Zestaw 01: Formalno´sci i Podstawy Kinematyki Maciej J. Mrowi´nski 1

Zestaw 01: Formalno´sci i Podstawy Kinematyki

Maciej J. Mrowi ´nski 1 stycznia 2019

Zestaw do samodzielnego rozwi ˛azania po pierwszym/drugim wy- kładzie z kinematyki. Nie jest obowi ˛azkowy i nie oddajecie mi tych rozwi ˛aza ´n. Je ˙zeli kto´s ma problemy/pytania, to oczywi´scie zapraszam na konsultacje.

Pytania

• Jak nazywa si ˛e prowadz ˛acy?

• Jaki jest adres strony przedmiotu?

• Co nale ˙zy wpisa´c w temacie maila do prowadz ˛acego?

• Jak definiujemy pr ˛edko´s´c chwilow ˛a?

• Jak powi ˛azane s ˛a ze sob ˛a pr ˛edko´s´c, przyspieszenie i poło ˙zenie ciała?

• Czym ró ˙zni si ˛e poło ˙zenie od drogi?

• Jak mo ˙zemy wyznaczy´c drog ˛e przebyt ˛a przez ciało?

• Przy pomocy jakich wzorów mo ˙zemy opisa´c ruch ciała o stałym przyspieszeniu?

Problemy obliczeniowe

• Poło ˙zenie ciała zale ˙zy w nast ˛epuj ˛acy sposób od czasu:

x(t) =A0cos(ωt+δ)e^−αt, (1) gdzie A0, ω i α to stałe. Wyznacz pr ˛edko´s´c i przyspieszenie tego ciała w funkcji czasu.

• Przyspieszenie ciała zale ˙zy w nast ˛epuj ˛acy sposób do czasu:

a(t) = ^a0t

τ , (2)

gdzie a0i τ to stałe. Wyznacz pr ˛edko´sci i poło ˙zenie ciała w funkcji czasu.

z e s taw 0 1: formalno ´sci i podstawy kinematyki 2

Problemy numeryczne

• Pr ˛edko´s´c ciała zale ˙zy w nast ˛epuj ˛acy sposób od czasu:

v(t) =v0e^−t/τ, (3)

gdzie v0i τ to stałe. Wyznacz analitycznie¹drog ˛e s(t)przebyt ˛a ¹czytaj: znajd´z wzór

przez to ciało w funkcji czasu. Narysuj zale ˙zno´s´c s(t)na wykresie^{2 2}Je ˙zeli kto´s nie zna jeszcze ˙zadnego programu do robienia wykresów, to na pocz ˛atek najprostszy chyba b ˛edzie gnuplot. S ˛a równie ˙z dost ˛epne biblioteki dla Pythona. Warto te ˙z rozwa ˙zy´c, je ˙zeli kto´s tylko b ˛edzie zajmowa´c si ˛e analiz ˛a danych, nauk ˛e ´srodowiskaR.

dla czasów z zakresu t ∈ [0 s, 10 s], przyjmuj ˛ac przy tym v0 = 2 m/s i τ=_{3 s.}

Na wykładzie pokazali´smy, ˙ze po podziale czasu na przedziały rozpoczynaj ˛ace si ˛e w chwilach{t₀, t₁, . . .}, drog ˛e przebyt ˛a przez ciało po upływie czasu t_i > t₀mo ˙zna wyznaczy´c korzystaj ˛ac z

zale ˙zno´sci^{3 3}Albo, patrz ˛ac na to troch ˛e inaczej:

je ˙zeli wprowadzimy stały krok czasowy

∆tj =∆t, wówczas droga przebyta po upływie czasu t=n∆t (gdzie n∈_Z^>) to s(_n∆t) =_∑ⁿ_j=⁻₀¹v(_j∆t)_∆t.

s(ti) =

i−1∑

j=0

v(tj)∆tj (4)

gdzie∆tj =tj+1−tjto tak zwany „krok czasowy”, który musi by´c

bardzo^mały. Przyjmuj ˛ac, ˙ze ka ˙zdy krok czasowy wynosi⁴ ∆tj= ¹⁰_N s, ⁴Co odpowiada podziałowi[0 s, 10 s]na N przedziałów.

gdzie N ∈ Z^>, u ˙zyj równania4do odtworzenia s(ti)dla czasów z przedziału[0 s, 10 s]. Porównaj na wykresie tak uzyskane wyniki

dla ró ˙znych warto´sci N z rozwi ˛azaniem analitycznym.^{5 5}Na przykład dla N = 2, 20, 200, 2000, 20000.