ZASIĉG EFEKTU WARSTWY BRZEGOWEJ W

(1)

Acta Sci. Pol. Architectura 14 (2) 2015, 3–17

ZASIĉG EFEKTU WARSTWY BRZEGOWEJ W

KOMPOZYTACH WARSTWOWYCH DLA ZAGADNIEē ELASTOSTATYKI

Joanna Witkowska-Dobrev, Monika Wągrowska

Szkoáa Gáówna Gospodarstwa Wiejskiego w Warszawie

Streszczenie. Rozpatrzono zagadnienie efektu warstwy brzegowej w wielowarstwowej przegrodzie budowlanej o podáuĪnej i poprzecznej gradacji wáasnoĞci dla zagadnienia sta- cjonarnego. RozwaĪania ograniczono do jednowymiarowego zagadnienia w ramach wariantu asymptotycznego modelowania tolerancyjnego – homogenizacji lokalnej. Zbadano róĪnicĊ wzglĊdną pomiĊdzy rozwiązaniem otrzymanym metodą wariantu asymptotycznego modelowania tolerancyjnego – homogenizacji lokalnej oraz z uwzglĊdnieniem efektu warstwy brzegowej dla danego typu gradacji.

Sáowa kluczowe: podáuĪna gradacja wáasnoĞci, poprzeczna gradacja wáasnoĞci, asympto- tyczny wariant modelowania tolerancyjnego – homogenizacja lokalna, wyznaczenie efektu warstwy brzegowej, róĪnica wzglĊdna

WSTĉP

W przypadku struktur wielowarstwowych bezpoĞrednie rozwiązanie równaĔ równo- wagi jest niemoĪliwe, poniewaĪ równania te posiadają nieciągáe, silnie oscylujące wspóá- czynniki. W celu wyznaczenia rozwiązania stosuje siĊ róĪne podejĞcia, np. wprowadza siĊ dodatkowe zaáoĪenia dotyczące poszukiwanego pola przemieszczenia, umoĪliwiającego przeksztaácenie równaĔ do postaci, dla których moĪna znaleĨü rozwiązania analityczne.

Jedną z metod jest wariant asymptotyczny modelowania tolerancyjnego – homogenizacja lokalna [Wierzbicki i in. 2005, Rychlewska i WoĨniak 2006, WoĨniak i in. 2008, 2010].

Rozpatrzono dwuskáadnikowe kompozyty wielowarstwowe o strukturze determini- stycznej typu FGM (Functionally Graded Materiales), czyli materiaáy z funkcyjną gra- dacją wáasnoĞci. Szczególny nacisk poáoĪony bĊdzie na kompozyty charakteryzujące siĊ

Adres do korespondencji – Corresponding author: Joanna Witkowska-Dobrev, Szkoáa Gáówna Gospodarstwa Wiejskiego, Wydziaá Budownictwa i InĪynierii ĝrodowiska, Katedra InĪynierii Budowlanej, ul. Nowoursynowska 159, 02-776 Warszawa, e-mail: joanna_witkowska@sggw.pl

(2)

poprzeczną i podáuĪną gradacją wáasnoĞci (rys. 1). Zbadano róĪnicĊ wzglĊdną pomiĊdzy rozwiązaniem otrzymanym metodą homogenizacji lokalnej oraz z uwzglĊdnieniem efektu warstwy brzegowej dla danego typu gradacji, w zaleĪnoĞci od nasycenia skáadnikami w komórce na brzegach przecinających uwarstwienie oraz w pewnej odlegáoĞci od tych brzegów.

WARIANT ASYMPTOTYCZNY MODELOWANIA TOLERANCYJNEGO – HOMOGENIZACJA LOKALNA

PrzyjĊto, Īe w trójwymiarowej kon¿ guracji odniesienia w kartezjaĔskim ukáadzie wspóárzĊdnych kompozyt zajmuje obszar ȍ = Ȅ × R, gdzie Ȅ R². KaĪda z warstw kompozytu ma staáą gruboĞü Ș, Ș << L, max (L, H), i skáada siĊ z dwóch izotropowych, jednorodnych skáadników, noszących nazwĊ matrycy oraz wzmocnienia. Funkcja v^R(·), v^R(x²) [0, 1], x² >H@, v^R C¹([0, H]), jest funkcją opisującą Ğrednią frakcjĊ wzmoc- nienia w warstwie, natomiast v^M(·) opisuje Ğrednią frakcjĊ matrycy dla gradacji podáuĪnej w warstwie: v^M(x²) = 1 – v^R(x²), x² >H@, a dla gradacji poprzecznej x² [0, L]

Dla zagadnienia dwuwymiarowego przemieszczenia kompozytów oznaczono przez w = (w₁, w₂).

W ramach modelu wariantu asymptotycznego modelowania tolerancyjnego – homogenizacji lokalnej [WoĨniak i in. 2008, 2010] nieznane pole przemieszczeĔ przybliĪono poprzez:

x³

x¹

x² H

L

0 H

[

0 0

[

[ [

KK

*₁ *

Rys. 1. Schemat kompozytów o gradacji podáuĪnej i poprzecznej Fig. 1. Scheme of composite with longitudinal and transverse gradation

(3)

dla gradacji podáuĪnej

1 2

1 1 1

1 2

2 2 2

w u h x ,x

x x x

Y Y

dla gradacji poprzecznej (1)

1 1 2 1

2 2 2 2

w u h x

x x x

Y Y

gdzie: x = (x₁, x₂), x Ȅ funkcje u₁(·), u₂(·), ȣ₁(·), ȣ₂(·) C¹

; są nowymi niewia- domymi, u1

,u2 to przemieszczenia uĞrednione, a X1

,X2 są À uktuacjami prze- mieszczeĔ.

Funkcja ^h

^C⁰

^; jest zadaną z góry funkcją ksztaátu. Dla gradacji podáuĪnej okreĞlona jest dla

^{x x}¹^, ²

^0,^L ^u ^0,^H

. Jest to funkcja kawaákami liniowa, na inter- fejsach przyjmuje wartoĞci _.

2

rK Dla gradacji poprzecznej okreĞlona jest dla kaĪdego

2 0,

x L [WoĨniak i in. 2008, 2010].

W wyniku procesu modelowania homogenizacji lokalnej [WoĨniak i in. 2008, 2010, Wągrowska i Witkowska-Dobrev 2011, 2012, Witkowska-Dobrev 2014] dla zagadnienia dwuwymiarowego otrzymano nastĊpujący ukáad równaĔ na poszukiwane funkcje

1 , 2 , 1 , 2 :

u u X X

²^{P O}

^u^{1 11}^,

^P⁰^O

^u^{2 1 2}^{, ,}

^P^{0 1 2}^u^{, ,}

² ⁰

^P⁰^O ^u^{1 1 2}^{, ,}

^P^{0 2 11}^u ^,

²^{P O}

^u^{2 2}^{, ,}

² ⁰

1

1 1 2 2

2 1 2 2 1

2 2

2 2 , ,

, ,

R M

M R

R R M M

R R M M R M

R M

R M R M

R M

M R

v v

v v

u u

v v u u

v v

X O P O P

P O P O O O

X P P P P

P P

§ ·

¨ ¸

¨© ¸¹

ª º

¬ ¼

§ ·

¨ ¸ ª º

¨¨© ¸¸¹¬ ¼

(2)

–

(4)

dla gradacji poprzecznej

1 0 X

2 2 2 2 2, 2 2,

2 2

R M

R M R M

M R M R

R M R M

v v u u

v v v v

X P P O O

P P O O

§ ·

¨ ¸ ª¬ º¼

¨ ¸

© ¹

W równaniach (2) wystĊpują wspóáczynniki zwane moduáami efektywnymi dla rozpatrywanych zagadnieĔ, które są funkcjami gáadkimi zaleĪnymi od x2 [Wągrowska i Witkowska-Dobrev 2011, 2012, Witkowska-Dobrev 2014]:

0

2

0

2 2

2 2 2

2 2

2 2 2

2 2

R R M M

M R

R R M M

R M

M M R R R M

M R

R R M M

R M

R R M M

R M R M

M R

R R M M

R M

M R

R M

ȝ ȝ

ȝ ȝ Ȟ ȝ Ȟ

ȝ Ȝ Ȟ ȝ Ȟ

Ȝ ȝ Ȟ ȝ Ȟ

ȝ ȝ Ȟ ȝ Ȟ

ȝ ȝ Ȟ Ȟ

ȝ Ȟ ȝ Ȟ

ȝ ȝ ȝ

ȝ Ȟ ȝ Ȟ

O O

O O O

O O

O O O

O O

W ramach modelu homogenizacji lokalnej zawĊĪono rozwaĪania do zagadnienia jed- nowymiarowego o niezerowej skáadowej wektora przemieszczenia u2(·), która zaleĪy od zmiennej x2. Skutkiem tego otrzymano tylko jedno równanie na u2(·):

²^ȝ^O ^u^{2 2 2}^,

^, ⁰ ⁽³⁾

Natomiast pola przemieszczeĔ w1(·), w2(·) są aproksymowane w postaci:

1 1 2 2

2 2 2

w w hM u

w w u

| w

|

(4)

–

(5)

gdzie:

^,

2 2 ^M

R M

M R R

R R M M

M Ȟ Ȟ Ȝ

Ȝ ȝ Ȟ Ȝ ȝ Ȟ O

§ ·

¨ ¸

© ¹

dla gradacji poprzecznej

1 1 1 1

2 2 2 2 2

0 w w u h

w w u hM u X

|

| w

(5)

gdzie:

₂

^M^R

^M ₂

^R ^M

² ^R ² ^M

^.

R R M M

M ¨^¨^§© Ȝ ȝ ȞȞ Ȟ Ȝ ȝ ȞR¸^·^¸¹ O O P P

Dla gradacji poprzecznej rozpatrywanego kompozytu brzegi przecinające uwarstwienie oznaczono przez: ī02⁰

> @

0,L u

^ `

0 uR oraz ī_H⁰

> @

0,L u

^ `

H uR, * *02⁰ *_H⁰.

Dla gradacji podáuĪnej rozpatrywanego kompozytu brzegi przecinające uwarstwienie oznaczamy oznaczono przez: ī01⁰

> @

0,H u

^ `

0 uR oraz * 0^H

> @

0,H u

^ `

L uR,

010 0H

* * * .

Zgodnie z zaáoĪeniem modelu homogenizacji lokalnej warunki brzegowe na

1, 2

u u u uĞrednionego przemieszczenia przyjĊto zgodnie z warunkami brzegowymi, jakie wystĊpują na brzegu danego kompozytu.

Z postaci otrzymanych rozwiązaĔ wynika, Īe [Wągrowska i Witkowska-Dobrev 2011, 2012, Witkowska-Dobrev 2014a, b]:

dla gradacji podáuĪnej przemieszczenie w1

, dla ^{u x}²

¹^,0,^x³

^u⁰^,^{u x H x}²

¹^{, ,} ³

^0,

1 0, , 3

x L x R nie speánia warunków brzegowych na brzegach ī₀₁⁰ i ī₀^H, dla gradacji poprzecznej przemieszczenie w2

, dla ^{u x}²

¹^,0,^x³

^u⁰^,

¹ ³

2 , , 0,

u x H x ^x¹

^0,^L , x³R, nie speánia warunków brzegowych na brzegach

0 0

02 i _H ī ī .

Wprowadono wiĊc nową zmienną ȟ, która okreĞlona jest w obszarach przylegających do brzegów ī₀₁⁰ i ī₀^H dla gradacji podáuĪnej, oraz ī₀₂⁰ i ī_H⁰ dla gradacji poprzecznej, która przecina uwarstwienie i skierowana jest do wewnątrz kompozytu.

Aby speániü warunki brzegowe, poszukiwano rozwiązania w postaci:

dla gradacji podáuĪnej przemieszczenia ² w1

²

1 1 2 2 1

w1 w h q h Mw u h q (6)

gdzie q₁(·) jest poszukiwaną funkcją w obszarach przybrzegowych, którą wyznaczono z równania efektu warstwy brzegowej [WoĨniak i in. 2008, 2010]:

2ȝ Ȝ h q ,

² 1 _ȟȟ

h,1 ²ȝ q1 0 (7)

–

– –

–

(6)

z warunkami brzegowymi

0 0

01 01

1 _ī 2 2 _ī i 1 _ī^H 2 2 _ī^H

q wM u q wM u (8)

ZaáoĪono, Īe q₁(·) szybko zanika wraz ze wzrostem wielkoĞci ȟ. Otrzymano stąd, Īe:

w obszarze przylegającym do ^ī⁰¹⁰

^[ ^x²

2 1 2 2 2

1 1

1 1 0 2

2 2

0

,

0 0 0 exp

w x w h x x M x 2 2u x h x , M u x , B x

A

| w

§ ·

¨ ¸

w

¨ ¸

© ¹

(9a)

w obszarze przylegającym do ^ī⁰^H

^[ ^{H x}²

2 1 2 2 2

1 1 2 2

1 1 0 2

2 2

0

, ,

exp w x w h x x M x u x

h x ,H M H u x ,H B H – x A

| w

§ ·

¨ ¸

w

¨ ¸

© ¹

(9b)

gdzie:

2

0 2 , 0

12

R M

M R

A K P O B P Q R MP Q Q Q

{ { (10)

Z postaci rozwiązania wynika, Īe wpáyw efektu warstwy brzegowej zanika wraz z oddalaniem siĊ od brzegów ī01⁰ i ī0^H – jest inny dla brzegu ī₀₁⁰ i ī₀^H, natomiast jest taki sam wzdáuĪ brzegu ī₀₁⁰ i ī₀^H. Stąd w rozpatrywanych przykáadach moĪna zawĊziü rozwaĪania do jednej warstwy.

Dla gradacji poprzecznej przemieszczenia w₂² poszukiwano w postaci:

²

2 2 2 2 2 2

w2 w h q u h Mw u h q (11)

gdzie q2(·) jest poszukiwaną funkcją w obszarach przybrzegowych, którą wyznaczono z równania efektu warstwy brzegowej [WoĨniak i in. 2008, 2010]:

2ȝ Ȝ h q ,

² 2_ȟȟ

h,2 ²ȝ q2 0 (12) z warunkami brzegowymi odpowiednio na ī₀₂⁰ i ī⁰_H:

0 0 0 0

02 02

2 2 2 i 2 2 2

H H

ī ī ī ī

q AC wM u q wM u (13)

–

(7)

ZaáoĪono, Īe q₂(·) szybko zanika wraz ze wzrostem wielkoĞci ȟ. Otrzymano stąd, Īe:

w obszarze przylegającym do brzegu ī02⁰

1 2 2 1 2 2 2 2

2 2 2 2 2

2 0 1

2 2

0

, ,

0 0 exp

w x x w x x u x h x M x u x

h x M u B x

A

| w

§ ·

¨ ¸

w

¨ ¸

© ¹

(14a)

w obszarze przylegającym do brzegu ī_H⁰

1 2 2 1 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2

2 0 1

2 2

0

, ,

exp

w x x w x x u x h x M x u x

h x M H u H B H x

A

| w

§ ·

¨ ¸

w ¨ ¸

© ¹

(14b)

Staáe wystĊpujące we wzorach (14) wynoszą odpowiednio:

² ²

²

0 2 2 , 0

12

R M

M R

A P O h K P O B P h P Q R MP Q Q Q

{ { (15)

Z postaci rozwiązania wynika, Īe wpáyw efektu warstwy brzegowej zanika wraz z oddalaniem siĊ od brzegu, ale zaleĪy teĪ od wartoĞci wspóárzĊdnej x². Oznacza to, Īe w róĪnych warstwach zasiĊg ten bĊdzie inny.

ANALIZA – WYNIKI BADAē

W rozpatrywanych przykáadach zbadano róĪnicĊ wzglĊdną pomiĊdzy rozwiąza- niem bez uwzglĊdnienia efektu warstwy brzegowej i z jego uwzglĊdnieniem, otrzymaną w zaleĪnoĞci od typu gradacji. W rozwaĪanych przykáadach zaáoĪono (jak juĪ wspomnia- no), Īe rozwiązanie uwzglĊdniające efekt warstwy brzegowej moĪe byü zastąpione przez rozwiązanie otrzymane z modelu homogenizacji lokalnej, gdy róĪnica wzglĊdna w procentach miĊdzy tymi rozwiązaniami jest rzĊdu 10^–5%.

Rozpatrywane kompozyty są wielowarstwowe, dwuskáadnikowe, o gradacji podáuĪ- nej i poprzecznej. Skáadniki komponentów są izotropowe oraz jednorodne. RozwaĪania zawĊĪono do zagadnienia jednowymiarowego o niezerowej skáadowej wektora prze- mieszczenia u₂(·), która zaleĪy od zmiennej x₂. Wszystkie wielkoĞci opisujące kompozyt bĊdą niezaleĪne od wspóárzĊdnej x³.

Gradacja poprzeczna

Rozpatrzono przegrodĊ, która zajmuje obszar ^:

^0,^H

^u ^0,^L ^u^R. WáasnoĞci ma- teriaáowe skáadników opisane są staáymi sprĊĪystoĞci Lamego i wynoszą odpowiednio:

0,5035, 0, 2594, 0,128, 0,055

R R M M

O P O P .

–

(8)

Przykáad 1. Przegroda skáada siĊ z 27 warstw (L = 54 cm, H = 200 cm) o staáej gruboĞü

Ș = 2 cm. Funkcja nasycenia dana jest w postaci ^Ȟ^R

^x² ^x_L²²² ^x_L² . PrzyjĊto wa- runki brzegowe na u₂(·): u x²

¹^{, 0,}x³

^{1, , 54,}u x²

¹ x³

0, 0, 200 , x¹

x³R.

Wykres przemieszczenia w2²

„z” i w2

„bez” uwzglĊdnienia efektu warstwy brzegowej na ī₀₂⁰ przedstawiono na rysunku 2. Rozwiązanie w₂ ²

speánia warunki brzegowe na ī₀₂⁰ (ȟ = 0). Natomiast w2

, dana wzorem (5), warunków brzegowych nie speánia.

Rysunek 3 ilustruje róĪnicĊ wzglĊdną pomiĊdzy rozwiązaniem w2²

i w²

w pro- centach dla danych wartoĞci ȟ.

Rys. 2. Rozkáad pola przemieszczenia w2

i w2²

na brzegu ī₀₂⁰

Fig. 2. Distribution of the displacement ¿ eld w2

and w2²

on boundary ī₀₂⁰

ȟ = 0 cm ȟ = 5 cm = 2,5Ș

Rys. 3. RóĪnica wzglĊdna w procentach pomiĊdzy w2

i w2²

dla danych wartoĞci ȟ Fig. 3. The relative difference in percent between w2

and w2²

for given data values ȟ

(9)

Z przedstawionych na rysunku 3 wykresów wynika, Īe zasiĊg efektu warstwy brze- gowej nie przekracza 2,5Ș. Poza nim rozwiązanie na przybliĪone przemieszczenie moĪna przyjąü w postaci otrzymanej w ramach modelu homogenizacji lokalnej [Wągrowska i Witkowska-Dobrev 2011, 2012, Witkowska-Dobrev 2014a, b].

Przykáad 2. Przegroda skáada siĊ z 200 warstw (L = 200 cm, H = 200 cm) o staáej gruboĞci Ș = 1 cm. Funkcja nasycenia ^Q^R

dana jest w postaci ^Ȟ^R

^x² ¹ ^x_L²²². PrzyjĊto warunki brzegowe na u²

^{: , 0,}u x²

¹ x³

1, , 200,u x²

¹ x³

0, 0, 200 , .x¹

x³R Wykres przemieszczenia w2²

„z” i w2

„bez” uwzglĊdnienia efektu warstwy brzegowej na ī₀₂⁰ przedstawiono na rysunku 4. Rozwiązanie w2²

speánia warunki brzegowe na ī₀₂⁰, (ȟ = 0), natomiast w2

warunków brzegowych nie speánia.

Rysunek 5 ilustruje róĪnicĊ wzglĊdną pomiĊdzy rozwiązaniem w2 ²

i w2

w pro- centach dla danych wartoĞci ȟ.

i w2²

and w2²

ȟ = 0 cm ȟ = 1,5 cm = 1,5Ș

i w2²

dla danych wartoĞci ȟ Fig. 5. The relative difference in percent between w2

and w2²

for given data values ȟ

(10)

Z przedstawionych wykresów wynika, Īe zasiĊg efektu warstwy brzegowej w rozpa- trywanym przykáadzie nie przekracza 1,5Ș.

Przykáad 3. Przegroda skáada siĊ z 27 warstw (L = 54 cm, H = 200 cm) o staáej gruboĞci Ș = 2 cm. Rozkáad nasycenia ^Q^R

dany jest w postaci ^Ȟ^R

^x² ¹ ^x_L²³³. PrzyjĊto warunki brzegowe na ^u²

^{: , 0,}^{u x}²

¹ ^x³

¹^,u x²

¹^{, 54,}x³

0, 0, 200 , .x¹

x³R Wykres przemieszczenia w2²

„z” i w2

„bez” uwzglĊdnienia efektu warstwy brzegowej na ī₀₂⁰ przedstawiono na rysunku 6. Rozwiązanie w2 ²

speánia warunki brzegowe na ī₀₂⁰ . Rozwiązanie w2

warunków brzegowych nie speánia.

Rysunek 7 ilustruje róĪnicĊ wzglĊdną pomiĊdzy rozwiązaniem w2²

i w2

w pro- centach dla pewnych wartoĞci ȟ.

i w2²

and w2²

ȟ = 0 cm ȟ = 1,5 cm = 0,75Ș

i w2²

dla danych wartoĞci ȟ Fig. 7. The relative difference in percent between w2

and w2²

for given data values ȟ

(11)

Z przedstawionych wykresów wynika, Īe zakres efektu warstwy brzegowej w rozpa- trywanym przykáadzie nie przekracza 0,75Ș.

Gradacja podáuĪna

Przegroda zajmuje obszar ȍ = (0, L) × (0, H) × R, L = 200 cm, H = 200 cm, skáada siĊ z 100 dwuskáadnikowych warstw o staáej gruboĞci Ș = 2 cm. WáasnoĞci materiaáowe skáadników komponentów opisane są staáymi sprĊĪystoĞci Lamego i wynoszą odpowied- nio: Ȝ_R = 0,5035, ȝ_R = 0,2594, Ȝ_M = 0,128, ȝ_M= 0,055.

Budowa kompozytów o gradacji podáuĪnej implikuje, Īe dla rozpatrywanych zagad- nieĔ jednowymiarowych zasiĊg obszaru, w którym naleĪy uwzglĊdniü efekt warstwy brzegowej, nie zmienia siĊ wzdáuĪ brzegu ī₀₁⁰ i ī₀^H, natomiast jest róĪny na brzegach

010

ī i ī₀^H [Wągrowska i Witkowska-Dobrev 2011, 2012, Witkowska-Dobrev 2014a, b].

Przykáad 4. Funkcjia nasycenia ^Q^R

dana jest w postaci ^Ȟ^R

PrzyjĊto warunki brzegowe na u2

: u x²

¹^,0,x³

2, , 200,u x²

¹ x³

0, 0, 200 ,x¹

3 .

x R Rozkáad przybliĪonych przemieszczeĔ w¹

i w1²

na brzegu ī₀₁⁰ i ī₀^H przedstawiono na rysunku 8 [Wągrowska i Witkowska-Dobrev 2011, 2012, Witkowska-Do- brev 2014a, b]. Rozwiązanie w1²

speánia warunki brzegowe na ī₀₁⁰ i ī₀^H, natomiast rozwiązanie w1

dane wzorem (4) warunków brzegowych nie speánia.

Rysunek 9 ilustruje wzglĊdne róĪnice przemieszczenia w1

i w1²

w procentach dla danych wartoĞci ȟ.

i w1²

na brzegu ī₀₁⁰ i ī w pojedynczej war-₀^H stwie kompozytu

and w1²

on boundary ī₀₁⁰ and ī in a _H⁰ single layer of the composite

(12)

Przykáad 5. Funkcja nasycenia dana jest w postaci

2 0, 8

²

1 0, 9

R x

Ȟ x

L

§ § ··

¨ ¨ ¸¸

¨ © ¹¸

© ¹

.

PrzyjĊto warunki brzegowe na ^u²

^:^{u x}²

¹^{, 0,}^x³

^{2, , 200,}^{u x}²

¹ ^x³

^0,

1 0, 200 , .3

x x R

Rozkáad pola przemieszczenia w1²

„z” i w1

„bez” uwzglĊdnienia efektu brze- gowego na brzegach ī₀₁⁰ i ī₀^H przedstawiono na rysunku 10.

Rysunek 11 ilustruje wzglĊdne róĪnice przemieszczenia w1 ²

i w¹

i w1²

dla danych wartoĞci ȟ na brze- gu ī₀₁⁰ i ī w pojedynczej warstwie kompozytu₀^H

Fig. 9. The relative difference in percent between the solution w1

and w1²

for data values ȟ from boundary ī₀₁⁰ and ī in a single layer of the composite₀^H

i w1²

na brzegu ī₀₁⁰ i ī w pojedynczej war-⁰_H stwie kompozytu

and w1²

dla brzegu ī dla ȟ = 3,0 cm = 1,5Ș dla brzegu ₀₁⁰ ī dla ȟ = 1,5 cm = 0,75Ș₀^H

(13)

Z analizy przedstawionych wykresów wynika, Īe zakres, w jakim naleĪy uwzglĊd- niü rozwiązanie uwzglĊdniające efekt warstwy brzegowej dla brzegu ī0⁰, nie przekracza 0,6Ș, natomiast dla brzegu ī0H nie przekracza 1,4Ș.

Przykáad 6. Rozkáad funkcji nasycenia dany jest w postaci: ^Ȟ^R

^x² ²^{0,9 .}^·^¸_¹

PrzyjĊto warunki brzegowe na ^u²

^:^{u x}²

¹^{, 0,}^x³

^2,^{u x}²

¹^{, 200,}^x³

^.

WartoĞci przybliĪonych przemieszczeĔ w¹

i w1²

na brzegach ī₀₁⁰ i ī₀^H przedstawiono na rysunku 12.

Rysunek 13 ilustruje wzglĊdną róĪnicĊ przemieszczenia w¹

i w1²

Z przedstawionych wykresów wynika, Īe zakres, w jakim naleĪy uwzglĊdniü rozwią- zanie uwzglĊdniające efekt warstwy brzegowej dla brzegu ī₀₁⁰, nie przekracza Ș, nato- miast dla brzegu ī₀^H nie przekracza 0,85Ș.

i w1²

dla danych wartoĞci ȟ na brzegu ī₀₁⁰ i ī w pojedynczej warstwie kompozytu₀^H

Fig. 11 The relative difference in percent between the solution w1

and w1²

data values ȟ for boundary ī₀₁⁰ and ī in a single layer of the composite₀^H

i w1²

na brzegu ī01⁰ i ī w pojedynczej war-_H⁰ stwie kompozytu

and w1²

(14)

PODSUMOWANIE

W pracy rozpatrzono dwuskáadnikowe wielowarstwowe kompozyty z funkcyjną gra- dacją wáasnoĞci efektywnych. Biorąc pod uwagĊ przedstawione wyniki, moĪna sformu- áowaü nastĊpujące wnioski koĔcowe:

1. W ramach modelu homogenizacji lokalnej nie moĪna speániü warunków brzegowych na brzegach przecinających uwarstwienie. Wprowadzając za WoĨniakiem [WoĨ- niak i in. 2008, 2010] równania efektu warstwy brzegowej, speániono warunki brzegowe.

Rozwiązanie uwzglĊdniające efekt warstwy brzegowej zaburza rozwiązanie otrzymane w ramach homogenizacji lokalnej, jednak zaburzenia wystĊpują tylko w bardzo maáym obszarze przylegającym do brzegów przecinających uwarstwienie.

2. Przedstawione w pracy przykáady dotyczące badania zasiĊgu obszaru, w którym naleĪy uwzglĊdniü rozwiązanie z efektem warstwy brzegowej, mają charakter ilustracyj- ny i nie mogą byü traktowane jako ogólne stwierdzenia. Tak wiĊc zasiĊg efektu warstwy brzegowej w przegrodach o gradacji poprzecznej w omawianych przykáadach znajduje siĊ w przedziale od 0,75 do 2,5 gruboĞci pojedynczej warstwy od kaĪdego z brzegów i zaleĪy od postaci funkcji nasycenia, liczby warstw i gruboĞci warstw, na jakie podzielono kompozyt. ZasiĊg efektu warstwy brzegowej na obu brzegach przecinających uwarstwienie jest taki sam, ale jednoczeĞnie jest róĪny w róĪnych pojedynczych warstwach. Z kolei zasiĊg efektu warstwy brzegowej w przegrodach o gradacji podáuĪnej w omawianych przypadkach znajduje siĊ w przedziale od 0,6 do 1,5 gruboĞci warstwy od brzegu ī01⁰, a od brzegu ī₀^H – w przedziale od 0,75 do 1,4 gruboĞci warstwy przecinających uwarstwienie, w zaleĪnoĞci od postaci funkcji nasycenia, liczby i gruboĞci warstw, na jakie podzielono kompozyt. ZasiĊg efektu warstwy brzegowej na obu brzegach jest róĪny, ale staáy w kaĪdej warstwie w ramach danego brzegu.

PIĝMIENNICTWO

Rychlewska, J., WoĨniak, Cz. (2006). Boundary layer phenomena in elastodynamics of functionally gradem laminatem. Arch. Mech., 58, 45, 431–444.

i w1²

dla danych wartoĞci ȟ na brze- gu ī₀₁⁰ i ī w pojedynczej warstwie kompozytu ₀^H

Fig. 13. The relative difference in percent between the solution w1

and w1²

for data values ȟ from boundary ī₀₁⁰ and ī in a single layer of the composite₀^H

(15)

Wągrowska, M., Witkowska-Dobrev, J. (2010). Wpáyw struktury gradientowej na wáasnoĞci sprĊ- Īyste kompozytów warstwowych. Acta Sci. Pol., Architectura, 9(4), 5–13.

Wągrowska, M., Witkowska-Dobrev, J. (2011). Zagadnienie efektu warstwy brzegowej w przegrodzie o podáuĪnej gradacji wáasnoĞci. Acta Sci. Pol., Architectura, 11(3), 5–13.

Wągrowska, M., Witkowska-Dobrev, J. (2012). Zagadnienie efektu warstwy brzegowej w liniowo- sprĊzystystej przegrodzie budowlanej o poprzecznej gradacji wáasnoĞci. Acta Sci. Pol.

Architectura, 11(2), 3–10.

Wierzbicki, E., WoĨniak, Cz., àaciĔski, L. (2005). Boundary and initial À uctuation effect on dyna- mic behaviour of a laminatem solid. Arch. Apel. Mech., 74, 618–628.

Witkowska-Dobrev, J. (2014a). Analiza zasiĊgu warstwy brzegowej w kompozytach z podáuĪną i poprzeczną gradacją wáasnoĞci. Acta Sci. Pol., Architectura, 13(2), 51–61.

Witkowska-Dobrev, J. (2014b). Efekt warstwy brzegowej w modelowaniu tolerancyjnym sprĊĪy- stych przegród warstwowych. Doktorat. SGGW, Warszawa.

WoĨniak, Cz. (2010). Asymptotic Modelling and Boundary-layer Effect for Functionally Graded Microlayered Composites, Acta Sci. Pol., Architectura, 9(2), 3–9.

WoĨniak, Cz., Michalak, B., JĊdrysiak, J. (2008). Thermomechanics of Heterogeneous Solids and Structures, Tolerance Averaging Approach. Wydawnictwo Politechniki àódzkiej, àódĨ.

WoĨniak, Cz. et al. (2010). Mathematical Modelling and Analysis in Continuum Mechanics of Microsrtructured Media, Professor Margaret WoĨniak proMemoria. Wydawnictwo Poli- techniki ĝląskiej, Gliwice.

THE AREA OF EFFECT OF BOUNDARY LAYER FOR MULTILAYER COM-POSITES FOR STATIONARY PROBLEMS

Abstract. The boundary layer effect for multilayered composites with transversal and lon- gitudinal gradation of effective properties for stationary elastic problems was inves-tigated.

The consideration was reduced to the one-dimensional stationary problem within the frames of the asymptotic variant of the tolerance modelling – local homoge-nization. The relative difference between two solutions was investigated: the ¿ rst one was obtained according the asymptotic variant of the tolerance modelling – local homogenization and the second one considered the boundary layer effect for the given type of gradation.

Key words: longitudinal gradation of properties, transverse gradation of properties, asymp- totic variant of tolerance modelling, local homogenization, boundary layer effect, relative difference.

Zaakceptowano do druku – Accepted for print: 20.06.2015

Cytowanie: Witkowska-Dobrev, J., Wągrowska, M. (2015). ZasiĊg efektu warstwy brzegowej w kompozytach warstwowych dla zagadnieĔ elastostatyki. Acta Sci. Pol., Architectura, 15(2), 3–17.

ZASIĉG EFEKTU WARSTWY BRZEGOWEJ W

Acta Sci. Pol. Architectura 14 (2) 2015, 3–17