Szeregowanie zadań z przezbrojeniami i czasami wykonywania zadań zależnymi od zasobów - minimalizacja sumy ważonych czasów zakończenia wykonywania zadań

(1)

ZESZYTY NAUKOW E POLITECHNIKI ŚLĄSKIEJ Seria: AUTOMATYKA z. 134

2002 N r kol. 1554

Adam JANIAK, Tom asz K RYSIAK, Maciej LICHTENSTEIN Politechnika W rocławska

SZEREGOWANIE ZADAŃ Z PRZEZBROJENIAMII CZASAMI WYKONYWANIA ZADAŃ ZALEŻNYMI OD ZASOBÓW -

MINIMALIZACJA SUMY WAŻONYCH CZASÓW ZAKOŃCZENIA WYKONYWANIA ZADAŃ

Streszczenie. W pracy rozpatrzono dw a jednom aszynow e problem y szeregowania przy kryterium m inim alizacji sumy w ażonych czasów zakończenia w ykonywania zadań oraz ograniczeniu na całkow itą ilość dostępnego zasobu. W pierwszym problemie czasy przezbrojeń są zależne od ilości przydzielonego zasobu, występuje tutaj także w ym óg technologii grupowej. W drugim problem ie czasy w ykonywania zadań są zależne od zasobu, natom iast przezbrojenia są równe zero. W ykazano równoważność obu problem ów dla malejącej funkcji liniowej opisującej zależność czasu przezbrojenia oraz czasu wykonywania od zasobu. D la rozpatrywanych problemów w ykazano szereg własności określających optymalne rozw iązania ich szczególnych przypadków oraz własności pom ocnicze wykorzystane przy konstrukcji algorytmów heurystycznych rozwiązujących te problemy.

SCHEDULING JOBS W ITH RESOURCE DEPENDENT SETUP AND PROCESSING TIM ES - TOTAL W EIGHTED COM PLETION TIM E MINIMIZATION

S um m ary. The paper deals w ith tw o single machine scheduling problem s considered for the sum o f w eighted com pletion tim es m inimization. In the first problem , the setup times are resource-dependent and there is group technology restriction. In the second one the processing tim es are resource-dependent and the setup tim es are equal to zero.

It is shown that both problem s are equivalent if both the setup and processing tim es are decreasing resource dependent linear functions. W e prove some properties for the considered problem s, based on w hich som e special cases o f the considered problem can be solved optim ally. These properties are also used to construct som e heuristic algorithms solving the general cases o f the problem s under considerations. The efficiency o f the heuristic algorithms is tested experimentally.

(2)

210 A. Janiak, T. Krysiak, M. Lichtenstein

1. Wprowadzenie

O ptym alizacja procesu produkcyjnego je st bardzo często zw iązana z przydziałem pew nego ograniczonego zasobu do w ykonywanych zadań lub maszyn. Zasób może mieć charakter ciągły (np. paliw o, energia), lub dyskretny (np. dodatkowe narzędzia, pracownicy).

Sposób rozdziału zasobu w pływ a na w artość kryterium charakteryzującego jakość optym alizow anego procesu, dlatego też znaczącą rolę w śród problem ów szeregowania zadań p ełn ią problem y z rozdziałem zasobów . W ostatnich latach problem y te były często rozw ażane w literaturze naukowej. W pracy [2] przedstawiono szeroki przegląd problemów z rozdziałem zasobów . Opisano tam jednom aszynow e i w ielom aszynowe problemy, w których czasy w ykonyw ania zadań, czasy przezbrojeń lub term iny dostępności zadań zależą od dodatkowego zasobu. Przykłady procesów, w których mam y do czynienia z problemem rozdziału zasobów , m ożna znaleźć opisując np. proces produkcji elem entów plastikowych [3]

czy też proces elektrorafinacji miedzi [2],

W niniejszej pracy rozw ażane są dw a jednom aszynow e problem y z rozdziałem zasobów . W pierw szym z nich liniow a zależność od dodatkowego zasobu charakteryzuje czasy przezbrojeń, natom iast w drugim czasy wykonywania zadań. Celem obu problemów je st m inim alizacja sum y w ażonych czasów zakończenia wykonywania zadań.

D alsza część pracy je st zorganizow ana następująco. Rozdział 2 zaw iera sformułowania dw óch rozw ażanych w pracy problem ów. W rozdziale 3 w ykazano, że oba problemy są sobie równow ażne. W rozdziale 4 zam ieszczono w łasności określające optymalne rozwiązania dla szczególnych przypadków badanych problem ów oraz własności pom ocnicze wykorzystane przy konstrukcji algorytm ów heurystycznych rozwiązujących te problem y. W rozdziale 5 opisano skonstruow ane algorytmy, natom iast w rozdziale 6 dokonano eksperymentalnej analizy ich efektyw ności. Rozdział 7 zaw iera krótkie podsumowanie.

2. Sformułowanie problemów

D any je s t zbiór n niepodzielnych i niezależnych zadań dostępnych w chwili f=0, które m a ją być w ykonane na pojedynczej maszynie. K ażde zadanie je st opisane przez wag?

wj>0 oraz czas w ykonyw ania P j ( u j ) . Czas w ykonyw ania zadania pj dany je s t jako nierosnąca liniowa funkcja zależna od ilości przydzielonego zasobu Uj, 9-

(3)

Szeregowanie zadań z przezbrojeniami.. 211

Pj(uj) = b j - a j U j , gdzie bj>0 oraz aj>0 s ą zadanym i parametrami m odelu. Ze w zględów technologicznych przyjm uje się, że 0 < Uj < u j , natom iast w celu zapew nienia dodatniej wartości czasu w ykonyw ania zadania zakłada się, że 0 < ,U j< ,b j/c ij, gdzie Uj je st maksymalną ilością zasobu, ja k ą m ożna przydzielić do zadania j . Zakłada się również, że istnieje ograniczenie na całkow itą ilość dostępnego zasobu Każde zadanie należy do jednej rodziny f f = 1 Zadania z tej samej rodziny s ą wykonywane łącznie, tzn. istnieje w ym óg technologii grupowej (GT). W ykonanie pierwszego zadania z danej rodziny wymaga w cześniejszego przygotow ania (przezbrojenia) maszyny. W zw iązku z tym, dla każdej rodziny/ określa się czas przezbrojenia maszyny s/ja k o nierosnącą liniow ą funkcję zależną od ilości przydzielonego zasobu v/, tj. s / (v/ ) = g / - h / v/ , gdzie g />0 oraz h f >0 są zadanymi param etram i m odelu. Ponadto, ze w zględów technologicznych, zachodzą następujące warunki: 0 < v f < v / , v / < g / l h / , 0 < ^ _ [v/ ś Z ś , gdzie V/ oraz Z oznaczają odpowiednio m aksym alną ilość zasobu, ja k ą m ożna przydzielić do przezbrojenia sy oraz całkowitą ilość zasobu dostępną do realizacji przezbrojeń zadań.

Problem polega na znalezieniu kolejności wykonywania rodzin, kolejności wykonywania zadań w obrębie tych rodzin oraz takiego rozdziału zasobu, które m inim alizują wartość sumy w ażonych czasów zakończenia wykonywania zadań.

W niniejszej pracy rozpatryw ane będ ą dwa problem y, które w notacji trójpolowej [1]

są opisane następująco:

l\s/ (v,) = g/ -h/ v/ ,GT,YJvJ<;Z\YJwJCj (1)

l\Pj(Uj) = bj-aJuJ,Y4uJ<R\YjwjCj ■

(

2

) Zakłada się przy tym, że w problem ie (1) czasy wykonywania zadań s ą z góry zadanymi w artościam i i nie zależą od ilości przydzielonego zasobu, natom iast w problem ie (2) liczba rodzin je s t rów na liczbie zadań, a przezbrojenia maszyny s ą rów ne zero. W obu problemach m inim alizacji podlega sum a w ażonych czasów zakończenia wykonywania zadań.

(4)

3. Tożsamość problemów

Ze w zględu na to, że w problem ie (1) występuje ograniczenie technologii grupowej, cale rodziny zadań - łącznie z czasem przezbrojenia - m ożna traktować ja k pojedyncze zadania. D zięki tem u m ożna wykazać, że problem (1) je st tożsam y z problem em (2).

T w ie rd z e n ie 1. Problem 11 Sj (v^ ) = - h/ v/ , G T, Vj 5 Z | ^ wjCj j est równoważny

problem ow i \ \ p J {Uj) = b j - a JUj,'^JUj < R | .

D ow ód. Załóżm y, że dla problem u (1) w obrębie rodziny / zadania s ą uszeregowane według niem alejących w artości p / w j (reguła SW PT [4]). B ez straty ogólności m ożem y założyć, że kolejność uszeregow ania zadań w obrębie rodziny / odpow iada perm utacji naturalnej, tj.

1,2,...,«/. Załóżm y ponadto, że m aszyna rozpoczyna wykonywać zadania należące do rodziny / w m om encie S/. W ykonanie w szystkich zadań z rodziny / spow oduje, że wartość kryterium

w zrośnie o Wf = Z " i t wjCj = Z " l i + i / + Z l i P i \ W ielkość Wf m ożna przekształcić

następująco: W , = + sf ~ Af Sdzie oraz AJ = Y l U P iT j'.\wi' Łatw o zauw ażyć, że w artość w yrażenia A j zależy jedynie od uszeregow ania zadań w obrębie rodziny / (z założenia s ą one uszeregow ane w g reguły SW PT). Zatem w ykonanie wszystkich zadań z rodziny / w m om encie 5 / je st równoważne (ze względu na wartość kryterium)

w ykonaniu pojedynczego zadania o następujących parametrach

^ / = i / + E " . > / = S / - V / + Z w A or az m/ = Z m w- - P o j m u j ą c u , = v f , a,=h,

oraz bj = g f + p , , otrzym ujem y czas wykonywania zadania p's = ó ; - « / “/■

Szeregow anie 5 takich zadań odpow iada problem ow i (2). R ozw iązanie problem u (2) jest w ięc rów now ażne rozw iązaniu problem u ( 1), różnią się one jedynie w artością kryterium (dokładnie o A, ).

W dalszej części pracy będziem y rozpatrywali problem (2), ponieważ jest on łatw iejszy w analizie w stosunku do problem u (1). Jednak, na podstaw ie Twierdzenia 1, w szystkie w nioski dotyczące problem u (2) odnoszą się także do problem u ( 1).

(5)

Szeregowanie zadań z przezbrojeniam i.. 213

4. Własności problemu

W ła s n o ś c i [2], D la problem u 1\ P j = bj - a j U j , ^ U j ś R \ ^ TwjCj , przy ustalonej perm utacji zadań, optymalny rozdział zasobu m ożna wyznaczyć w czasie 0(n2) stosując następujący algorytm:

Algorytm 1.

KrokO: Inicjalizacja: J : = {1,2,...,«}, R : = R .

Krok 1: Znajdźy* takie, że: /) = w*(')}-

Krok.-2: Podstaw u ^ . ) = R := R - oraz J : = . / \ {/'*}.

Krok 3: Jeżeli J — 0 lub R = 0, to STOP, w przeciw nym wypadku przejdź do K roku 1.

Własność 2. D la problem u 1 | P j - b j - OjUj^ U j < R I ^ W jCj , przy ustalonym rozdziale zasobu, uszeregowanie zadań w edług niem alejących wartości p / w j (reguła SW PT [4]) je st optymalne.

Rozpatrywany problem przy ustalonym rozdziale zasobu sprowadza się do klasycznego problem u szeregowania zadań rozpatrywanego w [4] i rozwiązyw anego za pomocą reguły SW PT.

Własność 3. W rozw iązaniu optymalnym problem u 1 1 P j = b j < R | WjCj , wszystkim zadaniom (z wyjątkiem jednego) przydzielona je st m aksym alna lub m inim alna ilość zasobu jedno zadanie m oże otrzym ać pośrednią ilość zasobu.

Dowód. Dowód pow yższej w łasności wynika z zasady działania A lgorytm u 1. W algorytmie tym, jeżeli tylko m ożna, przydzielam y zadaniom m aksym alną m ożliw ą ilość zasobu, tj. u , . Zatem, tylko jedno zadanie (ostatnie spośród tych, które otrzym ają zasób) m oże dostać wartość mniejszą, niż w spom niane u } . Z W łasności 1 wynika, że Algorytm 1 je st optymalny, zatem każdy optym alny rozdział zasobu spełnia W łasność 3.

Własność 4. Jeżeli T i j - u dla j = l , , . . , n oraz R = k - u dla k e Z + , w tedy problem ]\P j= bj - a JU j , Y i Uj < R \ WjCj m ożna rozw iązać optym alnie w czasie 0 { n ) ,

(6)

D ow ód. Z W łasności 3 wynika, że w rozpatrywanym przypadku każde zadanie albo dostanie dokładnie u zasobu, albo nie dostanie go wcale. Oczywiste je st też, że zasób dostanie dokładnie k zadań z n. Liczba w szystkich m ożliwych kom binacji rozdziału zasobu wynosi

, a złożoność obliczeniow a procedury sprawdzającej te kom binacje wynosi 0 ( n k).

5. Algorytmy

W celu rozw iązania problem u 1| p j = bj - a ¡u , <, R \ ^ j wJCJ skonstruowano trzy algorytm y heurystyczne H i, H 2 oraz H 3 w ykorzystujące w łasności wykazane w poprzednim rozdziale. Zasadę działania algorytm u Hi m ożna przedstaw ić następująco:

przydzielaj m aksym alną m ożliw ą ilość zasobu do zadań (W łasność 3) oraz przez cały czas działania algorytm u utrzymuj w arunek uszeregow ania zadań w g reguły SW PT (Własność 2).

Jak łatwo zauważyć, przydział zasobu u ^ do zadania n(j) m oże spowodow ać zaburzenie reguły SW PT. W obec tego zachowanie reguły SW PT wym aga przesunięcia zadania iij) na odpow iednią pozycję, dla której reguła SW PT je st nadal spełniona. Wykorzystując regułę SW PT, m ożna dla każdego zadania wyznaczyć progow ą w artość zasobu przydzielenie której spow oduje, że zadanie n(j) zostanie przesunięte w perm utacji n o k pozycji w lewo

jA ., = _jTd_ f k l Z ć k ź I , Jeżeli zadanie rdj), otrzym ując u zasobu, zostanie przesunięte o a -U) a *U) w -U-i‘)

k pozycji w lewo, to wartość kryterium zm niejszy się o wartość

0 + W algorytmie H, powyższe

rozw ażania wykorzystano w taki sposób, że w danej iteracji algorytm u wybieramy takie zadanie j oraz przydzielam y m u ta k ą ilość zasobu u, dla których w artość wyrażenia Zj{u)lu jest największa. Jednocześnie modyfikujem y perm utację tak, aby spełniona była reguła SWPT.

Form alny opis algorytm u H | je st dany poniżej:

A lg o ry tm H i

K rok 0: Podstaw: uj = 0 dla j = 1,2,...,«. Uszereguj zadania w edług reguły SWPT.

K rok 1: D la uzyskanej permutacji w yznacz w artość funkcji celu.

K rok 2: W yznacz progow e wartości zasobów:

(7)

Szeregowanie zad ań z przezbrojeniami.., 215

<U) = — ' dlaj = 1,2,...,«; k = 1 , 2 1 . a *U) a «U) w*u-*)

Krok 3: W yznacz zysk w w artości funkcji celu po przydzieleniu zadaniu rdj) zasobu u:

7 ( , A - i z *u) s d y

u >

gdzie z*0)(m) =

u a ^ Y l ^

+ w»C/)Sm ^ 0 - 0 "

Pi*

y ) Ł w*(y-/) ■ i z ,( « ) l ,

,

Krok 4: W y z n a c z y = arg m axi m a x ---} , j oraz A .

0S»SH i ISJSji u

Krok5: Jeżeli u = "„(/)> zadanie a(/*) dostaje u zasobu, w przeciwnym przypadku szukamy zadania, którem u m ożna przydzielić u zasobu i przyniesie ono największy zysk - zadanie takie oznaczam y jako j ' . Przesuń zadanie f o k ’ pozycji w perm utacji w lewo. W artość funkcji celu m aleje o z * ^ ( u ' ).

Krok 6: R : = R ~ u " .

Krok 7: Jeżeli R > 0 , to przejdź do ¡Kroku 2, w przeciwnym razie STOP.

Złożoność obliczeniowa poszczególnych kroków algorytmu Hi je st następująca: K rok 0 wyznaczamy w czasie 0(«log«), K rok 1 - 0(ń ), K rok 2 - 0 ( « 2), Krok 3 - 0(«log«), K rok 4 - 0(h), Kroki 5 i 6 to 0 (1 ). K roki 2 - 6 wykonujem y co najwyżej n razy (każdem u zadaniu zasób możemy przydzielić najwyżej raz - W łasność 3), a w ięc złożoność obliczeniow a całego algorytmu wynosi co najwyżej 0 ( « 3).

Działanie algorytm u H 2 m ożna przedstawić następująco.

Algorytm H2

Krok 0: Podstaw Uj = 0 dla j = 1,2,...,«.

Krok 1: Uszereguj zadania w edług reguły SWPT.

Krok 2: Przydziel cały dostępny zasób optym alnie w edług Algorytm u 1. O trzym ana perm utacja po przydziale zasobu nie spełnia reguły SWPT.

Kroki 1 i 2 powtarzaj, dopóki następuje zm niejszenie w artości kryterium.

Doświadczalnie stw ierdzono, że Algorytm H 2 działa najlepiej, gdy ja k o kryterium stopu przyjmuje się brak popraw y wartości funkcji celu w dw óch następujących po sobie iteracjach (za brak poprawy przyjm uje się zm ianę w artości kryterium o nie więcej niż

£ = 0,0001). Zastosow ane kryterium stopu nie pozw ala określić złożoności obliczeniowej powyższego algorytmu.

(8)

Dokładny opis działania algorytmu H3 je st dany poniżej.

A lg o ry tm H 3

K rok 1: Uszereguj zadania w edług reguły S WPT.

K rok 2: D la otrzymanej perm utacji przydziel zasób optym alnie w edług Algorytmu 1.

Złożoność obliczeniow a algorytmu H 3 wynosi 0 { n 2).

6. Analiza eksperymentalna

W eksperym entach generowano instancje dla trzech wartości R : e (0; 0,250], n

R2 e (0 ;0 ,5 U ] oraz R} e ( 0 ;0,75C7], gdzie U = ^ U j . D la każdej w artości R generowano j -1

instancje problem u dla n = 9, 20, 100 i 200 zadań. W artości param etrów problem u losowanoz następujących przedziałów : cij e [l; 10], bj e [0;100], Wj e [l;10] oraz Uj s Dla n= 9 zadań losowano po 20 instancji problem u i dla każdej obliczano błąd względny

Fw - F 0

t]hi = ---100% , gdzie Fhj oznacza rozw iązanie dostarczone przez algorytm HP F0

{ j = 1,2,3), natom iast F 0 oznacza rozw iązanie optymalne uzyskane za pom ocą przegląda zupełnego. W tablicy 1 przedstaw iono uśrednione wartości błędu względnego.

Tablica 1 U średnione wartości błędu względnego t/hj dla n=9 zadań i różnych wartości R

R R R Sr.

77H! [%] 0,014 0,14 ■ 0,11 0,088

7?H2 [%] 0,304 1,15 0,561 0,67

7?U3 [%] 2,65 6,99 5,76 5,13

D la >1=9 w szystkie trzy algorytmy dostarczają rozw iązań bliskich optymalnemu, przy czym algorytm y H i i H2 w ydają się być wyraźnie dokładniejsze od algorytmu H3. Ponadto, w ielkość dostępnego zasobu R nie wpływa tutaj na jakość rozwiązań. D la n>9 algorytmy Hi i H3 były porównyw ane z algorytmem H] w edług wzoru: p H. = —— 100% . Dla każdejF

Fw

w artości n poszczególne algorytmy były urucham iane dla 10 różnych instancji, następnie uzyskane wyniki były uśredniane. Otrzymane rezultaty przedstaw iono w tablicy 2.

(9)

Szeregowanie zadań z przezbrojeniam i.. 217

Tablica 2 Porównanie jakości algorytm ów H 2 i H 3, w odniesieniu do algorytmu H i, dla różnych

wartości zasobu R , przy ri>9

n: 20 100 200

R R R, R R R, R R R,

Au Au

[%]

99,80 99,77 98,63 97,92 95,49 91,14

98,81 98,14 99,07 94,74 88,59 90,13

98,90 99,16 99,34 91,83 95,61 87,62

Dla dużych rozm iarów problem u algorytm H2 je st prawie tak dokładny, ja k algorytm odniesienia Hi (współczynnik p m rzędu 99%), natom iast algorytm H3 je st zdecydowanie mniej dokładny niż algorytm Hi (współczynnik p m rzędu 93%). M ożna w ięc stw ierdzić, że relacja między algorytm am i H | i H 2 a algorytmem H 3 je st podobna ja k dla n - 9 , tzn.

algorytmy Hi i H2 s ą dokładniejsze od algorytmu H3. Prezentowane w tablicy 2 wyniki nie wykazują wpływu liczby zadań ani ilości dostępnego zasobu R na dokładność algorytmów.

Spośród badanych algorytm ów bezkonkurencyjny pod w zględem czasu działania okazuje się być algorytm H 3 (czasy działania poniżej lm s). Poza nim warto zw rócić uw agę na algorytm H2 (średni czas działania rzędu kilkudziesięciu milisekund). Algorytm H i m oże być użyteczny dla problem ów o niedużym rozm iarze (praktycznie dla n<100 czas działania poniżej Is). Biorąc pod uw agę dokładność badanych algorytmów i czas ich działania, należy stwierdzić, że najbardziej uniwersalny je st algorytm H 2 - szybki i dokładny. Algorytm Hj je st nieco dokładniejszy, ale nieefektywny pod w zględem czasu działania dla dużych problem ów (dla«>100), natom iast algorytm H 3 je s t bardzo szybki, ale najmniej dokładny.

7. Podsumowanie

W niniejszej pracy rozpatrywano dw a problem y szeregowania zadań z rozdziałem zasobów. W jednym z nich czasy przezbrojeń s ą liniowo zależne od zasobu oraz istnieje wymóg technologii grupowej. W drugim natom iast czasy w ykonywania zadań zależą liniowo od zasobu. W obu przypadkach m inim alizowano sum ę w ażonych czasów zakończenia wykonywania zadań. W ykazano, że problem y te s ą sobie równoważne. Skonstruowano także algorytm optymalnego rozdziału zasobu przy ustalonej perm utacji zadań. Ponadto wykazano szereg własności określających w ielom ianowe rozw iązania optymalne dla szczególnych przypadków rozpatryw anych problem ów oraz własności pozw alające skonstruow ać trzy efektywne obliczeniowo algorytmy heurystyczne rozwiązujące badane problem y. N a koniec zaprezentowano wyniki analizy eksperymentalnej porównującej pow yższe algorytmy.

(10)

A naliza ta wykazuje, że dla badanych problem ów m ożna skonstruować efektywne obliczeniow o algorytm y heurystyczne - dostarczające w krótkim czasie wyniki bliskie optymalnym.

LITERATURA

1. G raham R.L., Lawler E.L., Lenstra J.K., Rinnooy K ann A.H.G.: Optimization and approxim ation in sequencing and scheduling: a survey. Annals o f D iscrete Mathematics, 5, 1979, pp. 287-326.

2. Janiak A.: W ybrane problem y i algorytmy szeregow ania zadań i rozdziału zasobów.

A kadem icka Oficyna W ydaw nicza PLJ, W arszawa 1999.

3. Potts C.N.: van W assenhove L.N., Integrating scheduling w ith batching and lot-sizing: a review o f algorithm s and com plexity. Journal o f the Operational Research Society, No 43,

1992, pp. 395-406.

4. Sm ith W .E.: V arious optim izers for single-stage production. N aval Research Logistics Quarterly, 3, 1956, pp. 59-66.

Recenzent: Prof. zw. dr hab. inż. Jan Węglan

A b s tra c t

Tw o single m achine scheduling problem s w ith distribution o f the resources wets considered in this paper. In the first problem the setup tim es are resource-dependent and there is group technology. However, in the second one the processing tim es are resource- dependent. In both cases the sum o f weighted com pletion tim es is minimized. It is shown that these problem s are equivalent each other if the resource-dependence o f setup time and processing tim e is the decreasing linear function. M anufacturing o f plastic components and electro refining o f copper are exam ples o f the situation in w hich distribution o f the resource occurs. W e construct som e optim al algorithm s w hich solve special cases o f the general problem s in polynom ial tim e. W e also prove the properties w hich are helpful in constructing an effective heuristic algorithm s. Finally, we show the results o f an experimental analysis w hich com pares these algorithms. The analysis shows that there is an exact heuristic algorithm w hich provides the solutions w ith relative errors less than 1% in a short time (in practice its w orking tim e do not exceed Is, even for large quantity o f jobs). It is also possible to construct tw o others algorithms. One o f tern is m ore exact but slow est than the first one-it generates the solutions w ith relative errors less than 0.1% but it is practically unusable for problem o f m ore than 100 jo b s because o f its w orking tim e. A nd the other algorithm is much faster - its com putational com plexity is 0(r?) - but less exact - its relative error is a fe*

percent.