Zestaw 06: Drgania Maciej J. Mrowi´nski 1

Zestaw 06: Drgania

Maciej J. Mrowi ´nski 1 stycznia 2019

Zestaw do samodzielnego rozwi ˛azania po wykładzie z drga ´n. Nie jest obowi ˛azkowy i nie oddajecie mi tych rozwi ˛aza ´n. Je ˙zeli kto´s ma problemy/pytania, to oczywi´scie zapraszam na konsultacje.

Pytania

• Jak definiujemy sił ˛e harmoniczn ˛a (prawo Hooke’a)?

• Jak porusza si ˛e ciało, na które działa siła harmoniczna?

• Czy siła harmoniczna jest zachowawcza? Je ˙zeli tak, to jaki odpo- wiada jej potencjał?

• Jaka zast ˛epcza stała spr ˛e ˙zysto´sci odpowiada równoległemu po- ł ˛aczeniu spr ˛e ˙zyn? Jaka zast ˛epcza stała spr ˛e ˙zysto´sci odpowiada szeregowemu poł ˛aczeniu spr ˛e ˙zyn?

• Czym s ˛a drgania tłumione? Z jakimi mo ˙zemy mie´c do czynienia przypadkami drga ´n tłumionych?

• Czym s ˛a drgania wymuszone? Na czym polega zjawisko rezonan- su?

Problemy obliczeniowe

• Rozwi ˛a ˙z równanie opisuj ˛ace ruch wahadła o długo´sci l stosuj ˛ac przybli ˙zenie małych wychyle ´n. Wyznacz okres drga ´n.

• Wyznacz poło ˙zenie w funkcji czasu¹dla oscylatora tłumionego², ¹T ˛a sam ˛a metod ˛a, której u ˙zyli´smy na wykładzie dla zwykłego oscylatora - to znaczy przewiduj ˛ac wynik w postaci x(t) =Ce^rt.

2Czyli oscylatora, na który działa siła hamuj ˛aca F= −bv, gdzie b to pewna stała.

rozwa ˙zaj ˛ac osobno przypadek drga ´n tłumionych i przetłumionych.

Na podstawie uzyskanych rozwi ˛aza ´n wyznacz posta´c rozwi ˛aza- nia dla przypadku granicznego, mi ˛edzy tłumieniem a przetłu- mieniem³. We wszystkich trzech przypadkach przyjmij warunki

3Wymaga to wysilenia kilku szarych komórek, ale daje si ˛e zrobi´c. Nie cho- dzi mi o rozwi ˛azanie od pocz ˛atku równania ró ˙zniczkowego dla tego kon- kretnego przypadku, ale o wyznaczenie na podstawie wcze´sniej uzyskanych wyników tego rozwi ˛azania.

pocz ˛atkowe x(t=0) =0 m i v(t=0) =v0m/s.

Problemy numeryczne

• Równanie opisuj ˛ace ruch wahadła o długo´sci l ma posta´c⁴

4Tak, jest to podpowied´z do podpunktu obliczeniowego!

d²ϕ

dt² = −ω²₀sin ϕ (1)

gdzie ω²₀ = g/l. Jest to równanie, które ju ˙z wiele razy rozwi ˛azy-

wali´smy numerycznie, tylko z inaczej oznaczonymi zmiennymi⁵. ⁵Podpowied´z dla tych, którzy przy tworzeniu postaci oszcz ˛edzaj ˛a na percepcji: x→ϕ.

z e s taw 0 6: drgania 2

Porównajcie wi ˛ec dla kilku wychyle ´n pocz ˛atkowych ϕ0rozwi ˛aza- nie numeryczne tego pełnego równania bez przybli ˙zenia małych wychyle ´n z wynikiem analitycznym zakładaj ˛acym to przybli ˙zenie.

Załó ˙zcie, ˙ze pr ˛edko´s´c pocz ˛atkowa⁶ω(t=0) =0 rad/s. ⁶Jest to troch ˛e niefortunny konflikt oznacze ´n.

• Porównajcie wyniki analityczne uzyskane dla oscylatora tłumione-

go z wynikami numerycznymi⁷. Mo ˙zecie w ten sposób sprawdzi´c, ⁷Pami ˛etajcie, ˙zeby u ˙zy´c tych samych warunków pocz ˛atkowych. Ta podpo- wied´z dotyczy oczywi´scie wszystkich podpunktów.

czy udało si ˛e wam poprawnie odgadn ˛a´c posta´c rozwi ˛azania dla przypadku granicznego.

• Rozwi ˛a ˙zcie równie ˙z numerycznie równanie ruchu dla oscylatora

z wymuszeniem⁸i porównajcie to rozwi ˛azanie z wynikami anali- ⁸oba przypadki

tycznymi podanymi na wykładzie⁹. ⁹Przy ich wyznaczaniu przyj ˛ałem zerow ˛a pr ˛edko´s´c pocz ˛atkow ˛a i zerowe poło ˙zenie pocz ˛atkowe