Sterowanie Mechanizmów Wieloczłonowych
Temat 6
Opis mechanizmów wieloczłonowcych o strukturze rozgałęzionej (multibody system
tree-like tree structure)
Marek Miller, Robotyka
Opiekun pracy: mgr inż. Jan Klimaszewski
25 listopada 2018
Spis treści
0.1 Wprowadzenie . . . 2 0.1.1 Cel pracy . . . 2 0.1.2 Cel opisu maszyn wieloczłonowych . . . 2 0.1.3 Maszyny wieloczłonowe o strukturze rozgałęzionej . . . . 3 0.1.4 Przykłady mechanizmów o strukturze rozgałęzionej . . . . 3 0.2 Opis kinematyki i dynamiki systemu o strukturze rozgałęzionej . 6 0.2.1 Opis kinematyki . . . 6 0.2.2 Opis dynamiki . . . 7 0.3 Podsumowanie . . . 11
0.1 Wprowadzenie
0.1.1 Cel pracy
Niniejsza praca zawiera szereg informacji dotyczących opisu mechanizmów wie- loczłonowcych o strukturze rozgałęzionej. Zostaną podane w niej podstawowe wiadomości oraz przykłady urządzeń o takiej budowie, a dodatkowo przedsta- wione zostaną sposoby obliczania kinematyki oraz dynamiki rozważanych me- chanizmów.
0.1.2 Cel opisu maszyn wieloczłonowych
Badania nad dowolnym układem wieloczłonowym są podejmowane w celu wy- konania analizy siły lub ruchu. Relacje kinematyczne między składowymi ogni- wami lub ciałami układu wieloczłonowego stanowią podstawę dla wyżej wymie- nionych analiz. Wraz ze wzrostem liczby zastosowań w wielu układach, badane systemy stały się bardziej złożone i zawierają wiele różnych ogniw. Ponadto wie- le systemów wieloczłonowych składa się z mniejszych podsystemów. W związku z tym zwykłe rozbicie systemu na poziom ciała nie zapewnia makroskopowego zakresu kilku kinematycznych i dynamicznych właściwości, co w wielu przy- padkach zwiększa złożoność analiz. W wyniku rozwoju robotyki pojawiły się wielołańcuchowe systemy typu drzewiastego, takie jak ramiona zrobotyzowane, maszyny z nogami, humanoidalne roboty itp. Udana i szybka obsługa takich ro- botów wymaga systematycznych, wydajnych, ogólnych ram obliczeniowych do przewidywania dynamicznych zachowań. Ramy powinny być użyteczne w ob- słudze robota, planowaniu trajektorii, symulacji i kontroli. Model dynamiczny układu robotycznego jest reprezentowany przez zestaw równań regulowanych przez fizyczne prawa ruchów. Opracowanie takich równań jest niezbędnym kro- kiem do analizy dynamicznej. Jej cel jest dwojaki:
1. Po pierwsze, do analizy siły wykonawczej. Jest to nazywane dynamiką od- wrotną, w której siły napędowe układu są obliczane dla danego zestawu wejść wspólnego ruchu. Znajomość sił napędowych pomaga nie tylko w kontroli, ale również w konstrukcji siłownika robota. Można również uzyskać siły reakcji, które można wykorzystać do projektowania powiązanych połączeń i połączeń z punktu widzenia siły.
2. Drugi to analiza ruchu. Nazywa się to dynamiką prostą, w której ruchy stawów są obliczane przy zastosowaniu sił zewnętrznych. To integracja numeryczną po- maga w uzyskaniu konfiguracji lub stanu systemu w dowolnym momencie czasu.
Innymi słowy, problem dynamiki prostej pozwala symulować rzeczywistą pracę systemu.
0.1.3 Maszyny wieloczłonowe o strukturze rozgałęzionej
Systemy robotyczne o strukturze rozgałęzionej mają zasadniczo wiele gałęzi (tak jak w drzewie). Kolejne człony połączone są ze sobą w taki sposób, że nie jeste- śmy w stanie jednoznacznie wskazać końca całej konstrukcji. Natomiast struk- turę taką możemy podzielić na moduły składające się z prostych łańcuchów połączonych między sobą. Podział taki przedstawiony jest na rysunku poniżej.
Rys. 1: Schemat maszyny o strukturze drzewiastej podzielonej na moduły
Podstawa systemów może być zamocowana lub nie w zależności od rodzaju sys- temu zrobotyzowanego. Na przykład, robot z nogami tworzy system z pętlą zamkniętą, gdy stoi na ziemi. Jednakże, gdy robot podnosi jedną lub dwie jego nogi, aby poruszać się do przodu lub do tyłu, nogi tworzą architekturę o otwar- tym łańcuchu w stosunku do tułowia. Złożoność związana z systemami robotów drzewiastych zmusza od precyzyjnych obliczeń, które są przydatne podczas sy- mulacji, projektowania, planowania trajektorii i sterowania tymi systemami.
0.1.4 Przykłady mechanizmów o strukturze rozgałęzionej
Przy dzisiejszej prędkości rozwoju technologii mamy wiele przykładów robotów oraz maszyn, które mają strukturę rozgałęzioną. Wśród nich możemy wyróżnić przede wszystkim robotyczną rękę (a), wszelkiego rodzaju roboty kroczące (c,d) oraz maszyny zawierające podsystemy z własnym sposobem pozycjonowania (b).
Rys. 2: Przykłady maszyn o strukturze rozgałęzionej
Robotyczna ręka pokazana na rysunku jest układem wzorowanym na ludzkiej dłoni. Ma topologię typu drzewa, w której kilka członów wychodzi się ze wspól- nego sztywnego łącza, tj. dłoni. Te zrobotyzowane systemy wykonują zadanie krępowania obiektu i manipulowania nim. Palce odgrywają rolę utrzymywania przedmiotu i ustawienia go w odpowiednim miejscu względem dłoni.
Pragnienie tworzenia urządzeń imitujących ssaki i odkrywania nieznanego tere- nu zmusiło do stworzenia robotów z nogami. Na początku XX wieku budowanie maszyn kroczących było postrzegane jako zadanie projektowania kinematycz- nych połączeń, które generowałyby odpowiedni ruch krokowy. Później jednak stało się jasne, że połączenie zapewniające stały ruch nie poradzi sobie z cho- dzeniem lub bieganiem. Pierwsza maszyna, która była aktywnie zrównoważona, opierała się na automatycznie kontrolowanym odwróconym wahadle. Co więcej, dynamiczny model robota kroczącego jest wysoce nieliniowy i trudno modelo- wać interakcję robota w nieznanym środowisku. To sprawia, że sterowanie jest bardzo trudne. Sterownik odgrywa ważną rolę w osiąganiu stabilnego ruchu okresowego robota z nogami. Celem kontrolera jest ustalenie prędkości i posta- wy robota przy zachowaniu cyklicznego chodu. Robot może być zrównoważony dynamicznie tylko przez jego ruch, biorąc pod uwagę siły bezwładności i mani- pulując nimi we właściwy sposób. W rezultacie dynamika odgrywa ważną rolę w kontroli robotów z nogami. Badania w tej dziedzinie zrobiły wielki krok w ciągu ostatnich dwóch dekad. Rozmaite problemy związane z dynamiką, planowaniem trajektorii i kontrolą zostały rozwiązane przez naukowców, aby uzyskać imitacje chodzenia lub biegania.
Ostatnią grupą są maszyny wieloczłonowe zawierające ruchome podsystemy.
Przykładem może być zwykły manipulator przemysłowy, który zawiera rucho- mą kamere. W systemie tego typu bardzo ważne jest, abyśmy znali zarówno położenie końca manipulatora, jak i położenie kamery względem niego. Zgranie obu tych końcowych osi układu współrzędnych jest kluczowe, aby zaprojektować proces technologiczny wykorzystujący w ten sposób wizje maszynową.
0.2 Opis kinematyki i dynamiki systemu o struk- turze rozgałęzionej
Kinematyka zajmuje się badaniem geometrycznych właściwości ruchu ciał bez uwzględniania ich cech fizycznych (np. masy) i działających na nie sił, nato- miast dynamika to dział mechaniki zajmujący się ruchem ciał materialnych pod działaniem sił. Służą do tego trzy rodzaje dynamicznych równań ruchu.
0.2.1 Opis kinematyki
W celu uzyskania ograniczeń kinematycznych topologia typu drzewa jest naj- pierw podzielona na zestaw modułów. Każdy moduł w systemie drzewiastym zawiera tylko szeregowo połączone łącza. Ograniczenia kinematyczne są następ- nie uzyskiwane między tymi modułami. Transformacja łącza do łącza okazuje się być szczególnym przypadkiem transformacji moduł-moduł. Dalej postępuje- my tak samo jak przy prostszych łańcuchach kinematycznych, a więc stosuje- my notację Denavita-Hartenberga. Transformacja pomiędzy dwoma sąsiednimi układami współrzędnych przedstawiona jest za pomocą macierzy, która składa się z czterech podstawowych transformacji:
Wykorzystując tę zależność oraz zagadnienie kinematyki prostej możemy wyzna- czyć współrzędne końca modułu (bądź początku następnego) względem punktu bazowego.
Macież transformacji od punktu bazowego do punktu, który chcemy wyliczyć ma postać:
gdzie: q1, q2...qn– współrzędne uogólnione, każdego z członów
Do wyznaczenia prędkości dla ostatniego członu w module korzystamy z nastę- pującego równania:
gdzie: Q – znane prędkości współrzędnych uogólnionych Jakobiany mają następującą postać:
Aby obliczyć współrzędne poszczególnych członów, bądź ich prędkości stosu- jemy zagadnienie kinematyki odwrotnej. Otrzymujemy z niego układ równań skalarnych o postaci:
Układ ten może nie mieć żadnego rozwiązania, bądź mieć ich kilka. Dla oblicze- nia prędkości wykorzysujemy wzór:
0.2.2 Opis dynamiki
Do obliczania dynamiki układów o strukturze drzewiastej wykorzystuje się na- stępujące algorytmy:
• rekurencyjny algorytm Newtona-Eulera dla dynamiki odwrotnej
• algorytm przegubowego ciała (articulated-body algorithm) dla dynamiki prostej
Algorytm Newtona-Eulera dla dynamiki odwrotnej
Algorytm Newtona-Eulera służy do do obliczania odwrotnej dynamiki drze- wa kinematycznego o stałej podstawie. Biorąc pod uwagę zmienne położenia i prędkości, algorytm ten oblicza przyłożone momenty/siły wymagane do wytwo- rzenia danego zestawu przyspieszeń członu. Prędkości i przyspieszenia łącza są najpierw obliczane przez zewnętrzną rekurencję od stałej podstawy do ogniw liścia drzewa. Powstałe siły na każdym z nich są obliczane przy użyciu równań Newtona-Eulera. Druga rekursja wewnętrzna wykorzystuje równania równowa- gi sił na każdym łączu do obliczenia siły przestrzennej na każdym połączeniu
i wartości każdej zmiennej momentu/siły sprzężenia. Ponadto efekty grawitacji na każdym ogniwie są efektywnie uwzględnione w równaniach, przyspieszając podstawę mechanizmu w górę.
Algorytm składa się z czterech kroków:
• Obliczenie prędkości i przyspieszenia każdego połączenia po kolei, zaczy- nając od stałej podstawy, i przesuwając się w kierunku końcówek. Prędkość każdego ogniwa w drzewie kinematycznym podana jest przez formułę re- kurencyjną:
gdzie:
vi - jest prędkością łącza i Φi - jest matrycą ruchu stawu i
qi - jest wektorem zmiennych prędkości stawów dla połączenia i Równanie przyspieszeń otrzymujemy poprzez różniczkowanie:
• Obliczenie równań ruchu dla każdego połączenia. Ten krok oblicza siły wymagane do wywołania przyspieszeń obliczonych w kroku 1. Równanie ruchu dla łącza i ma postać:
gdzie:
Ii - jest przestrzenną inercją łącza i fai - jest siłą działającą na łącze i
• Obliczenie siły przestrzennej na każdym połączeniu. Odnosząc się do ry- sunku (Rys. 3) poniżej siłą wypadkową działającą na człon i jest:
Rys. 3: Siły działające na człon i
• Obliczenie zmiennych siły połączenia. Z definicji są one wyrażone przez równanie:
Algorytm przegubowego ciała (articulated-body algorithm)
Articulated-body algorithm (ABA) jest algorytmem do obliczania dynamiki pro- stej ruchu drzewa kinematycznego. ABA został opracowany przez Feathersto- ne’a i jest przykładem algorytmu propagacji wiązań. Uwzględniając wspólne położenie, prędkość i przyłożone zmienne momenty/siły, algorytm oblicza przy- spieszenia połączeń. Przy ustalaniu wspólnych przyspieszeń można zastosować integrację numeryczną w celu zapewnienia symulacji mechanizmu. Kluczową koncepcję ABA przedstawiono na rysunku poniżej (Rys. 4).
Rys. 4: Koncepcja algorytmu ABA
Poddrzewo umieszczone na łączu i współdziała z resztą drzewa kinematycznego tylko przez siłę fi, która jest transmitowana przez złącze i. Przypuśćmy, że w tym momencie rozbijamy drzewo i rozważamy tylko ruch pochodzący do nie- znanej siły fi działającej na człon. Można wykazać, że przyspieszenie łącza i jest związane z przyłożoną siłą zgodnie z równaniem:
gdzie:
IAi - bezwładność łącza i w poddrzewie fi - powiązana siła odchylenia
Powiązując powyższy wzór ze wzorami metody Newtona-Eulera otrzymujemy:
Z czego możemy wyliczyć:
gdzie:
Następnie przyspieszenie wyliczamy ze wzoru:
Algorytm składa się z trzech przebiegów. Pierwszy przechodzi od podstawy do końcówek i oblicza prędkości członu. Drugi przebieg iteruje od wierzchołków z powrotem do podstawy i oblicza bezwładności i siłę odchylenia dla każdego połączenia. Trzecie natomiast przechodzi od podstawy do końcówek i oblicza przyspieszenia członu i przegubu.
0.3 Podsumowanie
Maszyny wieloczłonowe o strukturze rozgałęzionej są wykorzystywane w wie- lu miejscach, nie tylko w przemyśle. Nowoczesne metody symulacji i mnogość modeli matematycznych pozwalających opisać ich strukturę prowadzą do po- wstawania coraz to bardziej skomplikowanych układów. Przedstawione przeze mnie metody opisu to tylko kilka wybranych spośród wielu różnych algorytmów, z których każdy ma swoje plusy i minusy.
Bibliografia
[1] Bruno Siciliano, Oussama Khatib (Eds.): Springer Handbook of Robotics, Springer, Berlin, Heidelberg, 2008
[2] Suril Vijaykumar Shah, Subir Kumar Saha, Jayanta Kumar Dutt: Dyna- mics of Tree-Type Robotic Systems, Springer, New York, Dordrecht , He- idelberg, London, 2013
[3] O. A. Bauchau: Flexible Multibody Dynamics, Springer, New York, Do- rdrecht , Heidelberg, London, 2011
[4] Craig J. J.: Wprowadzenie do robotyki, WNT, Warszawa, 1993
