MODELOWANIE INŻYNIERSKIE ISNN 1896-771X 32, s. 401-406, Gliwice 2006
OSIOWO-SYMETRYCZNE ZAGADNIENIE PRZEWODNICTWA CIEPŁA W KOMPOZYCIE WARSTWOWYM
O STRUKTURZE PERIODYCZNEJ
DARIUSZ MARIUSZ PERKOWSKI
STANISŁAW JAN MATYSIAK
ROMAN KULCZYCKI-ŻYHAJŁO Wydział Mechaniczny, Politechnika Białostocka
Streszczenie. W pracy rozpatrzono stacjonarne, osiowo-symetryczne zagadnienie przewodnictwa ciepła w warstwie kompozytowej. Przyjęto, że ośrodek składa się z periodycznie powtarzających się nieodkształcalnych dwuskładnikowych lamin.
Założono, że górna powierzchnia warstwy jest nagrzewana zadanym strumieniem ciepła, zaś dolna powierzchnia jest utrzymywana w temperaturze zerowej. Stosując model homogenizowany z parametrami mikrolokalnymi oraz klasyczne podejście polegające na równaniu przewodnictwa ciepła z oscylującymi współczynnikami i odpowiednimi warunkami brzegowymi, otrzymano rozwiązania, które porównano.
1. WPROWADZENIE
Ważnym aspektem modelowania ośrodków niejednorodnych poddanych obciążeniom mechanicznym i termicznym jest stworzenie modeli przybliżonych, które pozwalałyby wyznaczać rozkłady temperatury, przemieszczeń i naprężeń z dużą dokładnością. W przypadku kompozytów warstwowych o strukturze periodycznej, stosując równanie przewodnictwa ciepła Fouriera o nieciągłych, oscylujących współczynnikach do wyznaczania rozkładu temperatury konieczne jest spełnienie warunków ciągłości dla temperatury i strumienia ciepła na powierzchniach łączących różne warstwy. Prowadzi to do dużej liczby warunków brzegowych, co stwarza komplikacje obliczeniowe. Celowe jest więc zastosowanie modeli przybliżonych, które zapewniają spełnienie warunków ciągłości.
W literaturze dotyczącej modelowania sprężystych kompozytów o strukturze periodycznej można znaleźć kilka metod prowadzących do teorii przybliżonych. Wymienimy tu np. teorię efektywnych modułów operującą uśrednionymi tensorami odkształceń i naprężeń [1], model Suna C. T., Achenbacha J. D., Herrmanna G. [10], teorię homogenizacji opartą na rozwinięciach asymptotycznych [2], Sanchez-Palenica E. [9], teorią homogenizacji opartą na analizie niestandardowej [11]. Ostatnie podejście prowadzi do modelu homogenizowanego z parametrami mikrolokalnymi [7, 8, 11]. Model ten został zastosowany do rozwiązywania wielu zagadnień brzegowych opisujących zagadnienia szczelin, kontaktowe.
Jednakże niewiele jest prac związanych z porównaniem wyników otrzymanych poprzez zastosowanie modelu homogenizowanego (modelu przybliżonego) z rezultatami opartymi na klasycznych sformułowaniach [3-5]. Niniejsza praca stanowi uzupełnienie i kontynuację tej
tematyki. Zaprezentowano w niej i porównano wyniki obliczeń dla stacjonarnego, osiowosymetrycznego zagadnienia przewodnictwa ciepła dla warstwy kompozytowej otrzymane na podstawie dwóch podejść:
• klasycznym opisie i spełnieniu warunków brzegowych na powierzchniach łączących różne składniki kompozytu;
• modelu homogenizowanym z parametrami mikrolokalnymi.
2. SFORMUŁOWANIE I ROZWIĄZANIE ZAGADNIENIA
Niech H będzie grubością warstwy kompozytowej nagrzewanej w kole o promieniu a zadanym strumieniem ciepła na górnej powierzchni ciała. Dalej zagadnienie będzie sformułowane w zmiennych bezwymiarowych r=r a'/ , z=z a'/ , gdzie ( ', ')r z są współrzędnymi walcowymi z osią 'z przechodzącą przez środek koła nagrzewania. Warstwa jest zbudowana z n powtarzających się warstw podstawowych (dwuskładnikowych) o grubościach l1, l o współczynnikach przewodnictwa ciepła 2 K1, K . Mamy więc wielkości 2 bezwymiarowe h=H a/ , δ = +(l1 l2) /a oraz h=nδ (Rys. 1). Przyjęto dalej idealny kontakt termiczny pomiędzy warstwami. Górna powierzchnia kompozytu jest nagrzewana strumieniem ciepła o promieniu a o rozkładzie parabolicznym, zaś dolna jest utrzymana w zerowej temperaturze.
Rys. 1 Schemat rozpatrywanego zagadnienia.
3. PODEJŚCIE I – MODEL HOMOGENIZOWANY
Zgodnie z wynikami prac [1-3] zakładamy, że pole temperatury ma postać:
( , ) ( , ) ( ) ( , )
T r z =θ r z +h z γ r z , (1)
gdzie θ( , )r z jest nieznaną funkcją zwaną makrotemperaturą, ( , )γ r z jest nieznaną funkcją zwaną parametrem mikrolokalnym, zaś h z jest daną ( ) δ - periodyczną funkcją kształtu przyjętą w postaci:
1 1
1
1 1
0, 5 , dla 0 ,
( ) 0, 5 , dla ,
1 1
z z
h z z
z
δ δ
δ
η δ δ δ
η η
− ≤ ≤
= − − − + − ≤ ≤
l1 1 l η δ
= = δ (2)
W modelu homogenizowanym z parametrami mikrolokalnymi dysponujemy następującymi aproksymacjami:
r r z T z h z T T
∂
≈∂
∂ + ∂
∂
≈ ∂
∂
≈θ, ∂ θ '( ), θ
. (3)
oraz układem równań modelu
2 2
2 2
( 1 ) [ ] 0
K K
r r r z z
θ θ θ γ
∂ + ∂ +∂ + ∂ =
∂ ∂ ∂ ∂
% , (4)
ˆ [ ]
K K
z γ = − ∂θ
∂ , (5)
gdzie:
2 1 (1 ) 2, [ ] ( 1 2), ˆ 1 2
K ηK η K K η K K K ηK 1η K
= + − = − = + η
% − . (6)
Eliminując parametry mikrolokalne z równania (4) wykorzystując równanie (5), dostajemy:
2 2
1 *
2 2
1 K K 0
r r r z
θ θ − θ
∂ + ∂ + ∂ =
∂ ∂ % ∂ , (7)
gdzie oznaczono przez
2
* 1 2
1 2
[ ]
ˆ (1 )
K K K K K
K K
K η η
= − =
− +
% .
Rozpatrzymy następujące warunki brzegowe opisujące strumień ciepła o rozkładzie parabolicznym w kole o promieniu r :
* 2
( ) 0(1 ) (1 )
K aq r aq r H r
z
∂ = −θ = − − −
∂ dla z=0 (8)
oraz zerową temperaturę na dolnej powierzchni brzegowej warstwy 0
T = dla z =nδ , (9)
gdzie H jest funkcją Heaviside’a.
Stosując metodę transformacji Hankela, dostajemy makrotemperaturę ( , )θ r z w postaci
{ }
0
2 0 2
* 0
( , ) 2aq ( ) ( ) tanh( ) cosh( ) sinh( ) ds
r z J s J sr Sh Sz Sz
KK s
θ = % ∞
∫
− , S=s KK%* , (10)gdzie J srn( ), n=0, 2 są funkcjami Bessela. (11)
Całka występująca po prawej stronie wzoru (10) będzie policzona numerycznie.
4. PODEJŚCIE II – OPIS KLASYCZNY
Potraktujmy warstwę kompozytową jako 2n warstw jednorodnych. Analiza rozkładu temperatury oraz strumienia ciepła prowadzić będzie do rozwiązania 2 równań n przewodnictwa ciepła:
2 2
2 2
1 0
i i i
T T T
r r r z
∂ + ∂ +∂ =
∂ ∂ ∂ , (12)
warunków brzegowych
• na powierzchni z=0
1
1 T ( )
K aq r
∂ = −z
∂ , (13)
• na powierzchni z=nδ =h
2n 0
T = , (14)
oraz warunków ciągłości na powierzchniach łączących poszczególne warstwy
2 1 2
2i 1 2i, 1 Ti 2 Ti , ( 1) 1, 1, 2,...,
T T K K z i i n
z− z δ δ
−
∂ ∂
= = = − + =
∂ ∂ , (15a)
2 2 1
2i 2i 1, 2 Ti 1 Ti , , 1, 2,..., 1
T T K K z i i n
z z+ δ
+
∂ ∂
= = = = −
∂ ∂ . (15b)
Ogólne rozwiązanie równań (12) ma postać odpowiednio:
• dla warstwy pierwszego rodzaju
( )
2 1
4 3 1 4 2 1 0
0
( , )
( ) cosh( (( 1) )) ( ) sinh( (( 1) )) ( ) ,
i
i i
T r z
C s s i δ δ z C s s i δ δ z sJ sr ds
−
∞
− −
=
=
∫
− + − + − + − (16)0,1,..., 1 i= n− ,
• dla warstwy drugiego rodzaju
( )
2 4 1 4 0
0
( , ) ( ) cosh( ( )) ( ) sinh( ( )) ( ) ,
i i i
T r z =∞
∫
C − s s iδ −z +C s s iδ −z sJ sr ds (17) 0,1,..., 1i= n− .
Funkcje C s , i( ) i=1, 2,..., 4n wyznaczamy z 4n układu równań liniowych algebraicznych wynikającego z warunków brzegowych (13), (14) oraz (15a, b), który został rozwiązany numerycznie.
5. WYNIKI NUMERYCZNE I WNIOSKI
Wyniki analizy numerycznej przedstawiono w postaci wykresów porównawczych, gdzie cienka szara linia odpowiada rozwiązaniu otrzymanemu na podstawie klasycznego opisu ze spełnieniem warunków brzegowych na powierzchniach łączących różne składniki kompozytu.
Czarna gruba linia przedstawia rozwiązanie otrzymane za pomocą modelu homogenizowanego z parametrami mikrolokalnymi.
Przejdźmy teraz do analizy otrzymanych wyników, najpierw do porównania rozkładów temperatury w strefie nagrzewania (Rys. 2a). Wykresy te przedstawią rozkład bezwymiarowej temperatury T KK% * /aq0 na górnej powierzchni laminatu składającego się z 10 komórek elementarnych. Porównany tu został wpływ właściwości składników wchodzących w skład komórki periodyczności. Największe różnice pomiędzy rozwiązaniami dostrzegamy w środku strefy nagrzewania, co potwierdzają również prace [4, 7].
Analizując rozkład temperatur w głąb warstwy (Rys. 2b), zauważyć można dużą zgodność rozwiązań. Jak wskazują wcześniejsze prace [3-5], łącznie z niniejszą, dokładność otrzymanych wyników wzrasta przy zwiększeniu ilości warstw wchodzących w skład laminatu.
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6
0 0,5 1 1,5 2
0
*/
~K aq K T
5 . 0 , 1 . 0
4 / : 2
25 . 0 / : 1
2 1
2 1
=
=
=
=
η δ
K K
K K
r
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6
0 0,25 0,5 0,75 1
5 . 0 , 1 . 0
4 /
: 2
25 . 0 /
: 1
2 1
2 1
=
=
=
= η δ
K K
K K 1
2
0
*/
~K aq K T
z Rys. 2 Rozkład bezwymiarowej temperatury ~ * / 0
aq K K
T : a) dla z=0 przy zmiennym r≥0, b) dla r=0 przy 0≤z≤1.
1 2
r
a) b)
Znaczący wpływ mają również właściwości cieplne składników. Widzimy, że przy większych różnicach pomiędzy nimi amplituda oscylacji rozwiązania dokładnego jest większa niż w przypadku, gdy składniki mają bardziej zbliżone właściwości.
0,2 0,4 0,6 0,8 1
0 0,25 0,5 0,75 1
5 . 0 , 1 . 0
4 /
: 2
25 . 0 /
: 1
2 1
2 1
=
=
=
= η δ
K K
K K
/ q0
qz
1 2
0,1 0,3 0,5 0,7 0,9 1,1
0 0,25 0,5 0,75 1
1 2
/ q0
qz
5 . 0 , 1 . 0
8 / : 2
125 . 0 /
: 1
2 1
2 1
=
=
=
=
η δ
K K
K K
Rys. 3 Rozkład bezwymiarowego strumienia ciepła qz/ q0 dla r=0 w funkcji z.
Podobne wnioski możemy sformułować w przypadku analizy rozkładu strumienia ciepła.
Na rys. 3 pokazano rozkład bezwymiarowego strumienia ciepła qz/ q0 płynącego przez warstwę prostopadle do uwarstwienia. Widać również, że amplituda oscylacji rośnie w przypadku większych różnic pomiędzy właściwościami termicznymi składników.
Mniejsze różnice pomiędzy rozwiązaniami dostrzegamy gdy składnik drugiego rodzaju jest lepszym przewodnikiem i jego grubość stanowi 75% (η =0.25) grubości warstewki elementarnej. Analogiczny przypadek obserwujemy, gdy warstewka pierwszego rodzaju jest znacznie lepszym przewodnikiem i stopień nasycenia warstwy podstawowej tą warstwą jest równy η=0.75 (patrz: rys. 4).
0,2 0,4 0,6 0,8 1
0 0,25 0,5 0,75 1
/ q0
qz
25 . 0 , 1 . 0
4 / : 2
25 . 0 / : 1
2 1
2 1
=
=
=
= η δ
K K
K
1 K
2
0,1 0,3 0,5 0,7 0,9
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1
75 . 0 , 1 . 0
8 / : 2
125 . 0 / : 1
2 1
2 1
=
=
=
= η δ
K K
K K
/ q0
qz
1 2
Rys. 4 Rozkład bezwymiarowego strumienia ciepła qz/ q0 dla r=0 w funkcji z przy 75
. 0 , 25 .
=0
η .
LITERATURA
1. Achenbach J.D., A theory of elasticity with microstructure for directionally reinforced composites, Inter. Centre for Mech. Sci., Courses and Lectures, No. 167, Springer Verlag, Wien, New York, 1975.
2. Bensossan A., Linos J. L., Papanicolaou G., Asymptotic analysis for periodic structures, North Holland, Amsterdam, 1978.
3. Kulczycki-Żyhajło R., Matysiak S. J., On some heat conduction in a periodically two- layered body: Comparative results, Bull. Pol. Ac. Sci. ,Ser. Techn, 2005.
4. Kulczycki-Żyhajło R., Matysiak S. J., „On heat conduction in a semi-infinite periodically laminated layer”, Int. Communications in Heat and Mass Transfer, 1-2, 32, 2005, p. 123- 132.
5. Kulczycki-Żyhajło R., Matysiak S. J., Perkowski D., „On displacements and stresses in a semi-infinite laminated layer. Comparative results”, Meccanica, 2005, in courses of publication.
6. Kulczycki-Żyhajło R., Matysiak S. J., Perkowski D., „Modelowanie termicznych warunków brzegowych na powierzchni prostopadłej do uwarstwienia w ośrodku warstwowym o strukturze periodycznej”, Materiały III Sympozjum Mechaniki Zniszczenia Materiałów i Konstrukócji, Augustów, 2005.
7. Matysiak S. J., Woźniak Cz., „On the modeling of heat conduction problem in laminated bodies”, Acta Mechanica 65, (1986), 223-238.
8. Matysiak S. J., Woźniak Cz., „On the microlocal modelling of thermoelasstic composites”, J. Techn. Phys. 29, (1988), 88-97.
9. Sanchez-Palenica E., Non-homogeneous media and vibration theory, Lecture Notes in Physics, No. 127, Springer Verlag, 1980.
10. Sun C. T., Achenbach J. D., Herrmann G., Continuum theory for a laminated medium, Journal of Applied Mechanics, Vol. 35, Trans. ASME, Series R, September (1968), 467 – 475.
11. Woźniak Cz., „A nonstandard method of modeling of thermoelastic periodic composites”, Int. J. Engng. Sci., 25, (1987), 483 – 499.
AXIAL-SYMMETRIC PROBLEM OF HEAT CONDUCTION IN LAYERED COMPOSITES WITH PERIODIC STRUCTURES
Summary. The stationary, axial-symmetric problem of heat conduction in a stratified layer is considered. The body is assumed to be composed of two rigid lamine. The upper boundary surface is heated by a given heat flux, the lower boundary is kept at zero temperature. The problem was solved by using the homogenized model as well as the description of heat conduction with oscillating coefficients and the obtained results are compared.
Pracę wykonano w ramach realizacji pracy statutowej S/WM/1/03.
