 0, p = (1, ..., k) (1.1) f ≡ (x1− x2)²+ (y1− y2)²+ (z1− z2)²− l²¬ 0 (1.2)

• Więzy geometryczne i kinematyczne - w zależności od występowania (kinematyczne) (równanie 1.4), bądź nie (geometryczne) (równanie 1.3), pochodnych po czasie w równaniach więzów.

fp(t, x1, y1, z1, ..., xN, yN, zN) = 0, p = (1, ..., k) (1.3) fp(t, xi, yi, zi, ˙xi, ˙yi, ˙zi) = 0, p = (1, ..., k) (1.4)

• Więzy holonomiczne i nieholonomiczne - więzy całkowalne, geome- tryczne lub kinematyczne niezależne od prędkości nazywane są holonomi- znymi (równanie 1.5). Więzy niecałkowalne (zależne od prędkości) noszą nazwę nieholonomicznych (równanie 1.6)

f_p(t, x1, y₁, z₁, ..., x_N, y_N, z_N) = 0, p = (1, ..., k) (1.5) fp(t, xi, yi, zi, ˙xi, ˙yi, ˙zi) = 0, p = (1, ..., k) (1.6)

• Więzy reonomiczne i skleronomiczne - są klasyfikowane według wy- stępowania czasu w związkach analitycznych opisujących ograniczenia ru- chu (reonomiczne - czas występuje jawnie - równanie 1.7, skleronomiczne - czas nie występuje jawnie - równanie 1.8).

f₁: (x₁− x2)²+ (y₁− y2)²+ (z₁− z2)²− l²(t) = 0 (1.7)

f (x, y, z) = 0. (1.8)

• Więzy idealne i przemieszczenia przygotowane - więzy idealne de- finiowane są poprzez zerową sumę prac ich sił reakcji wykonaną na prze- mieszczeniach przygotowanych. [4]

1.2.4 Równania więzów

Para kinematyczna narzuca na układ pewne szczególne ograniczenia - więzy, któ- re powinny zostać analitycznie zdefiniowane. W tym celu układane są równania więzów. Stanowią one szereg niezależnych równań lub nierówności zawierają- cych współrzędne oraz stałe występujące w układzie. Na potrzeby rozważanych

zagadnień, przedstawiono postać równań więzów geometrycznych oraz kinema- tycznych dwustronnych.

Nie istnieje znormalizowany system oznaczeń równań więzów, przyjęty więc zo- stał następujący zapis:

fp(q) = 0, p = (1, ..., k), (1.9) gdzie k oznacza liczbę niezależnych związków analitycznych, będących funkcjami q. W postaci skalarnej q stanowić może kartezjańskie współrzędne punktów, jawną postać czasu t itp.

1.3 Kinematyka w robotyce

Zagadnienie mechaniki stanowi jeden z podstawowych elementów robotyki. Za- stosowanie jakichkolwiek członów ruchomych w mechanizmie robota, wymusza potrzebę wykonania odpowiednich obliczeń geometrii, kinematyki oraz kinety- ki. Rachunek taki jest istotny w przypadku maszyn wieloczłonowych. Zaliczyć można do nich między innymi manipulatory.

1.3.1 Manipulatory - sposób opisu, więzy

Manipulatory stanowią najliczniejszą grupę kinematycznych układów przestrzen- nych. Najczęciej spotykane zespoły mechaniczne manipulatorów cechuje struk- tura szeregowa. Tworzą one wtedy otwarte łańcuchy kinematyczne [3]. Dogod- nym sposobem rozpatrywania ruchu układów przestrzennych jest traktowanie ich jako zespół lokalnych układów prostokątnych przypisanych poszczególnym czlonom. W takiej sytuacji, ruch członów rozpatrywany jest jako ruch układów współrzędnych. Manipulator stanowi zbiór ciał - członów, najczęściej sztywnych, połączonych w otwarty łańcuch kinematyczny.

Większość konstrukcji manipulatorów wykorzystuje połączenia ruchowe o jed- nym stopniu swobody. Najczęściej są to pary obrotowe lub przesuwne - postę- powe [1]. Ideowe schematy połączeń przedstawia rys. 1.1.

Rys. 1.1: Sześć możliwych połączeń ruchowych niższego rzędu [1]

1.3.2 Równania więzów w manipulatorach

Zgodnie z wcześniejszym stwierdzeniem, większość konstrukcji manipulatorów ogranicza się do zastosowania dwóch rodzajów więzów - obrotowych oraz prze- suwnych. Równania więzów dla manipulatorów mogą zostać zdefiniowane w następujący sposób:

fp(q1(t), ..., ql(t)) = 0, p = (1, ..., k), l = (1, ..., n) (1.10) gdzie ql stanowią kolejne współrzędne maszynowe mechanizmu maszyny mani- pulacyjnej. W zależności od rodzajów więzów zastosowanych w manipulatorze, współrzędne maszynowe przyjmą odmienną postać. W przypadku więzów ob- rotowych będą to współrzędne kątowe (θ). Więzy translacyjne opisywane będą poprzez współrzędne wyrażające przemieszczenie liniowe (d).

2 Wyznaczanie kinematycznych równań więzów

Równania kinematyczne więzów wyznaczone zostały dla przykładowego mecha- nizmu manipulatora o strukturze RRT (rys. 2.1).

Rys. 2.1: Przykładowy manipulator RRT

Mechanizm zbudowany jest z par kinematycznych V klasy. Oznacza to, iż każde połączenie odbiera 5 stopni swobody [5]. Długości kolejnych członów oznaczone zostały jako: l1, l2, l3, oraz l0= 0.

2.1 Przygotowanie do wyznaczenia równań wię- zów

Wyznaczanie równań więzów rozpoczyna umiejscowienie oraz zorientowanie ukła- du bazowego na schemacie manipulatora. Następnie definiowane są poszczególne współrzędne maszynowe mechanizmu. Rozpatrywany przykładowy manipulator cechują 3 więzy - dwa rotacyjne oraz jeden translacyjny. Stan manipulatora określają więc 3 współrzędne maszynowe, zebrane jako zbiór Q:

Q = {q₁, q₂, q₃} = {θ₁, θ₂, d₃}. (2.1) Bazowy uklad współrzędnych oraz poszczególne współrzędne maszynowe ozna- czone zostały na rys. 2.2.

Rys. 2.2: Przykładowy manipulator uzupełniony o zorientowany układ współ- rzędnych oraz współrzędne maszynowe

W celu wyznaczenia równań więzów dla prędkości oraz przyspieszenia niezbędne jest wprowadzenie zmienności współrzędnych maszynowych w czasie. W związ- ku z tym, wykorzystywane w dalszych obliczeniach współrzędne maszynowe przyjmą postać:

Q(t) = {q1(t), q2(t), q3(t)} = {θ1(t), θ2(t), d3(t)}. (2.2) Kinematyczne równania więzów będą miały ogólną postać:

fp(q1(t), q2(t), q3(t)) = fp(θ1(t), θ2(t), d3(t)) = 0, p = (1, ..., k). (2.3)

2.2 Kinematyczne równania więzów dla położe- nia

Równania więzów dla położenia wyznaczać będą możliwe ułożenia członów me- chanizmu w zadanej, trójwymiarowej przestrzeni. By znaleźć równania, nale- ży wykorzystać geometryczne zależności wynikające z zastosowanych więzów.

Przedstawiony na rys. 2.2 schemat manipulatora ukazano w widoku na płasz- czyzny kolejno XOZ oraz XOY (Rys. 2.3 i Rys. 2.4).

Rys. 2.3: Widok na płaszczyznę XOZ

Na podstawie rys. 2.3 zapisać można dwa równania więzów:

(l₂+ l₃+ d₃(t)) · cos(θ₂(t)) − x_r= 0, (2.4)

(l2+ l3+ d3(t)) · sin(θ2(t)) + l1− zr= 0. (2.5)

Rys. 2.4: Widok na płaszczyznę XOZ

Na podstawie rys. 2.4 zapisać można trzecie równanie więzów:

(l2+ l3+ d3(t)) · sin(θ1(t)) − yr= 0. (2.6) Podsumowując, zbiór kinematycznych równań więzów dla położenia zawiera trzy równania, kolejno:

(l2+ l3+ d3(t)) · cos(θ2(t)) − xr= 0, (l₂+ l₃+ d₃(t)) · sin(θ₂(t)) + l₁− z_r= 0, (l2+ l3+ d3(t)) · sin(θ1(t)) − yr= 0.

(2.7)

2.3 Kinematyczne równania więzów dla prędko- ści oraz przyspieszenia

Znając wyznaczone w poprzednim punkcie kinematyczne równania więzów dla położenia, możliwe jest zapisanie równań więzów dla prędkości oraz przyspie- szenia. Równania więzów dla prędkości przyjmą następującą postać:

gp(θ1(t), θ2(t), d3(t), ˙θ1(t), ˙θ2(t), ˙d3(t)) = 0, p = (1, ..., k). (2.8) Oczywisty sposób uzyskania równań więzów dla prędkości stanowi zróżniczkowa- nie otrzymanych równań dla położenia. Profil zmienności poszczególnych współ- rzędnych maszynowych nie jest znany. Jednak wystarczająca jest wiedza na te- mat ich zależności od czasu. Po zróżniczkowaniu równań więzów dla położenia otrzymano:

d˙3(t) · cos(θ2(t)) − (l2+ l3+ d3(t)) · sin(θ2(t)) · ˙θ2(t) − ˙xr= 0, d˙₃(t) · sin(θ₂(t)) + (l₂+ l₃+ d₃(t)) · cos(θ₂(t)) · ˙θ₂(t) − ˙z_r= 0, d˙3(t) · sin(θ1(t)) + (l2+ l3+ d3(t)) · cos(θ1(t)) · ˙θ1(t) − ˙yr= 0.

(2.9)

Analogicznie wyznaczane są kinematyczne równania więzów dla przyspieszenia.

Zróżniczkowane zostają równania więzów dla prędkości, otrzymując zaleźność:

hp(θ1(t), θ2(t), d3(t), ˙θ1(t), ˙θ2(t), ˙d3(t), ¨θ1(t), ¨θ2(t), ¨d3(t)) = 0, p = (1, ..., k).

(2.10) Dla rozpatrywanego manipulatora otrzymano następujące równania więzów dla przyspieszenia:

d¨3(t) · cos(θ2(t)) − ˙d3(t) · sin(θ2(t)) − ˙d3(t) · [sin(θ2(t)) · θ2(t)]

+ (l₂+ l₃+ d₃(t)) · [cos(θ₂(t)) · ˙θ₂(t) + sin(θ₂(t)) · ¨θ₂(t)] − ¨x_r= 0, d¨3(t) · sin(θ2(t)) + ˙d3(t) · cos(θ2(t)) + ˙d3(t) · [cos(θ2(t)) · θ2(t)]

+ (l2+ l3+ d3(t)) · [−sin(θ2(t)) · ˙θ2(t) + cos(θ2(t)) · ¨θ2(t)] − ¨zr= 0, d¨3(t) · sin(θ1(t)) + ˙d3(t) · cos(θ2(t)) + ˙d3(t) · [cos(θ1(t)) · θ1(t)]

+ (l₂+ l₃+ d₃(t)) · [−sin(θ₁(t)) · ˙θ₁(t) + cos(θ₁(t)) · ¨θ₁(t)] − ¨y_r= 0,

(2.11)

Bibliografia

[1] Craig J.: Wprowadzenie do robotyki. Wydawnictwo Naukowo-Techniczne, Warszawa 2016.

[2] Tchoń K., Muszyński R.: Mechanika analityczna. Politechnika Wrocławska, Wrocław 2018.

[3] Gronowicz A: Podstawy analizy układów kinematycznych. Oficyna Wydaw- nicza Politechniki Wrocławskiej, Wrocław 2003.

[4] Grabski J., Strzałko J., Mianowski B.: Podstawy mechaniki analitycznej.

Politechnika Łódzka, Łódź 2016.

[5] Olszewski M: Robotyka. Politechnika Warszawska, Warszawa 2017.

[6] Olszewski M: Zasady Budowy Robotów. Politechnika Warszawska, Warsza- wa 2017.

[7] Wittbordt E: Mechanika analityczna: współrzędne, więzy, stopnie swobody, współrzędne uogólnione. Politechnika Gdańska, Gdańsk 2017.

[8] Shih-Ming Yang.: General Mechanics for IPSA. National Cheng Kung Uni- versity, Tainan City 2002.