AKADEMIA G ´ORNICZO-HUTNICZA im. Stanis lawa Staszica w Krakowie
OLIMPIADA
”O DIAMENTOWY INDEKS AGH” 2007/8 MATEMATYKA - ETAP I
ZADANIA PO 10 PUNKT ´OW
1. W tr´ojkaιcie r´ownoramiennym dane saι d lugo´sci podstawy a i ramienia b. Oblicz d lugo´s´c wysoko´sci tego tr´ojkaιta opuszczonej na jego ramieι. 2. Rozwiaι˙z nier´owno´s´c
|2x4 − 17| < 15.
3. Oblicz graniceι ciaιgu, kt´orego n-ty wyraz jest r´owny an = n3−√
n6− 5n3.
4. Na ile sposob´ow mo˙zna rozmie´sci´c k kul (k ≥ 4, ka˙zda kula innego koloru) w k ponumerowanych pude lkach tak , aby
a) ˙zadne pude lko nie by lo puste?
b) dok ladnie jedno pude lko by lo puste?
c) dok ladnie k − 2 pude lka by ly puste?
ZADANIA PO 20 PUNKT ´OW
5. D lugo´s´c wysoko´sci ostros lupa prawid lowego tr´ojkaιtnego jest r´owna d lu- go´sci kraweιdzi podstawy. Oblicz stosunek objeιto´sci kuli wpisanej w ten ostros lup do objeιto´sci kuli opisanej na nim.
6. Wyznacz liczbeι rozwiaιza´n r´ownania
(m − 3)x4− 3(m − 3)x2+ m + 2 = 0 w zale˙zno´sci od parametru m.
7. Roz l´o˙z na czynniki wielomian
W (x) = x4 + 6x3+ 11x2+ 6x.
Udowodnij, ˙ze warto´s´c W (n) tego wielomianu dla dowolnej liczby natu- ralnej n jest podzielna przez 12. Dla jakich naturalnych n liczba W (n) nie jest podzielna przez 60?
