Wyznaczenie momentu bezwładności przy użyciu

Wyznaczenie momentu bezwładności przy użyciu

wahadła torsyjnego

Wahadło torsyjne

2r Równanie ruchu obrotowego krążka

dt M I d

=

2 0

α

α

drut

0

0 2

2

= + α α

I D dt

d

I₀ – moment bezwładności krążka

M – moment siły

D – moment kierujący

α D M = −

) sin( ω ϕ α = A t +

I

= D ω

Równanie oscylatora harmonicznego

1) Informacja o momencie bezwładności 2) Informacja o własnościach sprężystych

drutu

2R

D T

= 2 π I

Częstość kołowa

Okres drgań

Wahadło torsyjne

2R

Dwa walce o masie m Moment bezwładności walca względem osi I_w=1/2mr²

2r_w Nowy moment bezwładności

z tw. Steinera:

2 ] ) 1

( [

2

0

1

I m R r mr

I = + − +

D T

= 2 π I

D T

= 2 π I

Wyznaczając doświadczalnie T₀ oraz T₁ znajdziemy D oraz nieznany moment bezwładności I₀

Podczas drgań wahadła zachodzi odkształcenie drutu polegające na ścinaniu…

Odkształcenia sprężyste

Sprężystość (elastyczność) – własność powodująca, że odkształcone ciało dąży do stanu początkowego.

Dla idealnie sprężystych ciał naprężenia w nich wywoływane są jednoznacznymi funkcjami odkształceń.

Przy niewielkich odkształceniach własności ciał stałych

można opisywać traktując je jak ciała idealnie sprężyste, wtedy, jak to wykrył R. Hooke dla prostych odkształceń, odkształcenie jest

proporcjonalne do naprężenia (sprawdźmy czy ono działa…).

… a potem zajmijmy się przypadkiem odkształcenia postaci bez zmiany objętości jakim jest tzw. ścinanie…

Ścinanie

Rozważmy kostkę prostopadłościenną przyklejonej do podłoża^*

γ σ _t γ

Każdy element górnej powierzchni kostki poddany jest naprężeniu stycznemu…

S F

t

=

σ

Odkształcenie kostki polega przesunięciu górnej ścianki w kierunku naprężenia, bez zmiany kształtu tej ścianki. Ścianka przednia i tylna przyjmują kształt

równoległoboków, ścianki boczne pochylają się o kąt

γγγγ

W tym wypadku prawo Hooke’a ma postać:

G σ

γ =

*Aby naprężenia powstające na brzegach nie miały znaczenia wysokość kostki powinna być znacznie mniejsza od pozostałych wymiarów

Skręcanie (ścinanie) pręta

dr r

ϕ

l r ϕ γ = l

F _z -F _z

Pręt dzielimy na rurki o promieniu r i grubości dr Górny koniec rurki jest zamocowany.

Do dolnego końca przykładamy parę sił o tej samej wartości i przeciwnych zwrotach – tworzą one moment skręcający pręt, który równoważą naprężenia ścinające powstałe w pręcie.

Każdy element rurki ulega ścinaniu o kąt γ

G σ

γ =

l r ϕ γ =

ϕ - kąt skręcenia końca rurki

l – długość rurki Zatem naprężenie ścinające:

l G r

t

σ = ϕ

Skręcanie pręta

dr l r

dM G

dr r l G

dM r

r dr r dM

r S dM

Fr dM

t t

3 2

2

2 2

π ϕ ϕ π

π σ σ

=

=

=

∆

=

∆

=

∆ F – siła styczna

∆S – powierzchnia przekroju rurki Moment sił sprężystości

równoważący moment sił zewnętrznych:

Sumując przyczynki od rurek o różnych promieniach

dostajemy całkowity moment sił sprężystości równoważący moment sił zewnętrznych

ϕ π ϕ

π ϕ

R D l

dr G l r

M = ² G ∫

= ₂

= ^{D = G} _l ^R ₂ ^{= G} _l ^J π

D – moment kierujący

J – geometryczny moment bezwładności

⁼ ∫∫

S

dS r

J

S F

t

∆

= ∆

σ

naprężenia ścinającego

l G G r

t

γ ϕ

σ = =

Badając drgania torsyjne wahadła fizycznego

możemy wyznaczyć moduł sztywności G materiału, z którego wykonany jest drut…

Materiał Moduł sztywności GPa

Współczynnik Poissona

guma 1.6·10^-3 0.46-0.49

miedź 40-48 0.35

stal 82 0.29

wolfram 132 0.17

szkło 17-30 0.2-0.3

Skręcanie wałów napędzających maszyny

Moc przekazywana przez wał napędowy:

P=Mω ω ω ω

Zamiast wałów stosuje się czasem rury…

2

) (

2

) (

2

4 1 4

2

4 1 4

R 2 R

2 3

1

R J R

l J G R

R l

dr G l r

M G

r

r

= −

− =

=

= ∫

π

ϕ π ϕ

π ϕ

Jaki powinien być promień zewnętrzny R₂ rury o promieniu wewnętrznym R₁, aby dawała ona taki sam moment

skręcający jak pręt o promieniu R₁

R₂ R₁

2

) (

2

4 1 4

2 4

1

R R

R −

= π π

1 2 2

19 , 1 2

2 1

2 1 2

1 1

2

1 4

2

−

− =

=

≅

=

R

R R

S S

R R

Warto używać pustych wałków!

ω ω ω

ω ω

ω M

dt I d dt

I d dt I

E d dt

P = d

= ) = = =

2 ( 1 )

(

dt I d

M ω

=

Sprężyna

Przy rozciąganiu sprężyny drut, z którego jest ona wykonana

ulega skręceniu o kąt α (nie jest to jednak tak proste jakby się wydawało – trudno zauważyć skręcenie drutu, gdy rozciągamy sprężynę – jak to się dzieje - patrz dodatek).

R

∆ h

ϕ = ^R

– promień sprężyny

Skręcenie to wywoła pojawienie się momentu siły:

F R M =

Moment sił sprężystości równoważy moment siły zewnętrznej F przyłożonej dokładnie wzdłuż osi sprężyny

π ϕ

l G M r

2

4

= ^{r –} promień drutu

l – długość drutu

N h R F Gr

s

∆

=

4

4

Łącząc powyższe wzory i biorąc pod uwagę, że długość drutu sprężyna wynosi l = 2πNR_s (gdzie N – liczba zwojów sprężyny) dostajemy ostatecznie:

h k F

= − ∆

N R k Gr

s 3

4

= 4

Rozciąganie drutu

F

l

l

ε

∆ =

− =

0 0

0

l l l

l

Wydłużenie względne: l

Prawo Hooke’a (dla niewielkich odkształceń):

E

ε = σ σ- naprężenie normalne E – moduł Younga

S F

σ =

l

SE l F

∆

=

Przewężenie względne:

d d

d

t

− ∆ ε =

Dla odkształceń sprężystych:

µε ε

=

µ - współczynnik Poissona

ε µ = ε

lub

Moduł Younga

Materiał Moduł Younga (E) GPa

guma 0,01-0,10

Polietylen(LDPE) 0,2

Polipropylen(PP) 1,5-2,0

Osłonkawirusa 1-3

Poli(tereftalan etylenu) (PET)

2,0-2,5

Polistyren (PS) 3,0-3,5

Nylon 2-4

Drewno dębowe (wzdłuż włókien)

11

Beton wysokiej wytrzymałości (ściskany)

30

Magnez(Mg) 45

Stop glinu (aluminium) (Al)

69

Szkło(SiO², Na²CO³, CaCO³)

72

Materiał Moduł Younga (E)

GPa Szkło(SiO²,

Na²CO³, CaCO³)

72

Mosiądz (Cu, Zn) i Brąz (Cu, Sn)

103-124

Tytan (Ti) 105-120

Kompozyt z

włókna węglowego

150

Żelazo kuteistal 190-210

Wolfram(W) 400-410

Węglik krzemu(SiC) 450

Węglik tytanu(TiC) 450-650

Miedź 100-115

Cynk 84

Ołów 16

Cyna 47

Nanorurka^[1] >1 000

Diament (C) 1 050-1 200

http://pl.wikipedia.org/

Współczynnik Poissona

Materiał µ

Guma 0,46-0,49

Ołów 0,45

Aluminium 0,34

Stal 0,29

Szkło 0,2-0,3

Kwarc 0,2

Wolfram 0,17

Zmiana objętości pręta przy rozciąganiu

z

x

y l₀

l₀+∆l

r₀ + ∆r r₀

Zmiana objętości przy rozciąganiu:

) 2 1 ( 2

2 π

) π (

) (

π

0 0

0 0

0 2 0

0 2 0 0

2 0

σ µ µ σ

σ  = −



 



 −

 =





 

 ∆

∆ +

≈

=

−

∆ +

∆ +

=

∆

V E E

V E r

r l

l l r

l r l

l r

r V

Doświadczenie pokazuje, że ∆ ∆V/V≥ ∆ ∆ ≥ ≥0 ≥ µ ≤ 1/2

Odkształcenie objętości

p

p

p

p p

p

κ

κ δ

1

0

=

−

∆ =

= K

V p V

p – ciśnienie

κ- współczynnik ściśliwości K – moduł ściśliwości

Względna zmiana objętości:

Doświadczenie myślowe:

- każda z krawędzi ulega skróceniu o czynnik (1-p/E)

- jednocześnie w wyniku działania ciśnienia w kierunku poprzecznym poissonowskiemu wydłużeniu w stosunku (1+µµµp/E)(1+µµ µµµp/E)

ε

µ = ε

l=l

(1-p/E)(1+µp/E)

 

 



 −

−

≅ +

−

 ≅



 



 +

 

 



 −

= p

V E E

p E

V p E

p E

l p

V 3 ( 1 2 )

1 )

6 1 )(

3 1 ( 1

1

6 3

3 0

µ µ

µ

E p V

V 3 ( 1 2 )

0

µ

= −

− ∆

) 2 1 ( 3

lub )

2 1 ( 3

µ κ µ

= −

= − E

E K

Związek pomiędzy modułem Younga i modułem sztywności.

Rozważmy ścinanie płytki…(w poziomie i w pionie, płyta się nie obraca )

F F

F

F

D

a

a

ad F

t

=

d – grubość płytki σ

2

γ

a

∆a

∆a

2

∆a

π γ

π γ

Naprężenie styczne:

Naprężenie normalne:

t

n

ad

F ad

F σ

σ = = =

2

Wypadkowa siła wzdłuż

2

przekątnej, do powierzchni przekroju płytki wzdłuż przekątnej…

t

n

σ

σ = 2

γ

ścięcia est dwa razy większy

2

γ

γ

2 2

2 ∆ D = ∆ a

Naprężenia normalne rozciąga przekątną

a a a

a ∆

∆ =

=

≅ 2

2 / 2

tg γ 2 γ

Zmiana kąta

pomiędzy bokami

G σ

γ =

sztywności

G a

a

2

2 σ

∆ =

Zmiana długości przekątnej:

- rozciąganie „podłużne”

- ściskanie poissonowskie

E D E D

E D

D

σ

µ σ

σ µ +

= +

=

∆ 1

2

1 2 2

2 a

a + E µ σ

=

∆

E

a

a + µ σ

∆ = 1 2

t t

E G µ σ

σ +

= 1 2

) 1

(

2 + µ

= E

G

Czyli:

G mniejsze niż E (od 1/3 do 1/2 E)

µ > − 1

wsp. Poissona

G

t

2 2

σ

γ =

H. Szydłowski Pracownia Fizyczna (PWN)

Zginanie belki

- przed odkształceniem przekroje p, q były równoległe (odległe od punktu zamocowania o x, x+ ∆x

- po ugięciu przekroje tworzą kąt ϕϕϕϕ

- warstwa V znajdująca się w odległości y od warstwy W (neutralnej) wydłuża się o ϕϕϕϕy

- element belki o długości ∆x i grubości ∆y i szerokości b jest odkształcany pod wpływem siły F_n = σ ∆A (∆A – pole przekroju poprzecznego warstwy V)

h Popatrzmy jak odkształca się

gumka myszka,

napisy na papierze…

A E

A

F

= ∆ = ∆

∆ σ ε

Powierzchnia elementu V :

∆A=b∆y

Wydłużenie względne (rysunek):

x y

= ϕ ∆ ε

y x b

E y

F

∆

= ∆

∆ ϕ

Stąd:

Moment tej siły względem warstwy W y

x by E

F y

M

∆

= ∆

∆

=

∆ ϕ

Sumując przyczynki od wszystkich warstw mamy:

x J E dy

x by E

M

h

= ∆

= ∆ ^ϕ ∫

^ϕ

gdzie geometryczny moment bezwładności

(element powierzchni zamiast masy)

∫

∫ ^≡

=

A h

h

by dy y dA

J

2 /

2

Dla belki o przekroju prostokątnym (zginanej prostopadle do h)

3

12 1 bh J =

h

b y

Moment sił sprężystości

wytworzony w elemencie belki o długości ∆x :

x J E M = ∆ ϕ

Belkę odkształca moment siły

zewnętrznej F M = ( l − x ) F

Ponieważ pomiędzy stycznymi do belki w punktach p, q wynosi ϕ, to przyczynek ∆S do ugięcia belki S wyniesie:

) ( l x S = −

∆ ϕ

EJ x M ∆ ϕ =

x x

EJ l

F − ∆

= ( )

ϕ

x x

EJ l

S = F − ∆

∆ ( )

Dla belki o przekroju prostokątnym:

3 0

2

3 ) 1

( l

EJ dx F

x EJ l

S F

l

=

−

= ∫

Sumując ugięcia od wszystkich przyczynków ∆x dostajemy:

E F l S bh

3 3

= 4

4

4 R J

π

=

Ugięcie zależy od kształtu przekroju!

) 4 (

4 1 4

2

R

R J

= π −

) 2

12 (

1

dh DH

J

= −

d/2 D

h H R

R₂ R₁

Im większy moment

Geometryczny, tym trudniej zginać!

Materiał powinien być więc jak najdalej od osi zginania.

Puste w środku wytrzymalsze?

Mosty, konstrukcje i kości…

Podparcie (nieważkiej…) belki z dwóch końców

F l

F/2 F/2

EJ F l S bh

3 1 3

= 4 4 ( / 2 ) ( / 2 ) / 16

1 3

2 3

F S

EJ l

S = bh =

Czyli znacznie mniej się ugina!

Belka zamocowana

z jednej strony Belka podparta

z dwóch stron

Spróbujcie sami znaleźć ugięcie belki zamocowanej z dwóch stron…

x J E M = ∆ ϕ

Moment siły jeszcze raz…

R

∆x

ϕ

R x

= 1

∆ ϕ

Promień krzywizny

) ) (

( R x

x EJ

M =

Z matematyki wiadomo, że krzywizna

z

y

2 / 2 3 2

2

1

1 1

 





 



 



 





∂ + ∂

∂

= ∂

x x z

z R

2

1

x z R ∂

= ∂

Dla małych ugięć:

Stąd można uzyskać informacje kształcie belki…

równanie na kształt belki

2 2

)

( x

EJ z x

M ∂

= ∂

)

2

(

2

x EJ l

F x

z = −

∂

∂ dla x = 0 0 , = 0

∂

= ∂

x z z

3

3 ) 1

( l

EJ l F

z =

Strzałka ugjęcia belki zamocowanej

na jednym z końców

Wyboczenie belki …(warto sprawdzić)

F F

2 2

)

( x

EJ z x

M ∂

= ∂

D Cx x

EJ l x F

z

C x

EJ l F x

z

+ +

−

=

+

−

−

∂ =

∂

3 2

) 6 (

) 1 (

) 2 (

1

3 2

6 1 2 1

EJ l D F

EJ l C F

−

=

=

warunki brzegowe

Mikroskop AFM

AFM

~25cm

podstawa mikroskop optyczny z kamerą

MultiMode AFM +Nanoscope IIIa Digital Instruments (obecnie Veeco)

Budowa mikroskopu AFM: ruchoma próbka

Głowica Skaner

Uchwyt dźwigni

Przewody

Baza

Wyświetlacz Mikroskop optyczny

z kamerą

Regulacja położenia dźwigni w płaszczyźnie

Mocowanie skanera

Podstawka

www.nanosensors.com

Dźwignia „tapping mode”

Długość 125 µµµµm

Szerokość 30 µµµmµ

Grubość 3 µµµµm

Wysokość 10 µµµmµ

Stała sprężystości 100 N/m Częstość rezonansowa ~300 kHz Promień krzywizny 10 nm Kąt rozwarcia stożka 30°°°°

Tryb kontaktowy („contact mode”)

Tryb kontaktowy („contact mode”)

(TappingMode ^TM AFM)

EFM − − − − Electric Force Microscopy (Kelvin Probe Microscopy)

Przyciąganie ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ Spadek częstości Odpychanie ⇔ ⇔ ⇔ ⇔

Siła elektryczna (gradient) ⇔ zmiana częstości rezonansowej Pętla sprzężenia zwrotnego: utrzymanie rezonansu

( ) ^...

) (

)

(

+

∂

− ∂ +

= x

x F x

x F x

F x k

F

0

2

1 ω

ω ∂

= ∂

∆

Doświadczenie w skali makro z ciężarkiem na brzeszczocie i magnesami…

Dioda Schottky’ego Au/GaN

topografia

granica półprzezroczystej warstwy Au

potencjał

(złącze metal-półprzewodnik)

GaN 2.2µµµmµ

LT Buffer sapphire

potecjał (KPFM) topografia (AFM)

GaN

MFM − − − − Magnetic Force Microscopy

Przyciąganie ⇔ Wzrost częstości Odpychanie ⇔ Spadek częstości

Siła magnetyczna (gradient) ⇔ zmiana częstości rezonansowej Pętla sprzężenia zwrotnego: utrzymanie rezonansu

( ) ^...

) (

)

(

+

∂

− ∂ +

= x

x F x

x F x

F x k

F

0

2

1 ω

ω ∂

= ∂

∆

Mikroskop sił magnetycznych (MFM)

Nanorurki węglowe

L. Forroro et al. Electronic and mechanical properties of carbon nanotubes,

Moduł Younga dla nanorurki?

L. Forroro et al. Electronic and mechanical properties of carbon nanotubes (Wikipedia)

A. Volodin et al.,Phys. Rev. Lett. 84, 3342 (2000) Palaci et al., Phys. Rev. Lett. 94, 175502 (2005)

www.veeco-europe.com