Analyse van differentiaalvergelijkingen

Analyse van Differentiaalvergelijkingen

C.J van Duijn

M.J. de Neef

©VSSD

Eerste druk 1994

Delftse Uitgevers Maatschappij b.v.

P.O.Box 2851, 2601 CW Delft, The Netherlands Tel.015-123725, telefax 015-143724

Alle rechten voorbehouden. Niets uit deze uitgave mag worden verveelvoudigd, opgeslagen in een geautomatiseerd gegevensbestand,of openbaar gemaakt, in enige vorm of op enige wijze, hetzij elektronisch, mechanisch, door fotokopieën, opnamen, of op enige andere manier, zonder voorafgaande schriftelijke toestemming van de uitgever.

All rights reserved. No part of this publication may be reproduced, stored in a retrieval system, or transmitted, in any form or by any means, electronic, mechanical, photocopying, recording, or otherwise, without the prior written permission of the publisher.

Voorwoord

Het modelleren van verschijnselen uit de technische wetenschappen en natuur-kunde komt dikwijls neer op het combineren van constitutieve- en balansvergelij-kingen, en daarmee op een formuleringin termen van differentiaalvergelij kingen . Afhankelijk van de aard van het probleem krijgen we te maken met (stelsels) gewone of partiële differentiaalvergelijkingen en met nevencondit ies in de vorm van begin- en/of randwaarden.

De grote verscheidenheid aan modellen gaat gepaard met een grote diversiteit in soortendifferentiaalvergelijkingen. Dus waar te beginnen en wat te behandelen in een inleidende cursus als deze? Ineerste instantie hebben we ons lat en leiden door wensen van de Faculteit der Technische Natuurkunde van de Technische Universiteit Delft, omdat dit boek wordt gebruikt bij het college Differentiaal-vergelijkingen voor tweedejaars studenten Natuurkunde. Daarnaast hebben we getracht ook enkele moderne ontwikkelingen te laten doorklinken. Met name het 'klassieke'standpunt dat iedere differentiaalvergelijkingexact oplosbaaris in termen van een min of meer expliciete uitdrukking (de zogenaamde analytische oplossing),ondervindt concurrentie van de filosofievan het kwalit ati efred ener en. Im m er s, dikwij lskan nuttige informatie uit een differentiaalverge lij king worde n verkregen, bijvoorbeeldover stabiliteit van evenwichten,zonderdeoplossin g zelf te kenn en. Om dit te ondersteune n behande len we uit voer ig de fasevlakanaly-se voor gewone different iaalve rgelijk inge nen verge lij kings princ ipe svoor part iële differe nt ia alvergelijk inge n . Tevens word en een tweet al voorbeeld en van niet-lineair epartiëledifferenti aalver gelijkingenbehandeld, waar ond er devergelijking van Burger s.

De stof wordt in driedelen geprese ntee rd. In deel I wordt vrij uit voerig in-gegaan op de theorie en toepassingen van beginwaardep ro bleme n voor gewone different iaalvergel ij kingen. We behan delen de existent ie-en eenduidighe idsres ul-taten, de fasevlak - en stabilite itsanalyse en we geven de gebru ikelij ke rekenr e-gels voor eerste- en tweede-ordevergelijkingen . Indeel II behandele nwe enkele belangrijke eigenwaardep rob lemenuit de quantumrnechanica, zoals deha rmoni-sche oscillator en het waterstofatoom, en we geven een aantal spec iale functies als resul t aat van machtreekssubstitutie. Tevens worden functies van Gree n en enkele aspecten van de Sturrn-Liouv ille-theorie behandeld . Als laat st e, in deel

6

lil, behandelen we partiële differentiaalvergelijkingen. We bespreken vergelij-kingsprincipes en eenduidigheidsresultaten en geven ruim aandacht aan gelijk-vormigheidsoplossingen voor diffusievergeli jk ingen, omdat deze een belangrijke rol spelen binnen het vakgebied der Fysische Transportverschijnselen. Natuur-lijk komt ook aan de orde de methode van scheiden van variabelen met daaraan gekoppeld de Fourier-reeksen voor de diffusie-, de Laplace- en de golfvergelij-king. Tevens behandelen we functies van Green voor de Laplace-vergelijking en de methode van D' Alembert voor de golfvergelijk ing. Ten slotteconstrueren we de fundamentele oplossing van deniet-li neaire poreuze-mediavergelijkingen van de Burgers-vergelij kin g.

De schr ijvers zijn dank ver schuldigd aan Tineke Hazelzet- Mulder voor het voorbe reidende 1I\TEX-werk en aan Ruud Schatti ng voor zijn Maple-ber ekenin-gen. Voorts houd en zij zich aanbevolen voor opmerkingen , met name van kant van de st udenten .

Delft , augustus 1994

C.J. van Duijn M.J.de Neef

Inhoud

I

Beginwaardeproblemen

voor gewone

differentiaal-vergelij ki n g en

15

1 Fundamentele aspecten van beginwaardeproblemen 17

1.1 Inleiding . . . 17

1.2 Voorbeelden . . . 20

1.3 Existentieen eenduidigheid . . . 24

1.4 Oplossingen als ban en in het fasevlak 34

1.5 Enkeleexplicietemethoden . . . 40

1.5.1 Vergelij kinge n van de vorm :

u'

+

p(t )F (u)

= 0 40 1.5.2 Vergelijkinge n van de vorm:

u'

+

p(t )u

=

r(t )

40

1.5.3 Vergelijkinge n van de vorm :

u'

+

p(t )u

"=

r(t )u

k

,

k

E Z (k

-#

1) . . . 42 1.5.4 Exacte different iaa lvergelijkingen . . . 42 1.5.5 Vergelijk ingen van de vorm: Uil=

F(t,

u'). 44 1.5.6 Vergelijkingen van de vorm : Uil

=

F

(

U,

u'

)

44 1.5.7 Vergelijk ingen van devorm: Uil =

F(u) . .

45 2 Tweede-orde lineaire differentiaalvergelijkingen 51

2.1 Inleiding. . . 51

2.2 Structuur van deoplossing . 53

2.3 Expliciet erekenmethoden . 59

2.3.1 Reducti e van deorde 59

2.3.2 Homogenevergelijkingmet constante coëfficiënt en . 61 2.3.3 Inhomogene vergelijking . . . 62 2.3.4 Par tikuliereoplossing en voor bijzonderebrontermen . 63 2.3.5 Methode van variat ie van const ante n 67 2.4 "Oplossingen als banen in het fasevlak . . . 68 3 Stabiliteit van evenwichten van niet-lineaire autonome stelsels 81

3.1 Inleiding en definit iestabiliteit. . ' 81

3.2 Lineariseringrond een evenwicht . 83

3.3 Liap unov-funct ies. . . 88

8 INHOUD

A Existentie door middel van de explici et e Euler-methode 99

1I

Eigenwaardeproblemen en bijzo

n d ere functies

107

4 Eigenwaardeproblemen in de quant u m m e ch a n ica

4.1 Inleidin g . . . . 4.2 Deeltj ein oneindig diepe potent iaa lput 4.3 Deeltj eineind ig diepe potentiaalput 4.4 Deharmonische oscillator

4.5 Het wat erst ofat oom . . . . 5 Methode van machtreekssubstitutie

5.1 Machtreeksoplos sing rond een norm aal punt .

5.2 De Euler-vergelijking .

5.3 Machtreeksoplos sing nabij een regul ier-singulier punt 5.4 De Bessel-vergelijki ng. . . . 6 Tweede-orde randwaardeproblemen

6.1 Inleiding . . . . 6.2 Sturm-Liouville-probl emen 6.3 Functies van Green . . . .

III

Partiële Differentiaalvergelijkingen

109 109 111 111 113 118 131 131 133 135 138 147 147 149 154

161

7 Formulering en achtergrond van de problem e n 163

8 De diffusievergelijking 169

8.1 Eenduidigheid . . . 169 8.2 Gelijkvormigheidsoplos singop (0,00) . . 171 8.3 Gelijkvormigheidsoplo ssingop (-00,00) 173 8.4 Algem een beginwaardeprobleem op (-00,00) . 175

8.5 Randwaardeprobleem op (0,

L)

178

8.6 Fourrier-reeksen met sinus-en cosinustermen . 182

9 De Laplace-vergelijking 191

9.1 Eenduidigheid ,fund am enteleoplossing en functiesvan Green. 191 9.2 Lapl ace-vergelijking in een strookin ]R2 . . . 196 9.3 Laplace -vergelijkingop een taartpunt in]R2. 198

10 Golfvergelijking 203

10.1 Energierelatie,eenduidigheid . . 203

INHOUD

10.3 Beginwaardeprobleem op

(- CX), CX))

11 Enkele niet-lineaire vergelijkingen 11.1 De poreu ze-m edi avergelijking 11.2 De Burgers -vergelijking . . . ..

11.2.1 Lop end e golven .. . .. 11.2.2 Fundamen t eleoplossing

9 207 213 213 216 216 218

L

ij st van Figuren

1.1 Oplossin gen van Voorb eeld 1.2.1 voor ver schillendewaarden van a. 21 1.2 Bifurcati edi agr am voor de Landau-verg elijking. 22 1.3 Oplossing van Voorbeeld 1.2.3 voor a = 1. . . 23 1.4 Familievan oplossingen in Voorbeeld 1.2.4 (geen eenduidigheid ). 24 1.5 Deslinger . . . 25 1.6 Banen in het fasevlak voor de slinger zonder wrijving. Voor het

bepalen van debanen is gebruik gemaakt van uitdrukking (1.14) 37 1.7 Banen in het fasevlak voor de slinger met wrijving, bepaald door

numeri ekeintegratievan de differentiaalvergelij kingen metgil = 1

en klm= 1. 39

1.8 Uit vergrot ing van de situatie in een omgeving van het zadelpunt

(- 7r, 0). 40

2.1 Lokati es van nulpunten en extremavan UI en Uz. 57 2.2 Een Hl.Cvcir cuit. . . 63 2.3 Amplitudemodulatie . . . 67 2.4 Ontbinding van een startvector Ua in termen van k, en k_z. 69

2.5 Faseportret van een instabiel knooppu nt. 70

2.6 Faseportret van een zadelp unt. 71

2.7 Faseportretten van een stabiel knooppunt (links) en een inst ab iel knooppunt (rechts), voor

>'1

=

>'z

=

>.

metk-,kzlineair onafha

n-kelijk. 72

2.8 Faseportretten van een stabiel knooppunt (links) eneen instabiel knooppunt (rechts), voor

>'

1

=

>'z

=

>.

zonder een volledig stelsel

eigenvectoren . 72

2.9 Voorbeeld van een inst abielknooppu nt met samenvallendee

igen-.waar den. 74

2.10 a

=

0, zuiver imaginaire eigenwaarde n: de oorsprong is een

cen-trum. 75

2.11 Faseportret ten van een stabiel spiraal punt (links, a

<

0) en een

instabiel spiraal punt (recht s,a

>

0). 75

2.12 Faseport ret van verg elijking (2.28). 77

12 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 A.1 A.2 A.3 4.1 4.2 4.3 4.4 5.1 5.2 5.3 6.1 7.1 8.1 8.2 8.3 8.4 8.5 8.6 8.7 8.8

LIJST VAN FIGUREN

St abilit eit . 82

Asympt ot ische stabiliteit. 82

Inst abili t eit. 83

Geom etrischeint er pret ati e van deSt elli ng van Liapunov. 90 Ban en in het fasevl ak voor de niet-lin eai re oscillator van Voor -beeld 3.3.5 met a = 1. . . 93

Stuksgewij s lineaire ben ad ering van de oplossing (n = 1). 100

Partitie van het int er val [0,

a].

101

Voorbeeld van functi e ip ECri(

J).

101

Bepaling van de ene rgieniveaus voor een deeltj eineeneindig diep e

potentiaalput. 113

Bolcoördinaten . 119

Even en oneven Legendre-polynomen. 122

Enkele bolfuncties , vlnr: Yo,o,

Yi,o,

Y1,1 ' Y2,ö, Y2,1 'Y2,2' 125 Tweelineair onafhankelijke machtreeksoplossing en van de verg

e-lijking van Airy. 133

Nulde-orde en eerste-orde Bessel-fun cti es . . . 140 De eerste vier modi voor

t

= 0: Ui = JO(fl ir ),i = 1,2 ,3 , 4. 143 Voorbeelden van functi es met

I

,J'

E

Cpw(

[O,

1

D

.

152 Randwaarden voor verg elijking (7.8) . . . 165 De grafieken voor

1

(7] )

en de concentratie

C(

x, t

)

.

172 Concentratieis constant langs parabolen in x,t-vlak. 173 Het verloop van de concent r at ie

C

(x,

t)

op vers chill endetijdstippen.174 Het diffusiegedrag van een puls bij toenemende tijd . 176 Voorbeeld van constructievan

I:

oneven voortzetting 185 Voorbeeld van constructie van

I

:

even-voortzetting 186

Oneven voortzetting van

I(x).

187

Even voortzetting van

I(x).

. .

. .

188

9.1 9.2 9.3 10.1 10.2 10.3 10.4 10.5

Laplace-verg elijking op een strook. Laplace-verg elijkingop een taartpunt.. Het randwaardeprobleem in poolcoördinat en Een snaar met vast e uit einden. . .

Randwaardepr obl eem voor degolfver gelijkingin het (x,t)-vla k . De oplossing

u(x, t)

op de tij dstippe n

t

= 0,-21_c, 1_c, ~ ._c

De begin sn elheid sverdelingg(x ).. Defuncti e

G(x)

.

.

.

197 199 199 · 205 · 205 · 209 · 209 · 210

LIJST VAN FIGUREN

-10.6 Deoplossing

u

(x,

t)

op de tijdstippen

t

=

~ en

t

=

~.

13

. 210 11.1 Gelijkvormigheidsprofiel(11.15)met 1(0)

=

1en m

=

3. . 215 11.2 Fundamenteleoplossing met fronten. . . 216 11.3 Locatie van de schok in delimietoplossi ngua. . 218

11.4 De gelijkvormigheidsoplossing

cP

.

.

220

11.5 De fundamenteleoplossing op enkele acht er eenv olgende t

ijdstip-pen. . 221

Deel I

Beginwaardeproblemen voor

gewone

differentiaalvergelijkingen

Hoofdstuk 1

Fundamentele aspecten van

beginwaardeproblemen

1.1

Inleiding

Veel problemen uit de natuurkunde wordenbeschrevendoor differ enti aalver gelij -kingen, waarin de onbekende(n) en afgeleide daarvan voorkomen als functi e van maar één onafhankelijke variabele(bijvoorbeeldde tijd of een plaatscoördinaat). We spreken in zo'n geval van gewone differentiaalvergelijkingen. Verder sp re-ken we van een ke-orde (;:: 1) vergelijking als de orde van hoogst voorkomende afgeleidekis.

Dikwijls kunnen vergelijkingen van orde

z

2 geschreven word en alseen stelsel eerste-orde vergelijkingen. We illustrer en dit voor k = 2 aan de hand van de lineaire differentiaalvergelijking

Uil

+

p

(t )u

l

+

q

(t )u

=

o.

Hierin geven de accentendifferent iatie naar

t

aan en zijnp,q bekende coëfficiën-ten. Stelle nwe UI

=

U en U2

=

UI,dan onstaat het stelsel

ofwel

met

A(t) =

(-~(t)

-

;(l) )'

Dus zonder onszel ferg te bepe rkenkun ne n we ons richtenop (stelsels) eerste-orde gewone different iaalvergelijkingen. In dit hoofdstuk beschouwen we begin waar -deproblemen voor zulke stelsels. De wiskundige formulerin g van zo'n probl eem luidt:

18 Fundamentele aspecten va n beginwaardeproblem e n

Zoekeen differentieerbare vectorfunctie (of gladde kromme)

(u = (UI(t), U2(t), .. ., un(t)),n ~ 1) zodat

{

d

u

- - F u t (BW P)

dt

-

( , )

u

(to)

= Uo Hierin ishet rechte rlidvan

(1.1)

een afbeel ding

Vt EI,

t

oE

I.

(1.1

)

die aan ieder punt

(u

,t)

E ~n x ~ het punt (de vecto r)

F

(u ,t )

E ~n toevoeg-t. Verder is de vector Uo E ~n de startvector of de beginw aarde voor P ro-bleem (BWP).

Debedoelingisdusom deonbekendefuncti eu(t )tevinden die aan de diffe-rent ia alvergelijking

(1.1 )

voldoet en dieop het tij dst ip

t

=

t

osam envalt met de gegeven vector Uo. Deze oplossing van Probleem (BW P) beschrijft een baan in de Eu clidische ruimt e~n

(

n

~ 1). Door vergelijkingenvan het type

(1.1)

wordt op ieder tij dst ip desnelheid

duldt

bepaald door depositi e

u

(t )

en door de tijd

t

.

We noem en de differen tiaalvergelijking (1.1) autonoom als de fun ct ie F niet expliciet van

t

afhangt , m.a.w. als

F= F(u).

In fysi sche modellen komt dit vaak voor. De differen tiaalvergelij king is lineair als F een lineairefuncti eis in de variabelen UI,.. .,U_n,d.W.Z F is van de vorm :

F(u,

t)

=

A(t

)u

+

b(t), waarin

A(t)

een

n

x n-matrix is.

Bij het bestud eren van Probleem (BWP) onder scheid en we glob aal de vol-gende werkwij zen :

(i) Het zoeken naar expliciete oplossingen in gesloten vorm. Dit is alleen mogelijk in bijzond ere gevallen, waarv an wij er enkele zullen bespreken. Dit levert dus u =

u

(t )

als formule op.

(ii) Kwalit at iefredeneren ,d.w.z. belan grijkekar akteristi eken van de oplossing geven zonder deze expliciet te kenn en. Hier zullen we flin k wat aandacht aan besteden.

1.1 Inleiding 19

(iii) Gebruik van numerieke oplosmethoden. Een eenvoudig voorbeeld hiervan is de expliciete Euler-methode, waarbij het Probleem (BWP) voor

t

~

°

als volgt wordt gediscretiseerd:

k = 0,1,2,...,

Hierin is

uk

een benadering van

u

(tk)

met

tk

=

to

+

k6.t.

Met behulp van

{uk}

OO

kan vervolgens een stuksgewijs lineaire benadering worden

k=O

geconstrueerd. In Aanhangsel A komen we hierop terug, met name ten aanzien van de convergentievan de benaderde oplossing naar de oplossing u als

6.t

--+0.

In dit hoofdstukligt de nadruk op fundamentelevragenten aanzien van existentie en eenduidigheidvan oplossingenen continueafhan kelijkheidvan beginwaarden. In het deel van de theorie dat wordt aangeduid met het woord existentie, bewijzen we dat Probleem (BWP) een oplossing heeft in een geschikt gekozen interval rond het startpunt t = t~, zonder deze oplossing zelf te kennen. In het bewijs wordt het bestaan van een oplossing aangetoond door de lim iet te beschouwen van approximaties. Deze kunnen op verschillende wijzen worden gekozen. We geven hierva n twee voorbeelden : in paragraaf 1.3 gebruiken we Picard-iteratieen in Aanhangse lA de stuksge wijs lineaire approximatie afkom-stig van Probleem (E).

Met eenduidighei d(uniciteit) van een oplossing bedoelen we dat erten h oog-ste één krommeu(t) kan zijn dievoldoet aan de twee eisen van Probleem (BWP), namelijk:

u

(t )

voldoet aan de differentiaalverge lijking

(

1.1)

en gaat op tijdstip

t

=

t

o door het punt uo.

Opmerking 1.1.1. We zullen vaakgebru ik maken van de volgende not ati e:

•

C(l~n x R)=

{F:

~n X ~--+ ~:

F

cont inu op ~nX R};

• Voor een willekeuriginter val J

ç:

R:

C(J; ~n) = {u :

J

--+ ~n: Ui cont inu op

J

voor 1~ i ~

n};

• C(~)= {u :~ --+ ~ : u continu op ~}.

(

n ) 1/2

•

Ilxll

=

~

IXij2

voor

x

E~n (E uclidische nor m ).

20 Fundamentele aspecten van beginwaar d e p r oblemen

1.2

Voorbeelden

In het scalairegeval

(n

=

1

)

noemen we vergelijking

(

1.1)

se

parabel

als

Hiermee is dus iedere autonome scalaire differ en ti aal verg elijking van de vorm

(

1.1)

separabel met F2 const a nt. Alsvoorber eiding op detheori e behandelen we hier enige voorbeelden van autonome vergelijkingen. Dezeillustreren een aantal conce pten dielat er zullen terugkomen.

Voorbeeld 1.2.1. Beschouwhet begin waardeprobleem (n=l)

{

~~=ku

(I-U)

VtE

I,

u(t o)

= 0'

t

o EI ,

(1.2

)

L

1

1

t

( ( ))

u'

(s )

d

s

= F2

(s ) ds

to FI U S to

waarin keen positi eve constante is en - 0 0

<

0'

<

00.

Vergelijking

(

1.2)

is autonoom en dus separa bel, met

F

I(u )

=

u(

1

- u

)

en

F

2(t) =

k.

We delen vervolgens

(

1.2)

door

F

I(u)

en int egrer en het resultaat. Dan ontstaat

ofwel

[u (t)

~

(

)

du

=

t'

F2

(s ) ds

.

i;

FI U

i

:

We noem en dit de methodevan scheiden van variabelen. Subst ituti e van

F

I en F2 in de laatste uitdrukking resultee rt in

l

U_(t)

d

s

_fat

----,---....,_ = k

d

s

=

kt

.

o

s(1-

s )

0

(1.

3)

Uitwerking hiervan geeft

1

u(t

)

= l -C> e- k t

+

I'

C>

Deze oplossing wordt gegeven in figuur

1.1.

Het maximale inter val waarop de oplossing bestaat noem en we het existent ie-interval. Dit voorbe eld toont aan dat dit existe nt ie-interval niet alt ij d gelij k is aan de gehele reële recht e, maar ook een deelinter val kan zij n. Omdat dit in het algemeen zal afhangen van de beginwaarde0' word t het hieraangegeven met

I

c>

,

Voordit voorbeeldvinden we de volgende inter vallen:

0'>1 :

I

c>

=

(a,

00), O' E(O,I) : Ic>=~, 0'

<

0:

I

c>

= (- oo, b), lim u(t ) = 00 en u(oo )= 1, tin u(-oo )= 0, en u(+oo )= 1, u(- oo)= 0, en limu(t )= - 00, !Tb

1.2 Voorbeelden

u(t)

1

I

21

a b

Figuur 1.1: Oplossingen van Voorbeeld 1.2.1 voor verschillende waarden van 0:'.

waarin a

=

-

j;

Ina~l voor 0:'

>

1 en b

=

-j;

Ina~l voor 0:'

<

o

.

Merk op dat a

<

0 en b

>

O. Ia bevat dus het tijdstip i = 0 voor alle 0:'. De constante functies u

=

0 en u

=

1 zijn evenwichtsoplossingen: u

=

0 is instabiel en u

=

1 is stabiel. Hiermee bedoelen we dat voor iedere willekeurig kleine verstoring van de beginconditie Ua = 0, dus voor iedere 0:' met 10:'1

«

1 en 0:'

i-

0, de corre-sponderende oplossing bij toenemende i van u= 0 zal weggroeien. Daarentegen zal voor iedere niet te grote verstoring van de conditie Ua

=

1, in het bijzonder voor iedere 0:'

>

0, de corresponderende oplossing bij toenemende t naar u = 1 convergeren. Deze observaties volgen rechtstreeks uit de oplossingsformule(1.3) . Het is ook mogelijk, en vaak zelfs wenselijk, de stabiliteit van evenwichten direct met behulp van de vergelijkingvast te stellen, dus zonder de t ijdsafhan-kelijke oplossing zelf te kennen. We dienen dan het rechterlid van de d ifferen-tiaalvergelijk ing, in dit geval de functie F(u) = ku(l- u), te lineari seren rond de evenwichten ti; E {0,1}. We schrijven daartoe u = U_e

+

v,

lvi

«

1, en beschouwen voor de verstoring v de vergelijk ing

~~

=

rç«,

+

v)

~

F'(ue)v .

Als nu

F'(

ue )

<

0, dan is de absolute waarde van de verstoring een exponentieel dalende functie ini, hetgeen duidt op een stabiel evenwicht. Als echter F'(ue )

>

0, dan is de absolute waarde van de verstoring een exponentieel stijgende functie in i, hetgeen duidt op een instabiel evenwicht. In dit geval hebben we

F'(O)

=

k =} u.;

=

0 instabiel, F'(1)= -k =} U_e

=

1 stabiel.

22 Fundamentele aspecten va n beginwaardeproblemen

In hoofdstuk 3 wordt deze lineari sati etechn iek theoretisch onderbouwd en

toe-gepast op stelsels verg elijkingen. 0

Soms bevat een differentiaalvergelijking een parameter die cruciaal is voor het aan tal evenwicht soplossinge nen hun stabiliteit. Als zo'n parameter een bepaalde kritische waarde passeert , dan kan het aantal evenwichten en hun stabiliteit ver ander en. Zo'n paramet er noem en we een bifu rcatieparam et er. Het volgende voorbeeld , afkomstig uit Boyce & DiPrima [2], behande lt zo'n situatie.

Vo o r b e eld 1.2.2. Beschouw de Landau-vergelijking

du 3

-_dt = (R- R_e)u - au _,

waarin

Re

enaposit ieveconstanten zijnen

R

een par am et erisdieied er epositi eve waarde kan aannem en .

We zien direct dat voor

R

<

Re,

U

e

= 0 de enige evenwichtso plossing is en

omdat

F

'(O)

=

R

- R

e

<

0 is dit evenwicht st ab iel. Als echte r

R

>

R

e

dan kom en er tweenieu weevenwicht en bij,namelijk

u

_e

=

±J(R~

Re).

Deze beideevenwichtenzijnstabiel,terwijl denuloplossinginst abiel is geworden . De situatiewordt weergegeven in een zogenaam d bifurcati edi agram (figuur 1.2)

o

s

Figuur 1.2: Bifurcati edi agr am voor de Landau-vergelijking.

In Voorbeeld 1.2.1is het existentieinterval waarop de oplossing is gedefin ieerd afhankelijk van de beginconditie,maar altijd slechts naar één kant begrensd . In het volgende voorbeeld treedt een eindigexistentie int erv al op.

1.2 Voorbeelden 23

-41t/3 o 1t/4

Figuur 1.3: Oplossing van Voorbeeld 1.2.3 voor a

=

1. Voorbeeld 1.2.3. Beschouw het probleem

{

du = 1

+

U 2 Vt E I,

dt u(O) = a. Scheiden van variabelen geeft

1

U(!) 1

- -ds

=

t

o 1

+

s2 en dus

u(t)

=

tan(arctan

a

+

t)

.

Er geldt nu (zie ook figuur 1.3):

7f 7f 1

= (--

-

aretan

a - -

aretan

a)

o 2 ' 2 en

u(t)

~ - 00 als

t

1

-~

-

aretan

a,

u(t) /'

+ 00 als

t

T

~

-

aretan

a

.

o

Soms hebben we wel existentie maargeen eenduidigheid . Later zalblijkendat dit samenhangt met het ontbreken van de different ieer baarheidvan het rechterlid van (1.1). Ter illustratie het volgende voorbeeld.

Voorbeeld 1.2.4. Beschouw het beginwaardeprobleem

-{ du = U I/ 2 dt u(O) = O. t > 0,

24 Fundamentele aspecten va n beg inwaardeproblemen

Dit prob leem heeft een trivialeoplossing u

==

O. Het heeft ook een niet-triviale

op lossing:

{

U

1

Jo S1/2ds = t

Het is zelfs mogelijk om een hele familievan oplossingen te construeren: voor

iedere c

>

0voldoet .

{

0 0 ~ t ~ c,

u

c(t)

=

Ht _ C)

2

t

>

c.

Deze oplossingen zijn geschetst in figuur 1.4. In dit geval is er dus geen ee

n-duidigheid voor het beginwaardeprobleem. Merk op dat het rechterlid F niet differentieerbaar is in u = 0:

F'(O+)

= 00. 0

U(l)

o

Figuur 1.4: Familie van oplossingen lil Voorbeeld 1.2.4 (geen eenduidigheid) .

1.3

Existentie en eenduidigheid

Nadezeinleid end evoorbeeldenrichtenwijonzeaandachtop de existentie eneen -duidigheid van oplossing en van het Probleem (BW P) . Hierbij volgen wij Hirsch and Smale

[4].

Een alternatief existentiebewij s wordt gegeven in Aanhangsel A.

Eerst merken weop dat we zonder verli esvan algemeenheidkunnen nemen t_o

=

0 en ua

=

O.

Immers stel

1.3 Existentie en eenduidigheid

Figuur 1.5: De slinge r.

25

Dan geld t dat

u

(t)

een oplossing is van Probl eem (B W P )dan en slechts dan als v(

r)

een oplossing is van

(BW Po) {

~~

= G(v ,r )

V

i

E la,

v

(O )

=

o.

Hieri n islahet interval

la=

1 - t

o= {r :T =

t -

iaen

tE

l} .

We maken de volgende fundamentele veronderstelling met betrekking tot de continuïteiten differ en ti eerbaarh eid van defunct ieF(u,i):

{

De functi e F : lRn

x lR ---t lRn is continu en continu differentieerbaar

(H) in u, op het gehe le definitiegebi ed: m.a.w. Fi, ~ E C(lRn

x lR) voor

1~ i,j ~ n.

Voordat de bet ekeni s van deze veronderstellingduidelijk wordt gemaakt, geven we eerst het voorbeeld van deslinger.

Voorbeeld 1.3.1 (Slinger met wrijving). Beschouw zoals in figuur 1.5 de bewegin g van een slinge r in een vloeistofof gas, ten gevolge waar van wrij vin g ontstaat die evenredi gismet de snelhe id . Even wicht van krachtengeeft

Dit betekent

mlû"

=

-mgsin0 - kW', oftewel

26 Fun d a m e nt e le aspecten va n beginwaardeproblemen

We schrij ven de tweede-orde niet-lin eai re differentiaalvergelijkingalseen eerste-orde stelsel. Laat 0' = w (snelheid),dan ontstaat

{

0'= w,

w

'

=

-

7

sin0-

:/;;w

.

Stellen we u =

(

O,w)

en F(u ) =

(

u2, -fsinu ] -

:/;;U2)T

da n geeft dit voor de functionaalma t rix:

a

F

=

(0

\

),

a

u

-7cos

u]-;;-m.a.w. voor het probleem van de slinger voldoet defuncti eF aan (H). 0 Beschouw in~ndebol

B

R met straal

R

>

0

,

BR=

{x

E~n:

IIxl

l

<

R}. Dan geldt het volgend e.

Gevolg 1.3.2 (Consequenties van Hypothese (H» Voor iedere R

>

0 be -staan er constanten M(R) enL(R) zodat

(i)

II

F(x,

t)11

:s;

M(R)

(

ii)

II

F

(x],

t

)

-

F(X2

' t)

11

:s;

L

(R )

Ilx] - x

211

"Ix E

B

R enVt E

(

- R,

R);

V

x ., X

2

E

B

R enVt E

(

- R,

R).

BEW IJ S. De eerste ongelijkheid is een direkt gevolgvan de conti nuïteit van F. De tweedeongelijkheid iseen gevolgvan dedifferen ti eerbaarh eid van F in u en wordt alsvolgt afgeleid .

Voor ieder paar punten x],

X

2

E BR geldt dat de recht e lijn diedeze punten verbindt, d.w.z.

voor O:S;s

:s;

I,

ook-in BR ligt. Voor iedere

t

E ~ en i E {l,.. .,n} vast gekozen ,geld t dat de functie

g(s):= Fi(x(s)

,t) ,

differentieerbaar is. Dus

O:S; s :S;l ,

g(l) - g(O)

=

1

1g'(s )ds

ofwel

F

i(x] ,

t

) -

F

_i

(X

2,

t

)

=

1]

\7

F

_{i · (}

x , -

X

2)

d

s.

Omdat \7F, cont inu is in u en

t

,

bestaat ereenconstante

Lo

(R )

zodat

(1.4)

en voor alle x E BR en

t

E (-R, R) . Dit gebruiken we in (1.4), waaruit volgt dat

1.3 Existentie en eenduidigheid

Fi(

XI'

t) -

Fi(

X2'

t) ~ Lo(R )

I

IXI

-

x

211,

hetgeen ongelijkheid (ii) impliceert met L(R )

=

,;n

Lo(R ).

We kunnen nu de volgende stelling formuleren .

27

o

Stelling 1.3.3 Stel dat F aan (H) voldoet. Voor iedere Uo E ~n en t_o E ~ bestaat er dan een getal a

>

0 en een unieke oplossing u : [to - a,to

+

a] - t ~

van Probleem (BW?).

BEWIJ S. Zoals eerde ropgemerkt nem enwe zonderverlies van algemeenh eidUo

=

o

en t« = O. In plaat s van Probleem (BWP) beschouwen we de geïntegreerd e vorm :

u(t )= lF(u(s ),s )ds. Het zal duidelij k zij n dat

u(t ) oplossing van (1.5) <===} u(t )oplossingvan (BWP).

(1.5)

De beide formuleringen zijn equivalent. We zullen het bewijs van de st ellin g baseren op uitdrukk ing (1.5). Wat we verd er nodig hebb en is het volgend e technische lem ma uit de ana lyse (we geven het zonder bewijs: dit kan gevonden worden in Simmons [7]of Rudin [6]).

Lemma 1.3.4 Laat

I

>

OJ J =

[-I, I]

en beschouw de rij vectorf uncties (of

krommen) {Uk(t)};;:j! tE JJdie voldoet aan

(i) UkE

C(

J ;

~n) voor allek ENj

(ii) Voor iederet

>

0 bestaat er een N = N(t )

>

0 zodat voor alle i,j

>

N max

Ilu

i

- u

.]

<

t-tEJ

Dan bestaat er eenu E C(J;~n) zodat

maxIluk(t )-

u

(t)11

- t 0 als k - t 00.

tEJ

We zeggen dan dat derij

{u

d ;;:1

uniform convergeert .

Dus als we in staat zij neen rij vectorfunctieste const rue ren dievoldoet aan (i) en (ii), dan zegt het lemmadat deze rij een limiet heeft waarn aar derij uniform convergeert . Een gevolg hier van is dat de lim iet en int egr aal mogen worde n verwisseld . Met andere woord en ,

lim r F( uk(s),s)ds =

t

'

lim F(u k(s ),s )ds= rF(u (s ), s )ds ,

28 Fundamentele aspecten van beginwaardeproblemen voor iedere continue functie F :IRn x IR- t IRn en

Uk

- t U, uniform als k- t 00. We benaderen de oplossing van de integraalvergelijking

(1

.5)

door middel van

sucessieve approximatie

(Picard iteraties).

Laat

R

>

o

.

Kies vervolgens a zodat

o

<

a

<

min {

M~)'

L/R)' R}

en laat

J

=

[

-a,

a].

We definiëren de rij krommen {ud~o op het interval

J

door

{

u

o(t )

=

°

t

'

(1.6)

U

k+l (t )

=

J

o

F(Uk(S), s ) ds,

k=O,I, ....

Stel nu dat

Iluk

(t )11

<

R

voor alle

tE

J

en zekere k ~

o

.

Dan geldt ook Iluk+l

(t)1I

lil

F(U k(S), s)

dsll

~

l .IIF(Uk(S),s)1I

ds

~

la

IIF( Uk(S),s)11

ds

~

aM(R)

<

R.

Om dat lIuoll = 0, vinden we met inductie dat de hele rij

[uj }~l

in de bol

BR

ligt : m.a.w.

Ilu k(t )1 1

<

R voor alle k= 0,1,... en alle t E1.

Om tebewij zen dat de rij convergeert gebruiken weLem m a 1.3.4. Laat

c:= max Ilul(t)ll . tEJ

Dan geldt voorallet E J:

Ilu2(t) - Ul (t )11 lil {F( Ul(S),S) -

F(O , s )}

dsll

~

l "F(Ul (S)' s ) - F(O, s )11

ds

~ aL(R) maxll ul(t)11

=

aL(R)c.

tEJ

Wegebruikenweer inducti e.

Stel dat voor zekere k ~ 2geldt

Ilu

k(t )

-

Uk-l

(t)

11

~ (a

L(R ))k- l

c voor alle

tE

J. (1.7)

Dan geeft

(

1.6)

lIu

k+l (t ) -

u

k(t )1 1

~

l

IlF (u k(s ), s ) -

F(u k- d s ), s )1I ds

~

l

L(R )

Iluk(S) - Uk-l(S)11

ds

~

a L(R)

max

I

[u d t )

- u

k- d t )11

=

(a L(R))k

c, tEJ

en dus is (1.7) waar voor alle k;?2.

Laat nu 0':=

a

L(R). Merkop dat 0'

<

1 (t.g.v. de keuze van

a).

We hebben dan voor iedere i

>

j

>

N E N:

Ilu

i (t )

- u

j (t)11

I

lui (t) -

U

i-l(t )

+

U

i-l(t)

- ...

+

U

j+l(t)

-

u

j(t)11

:::; ai -I c

+

O'i- 2_c

+ ..

.

+

O'jc

i- I 00 CO'N

L

O'kc :::;

L

O'kC= - -

<

E,

k=j k=N 1 - 0'

1.3 Existentie en eenduidigheid 29

voor N voldoende groot.

Dan volgt uit Lemma 1.3.4 dat op het interval J de rij

{

u.}

~o uniform convergeert naar een functie u(t ). Nemen we de limiet (k ---. (0) in het linker-en rechterlid van

dan volgt voor de limietfunctie u dat

u(t) = l F(u(s),s) ds,

t

«

J,

m.a.w.u is een oplossing van Probleem (BWP) met Uo = 0 en to= O. Dit geeft de existentie op het interval

J

=

[-a, a]

.

De eenduidigheid wordt als volgt aangetoond. Stel dat u(t ) en

v

(t)

oplossin-gen zijn van (1.5) met de eioplossin-genschap dat

Dan geldt u(t ),

v

(t )

E

B

R voor alle

t

EJ. Laat

I

lu(t) -

v(t)

11

:::;

l

t

IIF(u (s) , s ) -

F

(v (s), s)11

ds :::; L(R)lllu(s )-

v

(s)1 1

ds. (1.8) Q := max

Il

u(t) - v

(t)11,

tEJ

d.w.z. Q is de maximale afstand tussen twee oplossingen. Omdat

Il

u(t) - v

(t)1I

een continue functie is, wordt het maximum aangenomen voor zekere i" E J.

Ongelijkheid (1.8) geeft dan

30

ofwel

Fundamentele aspecten van beginwaardeproblemen

Q(1

-

et

)

~

o.

Omdat

et

<

1 en

Q

~ 0 geeft dit

Q

= 0, m.a.w.

u

(t)

= v(t ) voor alle

t

E1.

o

Voorbeeld 1.3. 5. Beschouw delineaire afbee lding

F

(u ,

t) = A(t)

u

,

waarin

A(t)

een

n

X n-matrix waarvan de eleme nten

aij

cont inue functi es op JR zijn; m.a.w.

aij

E C(JR ) voor 1 ~ i,j ~

n.

Dan voldoe t F aan Hypoth ese (H) en heeft het beginwaardeprobleem

{ du

di

=

A(t)u

u(t

o)= ua,

V

t

EI,

t

oE I,

een oplossing in een zekere omgeving van het punt to. In hoofdstuk 2 lat en we

zien dat het existentie-interval voor lineaire verg elijkingen met continue c oëffi-ciëntende heleJRis. Dus in bovenstaand stelselgeld t I = JR. AlsAeenconstante matrixis (onafhankelijk van

t)

,

dan geeft dePicardit eratiede benaderingen

u

o(t )

UA,

Ut(t)

(I

+

At)Ua,

U2(t )

(I+At+~A2e)Uo

,

Volgens het bewijs van Stelling 1.3.3 convergeert deze rij naar een limiet

u(t ).

Deze limi et noteren we als

met

o

Hierond er volgen enkelebelangr ijke consequenties van Stelling 1.3.3.

Gevolg 1.3.6 Bij autonome different iaalvergelijkingen, waarv an het rechterlid voldoet aan (H), snijden oplossingen elkaar niet .

BEWIJ S . Laat 1[,12

ç

IR. open int ervallen zijn . Stel dat u [1 - t IR.n en v : 12 - t IR.noplossingen zijn van vergelij king (1.1) en dat geldt

1.3 Existentie en eenduidigheid 31

u(t d = v(t2) voor zekere ti E11en

t

2E 12.

Laat nu

w(t ):= v(t 2- tI

+

t).

Dan hebben we de situatie waarin u en w beid e oplossinge nzij n van (1.1), beid e gedefinieerd in een omgeving van ti, die voldoe naan u(td

=

w(t d. Wegens de eenduid ighe id van het beginwaardep ro bleem geldt dan dat

u(t )= w(t) in omgeving van i-:

Dus een sit uatiein IR.nzoalsgeschet st in defiguur hieronder kan niet optred en.

v(t)

u{t)

u(t)

v{t)

o

Gevolg 1.3.7 Laatu :IR.- t IR.n (defi nit iegebied IR.) een niet-constante oplossing

zijn van de vergelij ki ng (1.1), waarin het recht erlid voldoet aan

(H).

Als geldt dat u(td = u(t2 ) voor

it

,

t2 E IR. dan is u(t) periodi ek met periode

It

l - t2

1.

BEWIJS. Gebruik makend van Gevolg 1.3.6 kan worden aangetoond dat de on-derstaandesituatieniet kan optreden.

Wel kunnen gesloten krommen , als representatie van periodieke oplossingen, voorkome n .

32 Fundamentele aspecten van beginwaardeproblemen

(Geom etrischeinterpretatie van deoplossing )

o

Gevolg 1.3. 8 (Maximaal tijdsinterva l van op lo ssin g ) Laat u( t) de o plos-szngzZJn van

{

du = F(u ,

t),

dt

u

(to)

= Uo,

en laat (a-, a+) het maximale interval zijn waarop deze oplossing bestaat. Als

a+

<

00 dan geldt

lim

Il

u(t)11

= 00 tla+

Als a-

>

- 0 0 dan geldt eveneens

(Opblazen van de oplossing).

lim

lI

u(t)1I

= 00.

tla-BEWIJS. We bekijken alleen het geval a+

<

00. Om een tegenspraak te creë ren

veronderstellenwe

lim

Il

u(t)11

<

00.

tTa+ (1.9)

Beschouwvervolgens vergelijk ing(1.1) met startvector u(é),hetgeen goed ge -definieerd is volgens (1.9). Volgens Stelling 1.3.3 weten we dat er een e

>

0 is zodat de oplossing bestaat op het interval [a+ - e,a+

+

é

],

m.a.w. a+ is niet de

maximalebovengrens. Dit levert de gewenste tegenspraak op. 0

Opmerking 1.3. 9 . We hebben dus aangetoond dat Probleem (BW P), met F

volgens(H), voor iedere UoE~n en

t

oE~ een oplossingheeft op een maximaal existent ie-int ervalf = (a-,a+). Dit interval zal afhangen van dewaarde van de start vector uo. We schrijven daarom dikwijls J

=

f(u o). Als - 00

<

a-

<

a+

<

1.3 Existentie en eenduidigheid 33

Vervo lgens beschouwen we de continueafhankelijkheid van de oplossing ten opzichte van de startvector (begin data), m.a .w. het goed gesteld zijn van Pro-bleem (BWP) (Engels: well-posedness). We zullen laten zien dat twee oplossin -gen van dezelfde differentiaalvergelijking, maar met verschillende startvectoren, nooit meer dan exponent ieel met de tijd uit elkaar kunnen groeien.

Stelling 1".3.10 (Continue afhankelijkheid va n beginwaarden ) Stel er be-staat eenL

>

0 zodatF : IRn x IR---+IRn voldoet aan

IIF(u ,

t)

-

F(v , t)11 ~ LIlu - vii ,

(

1.10)

Voor het bewijs hebben we een belangrijk e ongelij khe id nodig die word t ge -geve n in het Lemma van Gronwall.

voor alleu,v E IRn ent E IR. Laat u,v :J ---+ IR oplossingen zijn van vergelij-king

(l.l)

die voldoen aan u(O) = Ua env(O )= Va. Dangeldt

Ilu(t) - v(t )11 ~

é

t Ilua - vall

'ri

t

EJ.

Lemma1.3.11 (Gronwall) Zij gegeven a

>

0 en u : [0, a] ---+ IR conti nu en niet-n egatief. Als er constanten C,L

>

0bestaan zodat

0:::; u(t) :::; C

+

l

Lu(s ) ds

'rit

E

[

0,

a

],

dan geldt

'ri

t

E

[O

,a].

BEWIJS. Definieer U:

[0

,

a] ---+ IR door

U(t )=

C

+

l

Lu(s)ds. Dan geldt

Dus

u(t) ~ U(t) en U'(t)

=

Lu(t)

'rit

E[0,

a].

U'(t) = Lu(t) ~ L

U(t) U(t) '"

waaruit door integratievolgt

U(t ):::; U(O)é t

'rit

E [0,

a],

'ri

t

E [0,

a].

OmdatU(O) = C en u(t) ~ U(t), lever t dit de gevraagde ongel ijkhe id. 0

BEWIJS VAN STELLING 1.3.10. Voor de oplossing u(t ) en v(t ) schrijven we

34 Fundamentele aspecten van beginwaardeproblemen

Met dedrieho eksongelijkheidgeeft dit

Ilu( t) - v(t)1I

~

Ilua-

voll

+

lIIF(U(s), s )- F(v (s ),s )11 ds. Hierin gebru iken we deongelijkheid (1.10). Dan ontstaat

Ilu (t ) - v(t)11

~

IJua - vo]

+

l

LIlu(s) - v(s)11 ds.

Toepassing van het Lemma van Gronwall geeft dan het gewensteresul aat. 0

Opmerking 1.3.12. Laat F voldoen aan (1.10) en laat F(u e)

=

0 voor een zekere u, E ~n. Deze constante vector is dan een evenwichtsoplossing van ve r-gelijking (1.1) . Volgens Stelling 1.3.10 hebben we, voor

v(t)

=

u ,,

Ilu (t )- uell ~

é

tIlua - uell, i

«

J,

hetg een impliceert dat Ilu(t)11 begrensd is op J. Volgens Gevolg 1.3.8bet ekent dit dat a+

=

00 en a-

=

-00, met andere woorden, dat we onder dezeaannam e

op F globaleexistentievan een oplossing hebben (existentie-intervalis ~) .

o

1

.4

Oplossingen als banen in het fasevlak

De oplossing

u: I - t R"

van Probleem (BWP) beschrijfteen baan in de ~n, de n-dimensionalefaserui m-te. Als n = 2 spreken we van het fasevlak. Dus corresponderend met ied ere startvector Ua is een baan in de faseruimteen vanwege Gevolg 1.3.6 kunnen bij

autonome vergelijkingen de verschillende banen elkaar niet snijden. Weg ebrui-ken dezeinformatie om oplossingenvan differentiaalvergelijkingenin kwalitati eve zin te onderzoeken. Om de ana lyse (relatief) eenvoudigte houden beperk en we ons hier tot autonome vergelijkingenen n = 2. Voorbeeldenvan fasevlakanalyse kunnen worden gevonden in Boyce & DiPrima [2] of in Peletier [5], waarbij de laatstevooral de moeite waard is voormeer wiskundig geori ën teeerde stude nten . Bij het tekenen van oplossingen als banen in het fasevlak speelt , naast het niet kunnen kruisen van de banen, het tekenschemavan het rechterlid van de vergelijkingeen belangr ijke rol. Als

dUI

dt

dU2

1.4 Oplossingen als banen in he t fasevlak 35

dan beweegt de baan naar rechts (links) in het ul-u2-vlak als FI

>

0 « 0) en naar boven (beneden) als F2

>

0« 0). Voorts spelen de krommen gedefinieerd door

F

I = 0en

F

2 = 0, de zogenaamde isoclinen, een belangrijke rol, omdat zij een scheiding aanbrengen tussen de verschillende gebieden in het fasevlak. We zullen het een en ander illustreren door Voorbeeld 1.3.1 weer op te pakken en verder uit te werken.

Vo o r b e e ld 1.4.1. We beschouwen opnieuw de slinger en in het bijzonder het corresponde ren de beginwaardep robleem

{ 0"

+

!::;O'

+

7

sin0= 0

(S)

0(0)

=

00' 0'(0)= O~. VtEJ, OEJ,

(1.11)

Welat en eerst zien dat ditprobleem een glob ale oplossing heeft(1= IR).We g

rij-pen hier teru naar Voorb eeld 1.3.1 waarin vergelij king 1.11 werd omgeschreven

naar een eerste-orde stelsel met als vectorfunctie

(

U2 )

F(u )= . k .

-

7

sinUI - ;;;-U2

(1.12)

Omdat deze functi e aan (H) voldoet heeft Probleem (S) een uniekeoplossing in een zekere omgeving van

t

= 0 (lokale oplossing). Omdat

geldt er

IIF (u) - F(v)112

=

(U2 - V2)2

+ (

-y(sinUI - sinVI) _

~

(U2 _ V2)) 2

Gebruik makend van deongelijkheid

a,b E IR, en van demiddelwaardest elling toegepast op de sinus-funct ie

[sinUI - sinVI I I(UI - VI )cos ç l

~

lUI -

v

II,

ont st aater

voor ç tusse n UI en VI,

IIF( u) - F(v ) 112 2k

2 _2g2

~

(1

+

m₂)(U2- V2?

+

r (sinUI - sinVI)2

2k2 _2g2

~

(1

+

m₂)(U2- V2)2

+

r(ul -

vd

~ L2 11u_ vl12,

36 waarin

Fundamentele aspe ct e n van beg in wa a r d e p r oblemen

2

{

2P

2g2}

L = max (1

+

m2 ),

[2

.

Dus de functi eF voldoet aan de ongelijkheid genoemd in Stelling 1.3.10. Kies nuva

=

O. Omd at

va= 0 ===} vet )= 0 geldt er volgens Stelling 1.3.10 voor

u

(t )

dat

lI

u(t)11

~

I

luoll

eL!

<

00

VtE~,

VtE~.

(1.13) en geïntegreerd

Dus de oplossingisgoed gedefinieerd voor ieder

t

E~, m.a.w. het beginwaarde-probleem (S) heeft een globaleoplossing.

Hoe zien de banen

u(t)

eru it in het fasevlak ? We onde rscheide n de sit uat ie zonder wrijvingen diemet wrijving.

Zonder wrijving (k

=

0). Dan ontstaat het stelsel

{ 0 '

, :" . . 0

w - - ,sm ,

het tekenschemavan 0enw is aangegeven in figuur 1.6. De isoclinen zijn hier de lijnen

{w

=

O}

en{O

=

kx . kEZ}. Door de vergel ijkingen op elkaarte delen zien we dat langsdeoplossingskrommen geldt

dw 9 sin0

dO

=

-Z ----:;;-

'

W2 =

w~

+

2!(cos0 - cos00 ) , (1.14)

Deze vergelijkingengebruiken weom desituati e in het fasevlak te schet sen. De evenwichts- of kritieke punten zijn :

{(h,O)

:

kEZ}.

In hoofdstuk 3 beschrijven wehoe kan wor den vastgsteld ofzij stabiel/i nst abiel. Om de banen nabij de evenwichte n te kunnen schetsen gebruiken we de geli -neariseerde vergelijkingen. Dit wordt uitgelegd in paragraaf 2.4. In het daar ontwikkeldejargon het en de punt en

(±1r,

0) zadelpunten en de oorsp rong (0, 0)

een centrum punt.

Deseparat rix,dat wilzeggen dekrom me die de zadelpuntenverb indt,wordt gegeven door

1.4 Op lo ss ingen als banen in het fasevlak ca 37 I :8' >0,w' >0 I I I I , 1 / , j" "-,....n' I " I I I I I I I :8' < 0,w' > 0

o

p 8'>0,w'<0 :1t 8 I I I I I I I I I I 8' <0, w' <0 :

Figuur 1.6: Banen in het fasevlak voor de slinger zonder wrij-ving . Voor het bepalen van de banen is gebruik gemaakt van uitdrukking

(1.14)

De ene rgie van de slinger wordt gegeven door

E

=

Ek

+

Ep

=

~m(lBI)2

+

lmg(l - cos B), ofwel

2E 2 2g

mZ2 = W

+

/(1-

cosB).

Dus de sep arat rix correspondeert met een energie van E = 2mgl. Deperiodieke

banen binnen de separatrixhebben E

<

2mgl, de banen daarbuiten E > 2mgl. We kunnen ook iet s zeggen overde periode van de periodiekeoplossingen, De

baan die op tijdstip

t

= 0start in punt P heeft als begincond it ies0(0)= Bo= 0,

w(O)

=

Wo en voldoet volgens

(

1.14)

aan 2 2 2g (

W = Wo

+

/

cos

B

-

I).

Na een kwart periode

(t

=

T/4)

geldter

2 2g

o

= Wo

+

'T

(

cosBM -

1),

(1.15)

waarin BM de maximaleuitwijkingshoek is. Eliminati e van Wo uit

(

1.15)

geeft

dO

w = - =

38 Fundamentele aspecten va n beginwaardeproblem e n

en dus ook dat

hetgeen im pliceert dat

-rO(I ) dO

/li

Jo

>leas0 - cosOM = i,

- rOM dO

/li

Jo

>lcos0 - cosOM

We gebruiken deidenti teit

0<i

<

~,

T

4

(1.16

)

Stellen we vervolg ens

(1.17)

en introduceren de vari ab ele

4J

E [0,

%]

door middel van

. (0)

.

(OM) . Á-.

sin

2" =

sin

"2

sin '1".

. OM

À= sm( - ) ,

2

dan geeft substi tutiehiervan in (1.16) na vereenvoudi ging

n

["/2

d

4J

T

= 4y

g

Jo

jl _

V

sin'

4J

.

Dit is eenellipt ische integraalvan deeerste soor t (zie Abramowitz & St egun

[1]).

Er zijn tweeinteressantelimieten:

(i)

OM;::::j 0

=>

À

~

1

=>

T = 27r1f;

(ii) OM ---+7r

=>

À---+1

=>

T

---+ 00.

Het feit dat geldt (of liever gezegd: moet gelden )T ---+ 00 alsOM ---+7r volgt ook

uit een eenduidigheidsargument (ga dit na!).

Met wrijving

(k

>

0).

We gaan nu uit van het stelsel

{

0'= w,

w' = -:!;w

- r sinO.

Merkop dat delokati evan de evenwichts punten hetzelfdeis als in de situatie

zon-der wrijving. Bij de differenti aalvergelijkingen hoort het volgende tekenschema

in het fasevlak (zieook figuur 1.7)

0'

>

0 Ç::::::} w

>

0,

, mg . 0

1.4 Op lo ss in ge n als banen in het fasev la k

Figuur 1.7: Banen in het fasevlak voor de slinger met wrijving, bepaald door numerieke integratie van de differentiaalvergelij-kingen metgjl

=

1 en kjm

=

1.

39

Zoals reeds opgemerkt kan het gedrag van de oplossingen (banen) in de buurt van de evenwichtspunten worden onderzocht door de vergelijkingen te lineariseren.

Rond (0,0) ontstaat het lineaire stelsel

{

()' =w,

w

'

=

-

-f;;w

-

t()

·

(1.18)

Volgens paragraaf 2.4 betekent dit dat de oorsprong een stabiele spiraal is, het-geen wordt bevestigd door de banen in figuur 1.7.

Rond

(-1l",

0) ontstaat het stelsel (met () =

-

1l"

+

u,

w = 0

+

v)

{ u' - V

v

' :

~-f;;v

+

t

u.

(1.19)

Dit betekent dat het punt

(-1l",

0) een zadelpunt is. Dit komt overeen met het gedrag van de banen in figuur 1.8. Deze figuur laat een uitvergroting van de situatie rond het evenwichtspuntzien . De stabiliteit kan worden bepaald met de theorie uit hoofdstuk 3.

40 Fundamentele aspecten van beginwaardeproblemen

ij

Figuur 1.8: Uitvergroting van de situatie in een omgeving van

het zadelpunt

(-71",0).

1.5

En

ke le expliciete methoden

Wil men van een bepaalde vergelijk ing nagaan of er een expliciete uitdrukking

voor de oplossing bekendis, dan is het raadzaam om naast het gezondver standde

literatuurte raadplegen. Er is namelijkgoed encyclopedisch werk op dit gebied beschikbaar,bijvoorbeeld het zogenaamde "Hand book of Differential Equati ons"

van Zwillinger [8] waarin tevens veel referenties naar eerdere klassieke werken

voorkomen. Wij zullen ons hier beperken tot enkele veel voorkomende typen

van expliciet oplosbare vergelijkingen.

We beginnen met enkele eerste-orde scalaire vergelijkingen. Afgeleid en naar

t

worden soms met accenten aangegeven.

1.5.1

Vergelijkingen van de vorm:

u'

+

p(t)

F(u)

=

0

Dit is een separabele vergelijk ingendeze wordt aangepakt met de methode van

scheiden van variabelen, zoals besproken in Voorbeeld 1.2.1. Het oplossen va n

zo'n ver gelijk ing komt dus in feit eneer op het uitrekenen van twee integralen.

1.5.2

Vergelijkingen van de vorm:

u'

+

p(t)u

=

r(t)

Dit is een lineaire vergelijking. Als r

==

0 dan spreken we een homogen e ve

rge-lijking. Deze is separabel en de methode van scheiden van variabelen geeft als

oplossing

Uh(t)

=

Cexp (-

/p(s

)ds).

De constante C en de integratie grens volgen uit de begin condi ti e. Als r :1=

0, dan noemen we de vergelijking inhomogeen. Ied er e oplossing u(

t)

van zo'n

1.5 Enkele expliciete methoden 41

de homogene vergelijking(Uh) en een willekeurige oplossing van de inhomogene

vergelijking, de zogenaamde particuliere oplossing

(Up):

Zo'n particuliere oplossing wordt dikwijls bepaald als verstoring van de oplossing van de homogene vergelijking: we proberen een oplossing van de vorm

Up(t)

=

C(t)

exp (- /

p(s) ds) .

Na integratie volgt

U(t)

= { /

r(T)exp

(+

r-

p(s)ds) dr

+

C}

exp (- /

p(s)ds).

In

paragraaf 2.3 zal deze methode ook worden behandeld voor tweede-orde

ver-gelijkingen.

Voorbeeld 1.5.1. Los op het beginwaardeprobleem

{

U I - U = sin

t, t

EIR.,

u(O)

= O.

Volgens de theorie van paragraaf 1.3heeft dit probleem een eenduidige oplossing

in een omgeving van t = O. Dus als we met de hierboven beschreven procedure

een oplossing kunnen construeren, dan moet dit de enige zijn. We vinden

en

Dus

() C t 1. 1

u

t

=

e - - sm

t - -

cos

t.

2 2

Om aan de beginconditie te voldoen kiezen we C = ~. Het definitie gebied van

deze oplossing (het existentie interval) isIR.. 0

Soms lukt om via een transformatie een vergelijking naar een expliciet oplosbaar type om te schrijven.

42 Fundamentele aspect e n van beginwaardeprobl e me n

1.5.3

Vergelijkingen van de vor

m :

u'

+

p

(

t

)u

=

r(t)u

k,

k

E

Z

(k#l)

Dit is de vergelijking van Bernoulli. Voeren wedetran sform at ie z(i) = {u(

t)}

l - k uit,dan ontstaat voor z delineaire vergelijking

1

d

z

- -_{1 -} k_.

-d

_i

+

p

(i )z

=

r(i)

.

Dezelossen weop volgens deprocedure van subparagraaf 1.5.2.

Voorbeeld 1.5.2. Los op het beginwaardeprobleem

{

U I

+

i -l U = u2, i

>

0,

u(l

)=1.

Dit pro blee mvalt ook binnen de categorie zoals bespr okenin paragraaf 1.3

(zo-lang i

>

0) en heeft dus een eend uidige oplossing in een omgeving van i = 1.

Deze vinden we via de transformatie

z

(i)

=

l

j u(i ),

omdat

k

=

2. Voor

z

volgt het begin waard eprobleem

{

Z' - i-1Z = -1, i

>

1,

z

(l )

= 1.

Wevinden

zh

(i)

=

C

i

(kies direct

C

= 1wegens begin condi ti e)en

z

p

(i)

=

{-l

exp

(-l

T

~d

s)

dT}

i

= - iln i.

Dus

1

z

(i )

=

i(1

-In

i

)

en

u(i

)

=

i(1 - ln

t

)"

Het existe nt ie interval is hier het interval

(0

, e

)

.

1.5.4

Exacte differentiaalvergelijkingen

Exacte differ en ti aal vergelijkingen zijn vergelijkingen van de vorm

du

aN

a

l

Vl

N(

u

,

i

)di

+

M

(u

,

i

)

= 0 met

at

au

.

In zo'n geval zoeken we een functi e

lJ!

(u

,

i),zodat

D

a

IJ!

1.5 Enkele expliciete methoden 43

hetgeen alt ij d mogelijk is vanwege de conditiesop M en N. De oplossing van de different iaalvergel ij king wordt impliciet gedefinieerd door

l1I

(u(t ), t)

= constant. De const ante volgt uit de beginwaard e.

Voorbeeld 1.5.3. Losop het begin waa rd ep robl eem

{

2t

uu'

+

2

t

+

u

2

₌

_0,

_t

_>

_0,

u

(l )

= 1.

In een omgevingvan

t

= 1 isereeneenduidige oplossing en wekunnen hiervoor een uitdrukking vinden omdat devergelijking exact is,met

N(u

,

t

)

=

2tu

en

M(u

,

t)

=

2t

+

u

2

•

Voor de functie 111 vinden wedan

111

(u,

t

)

=

tu

2

+

t2

.

Deoplossing

u

=

u

(t )

moet worden bepaald uit

Dit geeft

~

u

(t )

=

+V~-t-'

met (0,-)2] als existentieinterval. D

Opmerking 1.5.4. Het loont dikwijls demoeite eerst opeigen intuïtieaf tegaan alvorens handboeken met oplosrecepten te raadplegen. Zo kan de vergelijking van het laatste voorbeeld, met w = u2

, omgeschr even worden naar de lineaire

verg elijking

dw

d

'i:

+

2t

+

w

=

dt

(

tw)

+

2

t

= 0.

De oplossing wordt gevonden door directe int egrati e, dus zonder enige kenni s

van exacte vergelijkingen. D

Sommige tweede-ord e vergelijkingen kunnen door betrekkelijk eenvoudige sub -st it ut ies of transformatiestot eeneerste-ordevergelijk ingworden teruggebracht. We geven hiervan enkele voorbeeld en.

Vt

E

I,

Vt E

I

,

44 Fundamentele aspecten van beginwaardep ro b le m e n

1.5.5

Vergelijkingen van de vorm:

Uil =

F(t, u')

Dit is een vergelijking zonde r u. Het corresponderende beginwaardeprobleem,

{

u"

=

F

(t ,

u')

u(t

o)

=

Uo, u'(t

o)

= u~,

to

E

I

,

wordt als volgt opgelost. Stelu' = v. Dan ontstaat het eerste-orde probleem

{

V

' = F

(t ,V) VtE

I,

v(t

o)= u~, toE I, en hierui t

u(t)

=

Uo

+

1

t

V(

T)

dr, to

1.5.6

Vergelijkingen van de vorm:

Uil

=

F

(

u, u')

Dit is een vergelij king zonder t. Om het beginwaardeprobleem

{

u"

=

F(u,

u')

u

(t

o

)

=

Uo

,

u'(t

o

)

= u~,

to

E

I

,

op te lossen, gaan we als volgt tewerk. Stel u ismonot oon op subintervallenvan

Is

c

I.

Op zo' n interval werken we met de inver se

a

=

u-I

,

d.w.z.

er(u(t ))

=

t, t

E Is.

We beschouwen dan de functi e

V(

u)

=

u'(lJ (u )).

Dan geldt

dv

"

da , , 1 " 1

-=u -=U

=u

du

du

u'(lJ(u) )

V

Dus { V

~>

F

:U,

v),

v(uo)

=

Uo·

Hier lossen we

v

=

v(

u)

uit op en integreren vervo lgensom

u

=

u(t)

te krijgen

1

t 1

1

t

--U'dT

=

dr to

v

(

u)

to

l

U(t ) 1

-

( )

ds

=

t - to

voor

t, to Els

.

Uo v s