PORÓWNANIE ROZWIĄZAŃ ZAGADNIENIA PRZEWODNICTWA CIEPLNEGO W PRZEWODNIKACH WARSTWOWYCH W MODELACH TOLERANCYJNYM I ASYMPTOTYCZNYM

MODELOWANIE INŻYNIERSKIE 2017 nr 65 ISSN 1896-771X

PORÓWNANIE ROZWIĄZAŃ ZAGADNIENIA PRZEWODNICTWA CIEPLNEGO

W PRZEWODNIKACH WARSTWOWYCH W MODELACH TOLERANCYJNYM

I ASYMPTOTYCZNYM

Vazgen Bagdasaryan

, Marek Chalecki

1Katedra Inżynierii Budowlanej, Wydział Budownictwa i Inżynierii Środowiska, Szkoła Główna Gospodarstwa Wiejskiego w Warszawie

avazgen_bagdasaryan@sggw.pl, ^bmarek_chalecki@sggw.pl

Streszczenie

Rozpatrywanie zagadnień początkowo-brzegowych dla przewodników warstwowych w ramach klasycznej teorii przewodnictwa cieplnego jest skomplikowane, ponieważ zagadnienia te są opisane przez równania różniczkowe o zmiennych i silnie oscylujących współczynnikach. W związku z tym poszukuje się modeli uproszczonych. W pracy porównano rozwiązania otrzymane w ramach dwóch uśrednionych modeli przewodnictwa cieplnego w periodycz- nych kompozytach warstwowych: modelu tolerancyjnego i jego wariantu asymptotycznego. Rozwiązania te otrzy- mano metodą różnic skończonych. Stwierdzono, że korzystanie z rozwiązań modelu asymptotycznego nie zawsze jest możliwe ze względu na zbyt dużą różnicę w wynikach względem modelu tolerancyjnego.

Słowa kluczowe: przewodnictwo cieplne, periodyczne kompozyty warstwowe, technika uśredniania tolerancyjne- go

ACCURACY OF SOLUTIONS OF HEAT CONDUCTION

PROBLEM IN THE TOLERANCE MODEL IN RELATION TO ITS ASYMPTOTIC VERSION

Summary

Analysis of initial-boundary conditions for multilayered conductors within the framework of the classical theory of heat conduction is complex because these problems are described by differential equations with variable and high- ly oscillating coefficients. Due to this, simplified models are being sought. In this paper, the solutions obtained within the framework of two averaged models of heat conduction in multilayered materials have been compared:

the tolerance model and its asymptotic version. These solutions have been obtained with use of the finite differ- ences method. It has been stated that application of the asymptotic model is not always possible due to too large difference in results if compared to the tolerance model.

Keywords: heat conduction, periodically layered composites, tolerance averaging technique

1. WSTĘP

W pracy rozważane są niejednorodne periodycznie ośrodki warstwowe, których warstwy są jednorodne. W strukturze tych ośrodków można wydzielić powtarzające się elementy o własnościach zmieniających się perio- dycznie.

W celu wyznaczenia efektywnych własności periodycz- nych ośrodków warstwowych stosuje się metody homo- genizacyjne. Jedną z takich metod jest technika uśred- niania tolerancyjnego. Podstawy tej metody można znaleźć w wielu monografiach [np. 5, 6]. Zagadnienia

PORÓWNANIE ROZWIĄZAŃ ZAGADNIENIA PRZEWODNICTWA CIEPLNEGO (…) dotyczące przewodzenia ciepła omawiane były w licz-

nych pracach [np. 1, 2, 3]. Rozwiązanie zagadnienia dwuwymiarowego przewodzenia ciepła w ośrodku o funkcyjnej gradacji własności przy użyciu metody różnic skończonych znaleźć można w pracy [4].

2. PRZEDMIOT ROZWAŻAŃ

Konfiguracją rozpatrywanych w pracy ośrodków jest obszar Ω = 0, × 0, × 0, . Przewodnik jest periodyczny w kierunku osi , z elementem reprezenta- tywnym Λ ≡ 〈0, 〉, składającym się z dwóch warstw o długościach λ oraz λ , tak, że λ + λ = . Przewodnik podzielony jest na n elementów reprezentatywnych, a więc na 2n warstw. Rozpatrywany w pracy dwuskładni- kowy periodyczny przewodnik warstwowy pokazano na rys. 1.

Rys. 1. Dwuskładnikowy periodyczny kompozyt warstwowy Ze względu na rozpatrywany ośrodek własności termicz- ne ośrodka są periodycznymi funkcjami nieciągłymi. W pracy zakłada się, że materiały warstw są izotropowe, czyli współczynniki tensora przewodnictwa cieplnego są równe = , dla , = 1, 2, 3.

Równanie przewodnictwa cieplnego dla rozpatrywanych ośrodków ma postać

! − ,# ,#= $, (1) gdzie przez = , , , % oznaczono temperaturę,

= , , – ciepło właściwe, = , , – gęstość masy, a przez $ = $ , , , % – wydajność źródeł ciepła.

Równanie przewodnictwa ciepła (1) jest równaniem różniczkowym liniowym o zmieniających się skokowo współczynnikach. Dla takiego opisu można zbudować model prostszy, w którym współczynniki będą stałe.

3. MODEL UŚREDNIONY

W modelowaniu użyto techniki uśredniania tolerancyj- nego [6], według której zakłada się dekompozycję pola temperatury w postaci

&, % = ' &, % + ℎ⁾ ∙ +⁾ &, % , (2) gdzie & = , , , , = 1, 2, … , .. Przez ' oznaczono temperaturę uśrednioną, a przez +⁾ fluktuacje tempera- tury, opisujące wpływ niejednorodności przewodnika na przewodnictwo cieplne. Przez ℎ⁾ oznaczono znane Λ – periodyczne oscylujące funkcje kształtu.

W pracy wykorzystano operator uśredniania, który dla dowolnej funkcji g ma postać

〈/〉 =_|1|2 / 3 43₁ . (3) Równania modelu dla rozkładu (2) mają postać ([2], [5])

〈 5〉'! − 〈 〉', − 〈 〉', − 〈 〉', − 〈 ℎ, 〉+, = 〈$〉

〈 5ℎ 〉+! − 〈 ℎ 〉 +, + +, − 〈 ℎ, 〉+ −

−〈 ℎ, 〉', = 〈$ℎ〉

. (4)

W przypadku przewodnika dwuwarstwowego funkcję kształtu założono w postaci funkcji przedziałami linio- wej:

ℎ =

67 8

79 −_:^:_; 4 = ∈ 〈0,^:;〉

:

:; − ^:_:^;_; 4 = ∈ 〈^:;, −^:;〉

−_:^:_; + ^:_:^;_; 4 = ∈ 〈 −^:;, 〉

?. (5)

Dla takiej funkcji kształtu i dla periodycznego kompozy- tu dwuwarstwowego, dla którego własności termome- chaniczne (c, K, ρ) oznaczono ogólnie φ’, φ’’ odpowied- nio w pierwszej oraz drugiej warstwie, występujące w równaniach wielkości uśrednione mają postać

〈@〉 = A @^B+ A @^BB, 〈@ℎ, 〉 = @^B− @^BB

〈@ℎ 〉 =^:; A @^B+ A @^BB , 〈@ ℎ, 〉 =^C_E^D

F−^C_E^DD_;, (6) gdzie A =^:_:^F, A =^:_:^;, A + A = 1.

W równaniach (4) można dokonać przejścia granicznego λ → 0 – wtedy pomijane są wyrazy rzędu O(λ²). Jeśli dodatkowo założy się brak źródeł ciepła, to z równań (4) otrzymuje się:

〈 5〉'! − 〈 〉', − 〈 〉', − 〈 〉', − 〈 ℎ, 〉+, = 0

〈 ℎ, 〉+ + 〈 ℎ, 〉', = 0 . (7) Z równania (7)2 można wyznaczyć amplitudę fluktuacji:

+ =_{〈G H,}^〈GH,_{F ;}^F〉_〉', . (8) Po podstawieniu do równania (7)1 otrzymuje się wyraże- nie na temperaturę uśrednioną

〈 5〉'! − ^IJJ', − 〈 〉', − 〈 〉', = 0, (9) gdzie

IJJ= 〈 〉 −_{〈G H,}^〈GH,F_{F ;}^〉;_〉. (10)

x

λ

λ

L

x

x

L

L

Vazgen Bagdasaryan, Marek Chalecki Równanie (9) ma postać analogiczną do klasycznego

równania Fouriera (1) z tą różnicą, że występujące w nim współczynniki są dla rozpatrywanego ośrodka stałe.

W niniejszej pracy porównano wyniki otrzymane w ramach dwóch przedstawionych modeli opisanych rów- naniami (4) oraz (7).

4. PORÓWNANIE MODELI

W celu porównania wyników otrzymanych w ramach przedstawionych wyżej modeli rozpatrzono stacjonarne, dwuwymiarowe przewodzenie ciepła. Do obliczeń przyję- to warunki brzegowe, przedstawione na rys. 2.

Rys. 2. Warunki brzegowe przewodnika dwuwymiarowego Przyjęto, że $ = 400LMN O_Q^P_F^FR, $ = 400LMN O_Q^P_;^;R, L1 = 1,2 m, L2 = 1,0 m, λ1:λ2 = 2:1. Porównania rozwią- zań dokonano przy zmiennym wymiarze λ komórki periodyczności oraz przy założeniu, że jeden materiał składowy jest ten sam, a drugi – różny. Jako materiał stały przyjęto żelbet. Wszystkie materiały pokazano w tabeli. Ostatnia kolumna w tabeli 1 zawiera współczyn- niki opisujące stopień niejednorodności całego laminatu.

Tab. 1. Zestawienie materiałów przyjętych do analizy

Materiał

Współcz. przew.

ciepła K [W/m⋅K]

S= T żI , ^żIV

Żelbet 1,7 -

Pianka poliuret. 0,025 68

Styropian 0,036 47,22

Drewno 0,2 8,5

Beton 1,3 1,308

Stal

wysokostop. 15 8,823

Stal niskostop. 42 24,71

Stal węglowa 58 34,12

Problem rozwiązano metodą różnic skończonych. Przyję- to siatkę o oczku kwadratowym o boku 1 cm. Schemat siatki pokazano na rys. 3. Obliczenia wykonano także dla oczka o boku 0,5 cm i 2 cm, jednakże różnice w wynikach w porównaniu z oczkiem o boku 1 cm były na tyle małe, że nie zamieszczano ich w niniejszym artyku- le.

Dla przypadku nieasymptotycznego (model pełny) równania różnicowe układa się na podstawie równań (4):

Rys. 3. Siatka MRS dla rozpatrywanego problemu

〈 〉^WXYF,Z[W_H^X\F,Z_; ^{] WX,Z}+ 〈 〉^WX,ZYF[W_H^X,Z\F; ^{] WX,Z}+ +〈 ℎ, 〉^{^\FX,Z]^}_H ^XYF,Z= 0,

〈 ℎ, 〉^W\FX,Z]W_H^XYF,Z− 〈 ℎ 〉^{^XYF,Z[^}_H^X\F,Z; ^{] ^X,Z}+ +〈 ℎ, 〉+_{#,_}= 0.

(11)

Dla przypadku asymptotycznego równanie różnicowe układa się na podstawie równania (9):

'#[ ,_+ '#] ,_− 2 ` + 1 '#,_+ ` '#,_[ + ` '#,_] = 0, (12) gdzie

` =_G^〈G〉abb. (13) Za miarę porównania przyjęto różnicę procentową między temperaturą otrzymaną w modelu tolerancyjnym (θ) a temperaturą otrzymaną w jego wersji asympto- tycznej (θa)

= S= c^]d 100%c. (14) Obliczenia wykonano dla 40, 20, 10 i 5 komórek perio- dyczności, dla jednego przekroju – płaszczyzny równole- głej do osi x1 i przechodzącej przez punkt x2 = 0,5L2 = 0,5 m.

Należy zaznaczyć, że przyjęte kombinacje materiałowe są przykładowe i nie muszą być realizowane w rzeczywi- stości – zostały dobrane wyłącznie w celu przeprowadze- nia obliczeń, w taki sposób, by zapewnić różnorodność wyników. Autorzy zdają sobie sprawę, że realizacja

1,2 1,3

1,1 1,n-1 1,n 1,n+1

m-

m,n+1 m-1,n-1

m,n-1 m-1,n

m,n

m+1,2 m,2 m-1,2

m+1,3 m,3 m-1,3

m+1,1 m,1 m-1,1

m+1,n+1 m+1,n

2,2

3,2 2,3

3,3 2,1

3,1

2,n+1

3,n+1 2,n-1

3,n-1 2,n

3,n

m+1,n-1

λ

λ

_L

1

L

x2

x1

ϑ(0,x2) =f2(x2)

ϑ(x1,0)=f1(x1) ϑ(L1,x2) =0 ϑ(x1, L2)=0

PORÓWNANIE ROZWIĄZAŃ ZAGADNIENIA PRZEWODNICTWA CIEPLNEGO niektórych kombinacji może być niepraktyczna, a nawet

niemożliwa. Wyjątkiem jest tu kombinacja żelbet która opisuje strukturę betonu zbrojonego („beton”

obszar bez prętów zbrojeniowych, „żelbet”

prętami). W praktyce wykorzystywane są połączenia materiałów o znacznie różniących się właściwościach termomechanicznych, a rozwiązania uzyskane w tej pracy mogą odnosić się również do tych przypadków.

a) żelbet – pianka poliuretanowa

b) żelbet – styropian

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 20

40 60

0.2 0.4 0.6 0.8

10 20 30 40 50 60

A

A x1

θa

x2

x1

θ

x1

θa

x2

x1

θ

δ [%]

δ [%]

ROZWIĄZAŃ ZAGADNIENIA PRZEWODNICTWA CIEPLNEGO niektórych kombinacji może być niepraktyczna, a nawet

niemożliwa. Wyjątkiem jest tu kombinacja żelbet-beton, która opisuje strukturę betonu zbrojonego („beton” – jeniowych, „żelbet” – obszar z praktyce wykorzystywane są połączenia materiałów o znacznie różniących się właściwościach termomechanicznych, a rozwiązania uzyskane w tej pracy mogą odnosić się również do tych przypadków.

c) żelbet – drewno

d) żelbet – beton

e) żelbet – stal wysokostopowa 1.0 1.2

1.0 1.2

0.0 0.2 0.4 0.6

2 4 6 8 10

0.0 0.2 0.4 0.6 0.1

0.2 0.3 0.4 0.5 0.6

0.0 0.2 0.4 0.6

5 10 15 20 25

A

T

T

A A x2

x2

x1 [m]

x₁ [m]

θa

δ [%]

θ

x2

x1

θa

δ [%]

θ

x2

x1

θa

δ [%]

θ

x2

x1

ROZWIĄZAŃ ZAGADNIENIA PRZEWODNICTWA CIEPLNEGO (…)

0.8 1.0 1.2

0.8 1.0 1.2

0.8 1.0 1.2

T

T T

x2

x1 [m]

x1

x2

x₁ [m]

x1

x2

x₁ [m]

x1

Vazgen

f) żelbet – stal niskostopowa

g) żelbet – stal węglowa Legenda do rysunku:

40 komórek 20 komórek 10 komórek 5 komórek

T – rozkład temperatury wg wersji pełnej modelu tol rancyjnego (równania (4))

A – rozkład temperatury wg wersji asymptotycznej modelu tolerancyjnego (równania (7))

Rys. 4. Rozkłady temperatur uzyskane dla dwóch rozp trywanych modeli oraz wykresy zmienności war (11) w zależności od kombinacji materiałowych składu przewodnika z rys. 2 i od liczby komórek

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8

10 20 30 40 50 60 70

0.2 0.4 0.6 0.8

10 20 30 40 50 60

A x1

x2

θ

δ [%]

θa

x1

x2

δ [%]

θa θ

Vazgen Bagdasaryan, Marek Chalecki

rozkład temperatury wg wersji pełnej modelu tole-

rozkład temperatury wg wersji asymptotycznej

Rys. 4. Rozkłady temperatur uzyskane dla dwóch rozpa- trywanych modeli oraz wykresy zmienności wartości δ

w zależności od kombinacji materiałowych składu przewodnika z rys. 2 i od liczby komórek

Rys. 4 przedstawia rozkłady temperatury, otrzymane w ramach modeli opisanych układami równań (4) oraz (7), a także porównanie wartości δ

tym przekroju dla różnych kombinacji materiałowych i różnej liczby komórek periodyczności.

Na rys. 5 przedstawiono zestawienie maksymalnych wartości δ w zależności od współczynnika niejednoro ności S= O_G^G_żaf,^G_G^żafR.

Rys. 5. Maksymalne wartości δ materiałowych

5. PODSUMOWANIE I WNIOSKI

W pracy przedstawiono dwa modele uśrednione prz wodnictwa ciepła dla dwuskładnikowych periodycznych ośrodków warstwowych: model tolerancyjny oraz jego wariant asymptotyczny. Porównano rozwiązania

nych zagadnień przewodnictwa ciepła uzyskane w r mach tych modeli. Na podstawie uzyskanych rozkładów temperatury wyznaczono parametr

względną różnicę między tymi rozwiązaniami. W obl czeniach uwzględniano również wpływ wymiaru komórki periodyczności przez zmianę liczby komórek w rozp trywanym ośrodku. Otrzymane wyniki przedstawiono w formie graficznej. Wyrażone przez parametr

między rozwiązaniami uzyskanymi w ramach rozpatr wanych modeli są tym większe,

między wartościami współczynników przewod ciepła materiałów składowych w ośrodku. Można to stwierdzić na podstawie rys. 5.

wartości parametru δ leży w różnicach

dami temperatury, uzyskanymi w obu modelach (wykr sy przestrzenne na rys. 4). W rozkład

dla modelu tolerancyjnego, w przypadku połączenia materiałów o bardzo różniących się współczynnikach przewodzenia ciepła, jest widoczn

(wykresy przestrzenne oznaczone literami T dla prz padków a, b, c, f, g). Zagłębienie to

warstwy materiału o mniejszym współczynniku stanowią izolację dla przepływu ciepła w kierunku

asymptotyczny tego faktu nie zauważa temperatur oznaczone literą „A” są podobne 1.0 1.2

1.0 1.2

0 10 20 30 40

20 40 60 80

x1

x2

x1 [m]

x1

x1

x2

T

δmax [%]

żelbet-beton żelbet-drewno

żelbet-stal wysokostop.

żelbet-stal niskostop.

żelbet-stal węglowa.

x₁ [m]

Rys. 4 przedstawia rozkłady temperatury, otrzymane w ramach modeli opisanych układami równań (4) oraz (7), otrzymanych w przyję- tym przekroju dla różnych kombinacji materiałowych i różnej liczby komórek periodyczności.

Na rys. 5 przedstawiono zestawienie maksymalnych w zależności od współczynnika niejednorod-

dla różnych kombinacji

PODSUMOWANIE I WNIOSKI

W pracy przedstawiono dwa modele uśrednione prze- wodnictwa ciepła dla dwuskładnikowych periodycznych ośrodków warstwowych: model tolerancyjny oraz jego wariant asymptotyczny. Porównano rozwiązania wybra- nych zagadnień przewodnictwa ciepła uzyskane w ra- mach tych modeli. Na podstawie uzyskanych rozkładów temperatury wyznaczono parametr δ określający względną różnicę między tymi rozwiązaniami. W obli- czeniach uwzględniano również wpływ wymiaru komórki

eriodyczności przez zmianę liczby komórek w rozpa- trywanym ośrodku. Otrzymane wyniki przedstawiono w

Wyrażone przez parametr δ różnice między rozwiązaniami uzyskanymi w ramach rozpatry-

im większa jest różnica między wartościami współczynników przewodzenia ciepła materiałów składowych w ośrodku. Można to Przyczyna tak dużych leży w różnicach między rozkła-

w obu modelach (wykre- ). W rozkładach otrzymanych

w przypadku połączenia materiałów o bardzo różniących się współczynnikach jest widoczne podłużne zagłębienie (wykresy przestrzenne oznaczone literami T dla przy- padków a, b, c, f, g). Zagłębienie to wynika stąd, że warstwy materiału o mniejszym współczynniku stanowią izolację dla przepływu ciepła w kierunku x1. Model asymptotyczny tego faktu nie zauważa – rozkłady temperatur oznaczone literą „A” są podobne do siebie

40 50 60 70

S= T żI , ^żIV stal niskostop.

żelbet-styropian.

żelbet-pianka poliuret.

PORÓWNANIE ROZWIĄZAŃ ZAGADNIENIA PRZEWODNICTWA CIEPLNEGO dla wszystkich kombinacji materiałowych. Z tego pow

du, a także ze względu na fakt, że parametr

duże wartości dla połączeń materiałów o skrajnie ró nych właściwościach, można wnioskować, że

z modelu asymptotycznego nie zawsze jes względu na dokładność rozwiązań.

Skoro w równaniach modelowych (4) występują człony związane z wymiarem komórki periodyczności

Literatura

1. Bagdasaryan V., Chalecki M.: Zastosowanie metody różnic skończonych w modelu uśrednionym przewodnictwa cieplnego w periodycznym ośrodku dwuwarstwowym

2. Bagdasaryan V., Nagórko W.: Model asymptotyczny przewodnictwa cieplnego w ośrodkach wieloskładnikowych o funkcyjnej gradacji własności materiałowych.

3. Michalak B., Woźniak Cz., Woźniak M.:

“Archive of Applied Mechanics” 2007 4. Radzikowska A., Wirowski A.: Two

properties. “Civil and Environmental Engineering 5. Woźniak Cz., Michalak B., Jędrysiak J., (

Tolerance averaging approach. Łódź

6. Woźniak Cz., Wierzbicki E.: Averaging techniques in thermomechanics of versus homogenization. Częstochowa

Artykuł dostępny na podstawie licencji Creative Commons Uznanie autorstwa 3.0 Polska.

http://creativecommons.org/licenses/by/3.0/pl

ROZWIĄZAŃ ZAGADNIENIA PRZEWODNICTWA CIEPLNEGO dla wszystkich kombinacji materiałowych. Z tego powo-

e względu na fakt, że parametr δ przyjmuje duże wartości dla połączeń materiałów o skrajnie róż-

można wnioskować, że korzystanie jest wskazane ze

w równaniach modelowych (4) występują człony związane z wymiarem komórki periodyczności, to możli-

we jest badanie wpływu tego wymiaru na rozkład te peratury. Obliczenia wykonane w niniejszej pracy pr wadzą do wniosku, że wpływ ten jest nieznaczny w stosunku do wpływu różnicy między współczynnikami przewodzenia ciepła.

Zastosowanie metody różnic skończonych w modelu uśrednionym przewodnictwa cieplnego w periodycznym ośrodku dwuwarstwowym. „Acta Scientiarum Polonorum” 2016

Model asymptotyczny przewodnictwa cieplnego w ośrodkach wieloskładnikowych radacji własności materiałowych. „Acta Scientiarum Polonorum” 2013, 12 (3), s. 3

ak B., Woźniak Cz., Woźniak M.: Modelling and analysis of certain functionally graded heat co 2007, 77, p. 823-834.

Two-dimensional heat conduction in the laminate with the Civil and Environmental Engineering Reports” 2012, vol. 8, p. 61-68.

chalak B., Jędrysiak J., (red.): Thermomechanics of microheterogeneous solids and structures.

Łódź: Politechnika Łódzka, 2008.

Averaging techniques in thermomechanics of composite solids. Tolerance averaging Częstochowa: Wydawnictwo Politechniki Częstochowskiej, 2000.

Artykuł dostępny na podstawie licencji Creative Commons Uznanie autorstwa 3.0 Polska.

http://creativecommons.org/licenses/by/3.0/pl

ROZWIĄZAŃ ZAGADNIENIA PRZEWODNICTWA CIEPLNEGO (…) we jest badanie wpływu tego wymiaru na rozkład tem- peratury. Obliczenia wykonane w niniejszej pracy pro- wadzą do wniosku, że wpływ ten jest nieznaczny w stosunku do wpływu różnicy między współczynnikami

Zastosowanie metody różnic skończonych w modelu uśrednionym przewodnictwa 2016, 15 (2), s. 55-66.

Model asymptotyczny przewodnictwa cieplnego w ośrodkach wieloskładnikowych , 12 (3), s. 3-15.

lly graded heat conductors.

dimensional heat conduction in the laminate with the functionally graded

Thermomechanics of microheterogeneous solids and structures.

composite solids. Tolerance averaging

Artykuł dostępny na podstawie licencji Creative Commons Uznanie autorstwa 3.0 Polska.