EFEKTYWNOŚĆ PRZEJŚCIOWYCH ELEMENTÓW SKOŃCZONYCH W HIERARCHICZNYM MODELOWANIU STRUKTUR ZŁOŻONYCH

38, s. 131-138, Gliwice 2009

EFEKTYWNOŚĆ PRZEJŚCIOWYCH ELEMENTÓW SKOŃCZONYCH W HIERARCHICZNYM MODELOWANIU STRUKTUR ZŁOŻONYCH

M^AGDALENA N^OSARZEWSKA1, G^RZEGORZ Z^BOIŃSKI1,2

1 Katedra Mechaniki i Podstaw Konstrukcji Maszyn, Uniwersytet Warmiński Mazurski w Olsztynie

2 Instytut Maszyn Przepływowych PAN w Gdańsku e-mail: m.nosarzewska@uwm.edu.pl, zboi@imp.gda.pl

Streszczenie. Badania dotyczą uwzględnienia w analizie struktur złożonych przejściowych elementów skończonych, pomiędzy elementami bryłowymi a elementami powłokowymi pierwszego rzędu. Skupiono się tu na wyeliminowaniu z modelu struktury wewnętrznej warstwy brzegowej poprzez uzyskanie płynnego przejścia od struktury trójwymiarowej do powłokowej pierwszego rzędu.

Zaproponowane podejście umożliwiło znaczną poprawę wyników. Obserwowany wcześniej wpływ wewnętrznej warstwy brzegowej został wyeliminowany.

Uporządkowano także przebieg krzywych zbieżności.

1. WSTĘP

Niniejsza praca stanowi fragment szerszych badań [1] nad budową modeli hierarchicznych do adaptacyjnego modelowania i analizy struktur złożonych, opisanych więcej niż jednym modelem mechanicznym. Jednym z problemów takiej analizy jest modelowanie stref przejściowych (o zmiennych własnościach mechanicznych) pomiędzy modelami podstawowymi o stałych parametrach fizycznych. Na granicy pomiędzy modelami podstawowymi pojawia się bowiem efekt tzw. wewnętrznej warstwy brzegowej, którą charakteryzują znaczne gradienty rozwiązania. Skutkiem tego jest utrata jego regularności i wzrost błędów aproksymacji.

W pracy założono dwa modele podstawowe: model trójwymiarowej teorii sprężystości [2]

oraz model powłokowy Reissnera-Mindlina w sformułowaniu trójwymiarowym [3]. Ponadto przyjęto nowy model przejściowy od trójwymiarowego do powłokowego, pozwalający na zachowanie ciągłości odkształceń w strukturze złożonej [4], także w ujęciu trójwymiarowym.

W badaniach skupiono się na wyeliminowaniu z modelu dyskretnego struktury, wewnętrznej warstwy brzegowej, dzięki właściwemu udoskonaleniu adaptacyjnych elementów przejściowych [4]. Praca przedstawia ideę nowego sposobu definiowania takich elementów, a także porównuje wyniki analizy za pomocą nowego i poprzedniego podejścia [1, 5].

2. ELEMENTY ADAPTACYJNE

W badaniach wykorzystano hierarchiczne, pryzmatyczne elementy: bryłowe, powłokowe i przejściowe, w ramach adaptacyjnej metody elementów skończonych, opartej na aproksymacji typu hp. Metoda ta polega na lokalnych zmianach: wymiaru h i stopnia aproksymacji p elementu, w celu uzyskania rozwiązania o założonej dokładności.

2.1. Element bryłowy i powłokowy pierwszego rzędu

Punktem wyjścia do zdefiniowania elementu przejściowego są elementy: bryłowy i powłokowy. Poniżej przedstawiono element bryłowy (odpowiadający trójwymiarowej teorii sprężystości) we współrzędnych znormalizowanych (zmieniających się od 0 do 1 we wszystkich trzech kierunkach) z zaznaczeniem wszystkich 21 węzłów w nim występujących (rys. 1). Węzły te można podzielić na: wierzchołkowe (a1, a2, …, a6), krawędziowe (a7, a8, …, a15), węzły podstaw (a16, a17), węzły ścian (a18, a19, a20), oraz jeden węzeł środkowy (a21).

Element ten wykorzystuje przemieszczeniowe, trójwymiarowe (trzy przemieszczenia w kierunkach globalnych) stopnie swobody wprowadzone w jego węzłach.

Rys. 1 Znormalizowany, pryzmatyczny element typu hp

Macierz sztywności adaptacyjnego elementu bryłowego może być zdefiniowana w sposób standardowy:

ò ò ò

= ¹

0 1 0

1

0 1 2 3

2 det( )

x ^{eT e} dx dx dx

e B DB J

k (1)

gdzie: D to macierz stałych sprężystych, B oznacza macierz odkształcenia–przemieszczenia ^e (określającą zależność globalnego tensora odkształcenia od globalnych stopni swobody elementu), a det(J to wyznacznik macierzy jakobianu przekształcenia, wynikający z zamiany ) współrzędnych rzeczywistych x, y ,z na znormalizowane ξ1, ξ2, ξ3. Postacie macierzy D i B ^e znaleźć można w pracach [1, 2].

W sposób analogiczny do elementu bryłowego wprowadzić można pryzmatyczny element powłokowy pierwszego rzędu. Zauważyć można, że w przypadku takiego elementu powłokowego występować będą jedynie węzły wierzchołkowe oraz węzły na krawędziach podstaw, znikają natomiast węzły na krawędziach pionowych i ścianach oraz węzeł środkowy.

Także i w tym przypadku element wykorzystuje trójwymiarowe stopnie swobody, inaczej niż w przypadku klasycznym, gdzie wykorzystuje się tzw. powłokowe stopnie swobody powierzchni środkowej.

W przypadku elementu powłokowego macierz sztywności, uwzględniać musi warunek zerowania się naprężeń normalnych oraz warunek braku wydłużenia normalnych do powierzchni środkowej (spełnienie tego warunku oznaczamy daszkiem). Jej definicję zapisano w postaci:

ò ò ò

= ¹

0 1 0

1

0 1 2 3

2 '' '' ''det( )

ˆ '' ^{x e T e} dx dx dx

e

J B D B

k (2)

gdzie: D oznacza macierz stałych sprężystych w lokalnym kartezjańskim układzie odniesienia '' powłoki, po wprowadzeniu warunku zerowania się naprężeń normalnych, B zaś to macierz ^e '' odkształcenia–przemieszczenia w lokalnym kartezjańskim układzie odniesienia powłoki, o dwóch osiach stycznych i jednej normalnej do powierzchni powłoki, po wprowadzeniu warunku zerowania się naprężeń normalnych. Postacie obu tych macierzy znaleźć można w pracach [1, 5].

2.2. Adaptacyjne elementy przejściowe

Adaptacyjne elementy przejściowe składają się z dwóch części: powłokowej pierwszego rzędu oraz bryłowej (lub powłokowej hierarchicznej o rzędzie q). Elementy skończone tego typu pozwalają na łączenie elementów opisanych trójwymiarową teorią sprężystości (lub hierarchicznymi modelami powłokowymi) i teorią powłokową pierwszego rzędu Reissnera- Mindlina. Elementy te należą do rodziny pryzmatycznych, bryłowo–powłokowych elementów typu hpq/hp, opartych na trójwymiarowych stopniach swobody, podobnie jak elementy bryłowe i powłokowe pierwszego rzędu.

Wśród elementów przejściowych (rys. 2) dotychczas wyróżnić można było następujące cztery typy [1]:

· typ I, zawierający w części powłokowej pierwszego rzędu jedną krawędź pionową;

· typ II, zawierający w części powłokowej dwie krawędzie pionowe i ścianę boczną pomiędzy nimi;

· typ III, obejmujący w części powłokowej trzy krawędzie i dwie ściany;

· typ IV, uwzględniający w tejże części trzy krawędzie pionowe i trzy ściany boczne.

Rys. 2 Przypadki (I) – (IV) znormalizowanych elementów przejściowych

Podczas analizy i modyfikacji elementów przejściowych dodane zostały trzy nowe typy, umożliwiające dowolne kształtowanie obszaru przejściowego (rys. 3):

· typ V, o części powłokowej złożonej z dwóch krawędzi pionowych;

· typ VI, zawierający w części trójwymiarowej jedną krawędź pionową (rys. 3(VI));

· typ VII, o części trójwymiarowej obejmującej dwie krawędzie pionowe i ścianę między tymi krawędziami.

Rys. 3 Przypadki (V) – (VII) znormalizowanych elementów przejściowych

Podobnie jak w przypadku elementu powłokowego macierz sztywności elementów przejściowych uwzględniać musi brak wydłużenia prostych normalnych do powierzchni środkowej (stąd daszek nad symbolem macierzy). W przypadku elementów przejściowych warunek ten obowiązuje tylko w części powłokowej elementu. Opis sposobu wymuszenia tego warunku znaleźć można w pracach [1, 5]. Tam też zawarta jest definicja macierzy sztywności, odpowiadająca dotychczasowemu stanowi badań. Nową definicję przyjęto natomiast w postaci

ò ò ò

= ¹

0 1 0

1

0 1 2 3

2 ' ' 'det( )

ˆ' ^{x e T e} dx dx dx

e

J B D B

k (3)

gdzie macierz stałych sprężystych, odpowiadającą lokalnemu kartezjańskiemu układowi odniesienia powłoki, zdefiniowana jest w sposób standardowy:

úú úú úú úú úú

û ù

êê êê êê êê êê

ë é

- -

- - - -

-

= +

2 2 0 1

0 0 0 0

2 0 2 0 1

0 0 0

0 2 0

2 0 1

0 0

0 0

0 1

0 0

0 1

0 0

0 1

) 2 1 )(

1 ' (

n n

n n n

n

n n n

n n n

n n

D E (4)

przy czym: E to moduł Younga, a ν to współczynnik Poissona.

Z kolei macierz odkształcenia-przemieszczenia B elementów przejściowych zostanie ^e' przyjęta niestandardowo, inaczej niż w przypadku elementów bryłowych, powłokowych i

dotychczasowej wersji elementów przejściowych. Aby uzyskać model przejściowy, gwarantujący wyeliminowanie dużych gradientów pola przemieszczeń na granicy pomiędzy modelami, zaproponowano uzyskanie ciągłości pola odkształceń w modelu dyskretnym, na granicy elementów przejściowych z elementami powłokowymi i bryłowymi. W tym celu przyjęto zmodyfikowaną definicję wektora naprężeń normalnych do powierzchni środkowej w elementach przejściowych

e'₃₃=a×e'₃₃+(1-a)[-n (1-n)](e'₁₁+e'₂₂) (5) gdzie: a×e'₃₃ jest kontrybucją modelu trójwymiarowej teorii sprężystości (odpowiadającą trójwymiarowemu stanowi odkształceń), a (1-a)[-n (1-n)](e'₁₁+e'₂₂) to kontrybucja modelu powłokowego (uwzględniająca zerowanie się naprężeń normalnych) do naprężeń normalnych modelu przejściowego. Funkcja korygująca α, zmienna w zakresie od 0 do 1, definiuje udział modeli: powłokowego i trójwymiarowego w modelu przejściowym, w każdym punkcie elementu przejściowego. Na ścianach i krawędziach elementów przejściowych, sąsiadujących z elementami bryłowymi przyjmuje ona wartość 1, a na ścianach przyległych do elementów powłokowych pierwszego rzędu jest ona równa 0.

Powyższy warunek wprowadzono do macierzy odkształcenia-przemieszczenia elementów.

Macierz ta może być podzielona na bloki odpowiadające węzłom

[ ]

[

]

T T e T

w e

e e

' ,..., ' , ' '

' ,..., ' , ' '

2 1

2 1

B B

B B

B B B B

=

= (6)

gdzie: w określa liczbę węzłów elementu przejściowego. Z kolei każdy blok _e B , j=1,2,…,w'_j e

macierzy odkształcenia przemieszczenia może być podzielony na podbloki przypisane każdej trójce k stopni swobody w węźle j:

[

]

'_j B_j,k

B = (7)

Po uwzględnieniu powyższej definicji naprężeń normalnych, podbloki macierzy odkształcenia-przemieszczenia elementów przejściowych mogą być zapisane w postaci:

úú úú úú úú

û ù

êê êê êê êê

ë é

- + - - +

× - +

- - +

× - +

- - +

= ×

3 , 6 , , 2

, 6 , , 1

, 6 , ,

3 , 5 , , 2

, 5 , , 1

, 5 , ,

3 , 4 , , 2

, 4 , , 1

, 4 , ,

3 , 2 , , 3 ,1 , , 3

, 3 , , 2 , 2 , , 2 ,1 , , 2

, 3 , , 1 , 2 , , 1 , 1 , , 1

, 3 , ,

3 , 2 , , 2

, 2 , , 1

, 2 , ,

3 ,1 , , 2

,1 , , 1

, 1 , ,

,

) 1 (

) 1 ( )

1 ( ) 1 ( )

1 ( ) 1 (

k j k

j k

j

k j k

j k

j

k j k

j k

j

k j k j k

j k

j k j k

j k

j k j k

j

k j k

j k

j

k j k

j k

j

k j

B B

B

B B

B

B B

B

B B B

B B B

B B B

B B

B

B B

B

n a n n a

a n n a

a n

B a (8)

3. ANALIZA UZYSKANYCH WYNIKÓW

W obliczeniach numerycznych zastosowano trzy liniowo sprężyste modele mechaniczne struktury: bryłowy, powłokowy oraz model mieszany, ze zmienianym udziałem modelu powłokowego. Obiektem badań była symetryczna ćwiartka płyty kwadratowej, utwierdzonej na brzegu i obciążonej jednorodnym ciśnieniem normalnym. Zastosowano siatki z równomiernym podziałem i podziałem zagęszczonym w kierunku normalnym do brzegów płyty (tutaj pominięte ze względu na szczupłość miejsca).

Analizę wyników przeprowadzono, porównując rezultaty uzyskane we wcześniejszych badaniach numerycznych (przed wprowadzeniem funkcji korygującej α) z wynikami uzyskanymi dla nowego podejścia do problemu, tj. po modyfikacji algorytmu obliczeniowego.

3.1. Obraz przemieszczeń i naprężeń

Analizę rozpoczęto od obrazu przemieszczeń. W niniejszym artykule, ze względu na szczupłość miejsca, ograniczono się jedynie do stwierdzenia, iż uzyskane z obu podejść wartości przemieszczeń są takie same. Wyniki te nie zależą od przyjętej definicji modelu przejściowego. Zależą one jedynie od typu podziału siatki (równomierny lub nierównomierny), stopnia jej zagęszczenia i przyjętego wzdłużnego stopnia aproksymacji w elementach.

Kolejnym krokiem była analiza naprężeń. W dotychczasowym podejściu do problemu (rys.

4) zauważono wyraźny skok naprężeń na granicy między różnymi modelami mechanicznymi (w połowie brzegów płyty, np. pomiędzy elementami 70 i 100 oraz 640 i 790). Natomiast w nowym podejściu do problemu (rys. 5) zauważyć można wygładzenie (a ściślej uzyskanie ciągłości) pola naprężeń.

Rys. 4 Naprężenia efektywne – podział na 128 elementów (dotychczasowe podejście)

Rys. 5 Naprężenia efektywne – podział na 128 elementów (nowe podejście) 3.2. Krzywe zbieżności

W dalszej części porównano krzywe zbieżności (rysunki 6 i 7). Krzywe te wiążą tutaj błąd aproksymacji, mierzony jako logarytm z różnicy, log(Ur-U), energii potencjalnych U i Ur z

modelu numerycznego i modelu odniesienia, z liczbą stopni swobody (log N), przy ustalonym podziale sieci i przy zmiennym wzdłużnym stopniu aproksymacji p. Kolejne krzywe uzyskano, zwiększając udział modelu powłokowego w strukturze, od struktury w pełni trójwymiarowej (3D(8)) do całkowicie powłokowej (RM(8)), przy czym wartości oznaczają tutaj liczby elementów danego typu wzdłuż brzegów płyty. Wyniki dla modelu odniesienia, który reprezentuje dokładną wartość energii potencjalnej dla danego modelu, zostały przez nas uzyskane jako najlepsze możliwe przybliżenie numeryczne rozwiązania.

Analizując uzyskane krzywe, stwierdzono, że w przypadku obu podejść (rys 6. i rys. 7), krzywe dla struktur złożonych, opisanych modelami mieszanymi o zmiennym udziale modelu powłokowego pierwszego rzędu, położone są w bliskim sąsiedztwie krzywych modeli podstawowym. W nowym podejściu (rys. 7) nie zauważono natomiast wielokrotnego, nieuporządkowanego przecinania się krzywych modeli mieszanych z krzywymi modeli podstawowych, co można było zauważyć we wcześniejszym podejściu (rys. 6).

Rys. 6 Krzywe zbieżności – dotychczasowe podejście do problemu

Rys. 7 Krzywe zbieżności – nowe podejście do problemu 4. WNIOSKI

Podsumowując pracę, stwierdzić należy, że uzyskano uporządkowaną (względem udziału modelu powłokowego w modelu mieszanym) zbieżność rozwiązań, czego nie gwarantowało

podejście dotychczasowe. Poprawiły się także wyniki naprężeń – zapewniono ich ciągłość na granicy pomiędzy modelami. A zatem zrealizowany został główny cel naszej pracy, tj.

wyeliminowanie niekorzystnego wpływu wewnętrznej warstwy brzegowej na wyniki analizy numerycznej.

LITERATURA

1. Zboiński G.: Modelowanie hierarchiczne i metoda elementów skończonych do adaptacyjnej analizy struktur złożonych. Zeszyt Naukowy IMP PAN w Gdańsku. Studia i materiały.

520/1479/01. Gdańsk 2001.

2. Zboiński G.: Application of the 3D triangular-prism hpq adaptive finite element to plate and shell analysis. „Computers & Structures” 1997, 67, p. 497 – 514.

3. Zboiński G.: A posteriori error estimation for hp-approximation of the 3 based first order shell model. Part II. Theoretical aspects. „Applied Mathematics Informatics and Mechanics” 2003, 8(2) , p. 104 – 125.

4. Nosarzewska M.: Zastosowanie elementów przejściowych w adaptacyjnej analizie struktur sprężystych. Praca magisterska. Uniwersytet Warmińsko – Mazurski , Wydział Nauk Technicznych, Olsztyn 2007.

5. Zboiński G., Ostachowicz W.: An algorithm of a family of 3D-based, solid-to-shell, hpq/hp-Adaptive Finite Elements. „Journal of Theoretical and Applied Mechanics” 2000, 38, p. 791 – 806.

EFFECTIVENESS OF THE TRANSITION FINITE ELEMENTS IN HIERARCHICAL MODELLING OF COMPLEX STRUCTURES

Summary. This research concern implementation of the transition finite elements, acting between the solid and first-order shell elements, into the analysis of complex structures. We focus on elimination of the internal boundary layer from the numerical model of such structures by means of the smooth transition between the models of the solid and shell parts of the structures.

The proposed approach has enabled considerable improvement of the results. The influence of the internal boundary layer has been eliminated. Also the convergence curves for subsequent mixed models of the complex structure have been ordered.