AKADEMIA G ´ORNICZO-HUTNICZA im. Stanis lawa Staszica w Krakowie OLIMPIADA
”O DIAMENTOWY INDEKS AGH” 2014/15 MATEMATYKA - ETAP II
ZADANIA PO 10 PUNKT ´OW
1. Udowodnij, ˙ze dla dowolnych dodatnich liczb rzeczywistych a, b spe lniona jest nie- r´owno´s´c
a b + b
a ≥ 2.
2. Wyznacz najmniejszaιi najwieιkszaιwarto´s´c funkcji danej wzorem f (x) = |x2−8x+7|
w przedziale h0; 5i.
3. Znajd´z punkty nieciaιg lo´sci funkcji danej wzorem
f(x) = x2− 4 x4+ x3 + 8x + 8.
W kt´orych z tych punkt´ow mo˙zna okre´sli´c warto´s´c funkcji tak, ˙zeby by la ciaιg la?
4. W ka˙zdym z ostatnich dw´och notowa´n cena ropy spada la o k%, gdzie k ∈ (0; 100).
O ile procent musia laby cena wzrosnaι´c w najbli˙zszym notowaniu, ˙zeby wr´oci la do poczaιtkowego poziomu?
ZADANIA PO 20 PUNKT ´OW
5. Figura B jest obrazem figury
A= {(x, y) : x2+ y2− 6x − 8y + 21 ≤ 0 ∧ x− 7y + 25 ≥ 0}.
przez symetrieι wzgleιdem prostej x − 2y = 0. Znajd´z nier´owno´sci opisujaιce figureι B i oblicz jej obw´od.
6. Rozwiaι˙z nier´owno´s´c
log2x(x4+ 3) ≥ 2.
7. W tr´ojkaιt prostokaιtny o przyprostokaιtnych a = 15 cm, b = 20 cm wpisany jest okraιg. Oblicz odleg lo´sci od ka˙zdego wierzcho lka tr´ojkaιta do punktu styczno´sci okreιgu z przeciwleg lym bokiem.
