AKADEMIA G ´ORNICZO-HUTNICZA im. Stanis lawa Staszica w Krakowie OLIMPIADA
”O DIAMENTOWY INDEKS AGH” 2014/15 MATEMATYKA - ETAP III
ZADANIA PO 10 PUNKT ´OW
1. Znajd´z wszystkie liczby naturalne mniejsze ni˙z 7, przez kt´ore podzielna jest liczba L= 32016+ 4.
2. Rozwiaι˙z r´ownanie
2 cos3x+ 5 sin2x− 11 cos x − 9 = 0.
3. Oblicz pole r´ownoleg loboku zbudowanego na wektorach ~u = [3, −4] i ~v = [4, 4].
4. Rozwiaι˙z nier´owno´s´c
25 · 0, 04x− 0, 2x2−2 ≤ 0.
ZADANIA PO 20 PUNKT ´OW
5. Warto´s´c funkcji g w punkcie m jest r´owna sumie pierwiastk´ow r´ownania
|mx2 − 2x| = m,
przy czym ka˙zdy pierwiastek jest w tej sumie uwzgleιdniany tylko raz niezale˙znie od jego krotno´sci. Znajd´z funkcjeι g : m → g(m) i naszkicuj jej wykres.
6. Ze zbioru {1, 2, . . . , n} losujemy kolejno bez zwracania k liczb, otrzymujaιc ciaιg (a1, a2, . . . , ak). Wiedzaιc, ˙ze 3 ≤ k ≤ n, oblicz prawdopodobie´nstwa zdarze´n:
A - ak jest najwieιkszaι liczbaι w´sr´od wylosowanych;
B - ak jest podzielna przez 3;
C - a1+ a2+ . . . + ak > 12k(k + 1).
7. Wyznacz wysoko´s´c sto˙zka o najmniejszej objeιto´sci opisanego na kuli o promieniu R = 2 cm.
