Michał Pazdanowski
Instytut Technologii Informacyjnych w Inżynierii Lądowej Wydział Inżynierii Lądowej
Politechnika Krakowska
[ 1 \
Ciągi Sturma
Ciągi Sturma mogą posłużyć do oszacowania widma wartości własnych macierzy. Przy ich użyciu możemy określić, z dowolną dokładnością, przedziały, w których zawarte są poszczególne wartości własne symetrycznej macierzy trójdiagonalnej T[ ]n×n badając jak zmieniają się znaki jej kolejnych minorów M. Stosujemy w tym celu wzory, które dla danej macierzy trójdiagonalnej T[ ]n×n :
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
−
−
−
=
−
−
−
− +
+
−
−
λ λ
λ λ
λ
n n n
n
n n n
n k
k
k k k
k k k
k k
d p
p d
p
p d
p
p d
p
p d
T
, 1
,
, 1 1
, 1 ,
1
1 , ,
1 ,
, 1 2
, 2 1 , 2
2 , 1 1
, 1
0
0
O O
, (1)
pozwalają wyznaczyć dowolny minor główny z następującej zależności rekurencyjnej:
) ( )
( ) (
) (
) ( )
( ) (
) (
) (
1 ) (
2 1 , , 1 1
,
2 1 , , 1 1
,
1 , 1 1
0
λ λ
λ λ
λ λ
λ λ
λ λ
λ
−
−
−
−
−
−
−
−
⋅
⋅
−
⋅
−
=
⋅
⋅
−
⋅
−
=
−
=
=
n n n n n n
n n n
k k k k k k
k k k
M p p M
d M
M p p M
d M
d M
M
M
M . (2)
Obliczenia najłatwiej jest prowadzić w tabeli, w której notujemy jak przy zmianie wartości λ zmieniają się znaki kolejnych minorów.
Sposób postępowania najprościej będzie prześledzić na przykładzie. Rozważmy więc trójdiagonal- ną symetryczną macierz T o współczynnikach rzeczywistych:
⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
−
−
−
−
−
−
=
λ λ
λ λ
5 3
0 0
3 2
5 0
0 5
3 2
0 0
2 4
T , (3)
Zgodnie ze wzorami (2), jej kolejne minory możemy obliczyć jako:
) ( 3 3 ) ( ) 5 ( ) (
) ( 5 5 ) ( ) 2 ( ) (
) ( 2 2 ) ( ) 3 ( ) (
4 ) (
1 ) (
2 3
4
1 2
3
0 1
2
1 0
λ λ
λ λ
λ λ
λ λ
λ λ
λ λ
λ λ
λ
M M
M
M M
M
M M
M
M M
⋅
⋅
−
⋅
−
−
=
⋅
⋅
−
⋅
−
=
⋅
⋅
−
⋅
−
−
=
−
=
=
, (4)
czyli po wykonaniu wszystkich podstawień i uproszczeniu:
Michał Pazdanowski
Instytut Technologii Informacyjnych w Inżynierii Lądowej Wydział Inżynierii Lądowej
Politechnika Krakowska
[ 2 \
804 54
63 2
) (
132 39
3 )
(
16 )
(
4 )
(
1 ) (
2 3
4 4
2 3 3
2 2
1 0
+
⋅
−
⋅
−
⋅ +
=
−
⋅ +
⋅ +
−
=
−
−
=
+
−
=
=
λ λ
λ λ λ
λ λ
λ λ
λ λ λ
λ λ
λ
M M
M M
M
, (5)
Tak więc podstawiając kolejno za λ na przykład wartości 7−8 ,−5 ,−2 ,1 ,2 ,3 ,5 ,6 , i dla każdej z nich zapisując znaki wszystkich minorów głównych w tabeli otrzymamy:
Tablica 1. Znaki minorów głównych macierzy T dla wybranych wartości parametru λ .
Nr 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Minor λ
−8 −5 − 2 1 2 3 5 6 7
)
0(λ
M + + + + + + + + +
)
1(λ
M + + + + + + – – –
)
2(λ
M + + – – – – + + +
)
3(λ
M + – – – – – + – –
)
4(λ
M + – + + + + – – +
L.Z.Z.1) 4 3 2 2 2 2 1 1 0
1) – Liczba Zgodności Znaku pomiędzy kolejnymi wierszami w kolumnie tabeli.
W ostatnim wierszu tabeli umieszczamy liczbę zgodności znaku, jaka zachodzi pomiędzy kolejny- mi wierszami w danej kolumnie. I tak na przykład w kolumnie nr 1, odpowiadającej wartości λ równej −8 wszystkie minory główne są dodatnie, a więc liczba zgodności znaku pomiędzy kolej- nymi wierszami tabeli jest równa 4. W kolumnie nr 5, odpowiadającej wartości λ równej 2 mamy dodatnie wartości minorów M0 ,M1 ,M4 i ujemne wartości minorów M2 ,M3, czyli liczba zgodno- ści znaku pomiędzy kolejnymi wierszami tabeli jest równa 2 (między M0 M i 1 oraz M2 M i 3). Róż- nica pomiędzy liczbami w poszczególnych kolumnach ostatniego wiersza tabeli informuje nas o tym ile rzeczywistych wartości własnych macierzy T znajduje się pomiędzy wartościami λ odpo- wiadającymi tym kolumnom. Wynika z tego, że kolejne wartości własne macierzy T , uszeregowa- ne od najmniejszej do największej, znajdują się odpowiednio w przedziałach
[
−8 ,−5]
,[
−5 ,−2]
,[ ]
3 ,5 ,[ ]
6 ,7 .Na poniższym rysunku przedstawiono wykresy poszczególnych minorów (M0÷M4) w funkcji zmiennej λ dla przedziału
[
−8;7]
.Michał Pazdanowski
Instytut Technologii Informacyjnych w Inżynierii Lądowej Wydział Inżynierii Lądowej
Politechnika Krakowska
[ 3 \ Rys. 1. Minory M0÷M4 macierzy T .
8 6 4 2 0 2 4 6
300 200 100 100 200 300 400 500 600 700 800
M0 M1 M2 M3 M4
l
