ZAGADNIENIA BRZEGOWE TERMOSPRĘŻYSTOŚCI DLA KOMPOZYTÓW WARSTWOWYCH O BRZEGACH PROSTOPADŁYCH DO UWARSTWIENIA

(1)

40, s. 195-208, Gliwice 2010

ZAGADNIENIA BRZEGOWE TERMOSPRĘŻYSTOŚCI DLA KOMPOZYTÓW WARSTWOWYCH

O BRZEGACH PROSTOPADŁYCH DO UWARSTWIENIA

DARIUSZ MARIUSZ PERKOWSKI¹, STANISŁAW JAN MATYSIAK², ROMAN KULCHYTSKY-ZHYHAIŁO³

1Katedra Mechaniki i Informatyki Stosowanej, Politechnika Białostocka e-mail: d.perkowski@pb.edu.pl

2Zakład Geofizyki i Mechaniki Ośrodków Ciągłych, Uniwersytet Warszawski e-mail: s.j.matysiak@uw.edu.pl

3Katedra Mechaniki i Informatyki Stosowanej, Politechnika Białostocka e-mail: r.kulczycki@pb.edu.pl

Streszczenie. W pracy przedstawiono metodę rozwiązywania zagadnień brzegowych termosprężystości dla kompozytów warstwowych o strukturze periodycznej o brzegach prostopadłych do uwarstwienia w ramach modelu homogenizowanego z parametrami mikrolokalnymi (Woźniak (1987), Matysiak i Woźniak (1987)). Jako przykład obliczeniowy rozwiązano zagadnienie kontaktowe z uwzględnieniem wytwarzania ciepła dla półprzestrzeni kompozytowej o strukturze periodycznej o brzegu prostopadłym do uwarstwienia.

1. WSTĘP

Niniejsza praca dotyczy modelowania zagadnień brzegowych dla mikroperiodycznych kompozytów warstwowych o strukturze periodycznej o brzegach prostopadłych do uwarstwienia. Opis takich ośrodków w ramach klasycznej termosprężystości prowadzi do równań różniczkowych cząstkowych o nieciągłych, silnie oscylujących współczynnikach, zatem konieczne jest spełnienie warunków brzegowych na powierzchniach łączących różne składniki kompozytu. Powoduje to znaczne komplikacje obliczeniowe, naturalnym więc jest zastosowanie pewnych modeli przybliżonych. Jednym z nich jest model homogenizowany z parametrami mikrolokalnymi (Woźniak [1], Matysiak i Woźniak [2]). Podejście to polega na opisie niejednorodnego ośrodka warstwowego modelem homogenizowanym opisywanym układem równań cząstkowych o stałych współczynnikach.

Model ten pozwala na rozwiązanie rozważanego problemu w makroskali, czyli operowaniu na części uśrednionej a następnie na powrót do mikrostruktury i wyznaczenie rozkładów naprężeń, odkształceń, strumieni ciepła w obrębie każdego składnika komórki periodyczności. Można w ten sposób zbadać wpływ struktury warstwowej, a jednocześnie, co trzeba podkreślić, w ramach tego modelu spełnione zostały warunki ciągłości na powierzchniach łączących różne składniki kompozytu.

W niniejszej pracy przedstawiono metodę rozwiązywania mieszanych zagadnień brzegowych dla laminatów z brzegiem prostopadłym do uwarstwienia. W tym celu

(2)

opracowano przybliżony warunek brzegowy dla kompozytów termosprężystych z uwzględnieniem brzegu prostopadłego do uwarstwienia. Uśredniony warunek brzegowy zastosowano do modelowania mieszanych zagadnień brzegowych w przypadku, gdy obciążenie działa na brzegu prostopadłym do uwarstwienia, co pokazano na przykładzie zagadnienia kontaktowego z uwzględnieniem wytwarzania ciepła na powierzchni prostopadłej do uwarstwienia.

2. MODEL HOMOGENIZOWANY Z PARAMETRAMI MIKROLOKALNYMI

W pracy ograniczymy się do przedstawienia równań modelu homogenizowanego z parametrami mikrolokalnymi dla płaskich, stacjonarnych zagadnień termosprężystości. Na poniższym rysunku przedstawiono schemat mikroperiodycznego kompozytu warstwowego o strukturze periodycznej (rys. 1).

Rys. 1 Schemat w stanie nieodkształconym mikroperiodycznego kompozytu warstwowego o strukturze periodycznej złożonego z dwuskładnikowych jednorodnych lamin Zakładamy, że rozkłady przemieszczeń oraz pole temperatury mają postać ([2], [3]):

ˆ( , ) ( , ) ( ) ( , )

u x y =U x y +h x p x y , (1) ˆ( , ) ( , ) ( ) ( , )

v x y =V x y +h x q x y , (2) ( , ) ( , ) ( ) ( , )

T x y =J x y +h x g x y . (3) Funkcje U x y , ( , ) V x y i ( , ) J( , )x y są niewiadomymi funkcjami reprezentującymi odpowiednio makroprzemieszczenia oraz makrotemperaturę. Nieznane są także funkcje

( , )

p x y , ( , )q x y i ( , )g x y zwane parametrami mikrolokalnymi. Funkcja ( )h x jest l - periodyczną funkcją kształtu tak dobraną, by spełnione były warunki idealnego kontaktu mechanicznego oraz termicznego. Funkcja kształtu h x w przypadku kompozytów ( ) dwuskładnikowych dana jest a priori wzorem ([3]):

1

1 1

( ) 0,5

/ (1 ) 0,5 / (1 )

x l

h x hx h l l h

ì -

= íî- - - + -

1 1

dla 0 ,

dla ,

x l l x l

£ £

£ £ (4)

( ) ( )

h x l+ =h x , (5)

gdzie: h =l l₁ jest współczynnikiem nasycenia warstwy podstawowej materiałem pierwszego rodzaju. Równania modelu homogenizowanego z parametrami mikrolokalnymi mają postać ([3]):

( )

2 2 2

1 U2 V U2 1 0

A B C C K

x x y y x

¶ + + ¶ + ¶ - ¶J =

¶ ¶ ¶ ¶ ¶ , (6)

l1

l2 l

x

y

(3)

( )

2 2 2

2 V2 U V2 2 0

A B C C K

y x y x y

¶ + + ¶ + ¶ - ¶J =

¶ ¶ ¶ ¶ ¶ , (7)

2 2

ˆ 0

K x y

J J

¶ ¶

+ =

¶ ¶ . (8)

gdzie ˆK =K k/ % . Procedura homogenizacji pozwala także wyznaczyć stałe materiałowe występujące w powyższych równaniach (tzw. moduły efektywne) [3]:

1 1 2 2 1 2 1 2 1 2

1 2 1

1 1 2 2 1 1 2 2

2 1 1 1 2 2 1 2

1 1 2 2 1 2

2 1 1

1

( 2 )( 2 ) 4 (1 )( )( )

0, 0,

(1 )( 2 ) ( 2 ) (1 )( 2 ) ( 2 )

(1 ) ( 2 ) ( 2 )

0, 0,

(1 )( 2 ) ( 2 ) (1 )

(1 ) ( 2 )

A A A

B C

K

l m l m h h m m l l m m

h l m h l m h l m h l m

h l l m hl l m m m

h l m h l m h m hm

h b l m hb

+ + - - - + -

= > = + >

- + + + - + + +

- + + +

= > = >

- + + + - +

- + +

= ¹ ² ² ^{1 2}

1 1 2 2 1 2

1 2 2 1 2 1 1 2

2

1 1 2 2 1 1 2 2

( 2 )

0, 0,

(1 )( 2 ) ( 2 ) (1 )

(1 ) 2( (1 ) )( (1 ) )

(1 )( 2 ) ( 2 ) (1 )( 2 ) ( 2 ) 0,

K k k

k k

K

l m

h l m h l m h h

hb l h b l hm h m hb h b

h l m h l m h l m h l m

+ > = >

- + + + - +

+ - + - + -

= + >

- + + + - + + +

(9)

Tu ,l m_i _i,i=1, 2, są stałymi Lamego, k są współczynnikami przewodnictwa ciepła, _i b są _i stałymi termomechanicznymi poszczególnych warstw. Składowe tensora naprężenia obliczamy ze wzorów:

( ) ( ) ( )

1 1

( ) ( ) ( )

, , ,

( ) , 1, 2,

2( )

j j j

xx xy yy j j j

j j

j j j

zz xx yy j

j j j j

U V U V U V

A B K C D E F

x y y x x y

j

s J s s J

l m

s s s b J

l m l m

æ ö

¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶

= ¶ + ¶ - = èç ¶ + ¶ ÷ø = ¶ + ¶ -

= + - =

+ +

(10)

gdzie:

2 1 j j

j j

D l A

l m

= + , 4 ( )

2 2

j j j j

j

j j j j

E m l m l B

l m l m

= + +

+ + , 2 ₁

, 1, 2.

2 2

j j j

j

j j j j

F b m l K j

l m l m

= + =

+ + (11)

Składowe wektora strumienia ciepła obliczamy ze wzoru:

( )^j ( , )x y K , k_j ,0 , j 1, 2

x y

J J

æ ¶ ¶ ö

= -çè ¶ - ¶ ÷ø =

q . (12)

Ze wzorów (10) i (12) wynika, że spełnione są warunki ciągłości strumienia ciepła i wektora naprężeń na powierzchniach łączących różne składniki kompozytu.

3. UŚREDNIONE WARUNKI BRZEGOWE

Zagadnienia brzegowe analizowane w pracach [4] (dwuwymiarowe zagadnienia sprężystości) oraz [5] (dwuwymiarowe zagadnienie przewodnictwa ciepła) pozwoliły sformułować wniosek, że model homogenizowany daje dostatecznie dobre przybliżenie dla stacjonarnych zagadnień przewodnictwa ciepła oraz teorii sprężystości. Model homogenizowany może być również stosowany do ustalonych zagadnień brzegowych dla kompozytów o brzegu prostopadłym do uwarstwienia. Jednakże powstaje pytanie jak sformułować zagadnienia brzegowe, gdy na brzegu zadany będzie warunek naprężeniowy lub w postaci strumienia ciepła. Otrzymujemy wtedy w obrębie jednej komórki periodyczności dwa związki na naprężenie lub strumień ciepła. Rozwiązanie takiego problem prowadzi do dużych komplikacji obliczeniowych. W rozdziale tym zaproponowany zostanie uśredniony

(4)

warunek brzegowy pozwalający opisywać tego typu zagadnienia, a w szczególności uprościć rozwiązywanie zagadnień brzegowych zarówno metodami analitycznymi jak i numerycznie.

2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1

Rys. 2 Przykładowy schemat mieszanego zagadnienia brzegowego

Rozpatrzymy półprzestrzeń warstwową złożoną z powtarzających się dwuskładnikowych lamin termosprężystych. Przyjmujemy, że płaszczyzna brzegowa jest prostopadła do uwarstwienia. Rozważania ograniczymy do zagadnień dwuwymiarowych, niezależnych od zmiennej z . Schemat ideowego zagadnienia brzegowego został przedstawiony na rys. 2. Na brzegu prostopadłym do uwarstwienia półprzestrzeni kompozytowej zadane są naprężenie i strumień ciepła działający wzdłuż lamin (rys. 2). Poza strefą nagrzewania uwzględniamy wymianę ciepła z otoczeniem, a cały proces jest ustalony. Zapiszemy teraz warunki brzegowe opisujące ten problem. Na powierzchni y=0 rozpatrzymy następujące warunki brzegowe:

( )

( )^j ( ,0) ( ), , , 1, 2,

yy x p x x a b j

s = - Î = (13)

( )

( )^j ( ,0) 0, , , 1, 2,

yy x x a b j

s = Ï = (14)

( ,0)

( )

( ), , , 1, 2,

j

k x q x x a b j

y J

¶ = - Î =

¶ (15)

( ) ( )

( ,0)

,0 , , , 1, 2,

j j

k x h x x a b j

y

J J

¶ = Ï =

¶ (16)

( )^j ( ,0) 0, , 1, 2.

xy x x R j

s = Î = (17)

W nieskończoności zaś, zapisujemy warunki wypromieniowania:

( )^j , ( )^j , ( )^j , , 0, 2 2 .

xx xy yy x y

y

s s s J ¶J ® + ® ¥

¶ (18)

Z równań (10), (12) wynika, że składowa naprężenia s oraz strumień ciepła ^{( )}_yy^j q^{( )}_y^j , j=1, 2 doznają skoku na powierzchniach łączących poszczególne laminy. Ten efekt występuje również w punktach na brzegu. Z tego względu rozwiązanie zagadnień opisanych warunkami brzegowymi (13) – (18) staje się skomplikowane. Konieczne jest zatem znalezienie zastępczych warunków brzegowych, które pozwalałyby na analityczne bądź numeryczne rozwiązanie zagadnienia brzegowego. W tym celu wyprowadzimy warunki uśrednione na

( )j

s i yy q^{( )}_y^j , j=1, 2. Stosując oznaczenie średniej wartości funkcji f na odcinku 0,l w postaci:

0

1 ( )

l

f f x dx

=l

ò

^, ⁽¹⁹⁾

otrzymujemy uśrednione warunki brzegowe:

y

x

l

( ) ( )

p x

q x

a b

l2

l1

(5)

( )

2 2 ( ), , ,

U V

B A K p x x a b

x y J

¶ + ¶ - = - Î

¶ ¶ (20)

2 2 0,

( )

, ,

U V

B A K x a b

x y J

¶ + ¶ - = Ï

¶ ¶ (21)

( ,0)

( )

( ), , ,

k x q x x a b

y

¶J = - Î

% ¶ (22)

( ) ( )

( ,0)

,0 0, , ,

k x h x x a b

y

J J

¶ - = Ï

% ¶ % (23)

gdzie

1 2 1 2 2

1 2 2 1 2 1 2

(1 ) , (1 ) ,

(1 ) , (1 ) , (1 ) .

D D D B E E E A

F F F K h h h k k k

h h h h

h h h h h h

= + - = = + - =

= + - = = + - = + -

% %

% (24)

Otrzymaliśmy uśrednione warunki brzegowe pozwalające rozwiązywać zagadnienia brzegowe formułowane dla kompozytów warstwowych o brzegu prostopadłym do uwarstwienia. Przejdziemy teraz do sformułowania i rozwiązania zagadnienia przykładowego.

4. ZAGADNIENIE KONTAKTOWE Z UWZGLĘDNIENIEM WYTWARZANIA CIEPŁA Rozpatrzymy dwuwymiarowe zagadnienia kontaktowego z uwzględnieniem wytwarzania ciepła na skutek tarcia pod poruszającym się stemplem. Schemat zagadnienia przedstawiono na rys. 3.

1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 d1=l1/a

d2=l2/a

d=l/a y

x P

-a a

Rys. 3. Schemat rozpatrywanego zagadnienia kontaktowego z generacją ciepła

Nieskończenie długi stempel o przekroju parabolicznym wciskany jest w ośrodek warstwowy o strukturze periodycznej siłą o intensywności P i porusza się ze stałą prędkością vst w kierunku osi Oz. Uwzględniane tarcie opiszemy prawem Coulomba.

Zakładamy ponadto, że ciepło powstałe w wyniku tarcia przejmowane jest tylko przez półprzestrzeń kompozytową. Z przyjętych założeń wynika, że problem nie zależy od zmiennej z . Opisany wyżej problem prowadzi do stacjonarnego płaskiego stanu odkształcenia. Do rozwiązania wykorzystane będą uśrednione warunki brzegowe na naprężenia s oraz ^{( )}_yy^j składową strumienia wektora ^q^{( )}^j

( )

x ciepła w kierunku osi Oy wyprowadzone w Rozdziale 3. Zakładamy ponadto, że uśredniony strumień ciepła q(x) w kierunku Oy jest proporcjonalny do uśrednionego ciśnienia kontaktowego p(x), co można zapisać następująco

( )

st

( )

^,

q x = fv p x (25)

(6)

gdzie f jest współczynnikiem tarcia. Ze względu na przyjęte założenia zagadnienie sprowadza się do dwuwymiarowego dla półpłaszczyzny, które możemy opisać równaniami (6) – (8) oraz warunkami brzegowymi:

( )

^,0 _, _,

V x x

x a

x R

¶ = - <

¶ (26)

( )^j

( )

,0 2 2 0, ,

yy

U V

x B A K x a

x y

s ¶ ¶ J

= + - = >

¶ ¶ (27)

( )^j

( )

^,0 ^0, ^,

xy x x R

s = Î (28)

( )^j

( )

^,0

( )

^,0

( )

^, ^,

y st

q x k x fv p x x a

y

¶J

= - = <

% ¶ (29)

( )

^x^,0 ^0, ^x ^a^.

J = > (30)

Ponadto zastępując oddziaływanie stempla nieznanym ciśnieniem kontaktowym p(x) oraz uwzględniając nieznany strumień ciepła q(x) generowany podczas tarcia, sformułowane zagadnienie brzegowe możemy zastąpić dwoma zagadnieniami pomocniczymi przedstawionymi na rys. 4. Nieznane ciśnienie kontaktowe wyznaczymy, spełniając warunek powstania wspólnej powierzchni kontaktu.

2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1

y

x

-a a

p(x)

2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1

y

x

-a a

q(x)

Rys. 4 Schemat pomocniczych zagadnień brzegowych.

Rozwiązanie problemu „a” sprowadza się do rozwiązania izotermicznego zagadnienia półpłaszczyzny periodycznie warstwowej o brzegu prostopadłym do uwarstwienia obciążonej prostopadle do brzegu obciążeniem o intensywności p x na odcinku

( ) (

^-^{a a}^,

)

,(rys. 4a).

Rozpatrujemy więc następujące warunki brzegowe

( )^,

( )

,0 ^{( )} 2 ^{( )}

( ) ( )

,

a a

j a yy

U V

x B A p x H a x

x y

s = ¶ + ¶ = - -

¶ ¶ (31)

( )^{j a}^,

( )

^,0 ^0, ^,

xy x x R

s = Î (32)

i warunki wypromieniowania w nieskończoności s_ij ®0 dla x²+y² ® ¥.

Rozwiązanie zagadnienia pomocniczego „b” sprowadza się do problemu nieobciążonej półpłaszczyzny termosprężystej periodycznie uwarstwionej, na brzegu której działa strumień ciepła w kierunku osi Oy (rys. 4b). Warunki brzegowe przyjmujemy w postaci:

( )^{j b}^,

( )

^,0 ^0, ^,

yy x x R

s = Î (33)

( )^{j b}^,

( )

^,0 ^0, ^,

xy x x R

s = Î (34)

( )^{j b}^,

( )

^,0

( )

^, ^,

y st

q x = fv p x x <a (35)

( )

^x^,0 ^0, ^x ^a^.

J = > (36)

Ponadto zakładamy, że zarówno naprężenia jak i temperatura zanikają w nieskończoności.

a) b)

(7)

Sformułowane powyżej zagadnienia pomocnicze "a" i "b" rozwiązano, stosując metodę transformacji całkowych Fouriera. Sumaryczne przemieszczenie pionowe (wywołane zarówno obciążeniem powierzchni półprzestrzeni naciskami kontaktowymi jak i ogrzaniem tej półprzestrzeni strumieniem ciepła powstałym na skutek wytwarzania ciepła) w obszarze kontaktu ma postać:

( )

" "

( )

" "

( )

" "

( ) ( )

" "

( ) ( )

2

1 2 1 2 1 1 2 2

2 1 2

,0 ,0 ,0 , ,0 , ,0 ,

( ) ˆ

, ,

ˆ

a b a b

p q

p s q s

V x V x V x V s W V s W

s s

A A K

W W

A A B k K

g g g g

= + = = -

+ -L + L + L

= =

-

% %

%

(37)

gdzie:

( ) ⁽ ⁾

( ) ( ) ⁽ ⁾

( ) ⁽ ⁾

( ) ( ) ( )

( )

2 1 1 1 2 2

2 2

2 1 2 1 2 1 1

2 3 2 3

1 2

2 1 2

ˆ ˆ ˆ

, ,

ˆ 2 ˆ ˆ

ˆ ˆ

1 ⁱ 1 ⁱ ⁱ, 1, 2,

i

K A KC K B C K C KA K K B C

A CK B BC A A K A C K A KC K B C

C K B A K K

B C i

A B C

c

c c g g

g g g

- -

+

- - + - + +

L = =

+ + - + - - +

+ L + L - -

L = - + =

+ -

(38)

Spełniając warunek powstania wspólnej powierzchni kontaktu (warunek brzegowy (26)) zapisujemy:

( ) ( ) ( ) ( )

0 0

,0 2

sin

x

p q st

V x W sx p s ds W fv p d

x x x

p

¶ ¥

= - +

¶

ò

^%

ò

^, ⁽³⁹⁾

Otrzymujemy równanie całkowe:

( ) ( ) ( ) ( )

0 0 0

2 sin cos , [0, ],

a x

p q st

W sx ds p s d W fv p d x x a

x x x x x R

p

¥

- = Î

ò ò ò

⁽⁴⁰⁾

Dalej przejdziemy do współrzędnych bezwymiarowych, przyjmując, że x x a y( = / , (= y a/ . Równanie (40) zapisujemy w postaci:

( )

¹ ^*

( ) ( )

^*

( )

0²

0 0 0

2 4

sin cos , [0,1],

x

sx ds p x s dx x b p x xd a x x

p p

¥

- = Î

ò

⁽

ò ò

^{( (} ⁽⁴¹⁾

gdzie p*

( )

x( = p x

( )

( / p0

, a₀ =a a/ _H. Średnie ciśnienie kontaktowe p₀ =P/ 2a, a półszerokość pasa kontaktu a obliczamy zgodnie ze wzorem _H a_H² =2W RP_p /p tak jak dla zagadnienia izotermicznego,

0 0 0

ˆ ˆ

/ / ( ) / ( )

q st p T st p T st H p

W fv a W W fv a k KW W fv a a k KW a

b = = % = % =b , (42)

gdzie b₀ =W fv a_T _{st H} / (k KW% ˆ _p). Do rozwiązania równania całkowego (41) zastosowano metodę kolokacji. Należy podkreślić, że rozwiązanie tego równania jest możliwe, gdy założymy, że parametr b jest znany a priori. Analogiczny parametr w przypadku zagadnienia dla półprzestrzeni jednorodnej został wprowadzony przez Barbera [6].

(8)

5. ANALIZA WYNIKÓW

Na rys. 5 przedstawiono podstawowe charakterystyki kontaktowe

max / 0, / _kr, 0

p p b b a w zależności od wejściowego parametru b zdefiniowanego we wzorze ₀ (42). Ponadto należy zaznaczyć, że parametr b zawiera dane wejściowe tj. współczynnik ₀ tarcia f , prędkość poruszającego się stempla v oraz zależy od właściwości mechanicznych _st oraz termicznych składników komórki periodyczności. Zaś parametr b jest parametrem matematycznym danym a priori, dzięki temu możliwe jest rozwiązanie nieliniowego równania całkowego (41), co zaznaczono powyżej.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6

0 5 10 15 20 25

Rys. 5. Zależność parametrów p_max / p₀, /b b_kr, a₀ od parametru b , gdzie ₀ b_kr =1.16. Analizując powyższy wykres (rys. 5), widzimy, że parametr b b zmierza asymptotycznie / _kr do jedynki, czyli b ®b_kr, gdy b₀ ® ¥. Jednocześnie zauważamy, że parametr a maleje do ₀ zera i jednocześnie z nim obszar kontaktu zmniejsza się do zera, zaś p_max / p rośnie, oraz ₀

0 max 0

lim p / p 1.38

b ®¥ = . Ponadto należy zwrócić uwagę, że wartość p_max / p dla ₀ b >₀ 2.7 różni się od 1.38 nie więcej niż 2%.

Na rys. 6 przedstawiono izolinie stałych bezwymiarowych temperatur ^J^*

(

^{x y}^{( (}^,

)

w zależności od parametru b . Należy zauważyć, że maksymalną temperaturę mamy w środku strefy tarcia.

Ponadto różnica pomiędzy maksymalną temperaturą dla b =1.0 oraz b =1.16 nie przekracza 1%.

max/ 0

p p

/ _kr b b

a0

b0

(9)

0 0.5 1 1.5 2 0

0.5 1 1.5 2

0 0.5 1 1.5 2

Rys. 6 Izolinie stałych bezwymiarowych temperatur ^J^*(^{x y}^{( (}^, ) dla wybranych parametrów b : a) b = 0.5; b) b =1.0; c) b = b_kr= 1.16, gdzie J

(

( (x y,

)

= afv p_st 0J^*

(

x y k( (,

)

/%.

Na rysunkach od 7 do 14 przedstawiono izolinie stałych bezwymiarowych maksymalnych naprężeń stycznych t_max^{( )}^j / p j₀, = 1,2 w płaszczyźnie odkształcenia xy . Naprężenia te narysowano oddzielnie dla każdej z warstewki, będącej składnikiem komórki periodyczność i przedłużono je tak, aby można było je narysować w postaci ciągłych izolinii.

Analizując rysunki 7 - 14 widzimy, że maksymalne naprężenia styczne występują przeważnie na osi y na pewnej głębokości w środku obszaru kontaktu (rysunki: 7b, 8a, 9b, 10, 11b, 12a, 13b, 14). Przy pewnych właściwościach mechanicznych może ono wystąpić na pewnej głębokości w pobliżu obszaru kontaktu (w warstwach z mniejszym modułem Younga, (7a, 8b, 9a, 11a, 12b, 13a).

( )

* x y, J ( (

( )

* x y, J ( (

x( x(

x(

( )

* x y, J ( ( )

a b)

) c

0.5

b = b =1.0

kr 1.16 b = b » y(

y( y(

(10)

0 0.5 1 1.5 2 0

0.5 1 1.5 2

⁰⁰ ^0.5 ¹ ^1.5 ²

0.5 1 1.5 2

Rys. 7 Izolinie stałych bezwymiarowych maksymalnych naprężeń stycznych t_max^{( )}^j / p j₀, =1, 2 w płaszczyźnie odkształcenia xy

0 0.5 1 1.5 2

⁰⁰ ^0.5 ¹ ^1.5 ²

0.5 1 1.5 2

( )1 max / p0

t

1 2 1 2

1 2

/ 0.125, / 0.125, / 0.125, 0.5,

0.3, 0 E E

k k

a a h

n n b

= =

= = =

(2) max / p0

t

1 2 1 2

1 2

/ 0.125, / 0.125, / 0.125, 0.5,

0.3, 0 E E

k k

a a h

n n b

= =

= = =

y( y(

x(

x( )

a

( )1 max / p0

t

1 2 1 2

1 2

/ 8, / 0.125,

/ 8, 0.5,

0.3, 0 E E

k k

a a h

n n b

= =

= = =

(2) max / p0

t

1 2 1 2

1 2

/ 8, / 0.125,

/ 8, 0.5,

0.3, 0 E E

k k

a a h

n n b

= =

= = =

y( y(

x( x(

)

a b)

) b

(11)

0 0.5 1 1.5 2 0

0.5 1 1.5 2

⁰⁰ ^0.5 ¹ ^1.5 ²

0.5 1 1.5 2

0 0.5 1 1.5 2

⁰⁰ ^0.5 ¹ ^1.5 ²

0.5 1 1.5 2

Rys. 10 Izolinie stałych bezwymiarowych maksymalnych naprężeń stycznych

( )

max^j / p j0, 1, 2

t = w płaszczyźnie odkształcenia xy

( )1 max / p0

t

1 2 1 2

1 2

/ 0.125, / 0.125, / 0.125, 0.5,

0.3, 0.5 E E

k k

a a h

n n b

= =

= = =

(2) max / p0

t

1 2 1 2

1 2

/ 0.125, / 0.125, / 0.125, 0.5,

0.3, 0.5 E E

k k

a a h

n n b

= =

= = =

y( y(

x(

x( )

a b)

( )1 max / p0

t

1 2 1 2

1 2

/ 8, / 0.125,

/ 8, 0.5,

0.3, 0.5 E E

k k

a a h

n n b

= =

= = =

(2) max / p0

t

1 2 1 2

1 2

/ 8, / 0.125,

/ 8, 0.5,

0.3, 0.5 E E

k k

a a h

n n b

= =

= = =

y( y(

x( x(

)

a b)

(12)

0 0.5 1 1.5 2 0

0.5 1 1.5 2

⁰⁰ ^0.5 ¹ ^1.5 ²

0.5 1 1.5 2

( )

max^j / p j0, 1, 2

0 0.5 1 1.5 2

⁰⁰ ^0.5 ¹ ^1.5 ²

0.5 1 1.5 2

( )

max^j / p j0, 1, 2

( )1 max / p0

t

1 2 1 2

1 2

/ 8, / 0.5,

/ 8, 0.5,

0.3, 1.0 E E

k k

a a h

n n b

= =

= = =

(2) max / p0

t

1 2 1 2

1 2

/ 8, / 0.5,

/ 8, 0.5,

0.3, 1.0 E E

k k

a a h

n n b

= =

= = =

y( y(

x(

x( )

a b)

( )1 max / p0

t

1 2 1 2

1 2

/ 0.125, / 0.5, / 0.125, 0.5,

0.3, 1.0 E E

k k

a a h

n n b

= =

= = =

(2) max / p0

t

1 2 1 2

1 2

/ 0.125, / 0.5, / 0.125, 0.5,

0.3, 1.0 E E

k k

a a h

n n b

= =

= = =

y( y(

x(

x( )

a b)

(13)

0 0.5 1 1.5 2 0

0.5 1 1.5 2

⁰⁰ ^0.5 ¹ ^1.5 ²

0.5 1 1.5 2

( )

max^j / p j0, 1, 2

0 0.5 1 1.5 2

⁰⁰ ^0.5 ¹ ^1.5 ²

0.5 1 1.5 2

( )

max^j / p j0, 1, 2

( )1 max / p0

t

1 2 1 2

1 2

/ 8, / 0.5,

/ 8, 0.5,

0.3, 1.16 E E

k k

a a h

n n b

= =

= = »

(2) max / p0

t

1 2 1 2

1 2

/ 8, / 0.5,

/ 8, 0.5,

0.3, 1.16 E E

k k

a a h

n n b

= =

= = »

y( y(

x(

x( )

a b)

( )1 max / p0

t

1 2 1 2

1 2

/ 0.125, / 0.5, / 0.125, 0.5,

0.3, 1.16 E E

k k

a a h

n n b

= =

= = »

(2) max / p0

t

1 2 1 2

1 2

/ 0.125, / 0.5, / 0.125, 0.5,

0.3, 1.16 E E

k k

a a h

n n b

= =

= = »

y( y(

x(

x( )

a b)

(14)

LITERATURA

1. Woźniak Cz.: A nonstandard method of modelling of thermoelastic periodic composites.

“Int. J. Engng. Sci.”, 1987, 25, p. 483-499.

2. Matysiak S. J., Woźniak Cz.: Micromorphic effects in a modeling of periodic multilayered elastic composites. “Int. J., Engng. Sci”, 1987, 25, p. 549-559.

3. Kaczyński A., Matysiak S. J.: Plane contact problems for a periodic two-layered elastic composite. “Ingenieur-Archiv”, 1988, 58, p. 137-147.

4. Kulczytsky-Zhyhailo R., Matysiak S. J., Perkowski D. M.: On displacements and stresses in a semi-infinite laminated layer. Comparative results, “Meccanica”, 2006, 42, s. 117- 126.

5. Kulczycki-Zyhaiło R., Matysiak S. J., Perkowski D.: Modelowanie termicznych warunków brzegowych na powierzchni prostopadłej do uwarstwienia w ośrodku warstwowym o strukturze periodycznej. W: Materiały III Sympozjum Mechaniki Zniszczenia Materiałów i Konstrukcji, Augustów 2005.

6. Barber J. R.: Indentation of the semi-infinite solid by a hot sphere. „International Journal of Mechanical Science”, 1973, 15, p. 813-814.

BOUNDARY-VALUE PROBLEMS OF THERMOELASTICITY FOR LAYERED COMPOSITES WITH BOUNDARIES

NORMAL TO THE LAYERING

Summary. In this paper the method of solution of boundary-value problems for periodically layered thermoelastic composites with boundaries normal to the layering within the framework of homogenized model with microlocal parameters (Woźniak (1987) [1], Matysiak i Woźniak (1987), [2]) is presented. Moreover, the contact problem with heat generation for periodically layered half-space with the boundary normal to the layering is solved.

Pracę wykonano w ramach projektu badawczego W/WM/12/2010 realizowanego w Politechnice Białostockiej.