Analiza powstawania przepływu wstecznego przy opływie ciał sztywnych

© Instytut Mechaniki Górotworu PAN

Analiza powstawania przepływu wstecznego przy opływie ciał sztywnych

MARIUSZ R. SŁAWOMIRSKI

Instytut Mechaniki Górotworu PAN; ul. Reymonta 27, 30-059 Kraków

Streszczenie

Przedstawiono analizę ruchu płynu rzeczywistego w pobliżu sztywnych ścianek ciała w warunkach przepływu akcelercyjnego i deceleracyjnego. Przepływ w warstwie granicznej rozważany jest w oparciu o równania Prandtla.

Korzystając z numerycznych rozwiązań samopodobnych równań przepływu wykazano, że przepływ akceleracyjny jest ruchem regularnym, natomiast w przepływie deceleracyjnym występują osobliwości odpowiadające liniom i punktom oderwania. Obszarom oderwania odpowiada rodzina konkurencyjnych rozwiązań, z których tylko nie- liczne posiadają sens fi zykalny. Jako kryterium fi zykalnej poprawności przyjęto warunek zanikania rotacji prędkości w miarę oddalania się od sztywnej ścianki. Przedstawiono złożone rozważania oparte na metodach sami-pertur- bacyjnych dotyczące przepływu w sąsiedztwie punktu oderwania. Analiza równań przepływu dla funkcji prądu Ψ przed i za punktem oderwania wykazała, że ścisłe rozwiązania równań Prandtla które poprawnie opisują ruch płynu w warstwie granicznej przed punktem oderwania nie posiadają swojej kontynuacji w obszarze oderwania, tj.

za punktem oderwania.

Słowa kluczowe: warstwa graniczna, równania Prandtla, przepływ recyrkulacyjny, oderwanie warstwy granicznej

1. Warstwa graniczna

Zjawiska oderwania oraz przepływu wstecznego należą do najbardziej złożonych zjawisk makro- skalowych w otaczającym nas naturalnym środowisku. Mimo, iż zjawiska te były już przedmiotem zain- teresowania Leonarda da Vinci (XVI), ich wyjaśnienie stało się obiektem systematycznych badań dopiero w XX wieku.

Rys. 1. Rysunek Leonarda da Vinci przedstawiający oderwanie i przepływ wsteczny w obszarze gwałtownego rozszerzenia rury

Zjawiska oderwania oraz wstecznego ruchu płynu nie występują w przepływach swobodnych, a ich obecność związana jest z istnieniem sztywnych ścianek ograniczających obszar przepływu płynu. W istocie powstawanie przepływu wstecznego jest konsekwencją oderwania warstwy granicznej. Stanowi ona obszar

ruchu płynu w pobliżu sztywnych ścianek, w którym lepkość płynu i kształt ścianek wpływają decydująco na obraz przepływu. Ruch płynu w warstwie granicznej jest silnie wirowy i ma charakter przepływu lepkie- go. Natomiast poza obszarem warstwy granicznej, tj. w przepływie zasadniczym, wirowość płynu jest tak niewielka, że można ją pominąć, z zatem przepływ taki traktować można jako potencjalny.

Ruch potencjalny jest charakterystyczny dla przepływu płynu idealnego, w którym nie występują naprężenia ścinające, a lepkość równa jest z defi nicji zeru. Cały obszar ruchu płynu możemy zatem podzielić na dwie zasadnicze strefy: przepływ główny zwany też zasadniczym, odbywający się w oddaleniu od ścianek oraz warstwę graniczną występującą w ich sąsiedztwie. W warstwie granicznej ruch płynu ma charakter silnie wirowego przepływu lepkiego, natomiast w przepływie zasadniczym idealnego ruchu potencjalnego.

Przedstawiona tu w zarysie koncepcja warstwy granicznej została sformułowana po raz pierwszy przez Prandtla w 1904 roku na światowym Kongresie Matematycznym w Heidelbergu. Jej zasadniczym celem było rozwiązanie paradoksu występującego równaniach hydrodynamiki: Ruch płynu daleko od ścianek opisywany był dobrze równaniami ruchu płynu idealnego (równaniem Eulera), natomiast rozwiązania tych równań nie spełniały na sztywnej ściance warunków brzegowych polegających na zerowaniu się zarówno składowej normalnej u jak i stycznej υ wektora prędkości.

Równanie ruchu płynu w warstwie granicznej uzyskane przez Prandtla (1904) w wyniku uproszczenia równania Naviera-Stokesa przyjmuje następującą postać:

2 2

1

u u P u

u x y x y

u m

r r

¶ + ¶ = - ¶ + ¶

¶ ¶ ¶ ¶ (1)

gdzie ρ jest gęstością płynu, a µ jego lepkością. Oś x układu współrzędnych przyjmuje się styczną do ścianki i równoległą do zasadniczego kierunku przepływu, natomiast oś y prostopadłą do ścianki i skierowaną w głąb płynu. Ponieważ wariacja ciśnienia w warstwie granicznej w kierunku y jest pomijalnie mała, a dla danego x samo ciśnienie P jest w zasadzie zgodne z ciśnieniem w przepływie zasadniczym, występujący w równaniu (1) gradient ciśnienia wyrazić można przy pomocy prędkości przepływu zasadniczego U, traktowanego jako ruch płynu idealnego, korzystając z równania Eulera lub równania Bernoulliego:

1

dU P

U dx r x

= - ¶

¶ (2)

Podstawiajc równ. (2) do równ. (1) otrzymuje się:

2 2

u u dU u

u U

x y dx y

u m

r

¶ + ¶ = + ¶

¶ ¶ ¶ (3)

Prędkość przepływu zasadniczego U traktuje się zwykle jako zadaną a priori. Jako drugie równanie, sprzężone z (1) lub (3) przyjmuje się równanie ciągłości przepływu:

u 0

x y

u

¶ +¶ =

¶ ¶ (4)

Dwa sprężone równania (1), (4) lub (3), (4) stanowią tzw. układ równań Prandtla opisujący ruch płynu w warstwie granicznej. Warunki brzegowe dla wspomnianego układu dotyczą zerowania się składowych prędkości na ściance:

( )

, _y 0 0 u x y

= = ⁽⁵⁾

( ) , _y 0 0

u x y ₌ = (6)

Warunki te uzupełniane są tzw. warunkiem zgodności:

( , )_y ( )

u x y _®¥=U x (7)

Warunek ten oznacza, że prędkość płynu w warstwie granicznej osiąga asymptotycznie wartość wła- ściwą dla przepływu zasadniczego w miarę oddalania się od ścianki.

2. Regularna warstwa graniczna

Dla zagadnienia przepływu w warstwie granicznej wokół cienkiej płyty opływanej przez równoległy do jej powierzchni jednorodny strumień płynu, tj. taki dla którego U(x) = const., układ równań Prandtla rozwiązany został przez Blasiusa (1908). Wprowadzając nową zmienną

U y x h r

= m (8)

Blasius uzyskał rozwiązanie zagadnienia w postaci:

L( ) L U

u U B U B y

x h r

m

= = æçç

è

æç ç

è (9)

gdzie

( ) B( )

L

B df

d h h

= h (10)

a funkcja f_B(η) spełnia tzw. równanie różniczkowe Blasiusa

( ) ( ) ( )

3 2

3 2

1 0

2

B B

B

d f d f

f

d d

h h

h ⁺ h h ^{= (11)}

z warunkami brzegowymi:

( ) 0 0 fB

h h₌ = (12)

( )

0 B 0 f

h

h h ₌

¶ =

¶ (13)

( ) 1

fB h

h h _®¥

¶ =

¶ (14)

Rys. 2. Rysunek Leonarda da Vinci przedstawiający oderwanie i przepływ wsteczny

Blasius podał rozwiązanie przybliżone zagadnienia brzegowego (11) – (14) przy pomocy rozwinięć w szeregi. Obecnie zagadnienie to rozwiązuje się bardzo efektywnie metodami numerycznymi. Ponieważ funkcje f_B(η) oraz B_L(η) są monotonicznie rosnącymi funkcjami regularnymi, w rozwiązaniach nie napotyka się żadnych osobliwości. Wykres funkcji B_L(η) pokazano na Rys. 3.

Równoległy opływ płyty ma więc charakter regularny, a grubość warstwy granicznej δ narasta stop- niowo z odległością x od początku płyty zgodnie ze wzorem (Schlichting, 1965):

C x U d m

= r (15)

gdzie C jest wielkością stałą zależną od arbitralnie przyjętego zewnętrznego brzegu warstwy granicznej. Jeśli za brzeg ten przyjmiemy odległość od ścianki, dla której składowa prędkości u styczna do ścianki równa jest 95% prędkości w przepływie zasadniczym wówczas za C należy przyjąć wartość 3.91804, jeśli u równa jest 99% prędkości w przepływie zasadniczym wówczas za C należy przyjąć wartość 4.0999, jeśli u równa jest 99.9% prędkości w przepływie zasadniczym wówczas za C należy przyjąć wartość 6.0.

Rys. 3. Wykres funkcji BL(η)



Rys. 4. Obraz stopniowego narastania regularnej warstwy granicznej Blasiusa przy równoległym opływie płaskiej płyty

Rozwiązanie Blasiusa opisuje regularną warstwę graniczną, w której nie zachodzą żadne osobliwo- ści. Podobny obraz stopniowego narastania regularnej warstwy granicznej obserwuje się w początkowym obszarze gładkiej rury, przy wpływie do niej płynu z dużego zbiornika.

3. Generacja oderwania warstwy granicznej

Spróbujmy teraz przeanalizować przepływ w warstwie granicznej w warunkach bardziej skompliko- wanych niż wzdłuż płaskiej płyty. Przypadek rozważony przez Blasiusa można uogólnić na sytuację, gdy napływający potencjalny stumień w przepływie zasadniczym opisany jest odwzorowaniem konforemnym wyrażonym następującą funkcją zespoloną:

( ) ^m ( )^m

F z = z = +x yi (16)

Odpowiada to składowej stycznej napływającego strumienia w postaci:

( ) ^m

U x =cx (17)

Analizę przepływu przeprowadzimy wprowadzając funkcją prądu Ψ, której pochodne przestrzenne są składowymi wektora prędkości:

(x y, )

u y

=¶Y

¶ (18)

(x y, ) u= -^¶Y x

¶ (19)

Podstawienie reprezentacji (17), (18), (19) do równania (3) daje:

( ) ² ( ) ( ) ² ( ) _{2 2 1} ³ ( )

2 3

, , , , m ,

x y x y x y x y x y

y x y x y c mx y

m r

¶Y ¶ Y ¶Y ¶ Y - ¶ Y

+ = +

¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ (20)

Warunki brzegowe dla powyższego równania będą jak następuje:

( )

0

, 0

y

x y

x ₌

¶Y =

¶ (21)

( )

0

, 0

y

x y

y ₌

¶Y =

¶ (22)

( )

, ( ) _m

y

x y U x cx

y _®¥

¶Y = =

¶ (23)

W celu rozwiązania zagadnienia brzegowego (20) – (23) wprowadźmy nowe zmienne niezależne zdefi niowane w sposób:

df x

x = L (24)

( )

df y Re

G x L

h = (25)

gdzie Re jest liczbą Reynoldsa, L parametrem o wymiarze długości, a G(x) pewną funkcją, którą postaramy się wyznaczyć później. Rozwiązania poszukiwać będziemy wówczas postaci (Falkner, Skan, 1930, 1931):

( ) ( ) ( , ) Re

L U x G x f x h

Y = (26)

Będziemy wówczas mieć:

( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

, ,

Re , Re

x y L f

u U x G x f U

y LG x

h h x

x h

h

¶Y ¶ ì ü ¶

= ¶ = æ íî ýþ= ¶

¶ çè

æç è

(27)

( )

( ) { ( ) ( )} ( ) ( ) ( )

, ,

Re ,

x y L d f

f U x G x U x G x

x dx x

h u= -^¶Y¶ = - ^éëê x h + ^¶ ¶x ú^ùû

( ) { ( ) ( )} ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

, ' ,

1 ,

Re

f G x f

Lf d U x G x U x G x L

dx G x

h

x x h

h

x h

x h

é ìï¶ ¶ üïù

- êêë + íîï ¶ - ¶ ïýþúúû

(28)

Podstawiając wyrażenia (24) – (28) do równania (20) otrzymamy następujące równanie dla funkcji f(ξ,η) (Falkner, Skan, 1930, 1931):

( ) ( ( ) ( ))

3 2

3 2

s

f L d f

G x U x G x f

U dx

h h

ì ü

¶ ¶

+ í ý

¶ î þ ¶

( ) ( ) ( )

( )

2 2 2

2 2

1 2

s s

dU x U x

L f f f f f

G x G x

U dx h U h h x x h

é ù æ

ì ü æ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶

ï ïê ú

+ïîí þýïëê -çè¶ ûú= ççè¶ ¶ ¶ - ¶ ¶ æç ç è æç

è (29)

Jeśli wyrażenia w nawiasach klamrowych są stałe, tj.

( ) d { ( ) ( )} const

G x U x G x a

dx = = (30)

( ) ( )

2 dU x const

G x b

dx = = (31)

a f jest niezależne od ξ, to równanie dla funkcji f(η) upraszcza się do postaci:

( ) ( ) ( ) ( ) ²

3 2

3 2 1 0

d f d f f

a f b

d d

h h h

h h

h h

é ìï¶ üïù

ê ú

+ + êë -íïî ¶ ýïþúû =

(32)

Jeśli funkcja f(η) zostanie wyznaczona z równania (32), wówczas rozwiązanie problemu dane jest w formie:

( ) ( ) ( ) Re

L U x G x f h

Y = (33)

Z układu równań (30), (31) możemy wyznaczyć szczegółową postać funkcji U(x) i G(x), dla których rozwiązanie problemu ma postać (33). Okazuje się, że jedynymi rozwiązaniami są:

( ) const

U x = (34)

( ) 2aU^#

G x x C

= LU + (35)

lub

U x( )=cx (36)

( ) U b^s const

G x = Lc = (37)

lub

( ) ^m

U x =cx (38)

( ) U b^{s (1 m)/2}

G x x

Lc

= - (39)

2 m b

a b

= - (40)

lub

( ) ^exp( ² )^,

U x =c l x a=b (41)

( )

2

exp ,

2 U bs

G x x a b

Lc

l l

= æççè- =

æç ç

è (42)

Pierwszy przypadek odpowiada opływowi równolegle ustawionej płyty omówionemu w rozdziale poprzednim, drugi przypadek odpowiada przepływowi wokół punktu stagnacji, natomiast trzeci przypadek odpowiada napływowi na nachyloną płytę lub spływowi z niej.

Rozważymy bardziej szczegółowo przypadek trzeci. W celu wyeliminowania jednego z parametrów parametrów a lub b z równ. (32) rozważmy ponownie zagadnienie brzegowe (20) – (23) i wprowadźmy nowe zmienne niezależne zdefi niowane w sposób:

df x

x = (43)

df c m 1

x y

h r m

= - (44)

Rozwiązania poszukiwać będziemy wówczas postaci:

( )

df c ^m 1 _s ,

x f

m x h

r

Y = + (45)

Podstawiając wyrażenia (43), (44), (45) do równania (20) otrzymamy następujące równanie dla funkcji f_s(η) niezależnej od zmiennej ξ (Falkner, Skan, 1930, 1931; Howarth, 1959):

( ) ( ) ( ) ( ) ²

3 2

3 2

1 1 0

2

s s s

s

d f m d f f

f m

d d

h h h

h h

h h

é ì¶ ü ù

+ ê ï ï ú

+ + êë -íïî ¶ ýïþ úû=

(46)

Wprowadzając nowe zmienne zdefi niowane w sposób 2

1 m b = m

+ (47)

1 2

s = m⁺ h (48)

1

2 ^s

m+ f

F = (49)

możemy przedstawić równanie (46) w następującej równoważnej postaci:

( ) ( ) ( ) ( ) ²

3 2

3 2 1 0

d d

d d

s s s

h b

s s s

é ì ü ù

F +F F + ëêê -îïíï¶F¶ ýïïþ úúû=

(50)

Warunki brzegowe dla powyższego równania są jak następuje:

( )s _s=0 0

F = (51)

( )

0

0

s

s

s ₌

¶F =

¶ (52)

( ) 1

s

s s _®¥

¶F =

¶ (53)

Równanie (46) lub alternatywnie równanie (50) zwane też równaniem FS obejmuje szereg przypadków szczególnych. Sytuacja, gdy β = 0, tj. m = 0 odpowiada przepływowi Blasiusa wokół płaskiej płyty, ustawio- nej równolegle do jednorodnego strumienia płynu. Warunek β = 1, tj. m = 1 odpowiada przepływowi wokół punktu stagnacji. Przypadek 0 ≤ β ≤ 2, tj. m ≥ 0 odpowiada napływowi na klin o kącie rozwarcia 2α = πβ (Rys. 5). Sytuacja, gdy β = +∞, tj. m = –1 odpowiada przepływowi Hamela w konfuzorze, tj. radialnemu przepływowi między dwoma wzajemnie nachylonymi płytami w sytuacji, gdy wypływ lub dopływ płynu następuje z krawędzi przecinających się płyt. Przypadek –2 ≤ β ≤ 0, tj. –1/2 ≤ m ≤ 0 odpowiada spływowi z klina o kącie rozwarcia 2α = πβ (Rys. 6).

Generalnie, przypadki, dla których β > 0, tj. m > 0 odpowiadają przepływowi akceleracyjnemu, na- tomiast przypadki, dla których β < 0, tj. m < 0 odpowiadają przepływowi deceleracyjnemu.

Rys. 5. Obraz napływu na klin o kącie rozwarcia 2α



Rys. 6. Obraz spływu z klina o kącie rozwarcia 2α



Dla β > 0, tj. dla przepływy akceleracyjnego zagadnienie brzegowe (50) – (53) posiada rozwiązania regularne wskazujące na regularny charakter przepływu w warstwie granicznej. Rzeczywiście, badania do- świadczalne przeprowadzone w wielu laboratoriach potwierdziły, że w strefi e nadwietrznej opływu ciała stałe- go, gdzie występuje przepływ akceleracyjny, ruch płynu ma charakter regularny, bez żadnych osobliwości.

W przedziale 0 ≤ β ≤ 1 rozwiązanie zagadnienia (50) – (53) jest jednoznaczne. Dla β > 1 sytuacja komplikuje się trochę: oprócz rozwiązania regularnego istnieją rozwiązania periodyczne (Howarth, 1959).

Dla przedziału 1 < β < 2 istnieje jedno dodatkowe rozwiązanie periodyczne, natomiast poczynając od β = 2 istnieje nieskończony zbiór rozwiązań periodycznych. Wszystkie te dodatkowe rozwiązania mają charakter czysto formalny i nie opisują żadnego rzeczywistego przepływu płynu. Ich obecność może jednak budzić nie- pokój i stanowi jedynie zapowiedź złożoności zachowań rozwiązania zagadnienia brzegowego dla β < 0.

Dla przepływu deceleracyjnego, tj. dla β < 0 zagadnienie brzegowe (50) – (53) cechują liczne oso- bliwości (Howarth, 1959). Nie występuje tutaj jednoznaczność rozwiązania, a zamiast tego istnieją całe rodziny konkurencyjnych rozwiązań. Ich postać jest rozmaita, niekiedy nader złożona. Jedynie nieliczne z rozwiązań posiadają znaczenie fi zykalne i opisują realny ruch płynu. Rozwiązania opisujące przepływ rzeczywisty istnieją jedynie dla β nie mniejszych od wartości krytycznej:

# 1.988376

b @ - (54)

Wartość ta stanowi punkt bifurkacji rozwiązań. Dla wartości β < β_# istnieją wprawdzie rozwiązania równania (50), nie spełniają one jednak warunków brzegowych (51), (52), (53). Takie rozwiązania uznać należy za ‘nieakceptowalne’, gdyż nie opisują one żadnego ruchu płynu.

Wieloznaczność rozwiązań oraz występowanie osobliwości w przypadku przepływu deceleracyjnego, tj. dla β < 0, wskazuje na istnienie rzeczywistych osobliwości w obszarze przepływu płynu. Osobliwości te odpowiadają powstawaniu punktów oderwania, w których warstwa graniczna odrywa się od powierzchni ciała stałego. Powstała w ten sposób linia lub powierzchnia oderwania stanowi linię lub powierzchnię oso- bliwą dla rozwiązań równań Prandtla.

Z matematycznego punktu widzenia oderwanie warstwy granicznej jest więc konsekwencją istnienia osobliwości rozwiązań równań Prandtla opisujących jej zachowanie w obszarze deceleracyjnym, podobnie jak powstawanie turbulencji jest konsekwencją niestateczności i bifurkacji rozwiązań równań Naviera- Stokesa.

4. Powstawanie przepływu wstecznego

Ze względu na wieloznaczność oraz występowanie osobliwości rozwiązanie zagadnienia brzegowego (50) – (53), nawet przy pomocy metod numerycznych, stanowi poważne wyzwanie. Dobrze znana metoda Rungego-Kutty nie może być tutaj zastosowana, gdyż odnosi się ona do zagadnień początkowych a nie brzegowych.

Jednym ze sposobów rozwiązania jest wykorzystanie tzw. metody strzałów (ang. schooting metod).

Jednakże bezpośrednie zastosowanie tej metody prowadzi zwykle do otrzymania jednego z licznych roz- wiązań ‘nieakceptowalnych’, nie opisujących żadnego rzeczywistego ruchu płynu. Dlatego też potrzebne jest wprowadzenie dodatkowych warunków, aby otrzymać rozwiązania ‘akceptowalne’, tj. posiadające konkretny sens fi zykalny.

Jednym z takich wymagań jest kontrola rotacji prędkości oraz jej zachowania w miarę oddalania się od sztywnej ścianki (Quartapelle, Scandroglio, 2006). Podane niżej rozwiązania uzyskane zostały przy pomocy tej metody.

Rys. 7 przedstawia uzyskane zmodyfi kowaną metodą strzałów rozwiązanie numeryczne zagadnienia brzegowego (50) – (53) dla regularnej warstwy granicznej dla parametru β = 10 , tj. dla przepływu akce- leracyjnego. Na rysunku pokazano przebieg zależności bezwymiarowej funkcji prądu (linia kropkowana), bezwymiarowej prędkości (linia ciągła) oraz bezwymiarowej rotacji prędkości (linia przerywana) w zależ- ności od wartości znormalizowanej zmiennej η.

Rys. 8 przedstawia ‘nieakceptowalne’ rozwiązanie numeryczne zagadnienia brzegowego (50) – (53) dla warstwy granicznej dla parametru β = – 0.05 , tj. dla przepływu deceleracyjego. Na rysunku pokazano przebieg zależności bezwymiarowej funkcji prądu (linia kropkowana), bezwymiarowej prędkości (linia ciągła) oraz bezwymiarowej rotacji prędkości (linia przerywana) w zależności od wartości znormalizowanej zmiennej η.

Rys. 9 przedstawia uzyskane zmodyfi kowaną metodą strzałów ‘akceptowalne’ rozwiązanie nume- ryczne zagadnienia brzegowego (50) – (53) dla warstwy granicznej przy wartości parametru β = – 0.12 , tj. dla przepływu deceleracyjego. Na rysunku pokazano przebieg zależności bezwymiarowej funkcji prądu (linia kropkowana), bezwymiarowej prędkości (linia ciągła) oraz bezwymiarowej rotacji prędkości (linia przerywana) w zależności od wartości znormalizowanej zmiennej η.

Rys. 10 przedstawia uzyskane zmodyfi kowaną metodą strzałów ‘akceptowalne’ rozwiązanie nu- meryczne zagadnienia brzegowego (50) – (53) dla warstwy granicznej w warunkach zarówno przepływu akceleracyjego jak i deceleracyjego. Na rysunku pokazano odpowiadającą rozmaitym, dodatnim i ujemnym wartościom parametru β rodzinę krzywych wyrażających przebieg zależności bezwymiarowej funkcji prądu od znormalizowanej zmiennej η.

Rys. 11 przedstawia uzyskane zmodyfi kowaną metodą strzałów ‘akceptowalne’ rozwiązanie nu- meryczne zagadnienia brzegowego (50) – (53) dla warstwy granicznej w warunkach zarówno przepływu zarówno akceleracyjego jak i deceleracyjego. Na rysunku pokazano odpowiadającą rozmaitym, dodatnim i ujemnym wartościom parametru β rodzinę krzywych wyrażających przebieg zależności bezwymiarowej prędkości od znormalizowanej zmiennej η.

Przedstawiony poniżej Rys. 12 pokazuje uzyskane zmodyfi kowaną metodą strzałów ‘akceptowalne’

rozwiązanie numeryczne zagadnienia brzegowego (50) – (53) dla warstwy granicznej w warunkach zarówno przepływu akceleracyjego jak i deceleracyjego. Na rysunku pokazano odpowiadającą rozmaitym, dodatnim i ujemnym wartościom parametru β rodzinę krzywych wyrażających przebieg zależności bezwymiarowej rotacji prędkości od znormalizowanej zmiennej η. Widać wyraźnie, że niezależnie od wartości parametru β wielkość rotacji prędkości jest ograniczona i zanika ona dla większych wartości zmiennej η, co odpowiada warunkowi zgodności wyrażającemu stopniowe przechodzenie brzegu warstwy granicznej w obszar prze- pływu zasadniczego.

Fig. 7. Uzyskane zmodyfi kowaną metodą strzałów rozwiązanie numeryczne zagadnienia brzegowego (50) – (53) dla regularnej warstwy granicznej dla β = 10

(tj. dla przepływu akceleracyjnego), (wg Quartapelle i Scandroglio, 2006)

Fig. 8. ‘Nieakceptowalne’ rozwiązanie numeryczne zagadnie- nia brzegowego (50) – (53) dla warstwy granicznej

dla β = – 0.05 (tj. dla przepływu deceleracyjnego), (wg Quartapelle i Scandroglio, 2006)

Fig. 9. Uzyskane zmodyfi kowaną metodą strzałów ‘akcep- towalne’ rozwiązanie numeryczne zagadnienia brzegowego

(50) – (53) dla warstwy granicznej dla β = – 0.12 (tj. dla przepływu deceleracyjnego), (wg Quartapelle

i Scandroglio, 2006)

Fig. 10. Uzyskana zmodyfi kowaną metodą strzałów

‘akceptowalna’ rodzina krzywych zależności bezwymiarowej funkcji prądu od znormalizowanej zmiennej η dla, idąc od dołu, kolejnych, malejących wartości parametru β = 10, 2,

0.5, 0, –0.1, –0.15, –018, dla przepływu regularnego, oraz dla kolejnych wartości parametru β = –0.18, –0.15, –0.1,

–0.05, –0.025, –0.01 dla przepływu odwróconego (wg Quartapelle i Scandroglio, 2006)



Na rysunkach 10 i 11 widać wyraźnie, że krzywe funkcji prądu i prędkości odnoszące się do prze- pływu regularnego określone są jedynie dla dodatnich wartości znormalizowanej zmiennej η. Oznacza to, że kierunek stycznego do sztywnej ścianki przepływu w warstwie granicznej jest zgodny z kierunkiem napływającego z zewnątrz strumienia płynu. Natomiast sytuacja, w której krzywe funkcji prądu i prędko- ści posiadają ‘wybrzuszenie’ i określone są również dla ujemnych wartości znormalizowanej zmiennej η oznaczają pojawianie się w warstwie granicznej przepływu odwróconego, w którym kierunek stycznego do sztywnej ścianki przepływu w warstwie granicznej jest przeciwny do kierunku napływającego z zewnątrz strumienia płynu. Z fi zykalnego punktu widzenia linia stanowiąca odpowiednik pierwszego pojawiającego się wybrzuszenia jest linią oderwania warstwy granicznej.

Taka sytuacja może się wydarzyć jedynie wtedy, gdy pojawi się linia osobliwa, która oddziela obszar przepływu regularnego zgodnego z napływającym strumieniem od obszaru wstecznego, o kierunku ruchu przeciwnym do napływającego strumienia. Potwierdza to wniosek przedstawiony już uprzednio, zgodnie z którym z matematycznego punktu widzenia oderwanie warstwy granicznej jest konsekwencją istnienia linii osobliwej w obszarze akceptowalnych rozwiązań równań Prandtla.

Należy zaznaczyć, że oderwanie warstwy granicznej nie występuje od strony nadwietrznej opływa- nych ciał. Ruch płynu ma tam charakter przepływu akceleracyjnego, co odpowiada dodatnim wartościom parametru β, dla których akceptowalne rozwiązania równania FS są zawsze regularne. Oderwanie wystąpić może natomiast od strony zawietrznej, gdyż ruch płynu ma tam charakter przepływu deceleracyjnego, co odpowiada ujemnym wartościom parametru β, dla których akceptowalne rozwiązania równania FS są często osobliwe.

Sytuacja taka odpowiada dobrze znanemu z literatury obrazowi oderwania warstwy granicznej po- kazanemu na Rys. 13.

Fig. 11. Uzyskana zmodyfi kowaną metodą strzałów

‘akceptowalna’ rodzina krzywych zależności bezwymiarowej prędkości od znormalizowanej zmiennej η dla, idąc od dołu,

kolejnych, malejących wartości parametru β = 10, 2, 0.5, 0, –0.1, –0.15, –018, dla przepływu regularnego, oraz dla kolejnych wartości parametru β = –0.18, –0.15, –0.1, –0.05,

–0.025, –0.01 dla przepływu odwróconego (wg Quartapelle i Scandroglio, 2006)

Fig. 12. Uzyskana zmodyfi kowaną metodą strzałów

‘akceptowalna’ rodzina krzywych zależności bezwymiarowej rotacji prędkości od znormalizowanej zmiennej η dla, idąc

od dołu, kolejnych, malejących wartości parametru β = 10, 2, 0.5, 0, –0.1, –0.15, –018, dla przepływu regular-

nego, oraz dla kolejnych wartości parametru β = –0.18, –0.15, –0.1, –0.05, –0.025, –0.01 dla przepływu odwróco-

nego (wg Quartapelle i Scandroglio, 2006)



Fig. 13. Obraz oderwania warstwy granicznej na gładkiej powierzchni



Na przedstawionym powyżej Rys. 13 widać wyraźnie, że w obszarze regularnym warstwy granicznej (jeszcze przed oderwaniem) składowa prędkości styczna do powierzchni ciała stałego wzrasta monotonicz- nie w głąb płynu w kierunku normalnym do powierzchni, natomiast ciśnienie spada wzdłuż stycznej do powierzchni, zgodnie z kierunkiem przepływu.

W punkcie separacji pochodna prędkości stycznej do powierzchni ciała stałego względem kierunku normalnego do powierzchni jest równa zeru, natomiast składowa normalna do powierzchni ‘eksploduje’, osiągając w tym miejscu bardzo duże wartości. W punkcie separacji ciśnienie osiąga wartość minimalną, stąd też jego pochodna względem kierunku stycznego do powierzchni przyjmuje wartość równą zeru.

W obszarze oderwania składowa prędkości styczna do powierzchni ciała stałego wzrasta początko- wo w głąb płynu w kierunku normalnym do powierzchni, lecz kierunek ruchu w warstwie granicznej jest przeciwny do kierunku zasadniczego strumienia płynu. Prędkość ta osiąga ujemną wartość maksymalną (tj. wartość minimalną), po czym zaczyna spadać co do bezwzględnej wartości osiągając wkrótce wartość

Fig. 14. Obrazy stacjonarnego opływu sfery dla rozmaitych wartości liczb Reynoldsa (wg Tanedy, 1956)

zero. Sytuacja taka odpowiada ‘podpływaniu’ płynu wzdłuż ścianki w kierunku przeciwnym do strumienia zasadniczego. Po przekroczeniu wartości zerowej prędkość dalej wzrasta, już teraz zgodnie z kierunkiem zasadniczego strumienia płynu, aż do umownego brzegu warstwy granicznej, w którym osiąga 99% (lub np.

99.9 %) wartości prędkości przepływu głównego. Ponieważ spadek ciśnienia jest zawsze zgodny z kierun- kiem przepływu, pochodna ciśnienia względem kierunku stycznego do ścianki jest w obszarze oderwania warstwy granicznej dodatnia.

Pozostaje jedynie wyjaśnić przyczynę występowania zjawisk oderwania warstwy granicznej i po- wstawania przepływu recyrkulacyjnego z fi zykalnego punktu widzenia.

W starszej literaturze można znaleźć opinię, że przyczyną oderwania warstwy granicznej jest nad- miar sił bezwładności w przepływającym płynie w stosunku do występujących tam sił tarcia wewnętrznego związanych z istnieniem lepkości. Taki pogląd sugerować mogą wyniki doświadczalne uzyskane podczas opływu sfery lub cylindra przez jednorodny strumień płynu (Rys. 14).

Dla małych liczb Reynoldsa Re przepływ pozostaje regularny nawet od strony zawietrznej. Jednakże poczynając od wartości Re równej kilkudziesięciu, od strony zawietrznej pojawia się oderwanie warstwy granicznej i zaczyna się tworzyć niewielki obszar recyrkulacyjny. Obszar ten ulega stopniowemu powięk- szeniu ze wzrostem liczby Reynoldsa Re.

Przedstawione tutaj ‘klasyczne’ wyjaśnienie zawodzi jednak w przypadku opływu brył ostrokrawędzi- stych, dla których oderwanie występuje zawsze na ostrej krawędzi, niezależnie od wartości Re (Rys. 15).

Wydaje się, że prawidłowe wyjaśnienie fi zykalnej przyczyny zjawiska oderwania warstwy granicznej przedstawił Batchelor (1967, 1985), ujmując to w następujące słowa:

”The separation phenomenon is implied by the situation in which a thin boundary layer adjoining a solid boundary is unable to reduce appreciably in the velocity of mainfl ow stream in the regular manner.

The reduction of external velocity occurs then by means of special methods as the separation of boundary layer and creation of systems of eddies. When the signifi cant reduction in velocity of the external stream

Fig. 15. Obrazy stacjonarnego opływu dysku prostopadłego do napływającego strumienia dla rozmaitych wartości liczb Reynoldsa

is appreciable, the transfer of vorticity from direct neighbourhood of a solid wall is often so rapid that the transfer of vorticity is not confi ned to the vicinity of the wall. Consequently, the surplus of vorticity is propagated then in a large zone away a solid body. Since the mainfl ow is almost irrotational and non–zero vorticity occurs in the boundary layer only therefore the large zone mentioned above should be regarded as a subzone of the boundary layer.”

Tak więc nadmiar niezbędnej do przyklejenia płynu do ścianki, a zarazem nie dającej się opanować wirowości, a nie bezwładność płynu jest przyczyną oderwania warstwy granicznej i powstawania przepły- wów wstecznych, także obszarów recyrkulacyjnych.

5. Analiza ruchu płynu w sąsiedztwie punktu oderwania

Analiza ruchu płynu w sąsiedztwie punktu oderwania jest problemem złożonym. Ponieważ w warstwie granicznej składowa styczna prędkości u jest dużo większa od składowej normalnej υ, dlatego też w punkcie oderwania x_# wartość υ musi ‘eksplodować’, a wartość pochodnej ∂υ/∂y musi być również ekstremalnie duża.

Spróbujmy przebadać, jak zachowują się rozwiązania równań Prandtla przed punktem oderwania x_# oraz za nim. Wprowadzając wskaźnik ⊥ jako odnoszący do dowolnej wielkości ‘przed oderwaniem’ oraz oznaczając prędkość prędkość w przepływie zasadniczym odpowiadającą punktowi oderwania przez U_# a jej pochodną przez U'_# wprowadźmy defi nicje następujących parametrów bezwymiarowych:

Bezwymiarowa skala odległości:

df #

'#

L U

=U (55)

Punktowa liczba Reynoldsa:

df #

Re# rLU

= m (56)

Bezwymiarowa odległość od punktu oderwania wzdłuż ścianki:

df x# x

x^{^} L

= - (57)

Bezwymiarowa odległość od punktu oderwania w kierunku normalnym do ścianki:

df Re

y y

L

^ = ^ (58)

Bezwymiarowa składowa prędkości styczna do ścianki:

df

#

u u

^ = u (59)

Bezwymiarowa składowa prędkości normalna do ścianki:

df

#

Re u

u^{^ = ^}u ⁽⁶⁰⁾

Bezwymiarowa prędkość strumienia zasadniczego:

df

#

U U

^ = U (61)

Bezwymiarowa funkcja prądu:

df Re

U L

^ ^

Y = ^ Y (62)

Bezwymiarowe ciśnienie:

df 2

P P rU

^ ^

= (63)

Równanie Prandtla (1) możemy wówczas zapisać w sposób:

2 2

u u P u

u_^ x^{^} u_^ y^{^} x^{^} y^{^}

^ ^ ^ ^

¶ ¶ ¶ ¶

- + = +

¶ ¶ ¶ ¶ (64)

Wyrażając gradient ciśnienia poprzez prędkość w przepływie zasadniczym

P U

x U x

^ ^

^ ^ ^

¶ ¶

¶ = - ¶ (65)

oraz przedstawiając bezwymiarowe składowe u_⊥ i υ_⊥ wektora prędkości w warstwie granicznej przy pomocy pochodnych bezwymiarowej funkcji prądu Ψ_⊥

(x y, )

u y

^ ^ ^

^ ^

= ¶Y

¶ (66)

(^{x ,y} ) u_^ ^{^} x^{^ ^}

^

= ¶Y

¶ (67)

otrzymamy:

( ) ² ( ) ( ) ² ( ) ³ ( )

2 3

, , , , ,

x y x y x y x y U x y

y x y x y U x y

^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^

^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^

¶Y ¶ Y ¶Y ¶ Y ¶ ¶ Y

- + = - +

¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ (68)

Warunki brzegowe dla powyższego równania różniczkowego są jak następuje:

(^{x y,} )_{y 0} ⁰

^ ^ ^ ^=

Y = (69)

( ) ( )

0

0

, _y , 0

y

u x y x y

y

^

^

^ ^ ^

^ ^ ^ =

^ =

=¶Y ¶ = (70)

( ) ( ^, )

, _y

y

x y

u x y U

y

^

^

^ ^ ^

^ ^ ^ ®¥ ^

^ ®¥

=¶Y =

¶ (71)

Zauważmy, że bezwymiarowa odległość od punktu oderwania x_⊥ przyjmuje wartości dodatnie przed punktem oderwania x_#, a wartość x_⊥ rośnie tym bardziej im jesteśmy dalej przed x_#.

Nieznaną funkcję wyrażającą zależność bezwymiarowej składowej stycznej prędkości u_⊥ od bezwy- miarowej odległości od ścianki y_⊥ w kierunku prostopadłym do ścianki w punkcie oderwania x_# wyrazić możemy w postaci szeregu nieskończonego (Goldstein, 1948):

( ) ( ) 2 3 4 5

2 3 4 5

0

0

, , ...

x

x

u x y x y a y a y a y a y

y

^

^

^ ^ ^

^ ^ ^ = ^ = ^ ^ ^ ^

=¶Y = + + + +

¶ (72)

Podobnie zrobić możemy z pochodną u_⊥ względem y_⊥:

( ) ( )

( )

2 2/3 1/2 3/4 5/4

1 2 3 4

2

0 0

, ,

2 ...

y y

u x y x y

x x x x

y y a a a a

^ ^

^ ^ ^ ^ ^ ^

^ ^ ^ ^

^ = ^ =

¶ ¶ Y

= = + + + +

¶ ¶ (73)

Wprowadźmy teraz nowe zmienne bezwymiarowe zdefi niowane w sposób:

4x

h = _^ (74)

df

2 1/4

y x x^{^}

^

= (75)

Zagadnienie brzegowe (68) – (71) spróbujemy rozwiązać metodą sami-perturbacyjną. Będziemy poszukiwać nieznanej bezwymiarowej funkcji prądu Ψ_⊥ w postaci następującego szeregu semi-perturba- cyjnego (Goldstein, 1948):

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2/3 3 2 3 4

0 1 2 3 4

2 x f h x h xf f h x f h x f h ...

^ é ù

Y = ë + + + + + û (76)

gdzie f₀(η), f₁(η), f₂(η), ... jest ciągiem funkcji, które muszą być wyznaczone. Zmienna ξ jest tutaj zarazem parametrem semi-perturbacyjnym.

Podobnie, będziemy poszukiwać nieznanej bezwymiarowej prędkości stycznej u_⊥ w postaci nastę- pującego szeregu semi-perturbacyjnego zawierającego ciąg pierwszych pochodnych funkcji f₀(ξ ), f₁(ξ ), f₂(ξ ), ... :

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2 2 3 4

0 1 2 3 4

2 ' ' ' ' ' ...

u f f f f f

y^{^} x h x h x h x h x h

^ ^

¶Y é ù

= ¶ = ë + + + + + û (77)

Podstawiając rozwinięcia semi-perturbacyjne (76), (77) do równania (68) i dobierając wyrażenia z jednakowymi wartościami potęg zmiennej ξ otrzymamy ciąg równań różniczkowych dla poszczególnych funkcji f₀(η), f₁(η), f₂(η), ... (Goldstein, 1948).

Dla funkcji f₀(η) będzie to równanie:

( ) ( ) ( )

{

( )

}

²

0''' 3 0 0" 2 0' 1

f h - f h f h + f h = (78)

Warunki brzegowe dla wszystkich równań zawierających funkcje f_n(η) są:

( ) ₀ 0 fn

h h₌ = (79)

( ) ₀

' 0

fn

h h₌ = (80)

Ponadto zachodzi ważna zależność:

( ) /2 2 2

lim fⁿ'_n 2ⁿ _n

h a

h

h ^{+ +}

®¥ = (81)

Rozwiązaniem nieliniowego równania (78) spełniającym warunki brzegowe (79), (80) jest:

( ) ³

0 1

f h = 6h (82)

Stąd, korzystając z zależności (81), łatwo wyznaczymy współczynnik a₂ szeregu (72):

0( ) 0

2 2

2

' 1

lim 2

2

f a a

h

h h

®¥ = Þ = (83)

Dla funkcji f₁(η) otrzymamy następujące równanie:

( ) ³ ( ) ² ( ) ( )

1''' 1 1" 2 1' 4 1 0

2 5

f h - h f h + h f h - h f h = (84)

Jest to równanie liniowe. Jego rozwiązaniem spełniającym warunki brzegowe (79), (80) jest:

( ) ²

1 1

f h =a h (85)

Korzystając z zależności (81) łatwo wyznaczymy współczynnik a₃ szeregu (72):

1( ) 1/2

3 3

3

lim f' 2 0

a a

h

h h

®¥ = Þ = (86)

Dla funkcji f₂(η) otrzymamy następujące równanie:

( ) ³ ( ) ² ( ) ( ) ( ) ( ) { ( )}²

2''' 1 2" 3 2' 5 2 4 1 1" 2 1'

f h - 2h f h + h f h - hf h = f h f h - f h (87) Jest to również równanie liniowe, tym razem niejednorodne. Jego rozwiązaniem spełniającym warunki brzegowe (79), (80) jest:

( )

2 12 5

2 1

f h =a h -a15 h (88)

Korzystając z zależności (81) łatwo wyznaczymy kolejny współczynnik a₄ szeregu (72):

2( ) 2

4 4 1

4

' 1

lim 2

6

f a a

h

h a

h

®¥ = Þ = - (89)

Dla funkcji f₃(η) otrzymamy następujące równanie:

( ) ³ ( ) ² ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

3''' 1 3" 7 3' 6 3 4 "2 1 5 2 1"

2 2

f h - h f h + h f h - h f h = f h f h + f h f h ( ) ( )

2 1

7 'f h f' h

- (90)

lub, po podstawieniu wyrażeń (85) i (88) na funkcje f₁(η) i f₂(η):

( ) ³ ( ) ² ( ) ( ) ^{2 3}

3''' 1 3" 7 3' 6 3 1 10 2 3 1

2 2 4

f h - h f h + h f h - h f h = -a h ^æçè a - a h æç

è (91)

Generalnie, poczynając od n = 2, równania różniczkowe dla kolejnych funkcji f_n(η) można wyrazić w sposób:

( ) ^{1 3} ( ) ^{4 2} ( ) ( ) ( ) ( )

''' " ' 3

2 2

n n n n n

f h - h f h +n⁺ h f h - n+ hf h =G h (92)

gdzie G_n(η) wyraża się w sposób rekurencyjny w postaci:

( )

{

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

}

df 1

/4 0

3 " 3 ' ' , 2

n

n m n m m n m n

m

G h ^- n m f h f _- h n m f h f _- h p n

=

=

å

- + - - + + ³ ⁽⁹³⁾

Są to równania liniowe, mogą być więc przynajmniej teoretyczne rozwiązane metodami analitycz- nymi. Rozwiązania takie wyrażają się jednak skomplikowanymi wzorami i poczynając od n = 3 zawierają następujące wyrażenia w postaci szeregów nieskończonych:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

df 4 1

0

1/2 /4 5/4

8 4 1 1/ 2 / 4 5 /4

n m m

m

m n

g

m n m

h ^¥ h ⁺

=

G - - G

= -

å

- G - - G + ⁽⁹⁴⁾

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

df 4

0

3/4 /4 3/4

8 2 1 3 / 4 / 4 3/4

n m m

m

m n

h

m n m

h ^¥ h

=

G - - G

= -

å

- G - - G + ⁽⁹⁵⁾

gdzie Γ(...) jest funkcją Eulera zdefi niowaną w sposób:

( )^{df 1}

0

z ^¥tz^{- -}e d^t t

G = (96)

Rozwiązanie równania (91) spełniające warunki brzegowe (79), (80) wyraża się w postaci:

( ) ² ( ) ^{2 4} ( )

3 3 1 2 3 8 1 1 3

4 1

3 4

f h =a h + a a héë -g h ûù- a ^éêë + h -h h ^ùúû (97) lub, po podstawieniach wyrażeń (94), (95):

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

2 4 1

3 3 1 2

0

5 / 4 5 / 4

4 8 4 1 5 / 4 5 /4

m m m

f m

m m

h a h a a h ^¥ h ⁺

=

é G G - ù

= + ê + ú

- G - G +

ê ú

ë

å

û

( ) ( )

( ) ( ) ( )

2 4 4

1

0

3 / 2 3/ 4

8 1

3 1 4 8 2 1 3/ 2 3/ 4

m m

m

m

m m

a h ^¥ h

=

é G G - ù

- ê + + ú

- G - G +

ê ú

ë

å

û ⁽⁹⁸⁾

Korzystając z zależności (81) możemy teraz wyznaczyć współczynnik a₅ szeregu (72):

( )

( )

3 3/2 3

5 5 1

5 2

' 2

lim 2

40 5/4

f a a

h

h p a

h

®¥ = Þ =

G (99)

Wyznaczenie współczynnika a₅ pozwala na wyznaczenie współczynnika α₂ szeregu (73). Otrzymu- jemy go w postaci:

( )

4 3/2

2

2 3 1

2 5 5/4

a = p a

G (100)

Dla kolejnej funkcji f₄(η) otrzymamy następujące równanie:

( ) ³ ( ) ² ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

4 4 4 4 3 1 2 2

''' 1 " 4 ' 7 4 " 5 "

f h - 2h f h + h f h - hf h = f h f h + f h f h ( ) ( ) ( ) ( )

1 3 3 1

6 "f h f h 8 'f h f' h

+ - -4' f

{

2 ( )h

}

²+p1 (101)

Rozwiązanie powyższego równania spełniające warunki brzegowe (79), (80) jest jak następuje:

( ) ( ) ( )

2 3/2

4 4

1 3 4

32 3 2 7

3 a l h^é 28 p5/4 ^ì1 24h h h ^üù

- ê + í + - ýú

G î þ

ê ú

ë û

( )

( ) {

( )

}

( )

3 7 2 2 4

4 4 1 1 3 1 4 2 1 4

16 7

2 1

6 105 7 24

f p h g h

h a h= + ^æççèh - + a -a a h- h - a a í^ìî + h - h ^üýþ æç ç

è

(102)

gdzie

( ) ( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( )

4 3 2

2 3 3/4 3/ 2

8 2 4 4 3 3/ 2 1

m m m

m m

m m m

l h ^¥ h ⁺

=

ì - G G - ü

ï ï

= í ý

+ + G - G +

ï ï

î þ

å

( )

( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( ) ( )

2 3/2

4 4 3

1

4 5 5 / 4 5/ 4

3 2

28 5 / 4 8 4 4 4 3 5/ 4 1 5/ 4

m m

m

m m

m m m m

p ^¥ h ⁺

=

ì - G G - ü

ï ï

- í ý

G

å

ïî + + G - G + G + ïþ ⁽¹⁰³⁾

Korzystając z zależności (81) możemy teraz wyznaczyć współczynnik a₆ szeregu (72):

( )

( )

4 4 2 4 1

6 6 1

6 4

' 1 7

lim 2

9 600 5/4 360

f p

a a

h

h p a

h

®¥

ì ü

ï ï

= Þ =í - ý -

ï G ï

î þ

(104)

Wyznaczenie współczynnika a₆ pozwala na wyznaczenie współczynnika α₃ szeregu (73). Otrzymu- jemy go w postaci:

( )

( )

3 3

3 6 35 8 2 1

400 5/4

a = p - a

G (105)

Wyznaczanie kolejnych funkcji f₅(η), f₆(η), f₇(η), ... można kontynuować dalej, lecz należy zadawać sobie sprawę z narastających stopniowo trudności rachunkowych. Podobnie, wyznaczać można kolejne współczynniki a₇, a₈, a₉, ... oraz α₄, α₅, α₆, ... dla szeregów (72), (73).

Spróbujmy teraz przebadać, jak zachowują się rozwiązania równań Prandtla za punktem oderwania x_#. Wprowadzając wskaźnik ◊ jako odnoszący do dowolnej wielkości ‘za oderwaniem’ oraz wprowadźmy defi nicje następujących parametrów bezwymiarowych:

Bezwymiarowa odległość od punktu oderwania wzdłuż ścianki:

df x x#

x x

à = -L = - ^ (106)

Bezwymiarowa odległość od punktu oderwania w kierunku normalnym do ścianki:

df Re

y y y

L

à= ^ = ^ (107)

Bezwymiarowa składowa prędkości styczna do ścianki:

df ,#

x x

u u u

à = u = ^ (108)

Bezwymiarowa składowa prędkości normalna do ścianki:

df

#

Re u

u u

à = ^ u = ^ (109)

Bezwymiarowa prędkość strumienia zasadniczego:

df

#

U U U

à = U = ^ (110)

Bezwymiarowa funkcja prądu:

df Re

U L

à ^ ^

à

Y = Y = Y (111)

Bezwymiarowe ciśnienie:

df 2

P P P

rU

à ^

à

= = (112)

Równanie Prandtla (1) możemy wówczas zapisać w sposób:

2 2

u u P u

u_à x^à u_à y^à x^à y^à

à à à à

¶ ¶ ¶ ¶

+ = - +

¶ ¶ ¶ ¶ (113)

Wyrażając gradient ciśnienia poprzez prędkość w przepływie zasadniczym

P U

x U x

à à

à à à

¶ ¶

¶ = ¶ (114)

oraz przedstawiając bezwymiarowe składowe u_◊ i υ_◊ wektora prędkości w warstwie granicznej przy pomocy pochodnych bezwymiarowej funkcji prądu Ψ_◊

(x y, )

u u

y

à à à

à ^

à

= ¶Y =

¶ (115)

(x y, ) u_à ^à x^{à à} u_^

à

= ¶Y = -

¶ (116)

otrzymamy:

( ) ² ( ) ( ) ² ( ) ³ ( )

2 3

, , , , ,

x y x y x y x y U x y

y x y x y U x y

à à à à à à à à à à à à à à à à

à à à à à à à à

¶Y ¶ Y -¶Y ¶ Y = ¶ +¶ Y

¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ (117)

Warunki brzegowe dla równ. (117) są jak następuje:

(x y, )_{y 0} 0

à à à à=

Y = (118)

( ) ( )

0 0

, _y , 0

y

u x y x y

y

à

à

à à à

à à à =

à =

= ¶Y =

¶ (119)

( ) ( ^, )

, _y

y

u x y x y U

y

à

à

à à à

à à à ®¥ à

à ®¥

= ¶Y =

¶ (120)

Zauważmy, że bezwymiarowa odległość od punktu oderwania x_◊ przyjmuje wartości dodatnie za punktem oderwania x_#, a wartość x_◊ rośnie tym bardziej im jesteśmy dalej za x_#.

Nieznaną funkcję wyrażającą zależność bezwymiarowej składowej stycznej prędkości u_◊ od bezwy- miarowej odległości od ścianki y_◊ w kierunku prostopadłym do ścianki w punkcie oderwania x_# wyrazić możemy w postaci szeregu nieskończonego (Goldstein, 1948):

( ) ( ) _{2 3 4 5}

3 4 5

0

0

, 1

, ...

x 2

x

u x y x y y b y b y b y

y

à

à

à à à

à à à = à à à à

à =

= ¶Y = + + + +

¶ (121)

Podobnie zrobić możemy z pochodną prędkości u_◊ względem y_◊:

( ) ( )

( )

2 2/3 1/2 3/ 4 5/ 4

1 2 3 4

2

0 0

, ,

2 ...

y y

u x y x y

x x x x

y y g g l g

à à

à à à à à à

à à à à

à = à =

¶ ¶ Y

= = + + + +

¶ ¶ (122)

Wprowadźmy teraz nowe zmienne bezwymiarowe zdefi niowane w sposób:

df 4 x

h_à = _à (123)

df

2 1/4

y x_à ^àx

à

= (124)

Zagadnienie brzegowe (117) – (120) spróbujemy rozwiązać metodą sami-perturbacyjną, podobnie jak dla zagadnienia brzegowego (68) – (71). Będziemy poszukiwać nieznanej bezwymiarowej funkcji prądu Ψ_◊ w postaci następującego szeregu semi-perturbacyjnego (Goldstein, 1948):