Aspecten van zandtransport in open waterlopen

Technische Hogeschool Deift

Afdeling der Weg- en Waterboywkunde

Aspecten van zandtransport in open waterlopen

Naar het college „Materiaaltransport B.O." Cf 10a)

Dr. ir. M. de Vries

ASPECTEN VAN ZANDTRANSPORT IN OPEN WATERLOPEN r. I r . M. de Vries D e l f t decemter 1971

1

1. I n l e i d i n g

1 . 1 . Algemeen

Morfologische processen i n r i v i e r e n en langs zandige kusten z i j n b i j z o n d e r gecompliceerd, omdat er sprake i s van een i n t e r a c t i e tussen waterbeweging en

zandbeweging. Daarnaast b e t r e f t het v r i j w e l steeds driedimensionale v e r s c h i j n -selen die ook nog t i j d s a f h a n k e l i j k z i j n .

De theoretischexperimentele benaderingen worden meestal i n ( r e c h t e ) l a b o r a t o -riumgoten g e t o e t s t ; deze z i j n daarom n i e t zonder meer toepasbaar.

Als voorbeeld kan dienen het verloop van waterdiepte ( h ) ; s n e l h e i d ( v ) en gemiddelde k o r r e l g r o o t t e (5) i n een bochtige r i v i e r met constante breedte.

F i g . r

X = meetpunten van: a. l o c a l e waterdiepte i n f i g . b a l s b. gemiddelde s n e l h e i d i n de v e r t i k a a ]

c. gemiddelde k o r r e l g r o o t t e

Achtereenvolgens reageren h,v en D op de geometrie: er z i j n faseverschuivingen aanwezigs die een grootte_kunnen hebhen van enige malen de r i v i e r b r e e d t e ! D i t houdt i n dat h, v en D n i e t op êên en dezelfde p l a a t s optreden (de V r i e s ,

1 9 6 1 ) . D i t kan gezien worden a l s êên van de oorzaken van d i s c r e p a n t i e tussen zandtransport berekeningen en zandtransport metingen.

De i n t e r a c t i e tussen waterbeweging en- zandbeweging kan worden gedemonstreerd met de r e l a t i e tussen schuifspanning ( t ) en gemiddelde snelheid ( v ) . Met v = cAi i

(Chêzy) en T = p g h i v o l g t er: pg 2

Voor constante diepte i s b i j een vaste bodem de waarde van C constant, ( v . g . l . White-Colebrook C=18 l o g 12 h/D^^).

Voor het beweeglijke bed i s deze constante C a l l e e n aanwezig b i j een v l a k bed met V < V

K «cr .

Voor g r o t e r e snelheden kunnen v e r s c h i l l e n d e beddingvormen optreden die de r e l a t i e T V ingewikkeld maken. Dezèlfde schuifspanning kan z e l f s b i j v e r s c h i l l e n -de snelhe-den voorkomen! ( z i e f i g . 2)

Deze gecompliceerde samenhang maakt dat er i n de l i t e r a t u u r schijnbaar t e -g e n s t r i j d i -g h e d e n optreden. D i t komt omdat er v e r s c h i l l e n d e -gebieden worden be¬ s chouwd.

Gebied van lage snelheden: I n de i r r i g a t i e p r a k t i j k i s het van belang t e zorgen dat V toeneemt i n de s t r o o m r i c h t i n g . D i t voorkomt a f z e t t i n g e n i n de water¬ gangen. Hier i s de parameter W/KV ., b e l a n g r i j k voor de b e s c h r i j v i n g van de z a n d v e r t i k a a l , een goede maat om het zandtransport t e kenmerken.

Gebied van hoge snelheden: Hier past de u i t s p r a a k van Vanoni'en Brooks ( 1957) 'dat de schuifspanning een slechte maat i s voor het t r a n s p o r t en dat daarentegen

het zandtransport wel een monotone f u n c t i e van de watersnelheid i s .

De h i e r aangeduide r e l a t i e tussen x en v, tesamen met de g r o o t t e van het zandtransport z u l l e n nader worden beschouwd. Daarbij z a l b l i j k e n dat er nog be-paald geen sprake i s van algemeen geldende theorieën. Het verkregen i n z i c h t , d a n k z i j j a r e n l a n g onderzoek op v e e l plaatsen i n de wereld, kan echter wel d i e -nen om p r a k t i s c h e problemen aan t e pakken.

W i l 4 r e g i e m

T' = k o r r e l

1 . 2 . Theorie en experiment

De m o e i l i j k e t o e g a n k e l i j k h e i d van morfologische processen voor mathematisch f y s i s c h e benaderingen maakt dat v e e l onderzoek een s t e r k experimenteel k a r a k t e r h e e f t . D i t h o e f t op z i c h z e l f geen bezwaar t e z i j n . Experimenten w a a r b i j v e e l parameters worden gevarieerd kunnen p r a k t i s c h bruikbare r e s u l t a t e n geven,

(voorbeeld: onderzoek bodemtransportformule van Meyer-Peter en M u l l e r , 19^8) Het l i g t voor de hand dat b i j d i t onderzoek v e e l v u l d i g de methode van de d i -mensieanalyse wordt gebruikt ( z i e voor de grondslag b.v. Langhaar, 1 9 5 T) . H i e r l i g t evenwel een aantal v a l k u i l e n :

a. Vaak i s het m o e i l i j k aan t e geven welke parameters van belang z i j n . Men z a l de neiging hebben het aantal (n) parameters t e beperken om ook het a a n t a l (meestal n- 3 ) dimensieloze grootheden k l e i n t e houden.

b. Ook parameters (bv. g en v ) , d i e n i e t worden gevarieerd, vrorden i n de dimen-s i e l o z e grootheden ( k e n g e t a l l e n ) opgenomen. Het i dimen-s de vraag o f hun i n v l o e d op het v e r s c h i j n s e l d u i d e l i j k t o t u i t d r u l c k i n g i s gekomen.

Voorbeeld: Van Chinese z i j d e wordt beweerd ( L i Chang - Hwa) dat de i n v l o e d van de v i s c o s i t e i t (v) op het begin van de beweging door de kromme van Shields ( 1 9 3 6 ) n i e t goed wordt weergegeven, ( f i g . 3)

O.Ol

5

D i t zou komen, omdat men i n het algemeen de v i s c o s i t e i t n i e t v a r i e e r t b i j d e r g e l i j k e experimenten. Het bewijs van deze Chinese bewering i s n i e t be-kend, omdat de o r i g i n e l e p u b l i c a t i e s n i e t t e r beschikking staan,

c. Vaak wordt er geen rekening mee gehouden, dat elke parameter waarvan de g r o o t t e kan worden gevarieerd b i j voorkeur s l e c h t s i n êên kengetal behoort voor t e komen (Langhaar, 1 9 5 T ) . D i t i s een bron voor s c h i j n c o r r e l a t i e s

(spurious c o r r e l a t i o n s , z i e Benson, I 9 é 5 ) . Zo kunnen twee ongecorreleerde parameters (stochastische v a r i a b e l e n ) en x^ worden gecombineerd met een stochatische o n a f h a n k e l i j k e v a r i a b e l e , t o t de v a r i a b e l e n x^/x^ en x^/x^, welke onder bepaalde omstandigheden een roerende c o r r e l a t i e g e e f t , die dan t o t de ( o n j u i s t e maar voor de hand l i g g e n d e ) c o n c l u s i e l e i d t , dat

en Xg z i j n gecorreleerd. Ook andere gevallen kunnen l e i d e n t o t derge-l i j k e s c h i j n c o r r e derge-l a t i e s .

Voorbeeld: Een r i v i e r g e d e e l t e doorloopt b i j variërende afvoeren een reeks ruwheidswaarden. D i t b l i j k t b i j de keuze van twee dimensieloze grootheden

( l ) C / /g = dimensieloze Chêzy-waarde en (2) F = v/ >^gh, Proude-getal, een f r a a i verband op t e l e v e r e n . Een nadere beschouwing l e e r t evenwel dat d i t ook n i e t anders kan! Immers per d e f i n i t i e g e l d t

c / / v = { v/ /gïi ] = F.i~K

B i j deze metingen was het bodemverhang (en b i j uniforme stroming dus ook i ) een constante. I n f e i t e i s dus een g r o o t h e i d ( f ) tegen z i c h z e l f u i t g e z e t . D i t h e e f t weinig meer z i n dan a l s een c o n t r o l e op meet- en rekenfouten.

1 . 3 .L i t e r a t u u r

Er bestaat een grote hoeveelheid l i t e r a t u u r over het m a t e r i a a l t r a n s p o r t ten gevolge van stromend water en de daarmee samenhangende morfologische vraag-stukken. Handboeken op d i t gebied z i j n evenwel schaars, omdat een samenhangende b e s c h r i j v i n g van de v e r s c h i j n s e l e n nog n i e t m o g e l i j k i s . Voor een eerste oriën-t a oriën-t i e i s heoriën-t boekje van L e l i a v s k i ( 1 9 5 9 ) door z i j n eenvoud aan t e bevelen. Het boek van Raudkivi ( 1 9 6 ? ) h e e f t a l s geannoteerde b i b l i o g r a p h i e het voordeel van de ordening. De monografie van Engelund en Hansen ( 1 9 ^ 7 ) kan ook a l s een goede i n l e i d i n g worden genoemd.

2 . Niet-permanente "bodemtransport berekeningen

2 . 1 . V o o r t p l a n t i n g van s t o r i n g e n

I n een open waterloop kan een s t o r i n g aan de w a t e r s p i e g e l en/of aan de bo-dem z i c h v o o r t p l a n t e n . Met een eenvoudig wiskundig model kan over het k a r a k t e r van deze v o o r t p l a n t i n g nadere i n f o r m a t i e worden verkregen, (de V r i e s , I 9 6 5 , I 9 6 9 ) Het l i g t voor de hand dat deze i n f o r m a t i e vrordt ontleend aan de g r o n d v e r g e l i j -kingen voor de beweging van de beide media: water en zand.

De continuïteitsvergelijkingen l u i d e n voor de eenheid van breedte:

F i g . k

water h 6v/6x + v <Sh/óx + 6h/ 6t = O (1 )

zand 6s/óx + 6z/6t = O ( 2 )

I n deze l a a t s t e v e r g e l i j k i n g wordt t o t u i t -drukking gebracht dat een verandering i n het zandtransport ( s ) wordt g e r e f l e c t e e r d i n een bodemverandering. Het zandtransport wordt h i e r u i t g e d r u k t i n volume ( i n c l u s i e f poriën) dat per t i j d s e e n h e i d wordt vervoerd. De a f l e i d i n g van ( 2 ) l o o p t v o l l e d i g analoog aan d i e van ( I ) .

Van de bevregingsvergelijkingen h e e f t die voor het water de g e b r u i k e l i j k e een-dimensionale vorm:

6v/ót + V 6v/6x + g óh/6x + g 6z/6x = W ( 3 )

H i e r b i j i s het v o o r l o p i g n i e t nodig het r e c h t e r l i d van ( 3 ) , - de h y d r a u l i s c h e weerstandsterm, nader t e s p e c i f i c e r e n

De b e w e g i n g s v e r g e l i j k i n g voor het zand geeft de meeste moeilijkheden. Aange-nomen wordt dat het l o k a l e en momentane t r a n s p o r t een f u n c t i e i s van de water-snelheid. Deze f u n c t i e wordt v o o r l o p i g n i e t g e s p e c i f i c e e r d en deze kan van ge-v a l t o t gege-val anders z i j n (b.ge-v. door ge-v e r s c h i l i n k o r r e l g r o o t t e ge-van het zand). Er wordt dus g e b r u i k t :

s = f ( v ) (1|)

De v e r g e l i j k i n g e n ( I ) ... (k) b e s c h r i j v e n voor de o n a f h a n k e l i j k e v a r i a b e l e n x

. . . I .

en t het gedrag van de a f h a n k e l i j k e v a r i a b e l e n v, h, z en s. De v a r i a b e l e s kan u i t ( 2 ) en {k) worden geëlimineerd; d i t h e e f t a l s r e s u l t a a t :

T

( d f / d v ) 6v/6x + 6z/6t = 0 (5)

Er z a l nu worden nagegaan hoe een oneindig k l e i n e s t o r i n g l n V , h en/of z z i c h v o o r t p l a n t . Voor z i s d i t voor t e s t e l l e n als een k n i k i n de bodemligging. Ter plaatse van een d e r g e l i j k e k n i k i s de a f g e l e i d e (8z/3x) onbepaald. De v e r g e l i j -kingen ( 1 ) , (3) en (5) geven de onderlinge r e l a t i e s aan tussen de zes aanwezige partiële a f g e l e i d e n . Er z i j n evenwel nog meer r e l a t i e s tussen deze a f g e l e i d e n bekend, n l . de u i t d r i i k k i n g e n voor de t o t a l e d i f f e r e n t i a l e n b.v.:

dt Öv/6t + dx 6v/6x = dv (6)

en analoge v e r g e l i j k i n g e n voor h en z.

I n t o t a a l l e v e r t d i t 6 v e r g e l i j k i n g e n voor de zes partiële a f g e l e i d e n . I n m a t r i x vorm genoteerd l e v e r t d i t met f^^ = df/dv het volgende s t e l s e l :

1 V O g O g O h 1 V O O O f O O 1 O V dt dx O O O O O O dt dx O O 0 0 0 0 dtdx

D i t s t e l s e l( 7 ) kan nu op eenvoudige w i j z e worden g e b r u i k t om het gedrag van s t o -r i n g e n na t e gaan. Te-r p l a a t s e van de s t o -r i n g e n moeten de pa-rtiële a f g e l e i d e n onbepaald z i j n . Het s t e l s e l ( T ) moet dus t e r p l a a t s e van de s t o r i n g e n meer dan ëên oplossing hebben. D i t kan a l l e e n als de coëfficiënten-determinant ge-l i j k n u ge-l i s . dctet-hninanb = o 6v/6t W 6v/6x 0 6h/6t 0 6h/6x dv 6z/6t dh 6z/6x dz ( 7 )

- c-^ + 2 v c ^ + (gh - + g f ^ ) c - v g f ^ = 0 ( 8 )

waarin c de v o o r t p l a n t i n g s s n e l h e i d van een s t o r i n g v o o r s t e l t .

De v e r g e l i j k i n g ( 8 ) bevat v e e l i n f o r m a t i e , d i e aan de hand van enige opmerkingen nader z a l worden geanalyseerd.

1 . De v e r g e l i j k i n g h e e f t d r i e wortels-; deze w o r t e l s z i j n i n de p r a k t i j k steeds reëel. Twee van deze w o r t e l s (^c^ 2) hebben b e t r e k k i n g op de v o o r t p l a n t i n g van een s t o r i n g i n de w a t e r s p i e g e l . ' cierde w o r t e l (C3) h e e f t b e t r e k k i n g op de

v o o r t p l a n t i n g van een s t o r i n g i n de'bodem. 2. De s i t u a t i e voor een vaste bodem kan met ( 8 ) worden b e r e i k t door t e s t e l l e n

f = O

V

Het geeft dan het bekende r e s u l t a a t voor een oneindig k l e i n e s t o r i n g i n de waterspiegel.

" 1 , 2 = ^ ± > ^

maar ook = O

3. De s t r u c t u u r van ( 8 ) kan verder worden nagegaan door over t e gaan op dimen-sieloze grootheden.

Gekozen worden:

(j) = c/v = r e l a t i e v e v o o r t p l a n t i n g s s n e l h e i d F = v/ / gh = Froude g e t a l

i) - ^^/^ - een dimensieloze transportparameter, d i e h i e r n a nader z a l worden beschouwd.

Met behulp van ( 9 ) wordt ( 8 ) :

(J)^ - 2(j)^ + (1 - F~^ - ij;F~^)(|) + i|;F~^ = O , (IO)

Deze derdegraads v e r g e l i j k i n g i n (J) kan exact worden opgelost voor elke keuze van de parameters F en ij^. I n f i g . 5 i s de r e l a t i e tussen cj) en F aangegeven voor bepaalde waarden van ii. Voor de o v e r z i c h t e l i j k h e i d i s de logaritme van

(j) u i t g e z e t , w a a r b i j het teken voor elke w o r t e l i s aangegeven.

k. Voor een nadere beschouwing van (j) i s het eerst nodig de transportparameter

i) i n orde van g r o o t t e t e benaderen. Hiervoor wordt het t r a n s p o r t l o k a a l be-naderd a l s een machtfunctie van de snelheid. D i t houdt i n dat a l l e andere parameters ( k o r r e l g r o o t t e , d i c h t h e i d en ruwheid) constant worden veronder-s t e l d , ( z i e ook par. k.k)

9

I n de p r a k t i j k l i g t de exponent i n het i n t e r v a l 3 <b< 7 Deze benadering geeft voor ^ een r e s u l t a a t

df / dv abv^ s

'I' = = = b . - (12) h h q

Het b l i j k t dus dat ijj g l o b a a l evenredig i s met de verhouding zandtransport/ w a t e r t r a n s p o r t . I n het algemeen z a l gelden ^ « 1; zo g e l d t voor de Neder-landse Rijn-takken = 10~^ a 10~^.

5. U i t f i g . 5 b l i j k t dat i n het normale b e r e i k van >jj n i e t wordt beïnvloed door de aanwezigheid van zandtransport. Voor s u b - k r i t i s c h e stroming b e g i n t de i n v l o e d van de b e w e e g l i j k h e i d van het bed op (j)^ pas b i j Froude-getallen rond 0 , 7 . Boven deze waarden g e l d t dus ^ v - i/gh.

De v o o r t p l a n t i n g s s n e l h e i d van de bodemstoringen i s i n het "normale" s u b k r i -t i s c h e gebied p o s i -t i e f . B i j benadering g e l d -t h i e r

= 2 (13)

of b i j k l e i n e Froude-getallen:

i>2 ijJ

6. Voor s u p e r k r i t i s c h e stroming wordt de waarde van n e g a t i e f . De h i e r b i j optredende beddingvormen ( a n t i d u i n e n ) kunnen z i c h inderdaad tegen de stroom-r i c h t i n g v o o stroom-r t p l a n t e n . Hiestroom-rop wostroom-rdt i n pastroom-r. 3.2 nadestroom-r testroom-ruggekomen.

7. Het gedrag voor r e l a t i e f k l e i n e Froude-getallen i s i n de p r a k t i j k erg belang-r i j k . Voobelang-r d i t geval g e l d t :

v o o r t p l a n t i n g g e t i j g o l f |c/v| > 1 " hoogwatergolf c/v =(?'(l) " bodemstoring c/v << 1

Het systeem met d r i e k a r a k t e r i s t i e k e n (c.| , c^ en c^) i s i n de p r a k t i j k a l t i j d van toepassing met i n achtneming van de hierboven gegeven benaderingen. De orde v e r s c h i l l e n tussen de d r i e |c| waarden l a t e n echter v e r s c h i l l e n d e sche-m a t i s a t i e s toe:

O o.a 0.4 0.6 c a i.o o 1.4 i . t

11

geVal I geval I I geval I I I

Het algemene geval ( l ) wordt voor g e t i j b e r e k e n i n g e n geschematiseerd t o t geval I I 5 omdat wegens c . , < < | c . ^ , ^ -, - . ^ . ^ n ^ r , . •

3 1,2 gerekend mag worden a l s o f de bodem vast i s . De waterbeweging verandert snel zodat de bodem i n het beschouwde t i j d s i n t e r v a l n i e t kan veranderen.

Is daarentegen de bodemverandering j u i s t het onderwerp voor de berekening, dan ken schematisatie volgens geval I I I worden g e b r u i k t . De waterbeweging kan dan a l s s t a t i o n n a i r worden beschouwd. I n de g r o n d v e r g e l i j k i n g e n komt d i t neer op de t o e l a a t b a a r h e i d van de verwaarlozing van 6h/6t en 6v/ót. Deze schematisatie vormt de grondslag voor niet-permanente zandtransport be-schouwingen, die nader z u l l e n wo^'den besproken.

2.2. Overzicht problematiek

Alvorens de p r a k t i s c h e rekentechnieken nader t e beschouwen l o o n t het de moeite eerst een beeld t e geven van de aard van de technische problemen d i e op

deze w i j z e kunnen worden aangepakt. Voorbeeld 1

3 ^

Q ( t ) ~ ~ * . a ( t > - ^ a — - a c t )

Aan een r i v i e r met de wisselende afvoer Q ( t ) wordt l o k a a l water onttrokken voor koelwater t.b.v. een e l e c t r i s c h e c e n t r a l e . Tussen i n - en u i t l a a t wordt een ge-deelte AQ van de r i v i e r a f v o e r onttrokken. Tussen i n - en u i t l a a t wordt daardoor een deel van het t r a n s p o r t e r e n d vermogen weggenomen. Toch moet het t o t a l e aangeboden

zandtransport ( S ( t ) ) de r i v i e r (en n i e t deels de c e n t r a l e ) passeren. D i t kan a l -leen t e n koste van een bodemverhoging'tussen i n l a a t en u i t l a a t . Deze bodemverhoging z a l een v e r a n d e r l i j k k a r a k t e r hebben doordat de r i v i e r a f v o e r t i j d s a f h a n -k e l i j -k i s . Voor de scheepvaart i s het van belang de mate van verondieping-te kennen om eventueel maatregelen t e kunnen nemen. Hier l i g t het voor de hand d i t b i j v o o r b e e l d t e zoeken i n r i v i e r v e r s m a l l i n g tussen i n l a a t en u i t l a a t .

Voorbeeld I I

Fig. 8

Een r i v i e r omstroomt een e i l a n d . Men w i l t e n behoeve van de scheepvaart t a k A verbeteren door t a k B a f t e s l u i t e n . T i j d e l i j k z a l er erosie i n t a k A optreden. D i t l e i d t t o t t i j d e l i j k e sedimentatie i n t a k C. I s deze l a a t s t e zo groot dat er hinder voor de scheepvaart o n t s t a a t , waardoor baggerwerk nodig i s , o f kan de

( t i j d e l i j k e ) a f z e t t i n g worden getolereerd?

Deze voorbeelden d i e eenvoudig met v e e l analoge problemen zouden kunnen worden aangevuld, tonen het p r a k t i s c h e belang van berekeningen van het gedrag van bodemvariaties o . i . v . het regiem en/of kunstmatige ingrepen.

Met name u i t het eerste voorbeeld b l i j k t , dat het i n f e i t e n i e t om een êên d i -mensionaal probleem gaat. Helaas z i j n de h i e r bedoelde berekeningen nog n i e t mog e l i j k voor twee ruimtedimensies ( n l . lanmogs en loodrecht op de as van de r i -v i e r ) . De b e s c h r i j -v i n g e n kunnen daarom a l l e e n een eerste indruk ge-ven -van de bodemveranderingen5 gemiddeld voor de breedte van de r i v i e r . Na deze eerste be-nadering kan h y d r a u l i s c h modelonderzoek zonodig worden toegepast t e r nadere de-t a i l l e r i n g .

13

2.3- Grondslag rekenmethode

I n par. 2. 1 . i s aangetoond dat voor s u b - k r i t i s c h e stroming b i j n i e t t e hoge Froude-getallen de verandering van de bodem kan worden berekend i n de veronders t e l l i n g dat de waterbeweging q u a veronders i veronders t a t i o n n a i r i veronders . D i t houdt i n de v e r o n d e r veronders t e l -l i n g óv/6t ^ O Öh/6t u i t r e s p e c t i e v e -l i j k de b e w e g i n g s v e r g e -l i j k i n g en de con-tinuïteitsvergelijking van hatr^water.'

Vanuit het oogpunt van deze benadering z u l l e n de g r o n d v e r g e l i j k i n g e n nu nader worden beschouwd.

v.h = q ( t ) ( I k ) V öv/öx + g 6h/6x + g 5z/óx = W (15)

6s/6x + 6z/6t = 0 ( 1 6 ) s = f ( v ) ( 1 7 )

Deze v e r g e l i j k i n g e n geven a a n l e i d i n g t o t de volgende opmerkingen:

1. I n de continuïteitsvergelijking van het water i s de term óh/ót venmarloosd. De afvoer q mag evenwel nog w e l van de t i j d afhangen; de verandering i s even-wel zo langzaam dat öh/6t » 0; anders gezegd, de afvoer i s voor w i l l e k e u r i g e t o n a f h a n k e l i j k van x.

2. De b e w e g i n g s v e r g e l i j k i n g van het water i s door de verwaarlozing van (Sv/6t ontaard i n de d i f f e r e n t i a a l v e r g e l i j k i n g voor een stuwkromme. Het r e c h t e r -l -l d z a -l de C-waarde b e v a t t e n , d i e bekend wordt v e r o n d e r s t e -l d , dus onafhanke-l i j k van de t i j d .

3. B i j een nadere beschouwing van de continuïteitsvergelijking van het zand b l i j k t dat deze a l l e e n voor bodemLi-anspoi-t g e l d t . I n andere gevallen moet het l i n k e r l l d nog een e x t r a term hebben, vrelke de verandering van de hoeveel-h e i d zwevend zand aangeeft.

k. De b e w e g i n g s v e r g e l i j k i n g voor het zand geeft i n deze vorm aan dat de r i b b e l -f a c t o r bekend i s . Ook u i t z e v i n g s v e r s c h i j n s e l e n worden verwaarloosd. De maat-gevende k o r r e l g r o o t t e i s dan o n a f h a n k e l i j k van x en t .

Door verg. (iH) naar x t e differentiëren kan de term 6h/(Sx worden geëlimi-neerd. D i t geeft 6v 6x De e l i m i n a t i e van s u i t verg. ( l 6 ) en (17) g e e f t : df 6v (Sz — • — + — = O (19) dv óx 6t V -.6z + g = W 6x 18)

u i t de beide l a a t s t e v e r g e l i j k i n g e n kan nu ook öv/6x worden geëlimineerd met als gevolg: 6z Ót 'g df/dv - V 6z W df/dv <5x gq/v - V (20)

Deze v e r g e l i j k i n g h e e f t de gedaante óz/6t + c 6z/6x = a, waarin c de v o o r t -p l a n t i n g s s n e l h e i d en a de mate van dem-ping b e s c h r i j f t .

B i j u i t w e r k i n g van c b l i j k t weer ( z i e par. 2.1.):

21

Het k a r a k t e r van verg. (20) wordt d u i d e l i j k door e e r s t de demping t e verwaar-lozen; m.a.w. 6z/6t + c fiz/óx = O

Het i s nu eenvoudig aan t e tonen dat deze v e r g e l i j k i n g de v o o r t p l a n t i n g van een ongedempte g o l f langs de bodem b e s c h r i j f t . Veronderstel daartoe dat z = z ( y ) met y = x - c t i s een oplossing van

öz/6t + c 6z/6x = O !22)

Er moet dan gelden

(Sz dz óy 6t dy (St dz en 6z dz 6y 6x dy 6x dz dy of 6z 6z — + c — 6t óx dz dz c — ) + c — = 0 dy dy Dus z ( y ) met y = x - c t i s een oplossing

15

De g r o n d v e r g e l i j k i n g e n z i j n hierboven teruggebracht t o t êên partiële d i f f e r e n -t i a a l v e r g e l i j k i n g i n z, om he-t k a r a k -t e r van de v e r g e l i j k i n g -t e demons-treren. I n de p r a k t i j k z a l ook steeds de waterbeweging moeten worden bepaald, zodat de ver-g e l i j k i n ver-g e n (18) en ( 1 9 ) afwisselend worden opgelost.

I n matrixvorm, tesamen met de v e r g e l i j k i n g e n voor de t o t a l e d i f f e r e n t i a l e n geeft

0 &1 V 0 _g óv/6t W 0 df/dv 1 • 0 6v/6x 0 dt dx 0 0 6z/6t dv 0 0 dt dx 6z/6x dz Op de bekende w i j z e volgen h i e r u i t de k a r a k t e r i s t i e k e r i c h t i n g e n d t = O en c. t b, invlotol boven vandl vporw.aai 2.h. Randvoorwaarden

Het oplossen van de d i f f e r e n t i a a l v e r g e l i j k i n g e n i s a l l e e n m o g e l i j k b i j de beschikbaarheid van voldoende randvoorwaarden. Voor de oplossing van de

verge-l i j k i n g e n voor t > O op het i n t e r v a verge-l O < X < L moet daartoe bekend z i j n : a. voor t = O de toestand op O < x < L

(begin voorwaarde)

b. Voor X = O voor t > O de g r o o t t e van s (om t e rekenen i n v ) o f de g r o o t t e van z ( 0 , t )

Op deze rand d i e n t ook de afvoer q ( t ) t e z i j n gegeven.

c. Voor z = L de waterstand (Q - h kromme). B i j de bovenstaande randvoorwaarden moet nog de volgende opmerking worden ge-maakt. Vaak i s het m o e i l i j k een nauwkeurige randvoorwaarde t e geven (onzeker-h e i d i n de g r o o t t e van s ) . Deze f o u t d r i n g t door i n (onzeker-het x , t - v l a k maar kan z i c (onzeker-h a l l e e n manifesteren boven de k a r a k t e r i s t i e k door x = o. De i n v l o e d van een mo-g e l i j k e f o u t kan worden temo-genmo-gemo-gaan door de bovenmo-grens zover naar bovenstrooms t e verplaatsen dat het i n t e r e s s a n t e gebied van het x,t-vl£Lk n i e t door deze f o u t wordt beïnvloed. De k l e i n e waarde van c maakt dat berekeningen voor perioden van

enige j a r e n m o g e l i j k z i j n . X Fig. 9

Ook de benedengrens moet vaak verder naar beneden worden verschoven dan s t r i k t n o o d z a k e l i j k l i j k t , immers bodemveranderingen b i j de benedengrens l e i d e n t o t verandering i n de l o k a l e Q-h-kromme!

2 . 5 - Rekenmethoden

I n b e g i n s e l bestaan er twee methoden om de d i f f e r e n t i a a l - v e r g e l i j k i n g e n op t e lossen.

a. Methode van de k a r a k t e r i s t i e k e n (de V r i e s , I 9 6 5 )

Langs de k a r a k t e r i s t i e k e n

i

a t = ©

dt- = O resp. dx = '^•^'^'^ worden de bijpassende (gewone) d i f f e r e n t i a a l v e r g e -l i j k i n g e n opge-lost. Deze methode, d i e geen m o e i l i j k heden geeft met numerieke i n s t a b i l i t e i t , i s moeilijl? algemeen i n een rekenma-chineprogramma t e vangen. D i t komt v o o r a l omdat er d i s c o n t i n u i t e i t e n i n de a f h a n k e l i j k e v a r i a b e l e n kunnen optreden. Ter p l a a t s e gelden de verge-F i g . 10 l i j k i n g e n n i e t meer omdat

l i n k s en r e c h t s van de d i s continuïteit v e r s c h i l l e n d e k a r a k t e r i s t i e k e n bestaan. Er moet dan een "shock-f i t t i n g " worden u i t g e v o e r d om over de discontinuïteit "héén t e springen". Een d e r g e l i j k e " s h o c k f i t t i n g " wordt meestal u i t g e v o e r d met een o f meer "be-houdswetten" (b.v. behoud van massa) d i e wel t e r p l a a t s e van de sprong gelden, b. Differentiemethode (Vreugdenhil en de V r i e s , I 9 6 7 )

Een goed gekozen d i f f e r e n t i e s c h e m a kan ( I ) s t a b i l i t e i t garanderen en ( 2 ) t o t automatische " s h o c k f i t t i n g " l e i d e n .

Het optreden van discontinuïteiten kan worden gedemonstreerd aan de hand van een loodrecht op de as van de r i v i e r gebaggerde s l e u f voor kabels o f een t u n -n e l . B i j de bove-nstroomse disco-nti-nuïteit g e l d t dat l i -n k s de v o o r t p l a -n t i -n g s s -n e l h e l d g r o t e r i s dan rechts ( c _ > c_^). B i j de benedenstroomse discontinuïteit i s het net andersom. D i t i s d i r e c t a f t e l e i d e n u i t c ^ s/q en constante q. Een d e r g e l i j k e geul p l a n t z i c h (langzaam) v o o r t i n benedenstroomse r i c h t i n g t e r w i j l

I T

er g e d e e l t e l i j k o p v u l l i n g o n t s t a a t (demping van de g o l f ) .

F i g . 11

Bovenstrooms i s er sprake van een echte "schok". P r a k t i s c h betekent d i t dat het zand er steeds onder de hoek van n a t u u r l i j k t a l u d z a l staan.

Benedenstrooms i s er sprake van een v e r s c h i j n s e l dat i n de gasdynamica een "expansiegolf" wordt genoemd: de h e l l i n g wordt steeds flauwer.

F i g . 12

N.B. B i j een groot zwevend-transport z a l de o p v u l l i n g van de s l e u f een ander ka-r a k t e ka-r veka-rtonen. Het h i e ka-r geschetste k a ka-r a k t e ka-r i s evenwel gebaseeka-rd op oveka-rheeka-r- overheer-send bodemtransport ( v g l . opmerking i n par. 2.3 n.a.v. verg. ( l 6 ) ) .

De numerieke oplossing van het probleem geschiedt nu door gebruik t e meiken van de verg. ( l 8 ) en ( 1 9 ) V df 6v 6z — . — + — = O ( 2 5 ) dv 6x 6t

Het probleem kan, met beschikbare randvoorwaarden nu a l s v o l g t met afwisselende stappen worden opgelost.

Stap I

Bereken v met (2^+) b i j bekende z (en dus 6z/öx) Stap I I

Bereken z met ( 2 5 ) b i j bekende v (en dus 6v/6x)

De eerste stap l e v e r t geen b i j z o n d e r e m o e i l i j k h e d e n . Het gaat om de o p l o s s i n g van een gewone d i f f e r e n t i a a l v e r g e l i j k i n g n l . d i e van de stuwkromme.

De tweede stap vraagt om een nadere beschouwing. Daartoe moet i n de eerste p l a a t s worden opgemerkt dat het h i e r om een zgn. behoudswet gaat; het i s immers de continuïteitsvergelijking voor het zand. Deze behoudswet g e l d t ook t e r

plaatse van een discontinuïteit d.w.z. t e r p l a a t s e van een sprong i n de bodem, ook a l g e l d t daar verg. ( 2 5 ) n i e t .

I e t s eenvoudiger geschreven moet er dus worden opgelost de v e r g e l i j k i n g

6f 6z

— + — = o ( 2 6 )

6x 6t

Voor de o p l o s s i n g van de waarde van

z ( x , t + At) u i t d i e van de bekende waar¬ . « den van z op het t i j d s t i p t wordt het v o l

-4-1 ' gende d i f f e r e n t i e schema g e b r u i k t . ( f aT ^ ~ ~ e¬ X F i g . 13 S " ^1 ^ - { i cxz^ + (1 - a)z^ + ^ az3 } ^ Q ^^T) 2 Ax At 6v 6z — + g — s W {2h) 6x óx t t + A t t

19

De a f g e l e i d e 6f/6x wordt r e c h t - t o e aan benaderd. Voor cSz/6t zou een recht-streekse benadering öz/6t w (zj^ - z^)/Lt z i j n . D i t komt overeen met de keuze a = O verg. ( 2 7 ) . D i t b l i j k t echter een i n s t a b i e l rekenschema t e z i j n .

27) ontwikkelen volgens Taylor, etc. kan dan voor verg. ( 2 7 ) wor-den geschreven:

Men kan nu de grootheden z. en f . i n verg. B i j verwaarlozing van termen 0 t A x ^ ) , (5(At^

6z 6f — + — öt <Sx ;AX)^ 2 At c ^ ( A t) 2 (Ax)' 6^. (28-)

D i t betekent dat met de keuze van een d i f f e r e n t i e s c h e m a volgens ( 2 7 ) i n f e i t e verg. ( 2 8 ) en n i e t verg. ( 2 é ) wordt opgelost.

Er i s i n d i t verband een a a n t a l opmerkingen t e maken:

a. Het d i f f e r e n t i e s c h e m a i s e x p l i c i e t , daarom moet punt k l i g g e n onder de ka-r a k t e ka-r i s t i e k d i e dooka-r punt 1 kan worden getrokken. Dus At en Ax moeten zo worden gekozen dat c At < Ax

b. Het geïntroduceerde r e c h t e r l i d van verg. ( 2 8 ) h e e f t een "uitsmerend" e f f e c t . Ook d i s c o n t i n u i t e i t e n worden a f g e v l a k t (daar bestaat l o k a a l een g r o t e waarde van 6^z/6x^ I ) . Een methode zoals h i e r g e b r u i k t wordt w e l pseudo-viscosi-t e i pseudo-viscosi-t s mepseudo-viscosi-thode genoemd omdapseudo-viscosi-t een d e r g e l i j k schema voor de hydrodynamische verg e l i j k i n verg e n een e x t r a term i n t r o d u c e e r t d i e l i j k t op een (viskeuse) w r i j -vingsterm.

c. Het r e c h t e r l i d van verg. ( 2 8 ) moet k l e i n (maar p o s i t i e f ) z i j n . I s de term t e groot dan o n t s t a a t er t e v e e l a f v l a k k i n g van de o p l o s s i n g ; b i j een waarde t e d i c h t b i j n u l wordt h e t schema.instabiel. Samenvattend moeten At en Ax zo worden gekozen dat:

en

[c At/Ax) < a < 1

a - (cAt/Ax)^ = g : 2 9 )

-3 met b.v. g = 10

d. Het nadeel van h e t "uitsmeren" wordt h e t s t e r k s t gevoeld b i j discontinuïtei-ten. I n v e e l g e v a l l e n i s echter de p l a a t s daarvan bekend en constant. Daar t e r p l a a t s e kan dan een zgn. i n t e r n e rand worden gelegd. D i t betekent dat b i j een discontinuïteit op een d e r g e l i j k e vaste p l a a t s d i r e c t rekening wordt gehouden met de daar geldende behoudswetten.

2.6. Toepassingen

Voorbeeld I : Wateronttrekking

Aan de afvoer Q van een r i v i e r wordt voor t > O c o n t i n u de hoeveelheid AQ onttrokken. B i j de i n l a a t kan een i n t e r n e rand worden g e p l a a t s t .

B i j de i n l a a t g e l d t : bovenstrooms benedenstrooms afvoer Q t r a n s p o r t s snelheid = V diepte h w a t e r s p i e g e l p bodemhoogte z

Het zandtransport moet op d i t punt c o n t i n u z i j n , omdat er op een punt geen ero-sie o f sedimentatie kan p l a a t s vinden. De s n e l h e i d moet dan ook c o n t i n u z i j n wegens het d i r e c t e verband tussen S en v. De discontinuïteit i n de afvoer g e e f t dus een discontinuïteit i n de w a t e r d i e p t e ; d i e omdat de w a t e r s p i e g e l c o n t i n u i s

(geen watersprong) l e i d t t o t een discontinuïteit i n de bodemhoogte.

I n f i g . lU i s de berekende bodemreactie weergegeven. De sprong op t = O i n de bodem b l i j f t gehandhaafd voor t > 0. D u i d e l i j k i s t e zien hoe de bodem z i c h i n de b u u r t van de i n l a a t aanxiast.

Voorbeeld I I : Bedvormende afvoer

Het tweede voorbeeld b e t r e f t een onderzoek naar de bedVormende afvoer van een r i v i e r dat door Prins ( I 9 6 9 ) a l s afstudeerwerk i s u i t g e v o e r d . Het b e g r i p bedvormende afvoer (B.A.) komt zo v e e l v u l d i g voor dat er h i e r i e t s nader op z a l worden ingegaan.

Onder B.A. wordt meestal verstaan d i e afvoer, d i e a l s deze a l l e e n op zou t r e -den, dezelfde morfologische kenmerken zou opleveren dan d i e z i c h volgens het echte r i v i e r r e g i e m manifesteren. I n p r i n c i p e kan een d e r g e l i j k e afvoer n i e t bestaan, omdat j u i s t door het regiem de morfologische parameters een t i j d s a f -h a n k e l i j k k a r a k t e r -hebben. Bovendien b l i j k t b i j nadere besc-houwing dat elke parameter (b.v. bodemhoogte, waterstand e.d.) een eigen B.A. zou opleveren, d i e dan ook nog van p l a a t s t o t p l a a t s vaak v e r s c h i l l e n d zou moeten z i j n .

X

u u r 5 0

]h Bodemreactie t e n gevolge van wateronttrekken (berekening t . b . v . ver-g e l i j k i n ver-g met h y d r a u l i s c h model).

benadering worden gehanteerd.

De B.A. wordt vaak g e d e f i n i e e r d met behulp van de zandvrachtkromme. I n f i g . 15 i s de zandvrachtkromme f ( Q ) . S ( Q ) schematisch weergegeven zoals deze wordt sa-mengesteld u i t : f ( Q ) = k a n s d i c h t h e i d van de afvoer Q

S(Q) = zandtransport b i j de afvoer Q.

Men neemt dan vaak a l s B.A. de afvoer die past b i j de top o f het zwaartepunt van de zandvrachtkromme. D i t i s een keuze zuiver op gevoelsoverwegingen.

F i g . 15 (zandvrachtkromme)

Door NEDECO (1959) i s een a f l e i d i n g gegeven die meer i s gebaseerd op de grond-v e r g e l i j k i n g e n . Deze (ingewikkelde) a f l e i d i n g wordt h i e r i n een grond-vereengrond-voudigde v e r s i e weergegeven, die het p r i n c i p e n i e t aantast. B i j een a f l e i d i n g wordt gel e t op de bodemgeligging ( z ) die a gel s f u n c t i e van de t i j d om een e v e n w i c h t s gel i g -ging v a r i e e r t (dynamisch evenwicht).

De behoudswet voor het zand l u i d t :

B 8z/9t = - 8S/Sx (30) Door voor het t r a n s p o r t de algemene machtswet s = a v"*^ t e nemen kan 9S/9x

wor-den u i t g e d r u k t i n de afvoer Q, de breedte B en de diepte h.

8S' 3 8x 9x a B^-^ h-^ S 9B S 9h (1 - b) + (-b) B 9x h 9x ( 3 1 )

23

wanneer de veranderingen van a, b en Q met x worden verwaarloosd. I n de NEDECO-afleiding wordt nu aangenomen:

a. Voor de B.A. (index o) g e l d t 8S^/8x = O

b. De t i j d s a f h a n k e l i j k e v a r i a t i e s van de bodemligging z i j n k l e i n t . o . v . water-diepte h en de waterspiegels z i j n e v e n w i j d i g b i j de v e r s c h i l l e n d e afvoeren. H i e r u i t v o l g t 8h/8x 9h^/9x

c. De oevers z i j n v r i j w e l v e r t i k a a l : B ( x , t ) = B ( X ) = ^q^^"^

U i t het dynamisch evenwicht v o l g t b i j i n t e g r a t i e van verg. (30) voor de hydrologische cyclus O < t < T

^9z

— dt = z ( T ) - z ( 0 ) = O (32) 3t

Ook de i n t e g r a a l over het r e c h t e r l i d van verg. (30) moet dus g e l i j k n u l z i j n ;

k " ^ 3S S 9B S 9h

— d t = J ( 1 - b ) - — d t - J b - — d t = o (33) O 9x O B 9x O' h 9x

Of. met de aannamen 9h/9x = 9h /9x en 9S /9x = 0: O O S 9B r'^ bƒ b S S 1 - b 9B (1 _ b ) - — d t + J - - h — d t = O (3^; O B 9 x o ' b h B ° 9 x O O Dus b - 1 O (b - 1) S d t T S b - d t h ,35.

De exponent b kan a f h a n k e l i j k van de gekozen zandtransportformule worden bepaald (par i + . ^ . ) . A l s b n i e t met de afvoer verandert dan wordt de s t r u c t u u r nog een-voudiger:

T S dt J = ( 3 6 ; T s - dt h

U i t de afvoerkromme kan dan ruet de berekende de g r o o t t e van de bedvormende afvoer worden a f g e l e i d .

Bovenstaande a f l e i d i n g i s h i e r weergegeven omdat deze a a n l e i d i n g g e e f t t o t enkele opmerkingen die t o t het b e g r i p omtrent de B,A. b i j d r a g e n .

1. B i j de keuze van de B.A. volgens verg. ( 3 6 ) dragen de k l e i n e afvoeren r e l a -t i e f s -t e r k b i j i n de g r o o -t -t e van Q^. B i j de keuze volgens he-t zwaar-tepun-t voor de zandvrachtkromme zouden j u i s t de grote afvoeren s t e r k b i j d r a g e n . 2. U i t verg. ( 3 6 ) v o l g t dat h^ nog een f u n c t i e van x i s . D i t i s het geval t e n

-z i j het een rechte r i v i e r met constante breedte b e t r e f t . Dan i s evenwel het begrip B.A. n i e t z i n v o l meer.

3. Van de vermelde aannamen i s de keuze 8S^/3x = o l o g i s c h ; d i t g e l d t evenwel voor elke constante afvoer!

De aanname 3h^/3x = 3h/3x bepaalt i n f e i t e het r e s u l t a a t van de a f l e i d i n g . Ook aan deze aanname i s a l l e e n voldaan voor een. rechte r i v i e r met constante breedte waarvoor de B.A. n i e t z i n v o l i s .

Een groot bezwaar van bovenstaande d e f i n i t i e s van de B.A. i s evenwel, dat deze steeds b e t r e k k i n g hebben op de bestaande toestand. V e e l a l gaat het even-wel om r i v i e r v e r b e t e r i n g e n , w a a r b i j een bedvormende afvoer moet worden bepaald voor een toekomstige s i t u a t i e . Men kan nu de geschetste niet-permanente bere-keningen gebruiken om (êên-dimensionaal) de bodemfluctuaties t e bepalen en op grond daarvan een constante afvoer definiëren die b i j voorbeeld voor een hy-d r a u l i s c h mohy-del worhy-dt g e b r u i k t voor het onhy-derzoek van hy-de (twee-hy-dimensionale) bodemligging ( z i e ook P r i n s en de V r i e s , 1 9 T 1 ) .

Voorbeeld I I I : G e u l a f s l u i t i n g

Het derde voorbeeld b e t r e f t de a f s l u i t i n g van een geul teneinde i n de o v e r b l i j v e n d e geul meer diepte voor de scheepvaart t e v e r k r i j g e n . I n f i g . I6 i s een d e r g e l i j k geval schematisch weergegeven. Daaruit b l i j k t d u i d e l i j k dat de aanwezigheid van een ondiepte nog lange t i j d gehandhaafd b l i j f t ook a l wordt

25 t i j d b r e e d t e S o o m 6 7 j a a r a 9 | e s l o f c ^ n taW ; b r e e d t e 3 o o m A t = S d a ^ e n A b r e e d k e ^ W e e d t e S o o a=4a,3.5.D*/»\/|D'('£^ -v-oM?) C = so / * = o,r D = i tr\n\ \ \ ••*'•=-- ^1

aP&tand

de verondieping t i j d e n s de v e r p l a a t s i n g na de a f s l u i t i n g ( t = O) g e l e i d e l i j k a f g e v l a k t . H i e r u i t b l i j k t , dat er een hoeveelheid baggerwerk z a l moeten worden v e r r i c h t , a l s men n i e t pas na j a r e n de vruchten van de a f s l u i t i n g ( n l . de l o -k a l e toename van de vaeirdiepte) w i l plu-k-ken.

De berekening i s h i e r u i t g e v o e r d voor een regiem. Voor enkele t i j d s t i p p e n i s i n de f i g u u r ook nog het verloop van h e t zandtransport a l s f u n c t i e van de p l a a t s weergegenen, h i e r u i t b l i j k t d u i d e l i j k het niet-permanente k a r a k t e r .

2 . 7 . Beperkingen

De h i e r v o o r aangegeven rekenmethoden hebben enige b e l a n g r i j k e beperkingen die a l l e z i j n t e r u g t e voeren op een nog t e gebrekkige kennis van het t r a n s -portmechanisme. B i j de toepassing van deze rekenmethoden i s het van belang deze beperkingen i n de gaten t e houden. Verder leveren deze beperkingen de

nood-z a k e l i j k e aangrijpingspunten voor verder ondernood-zoek i n a a n s l u i t i n g op reeds aan-wezige i n f o r m a t i e .

De volgende vraagpunten kunnen worden opgeworpen:

1. Hoe moet een u i t b r e i d i n g naar twee ruimte-dimensies worden uitgevoerd? 2. Hoe moeten de v e r g e l i j k i n g e n worden opgesteld a l s n i e t (zoals h i e r v o o r i s

aangenomen) de verandering van het zwevend t r a n s p o r t mag worden verwaar-loosd?

3. Hoe wordt de ruwheid (en de r i b b e l f a c t o r ) a f g e l e i d u i t de bekende hydrau-l i s c h e parameters en hoe variëren C en y met de t i j d ?

k. Hoe moeten de b a s i s v e r g e l i j k i n g e n worden geformuleerd en opgelost a l s het ViQ/^gjT^ mSjiüST"!£13.1 msiii Is^n^s^ T-iniLfoï^in lïis-^ ^/ox'cisrj. v^s!ï7ond.si^S"bslï3.T

Bovenal kan echter de vraag worden g e s t e l d naar de keuze van t r a n s p o r t r e l a t i e s = f ( v ) d i e moet worden g e b r u i k t .

27

3. Beddingvormen

3.1. I n l e i d i n g

Er bestaat zeer v e e l l i t e r a t u u r over beddingvormen en de daarmee samen-hangende ruwheid van een a l l u v i a l e waterloop. Deze l i t e r a t u u r h e e f t een over-wegend experimenteel k a r a i i t e r , hoewel de l a a t s t e j a r e n de t h e o r e t i s c h e onder-grond i s verbeterd.

Voor de p r a k t i j k i s de b e l a n g s t e l l i n g voor d i t onderdeel ondermeer om de .vol-gende redenen aanwezig:

1. Door de beddingvorm wordt de ruwheid bepaald. Deze l a a t s t e bepaalt de Q-h kromme d.w.z. de waterstand (belang voor de waterbeheersing) en de water-diepte (belang voor de scheepvaart).

2. Voor de scheepvaart z i j n de toppen van de beddingvormen maatgevend voor de beschikbare v a a r d i e p t e . Naast de gemiddelde waterdiepte i s dus ook de duin-hoogte een b e l a n g r i j k gegeven.

3. De meetmethode voor bodemtransport behoort t e worden afgestemd op de aard van de beddingvorm.

3.2. K l a s s i f i c a t i e beddingvormen

De l a a t s t e j a r e n i s er een v r i j algemeen aanvaarde k l a s s i f i c a t i e van de v e r s c h i l l e n d e beddingvormen t o t stand gekomen. I n grote t r e k k e n i s deze a l s v o l g t . B i j toenemende stroomsnelheid:

( - v l a k bed b i j begin van beweging ( . _ kalme regiem ( - r i b b e l s ( ( - duinen ( - overgangsgebied (

w i l d e regiem ( - v l a k bed en staande golven (

( - a n t i d u i n e n

De r i b b e l s ( s t e r k drie-dimensionaal k a r a k t e r ) komen a l l e e n voor b i j f i j n mater i a a l . B i j mater i b b e l s speelt de d i k t e van de viskeuse sublaag nog een mater o l , t e mater -w i j l b i j duinen het bed h y d r a u l i s c h ru-w i s . Engelund en Hansen (19^7) geven voor de overgang van r i b b e l s en duinen de volgende kenmerkende waarde voor Re = V D/v

D (mm) 0 , 1 9 0 , 2 7 0 , 2 8 0,1+5 oM 0 , 9 3 Re 7 , 3 1 0 , 3 1 1 , 0 1 1 , 7 1 2 , 2

H i e r b i j moet worden opgemerkt dat voor Re = 1 1 , 6 g e l d t dat de d i k t e van de v i s -keuse sublaag ( 6 ) g e l i j k i s aan de k o r r e l g r o o t t e (D).

Het kalme regiem ( r i b b e l s en duinen) wordt gekenmerkt door het u i t fase z i j n van golven aan wateroppervlak en bodem. Het kalme regiem i s s u b k r i t i s c h (P < 1 ) . Er z i j n aanwijzigingen (Raudkivi, I 9 6 7 p. 2 1 9 ) dat er g e l d t :

r i b b e l s : g o l f l e n g t e evenredig met D en o n a f h a n k e l i j k van h

duinen : g o l f l e n g t e evenredig met h en slechts weinig variërend met D.

Het v;ilde regiem v a l t g l o b a a l gesproken samen met s u p e r k r i t i s c h e stroming. Antiduinen planten z i c h voort tegen de s t r o o m r i c h t i n g i n . D i t i s i n

overeen-stemming met wat i n par. 2 . 1 . i s gevonden voor een k l e i n e s t o r i n g . B i j meer ge-nuanceerde benaderingen (Kennedy, I 9 6 3 ) wordt het begrip duin o f a n t i d u i n ge-bonden aan het n i e t dan wel i n fase z i j n van o p p e r v l a k t e g o l f en bodemgolf. Er kan dan ook sprake z i j n van a n t i d u i n e n d i e z i c h i n de s t r o o m r i c h t i n g v o o r t p l a n -t e n .

3 . 3 . Theoretische benaderingen

I n de p r a k t i j k i s het duin met de r e l a t i e f lange, rechte kam een v e e l voorkomend v e r s c h i j n s e l .

F i g . 17

Wanneer deze golfvorm z i c h onvervormd v o o r t p l a n t dan i s de v o o r t p l a n t i n g s s n e l -h e i d c, een constante.

b Er g e l d t :

29

Deze oplossing voldoet aan de eerste orde d i f f e r e n t i a a l v e r g e l i j k i n g ( z i e ook verg. 22)

6z/6t + c^(Sz/6x = O (30) D

B i j verwaarlozing van de v a r i a t i e i n zwevend t r a n s p o r t g e l d t ook: 6s/óx + 6z/6t = O Combinatie g e e f t : 6s/6x - c.|_^öz/6x = O ,31 of +x +x 6s dx = c. O 6x 6z — dx 6x Dus s ( x ) = z ( x ) + s^ (32)

w a a r b i j de i n t e g r a t i e b e g i n t b i j een d a l (z = O) waar m o g e l i j k nog een zwevend t r a n s p o r t s^ aanwezig i s .

Het b l i j k t dus dat het bodemtransport l o k a a l d i r e c t evenredig i s met de bodemhoogte boven het d a l . D i t h e e f t een a a n t a l consequenties. Het bodemtrans-p o r t i s het g r o o t s t b i j de duintobodemtrans-p. Voor een driehoekige doorsnede zou gelden:

3,. = 23 en s = 5 c, H (33) top • b

als H de hoogte van het duin v o o r s t e l t . •In de p r a k t i j k wordt gevonden

s^ ^ 1,8i en s ^ 0,6 c^E {3h)

t o p b

Het t r a n s p o r t s ( x ) h e e f t dus een kansverdeling. Meet men het l o k a l e momentane t r a n s p o r t s ( x , t ) nauwkeurig, dan zou, b i j een meetduur k l e i n t . o . v . de periode van de g o l f , de kansverdeling z i j n :

99.9 VII c E U G-1 I \ 1 / / J « ^ >< "<!.+ r+ y •- ^ T

0.4

2.0

p | V s ^ = o.as .-4- .{4 - h U

I n v e e l gevallen treden er samengestelde beddingvormen op: er bestaan dan se-cundaire r i b b e l s gesuperponeerd op het p r i m a i r e duin. De v e r k l a r i n g h i e r v o o r i nog n i e t gegeven. Misschien i s er een verband met de viskeuse sublaag d i e ont-s t a a t a l ont-s de hoofdont-stroom na het l o ont-s l a t e n b i j de duintop weer aan gaat l i g g e n aan de l o e f z i j d e van h e t volgende duin. Deze secundaire r i b b e l s lopen s n e l l e r

31

dan het p r i m a i r e duin: het maximale t r a n s p o r t t r e e d t nu op a l s de top van een secundaire r i h h e l de top van een p r i m a i r duin passeert:

s = k s max B i j benadering g e l d t i n d i t geval: { ^ } = 1 - { ^ + ln h - } (36.) s s s Voor s = s geeft d i t : P^ { s / i } - 0,25 {1 + 1,38 } ^ 0,6 (3T)

Het behoeft dus geen vervfondering t e wekken dat de bodemtransportmetingen i n de natuur met zandvangers grote spreidingen v e r t o n e n , deze z i j n i n h e r e n t aan het v e r s c h i j n s e l . I n f i g . 18 i s ook de kansverdeling van B.T.M.A.-vangsten gegeven, zoals deze i s gemeten i n het Pannerdens Kanaal.

Los van de i n s t r u m e n t a l e f o u t e n z i j n h i e r nog enkele redenen waarom de s p r e i -ding i n de natuur g r o t e r i s dan door verg. (35) en (36) wordt aangegeven.

1. De v a r i a t i e loodrecht op de hoofdstroom i s verwaarloosd. 2,. De beddingvorm i s gecompliceerder dan i s aangegeven. 3. N i e t elke duin i s even groot.

k. I n de natuur i s er n o o i t sprake van de h i e r aangenomen dynamische evenwicht-s i t u a t i e .

U i t deze benadering v o l g t dat er v e e l vangsten met bodemtransportmeters nodig z i j n om s r e d e l i j k t e benaderen. Bovendien moet de a f s t a n d i n l e n g t e r i c h t i n g van de r i v i e r , waarover wordt gemeten, groot z i j n t . o . v . de l e n g t e van het p r i -maire duin om betrouwbaar t e bemonsteren.

De eenvoudige r e l a t i e (verg. 32) tussen momentaan t r a n s p o r t en bodemhoogte doet vermoeden dat de schuifspanning langs de l o e f z i j d e v a r i e e r t . D i t b l i j k t ook u i t metingen van Raudkivi (196T ) - F i g . 19 g e e f t een samenvatting van deze metingen. Verder b l i j k t b i j deze metingen het f a s e v e r s c h i l tussen o p p e r v l a k t e -g o l f en bodem-golf inderdaad aanwezi-g t e z i j n .

Theoretische beschouwingen over h e t voorkomen van duinen en a n t i d u i n e n z i j n gegeven door Kennedy(I963) en Reynolds ( I 9 6 5 ) . Beide voeren een s t a b i l i -t e i -t s a n a l y s e u i -t die gebaseerd i s op een p o -t e n -t i a a l - -t h e o r e -t i s c h e beschouwing

F i g . 19

33

voor de hoofdstroom. H i e r b i j wordt de hoofdstroming over de gegolfde bodem voorzien van een ( k l e i n e ) s t o r i n g en de gebieden waarvoor deze s t o r i n g wordt uitgedempt o f v e r s t e r k t worden wiskundig nagegaan. Het gaat h i e r om een t y p i s c h l i n e a i r e s t a b i l i t e i t s a n a l y s e ; d i t houdt i n dat de t h e o r i e snel z i j n g e l d i g h e i d v e r l i e s t a l s de s t o r i n g g r o e i t . Een essentiële aanname die beide auteurs doen om hun r e s u l t a t e n t e bereiken b e t r e f t de g e b r u i k t e t r a n s p o r t r e l a t i e

s ( x , t ) ^ a { v ( x - Ó,t) } (38.)

Dus er wordt v e r o n d e r s t e l d dat het t r a n s p o r t i s gekoppeld aan de s n e l h e i d die een afstand 6 bovenstrooms aanwezig i s . Voor deze benadering i s nog geen f y -s i -s c h aanvaardbare m o t i v e r i n g gevonden.

De t h e o r e t i s c h e beschouwingen over de geschematiseerde beddingvormen heb-ben het nadeel v r i j ver van de r e a l i t e i t t e staan. De l a a t s t e j a r e n t r e d e n dan ook stochastische benaderingen voor de b e s c h r i j v i n g van de beddingvormen meer op de voorgrond. Deze benaderingswijze h e e f t voor windgolven d u i d e l i j k nieuwe i n z i c h t e n v e r s c h a f t . Voor de beddingvormen s t a a t het onderzoek h i e r v a n nog i n een beginstadium. Een goede "bemonstering" wordt h i e r overigens belemmerd: a. Een bemonstering voor vaste t i j d wordt benadeeld door de omstandigheid dat

de t r a n s p o r t c o n d i t i e s vaak s l e c h t s homogeen z i j n voor een gebied dat n i e t groot i s t.o.v. de g o l f l e n g t e .

b. B i j bemonstering i n de t i j d van vaste x wordt hinder ondervonden van de k l e i n e v o o r t p l a n t i n g s s n e l h e i d . De t i j d s d u u r waarvoor de h y d r a u l i s c h e condi-t i e s conscondi-tancondi-t mogen worden v e r o n d e r s condi-t e l d i s meescondi-tal k l e i n condi-t.o.v. de duur no-dig voor een goede bemonstering.

3-h, Eigenschappen beddingvormen

De kenmerkende eigenschappen van de bodemvorm ( v o o r t p l a n t i n g s s n e l h e i d , golfhoogte en g o l f l e n g t e ) z i j n m o e i l i j k nauwkeurig t e v o o r s p e l l e n . Enige g l o -bale i n f o r m a t i e kan a.v. worden gegeven:

V o o r t p l a n t i n g s s n e l h e i d :

De gevonden t h e o r e t i s c h e v o o r t p l a n t i n g s s n e l h e i d voor k l e i n e bodemstoringen z a l i n het algemeen n i e t d i r e c t g e b r u i k t kunnen worden om de v o o r t p l a n t i n g s s n e l h e i d {c^) van r i b b e l s en duinen t e schatten. Toch b l i j k t er een goede benaderin u i t t e z i j n af t e l e i d e n .

B i j metingen wordt a l t i j d u i t de v o o r t p l a n t i n g van de t o p gehaald omdat d i t het meest markante punt i s . Men kan nu rekening houden met het daar t e r plaatse

g r o t e r e t r a n s p o r t dan het gemiddelde en met het l o k a l e Froude g e t a l . U i t verg. ( 2 1) wordt dan a f g e l e i d :

1,8

% =

l H F^ { 1 l H/h } - 3

:39)

waarin F b e t r e k k i n g h e e f t op v en h. De coëfficiënt 1,8 komt v o o r t u i t de om-standigheid dat het transport, b i j de t o p i e t s minder i s dan tweemaal het ge-middelde t r a n s p o r t .

Deze u i t d r u k k i n g bevat de exponent b ( u i t s v ) , het t r a n s p o r t s en de hoogte H van de beddingvorm. I n een a a n t a l gevallen i s gebleken dat verg. ( 3 9 ) r e d e l i j k met de waarnemingen k l o p t , maar er i s v e e l s p r e i d i n g . Voor schattingen van i s verg. ( 3 9 ) n i e t zo geschikt omdat meestal s en H n i e t bekend z i j n . Er bestaat een a a n t a l empirische u i t d r u k k i n g e n voor c, waarvoor kan worden

b verwezen naar Raudkivi ( I 9 6 T ) .

Hoogte:

Verg. ( 2 1 ) kan wel worden g e b r u i k t om een s c h a t t i n g t e maken van de hoogte ( H ) van de beddingvorm. D i t kan door de combinatie met:

s = ac^ H (a % 0 , 6 !

E l i m i n a t i e van l e v e r t een i m p l i c i e t e vorm voor H/h. Omdat h i e r toch geen grote nauwkeurigheid mag worden verwacht kan ook combinatie met verg. ( 2 1 ) i . p . v ( 3 9) worden g e b r u i k t . D i t l e v e r t :

= 1,7 h

V e r g e l i j k i n g met metingen op Japanse r i v i e r e n ( 5 = 1 a 1,5 mm) leverde

.2] H = 0 , 9 h 1 - F b - 0,02i+ ;^o)

Er bestaat een groot a a n t a l empirische formules d i e a l l e e n op een dimensie-analyse z i j n gegrond ( z i e Raudkivi, 1967)- B i j het gebruik i s v o o r z i c h t i g h e i d geboden omdat de vorm van de v e r g e l i j k i n g s t e r k wordt beïnvloed door de

35

gebruikte waarnemingen.

Lengte:

Ribbels hebben een maximale lengte van ongeveer 0 . 6 m. De lengte(X) i s t h e o r e t i s c h door Anderson ( 1 9 5 3 ) gekoppeld aan waterdiepte en het Froude g e t a l Met een p o t e n t i a a l - t h e o r e t i s c h e beschouwing wordt a f g e l e i d :

= (41.)

waarin k = 2'rT/A het g o l f g e t a l v o o r s t e l t en F = v//gh, h e t Froude g e t a l .

De benadering i s het best voor hoge Froude g e t a l l e n . De r e s u l t a t e n vs.n het on-derzoek van Kennedy ( I 9 6 3 ) z i j n s l e c h t geschikt om de r i b b e l l e n g t e t e v o o r s p e l l e n , omdat de ingevoerde kunstmatige faseverschuiving (ó) onbekend i s .

Voor enkele experimentele r e l a t i e s m.b.t. de g o l f l e n g t e wordt weer verwezen naar Raudkivi (196T) •

kh t g h kh

h. Transport van bodemmateriaal

h.1. Algemeen

Het stromende water v e r p l a a t s t het k o r r e l i g e m a t e r i a a l dat z i c h op de bo-dem van een waterloop b e v i n d t , m i t s de stroomsnelheid voldoende groot i s . De volgende k l a s s i f i c a t i e wordt g e b r u i k t :

Het s p o e l t r a n s p o r t b e t r e f t m a t e r i a a l dat u i t de bovenloop van de r i v i e r a f -komstig i s en zonder i n t e r a c t i e met het bed wordt vervoerd. D i t s p o e l t r a n s p o r t

i s n i e t g e l i e e r d aan de l o k a l e hydraulische omstandigheden maar het i s d i r e c t a f h a n k e l i j k van het aanbod. Het b e t r e f t h i e r , om de gedachten t e bepalen, ma-t e r i a a l mema-t D &lma-t; 50 ym.

Het t r a n s p o r t van bodemmateriaal ( " t o t a a l t r a n s p o r t " = bodemtransport + zwevend t r a n s p o r t ) i s wel gekoppeld aan de l o k a l e hydraulische c o n d i t i e s van de a l l u v i a l e waterloop.

B i j een n i e t - a l l u v i a l e waterloop l i g t d i t anders. A l s voorbeeld kan de Maas i n Limburg worden genoemd. Het sediment wordt h i e r g e t r a n s p o r t e e r d over een grove ( v r i j w e l steeds s t i l l i g g e n d e ) bodem. Het m a t e r i a a l t r a n s p o r t i s h i e r a f h a n k e l i j k van het bovenstroomse 'aanbod. Deze onverzadigde toestand (zand-t r a n s p o r (zand-t &l(zand-t; zand(zand-transpor(zand-t voor a l l u v i a l e r i v i e r ) maak(zand-t da(zand-t de g e b r u i k e l i j k e t r a n s p o r t f o r m u l e s hun g e l d i g h e i d v e r l i e z e n .

Soms wordt tussen bodemtransport en zwevend t r a n s p o r t nog het b e g r i p sprongtransport ( s a l t a t i o n ) gehanteerd. Deze t r a n s p o r t v o r m , d i e b i j zandtrans-p o r t door wind wel voorkomt, i s i n water t e verwaarlozen omdat de dichtheden van water en zand daarvoor t e d i c h t b i j elkaar l i g g e n .

Bodemtransport i s s t e r k gekoppeld aan de beddingvorm. Voor het zwevend t r a n s p o r t i s deze koppeling minder s t e r k . Het onderscheid wordt gemaakt op grond van het transportmechanisme. U i t e i n d e l i j k gaat het om het t o t a l e t r a n s -p o r t dat onder be-paalde hydraulische c o n d i t i e s -p l a a t s v i n d t .

bodemtransport t r a n s p o r t van

bodemmateriaal _{zwevend t r a n s p o r t}

m a t e r i a a l t r a n s p o r t

3 7

k.2 Bodemtransport en t o t a a l t r a n s p o r t

J u i s t door de i n t e r a c t i e met de gecompliceerde beddingvorm komen t h e o r e t i -sche beschouwingen over bodemtransport n i e t v e r , zodat een goede experimentele formule vaak i s t e verkiezen. D i t z a l worden gedemonsteerd aan de hand van de formule van Kalinske en d i e van Meyer-Peter en M u l l e r .

De formule van Kalinske (19^17) kenmerkt z i c h door een i n t e r e s s a n t e a f l e i d i n maar ook door een slechte toepasbaarheid. Voor een enkele laag van r o l l e n d e k o r r e l s s t e l t Kalinske dat de momentane k o r r e l s n e l h e i d u op een eenvoudige w i j z e afhangt van de watersnelheid ( v ) en de k r i t i e k e snelheid ( v ^ ) . A l s r e -l a t i e wordt gekozen

u = b ( v - V ) {h2)

g c

2

Als er nu per eenheid van oppervlak p/ { ^ IT D } k o r r e l s aanwezig z i j n dan be-draagt het t r a n s p o r t G u i t g e d r u k t i n droog gewicht:

G = { 1/6 TT D^ p g ü } { p/ TT D^)} (U3)

s g

Kalinske gaat u i t van bolvormige k o r r e l s maar deze beperking kan worden opge-heven door i n p de vormcoëfficiënten onder t e brengen.

Voor de bepaling van ü wordt nu de v e r o n d e r s t e l l i n g gemaaJtt dat de water¬ snelheid langs de bodem een normale v e r d e l i n g b e z i t .

1 T[Y) = _exp a /2TT (v - v ) ' 2 /1.1. \

waarna kan worden g e s t e l d

u = b f ( v - V ) f ( v ) dv c Uitgewerkt l e v e r t d i t : u = vb a e x p ( - ^ t ^ ) ^ V /2TT r V -1 c - vb — - 1 V t exp(-g t dt met t = ( v - v)/c _en t = ( v ' - v)/a c c

D i t betekent:

u /v = b f { a/v en V /v }

g c

Kalinske k i e s t voor v /v = /x /x waarin c c o

T = k r i t i e k e schuifspanning voor het bewuste m a t e r i a a l c

= schuifspanning aan de bodem.

De t o t a l e t r a n s p o r t f o r m u l e k r i j g t dan de gedaante:

X

a c

G = 2/3 p b p D . cv f { - , — }

V X

omdat ook nog wordt g e s t e l d v = cv ( i s snelheid t.p.v. de k o r r e l ) .

De u i t e i n d e l i j k e vorm die Kalinske g e b r u i k t , wordt dan nog gekenmerkt door de keuze:

a/v = 0 , 2 5 ; p = 0 , 3 5 ; b = 1; c - 11 en x^'\^D.

D i t l a a t s t e g e l d t a l l e e n voor g r o f zand en g r i n d . De v e r g e l i j k i n g die Kalinske maakt met metingen i s zeer g l o b a a l en n i e t erg betrouwbaar.

Samenvattend kan worden g e s t e l d dat de a a n t r e k k e l i j k e analyse van Kalinske n i e t t o t een bruikbaar r e s u l t a a t l e i d t , omdat de a f l e i d i n g

a. n i e t rekening houdt met de beddingvorm ( r i b b e l f a c t o r o n t b r e e k t ) b. s l e c h t i s aangepast aan waarnemingen

c. er s l e c h t s sprake i s van êên bewegende laag k o r r e l s .

D i t l a a t s t e g e e f t een d u i d e l i j k maximum aan het op deze w i j ze a f g e l e i d e theore-t i s c h e theore-t r a n s p o r theore-t (de k o r r e l s kunnen immers n i e theore-t s n e l l e r lopen dan de l o c a l e w a t e r s n e l h e i d . ) .

Ook E i n s t e i n (1950) h e e f t het bodemtransport s t a t i s t i s c h beschreven. De a f -l e i d i n g die v e e -l minder transparant i s dan d i e van Ka-linske bevat v e e -l verkap-te aannamen, d i e n i e t o f nauwelijks worden gemotiveerd. De indruk bestaat dat de aanpassing van coëfficiënten aan waarnemingen wel z o r g v u l d i g e r i s geweest dan b i j Kalinske. Voor zover bekend h e e f t E i n s t e i n de d e t a i l s van deze aanpassing nergens gepubliceerd.

(hl)

39

Voor het bodemtransport i s de (eerdere) formule van Meyer-Peter en M u l l e r

( I 9 I 4 8 ) v e e l b e t e r bruikbaar. Aan de opzet van deze experimentele formule h e e f t E i n s t e i n meegewerkt.

M.P. en M. hebben door een groot a a n t a l proeven een experimenteel verband opgesteld dat i n de h i e r gebruikte symbolen l u i d t :

1 ) 3 / 2 ( l - .) y h i

AD

s = t r a n s p o r t ( a l s volume i n c l u s i e f poriën) per eenheid van breedte A = r e l a t i e v e d i c h t h e i d = (p - p) /p

s y = r i b b e l f a c t o r

e = poriëngehalte

B i j de keuze e = 0,1+ en met A'' = 0,0l+T en B" = 0 , 2 5 l e v e r t d i t : 3/2

= 13,3 I — - 0 , 0 ^ 7

D 3 / 2 ^

_AD

D i t i s een verband tussen twee dimensieloze parameters. s X = —r-77:; t r a n s p o r t p a r a m e t e r D^/^^A en

AD

•Vrijwel a l l e bodemtransportformules z i j n t e r u g t e brengen op een verband tussen deze twee dimensieloze parameters.

De r i b b e l f a c t o r wordt door M.P. en M. ingevoerd door het argument dat de t o t a l e schuifspanning (x) slechts voor een deel voor het t r a n s p o r t beschikbaar i s , de r e s t i s nodig voor de vormweerstand van het bed. V r i j w e l geheel e x p e r i -menteel wordt a f g e l e i d : y = bed k o r r e l 3/2 (53)

B i j deze studie van M.P. en M. moet een a a n t a l opmerkingen worden gemaakt. a. Ondanks de v r i j geringe t h e o r e t i s c h e grondslag h e e f t de formule een grote

toepassing gevonden. D i t komt met name door het u i t g e b r e i d e a a n t a l experimen-ten waarop de formule i s gegrond.

b. I n t e g e n s t e l l i n g t o t E i n s t e i n en Kalinske i s er een d u i d e l i j k n u l t r a n s p o r t (voor T < T ) .

c

c. M.P.M. i s d u i d e l i j k geschikt voor g r o f bodemmateriaal. De experimenten z i j n a l l e e n voor D > 0,1| mm u i t g e v o e r d .

d. Het t r a n s p o r t kan a l l e e n worden berekend a l s de t o t a l e ruwheid bekend i s . Dit komt b i j de meeste bodemtransportformules voor.

De formule van M.P. en M. g e l d t t y p i s c h voor g r o f zand en g r i n d en deze wordt daarom v e e l g e b r u i k t voor de Nederlandse R i j n t a k k e n . Het i s evenwel g e v a a r l i j k deze formule ook voor f i j n zand t e gebruiken. Voor f i j n zand i s het bodemtrans-p o r t vaak een f r a c t i e van het t o t a l e t r a n s bodemtrans-p o r t omdat dan het zwevend t r a n s bodemtrans-p o r t

een grote r o l gaat spelen. I n een recent o v e r z i c h t (A.S. CE. 1971 b) komt Va-noni t o t de conclusie dat voor waterlopen met ( f i j n ) zand de beste r e s u l t a t e n worden verkregen met de methoden van Colby o f Engelund. Beide formules z i j n g e l d i g b i j het optreden van zwevend t r a n s p o r t .

De methode van Colby berust op een groot a a n t a l veldmetingen en gootmetingen die z i j n geordend i n een aantal g r a f i e k e n . Het zandtransport wordt bepaald u i t V , h en I'^QS waarna c o r r e c t i e s worden toegepast voor de temperatuur en de aanwezigheid van f i j n zand en s l i b .

Engelund geeft z i j n formule i n algebraïsche vorm Omgewerkt i n de h i e r g e b r u i k -t e n o -t a -t i e l u i d -t deze: s 0 , 0 5 f h i I 5 / 2 C^ g d i t l e v e r t b i j de keuze voor de p o r o s i t e i t e = 0,k: s f h i I 5 / 2 C^ 3/2 = 0 , 0 8 U ( 5 M D'

_AD

Men kan d i t opvatten a l s een r e l a t i e

41

met | 2 / 5

(55)

Deze formule berust op metingen met D^^ < 1 mm.

3 Maatgevende k o r r e l g r o o t t e en r i b b e l f a c t o r

Elke bodemtransportformule kan pas worden toegepast a l s er een keuze wordt gemaakt voor de maatgevende k o r r e l g r o o t t e D^ voor het bodemmateriaal. Daarnaast wordt de schuifspanning gereduceerd met een r i b b e l f a c t o r , die ook v e r s c h i l l e n d e vormen kan aannemen. Daardoor l a t e n de formules z i c h o n d e r l i n g steeds s l e c h t v e r g e l i j k e n . Het i s zaak steeds c o n s i s t e n t t e werken omdat de hoofdvorm van een formule steeds i s opgesteld b i j een bepaalde keuze van y en D^

b.v. m Meyer-Peter en M u l l e r y = (C./C ) b K 3/2 D^ = p . D . ) / ( l p.) = D Engelund y = (C^/g)^/^ D^ = D^^

Opgemerkt moet worden dat M.P.M. dus het echte gemiddelde gebruiken. Eenvou-d i g h e i Eenvou-d s h a l ve worEenvou-dt wel Eenvou-de meEenvou-diaan (D^Q) g e b r u i k t . Het echte gemiEenvou-dEenvou-delEenvou-de i s evenwel g r o t e r : g l o b a a l D=^ D^^.

De redenering van Kalinske i s l a t e r voor mengsels uitgebouwd door Pante-lopoulos ( 1 9 5 5 ) . Deze l a a t s t e komt. t o t de volgende keuze voor de maatgevende k o r r e l g r o o t t e (D ) n l . :

D = (Ep.)/(lp.D. ') = D, ( 5 6 )

ïïl 1 1 1 K

Globaal b l i j k t D, D , d i t i s merkwaardig omdat E i n s t e i n (1950) op geheel an¬ k 3p

dere manier komt t o t de aanbeveling dat D^^ a l s maatgevende k o r r e l moet wor-den gekozen.

' Meestal z a l het geen moeite kosten om C^^ t e bepalen. B i j zandtransportbe-rekeningen voor een bekende toestand i s '^•^^^ u i t metingen af t e l e i d e n . I s d i t n i e t m o g e l i j k dan moet ^-^^^ worden geschat, b.v. met een procedure volgens hoofdstuk 5. Ten aanzien van de r i b b e l f a c t o r moeten txree opmerkingen worden gemaakt.

a. I n de natuirr z a l er a l t i j d sprake z i j n van overgangstoestanden. Zelden z a l dus y een constante z i j n d i e past b i j de aanwezige afvoer. Het onderzoek