Pewne zastosowania teorii wiązek w dziedzinie sieci elektrycznych

NAUKOWE

POLITECHNIKI ŚLĄSKIEJ

ELEKTRYKA

Z. 8 3

GLIWICE

1383

.

&

POLITECHNIKA ŚLĄSKA

ZESZYTY NAUKOWE Nr 739

MAREK BRODZKI

P EW N E ZA STO SO W A N IA

TEO RII W IĄ ZEK W DZIEDZINIE SIECI ELEK TR YC ZN YC H

PRACE INSTYTUTU PODSTAWOWYCH PROBLEMÓW ELEKTROTECHNIKI I ENERGOELEKTRONIKI

G L I W I C E 1 9 8 3

Prof. dr hab. inż. Zygmunt N ow om iejski P rof. dr hab. W łodzim ierz W aliszew ski

K O LEG IU M R E D A K C Y JN E

W iesław Gabzdyl (redaktor naczelny), Z o fia C ic h o w s k a (redaktor działu), E lżbieta Stinzing (sekretarz red akcji)

R E D A K C JA R om a Łoś

R E D A K C JA TECHNICZNA A lic ja N o w a ck a

Wydano za zgodą Rektora Politechniki Ś ląsk iej

P L ISSN 0C72-4S88

Dział W ydawnictw Politechniki Śląskiej uL K u jaw ska 3, 44-100 Gliw ice

N a k ł. 150+55 A rk . w y d .1,5 A rk . d ru k . 3,0 P a p ie r d ru k . k l. V . 70x100, 78 g O d dan o do d ru k u 4.10.1982 P o d p is do d ru k u 21.12.1982 D ru k u k o ń c z , w sty c z n iu 1983

Z am . 1 020182 B -24 C en a zł 15.—

Skład, fotokopie, druk i oprawą

wykonano w Zakładzie Graficznym Politechniki Śląskiej w Gliwicach

SPIS TREŚCI

Str.

1. Przedmowa ... _ 5

2. Określenie wiązek włóknistych ... i... 7

3. Pewna metoda konstrukcji wiązek ... 10

4. Przykłady wprowadzonych wiązek ... 13

5. Konstrukcja pewnego morfizmu wiązki W w wiązkę 'W ... 29

6. Sposób opisu pracy sieci w wiązkach W , ' W ... 34

7. Wnioski końcowe ... 38

Wykaz cytowanej literatury ... 44

Literatura podstawowa ... 45

Streszczenia ... 46

Pojęcie wiązki wprowadzili C. E h r e s m e n n , 0. Feldbau i B. Eckmer.n w 1941 r. , następnie do rozwoju teorii wiązek przyczynił się głównie N.

Steenrod. Zwięzły zarys historii tego pojęcie, Jak i pewnych podstawowych pojęć współczesnej qeometrii różniczkowej Czytelnik może znaleźć w pracy [ U ] . sś. (9-14)i Tam też oraz np. w książkach £ij , [l9] znajduje się o b ­ szerniejsza bibliografia dotyczęcs teorii wiązek oraz rozmaitości ró żn ic z­

kowych. w bibliografii niniejszej pracy zamieszczone są pozycje, na ktćre powołuję się w tekście. Osobno wymienionych Jest kilka pozycji p o d s t a w o ­ wych. dotyczących geometrii różniczkowej i teorii wiązek.

Teorie wiązek znalazła zastosowania w rozmaitych działach fizyki, no.

w mechanice - artykuł [2 1J . przede wszystkim zaś w teorii względności.

VI elektrotechnice spotkałem się z nimi w artykule [l8], gdzie chodzi Jednakże tylko o wiązki styczne. Przedstawiając czytelnikowi tę o r a c ę . chciałbym przyczynić się do dalszych zastosowań w elektrotechnice w s p o m ­ nianego pojęcia (jak i związanej z nim problematyki geometrycznej) oraz do wskazania niektórych korzyści stąd płynących. Posłużę się tu pewnym, możliwie prostym, przykładem poprzedzonym krótkim przypomnieniem aksjoma- tyki wiązek oraz pewnej metody ich konstrukcji.

jednocześnie chciałbym wyrazić podziękowanie Panu Prof. dr hab. M i e ­ czysławowi Kucherzewskiemu za przeczytanie rękopisu oraz poczynione uwaqi.

Dziękuję również Panom Prof. dr hab. inż. Zygmuntowi Nowomiejskiemu oraz Prof. dr hab. Włodzimierzowi Wa liszewskiemu za poświęcony mi czas oraz sporządzenie recenzji niniejszej pracy.

Gliwice, 1981 r.

Marek Brodzki

2. OKREŚLENIE W I ĄZ EK WŁÓKNISTYCH

Więzkę włókniste nazywany cięg (b, Y, F, G, 0 , p.ip) spełniajęcy po­

niższe warunki.

1. Elenenty 8, Y, F sę rozmaitościami różniczkowymi, "8" nazywamy rozmaitością więzki, *Y" - rozmaitością bazowe, "F" - wł óknem wzorcowym.

Oednocześnie wymiar (din B) rozmaitości B Jest równy sumie wymi ar ów roz­

maitości Y oraz F. (Cudzysłowy używane se tu oraz w podobnych sytua­

cjach w dalszej części tekatu, dla odróżnienia wy rażeń od ich nazw ( [12], R. XII, § 2 S [4 ], s. 10).)

2. Element p Jest odwzorowaniem różnlczkowalnym rozmaitości B na rozmaitość Y

Element ten nazywamy rzutem więzki włóknistej.

3. Uporządkowane trójka ( G , F . o ) stanowi grupę Llego przekształceń (lewostronnych). Element o Jest działaniem grupy Liego G we włóknie wzorcowym F

4. Element T Jest atlasem więzki złożonym z map tyy, tzn. I

oraz U ^ / F / zaopatrzone sę oczywiście w odpowiednie topologie i at la­

sy - indukowane z “8" i iloczynowe. “1 “ jest zbiorem indeksów map. Czyli mamy tu bijekcję zbioru map na zbiór indeksów.

5. Ola każdego elementu ( { U zachodzi z w l ę z a k :

p: / 8 / ----/Y/. ( 1 )

® : /G/ x /F/ /F/. (2)

tcf •• /F/. (3)

(4)

ornaczajęcy, że włókno p_ 1 (|y|l, y t odwzorowywane só przez ~'pnę ns produkt Jy I x/F/. "pr “ jest rzutem produktu U „ x/F/ ne jego pierwszy

l ) ucf °f

czynnik.

6. Dla dowolnych ws ka źn ik ów oę,^> € I, dla których spełniony jest zwię- zek n f <f> oraz dla dowolnego elementu ye n definiujemy dy­

feomorf izm :

■ib* 0 tfby Ą Zrapy 1 ■ \ ( 5 '

gdzie

(w) - ^ ^ ( y . w ) , w e / F / , y l U ^ ,

(uważemy, że złożenie odwzorowań zawsze dokonywane jest dla wspólnej czę­

ści przećiwdziedziny pierwszego i dziedziny drugiego.) Można również trak­

tować odwzorowania “¡Jl^y Jako dyf eomorf i z m y , definiując dla "p"1 ({yj)“

topologię i atlas przeniesiony przez odwzorowania 2 “F“ ([s], s, 19, 20). Z podwyższej możliwości wprowadzenia atlasu dla włókien skorzystamy również później, definiując pewne ich d y f e o m or fi zm y. Z drugiej strony, dla dowolnych poprzednio wymienionych wskaźników of . fi , istnieje takie odwzorowanie przejścia g,, : U» ń U„ — — / G / , że ooniżej określane odwzo-

10C( fi ą

^

rowanie 1 ( ^ : / F / — — /F/ spełnia dla każdego elementu w e /F/ w a r u ­ nek : 7 W '

- 1/

ł W y)(,,) ’ V (y) # W “ V o t <*y(ii)- (6)

7. Odwzorowania przejścia

V V u » - / 0 > < 7 1

sę r ó ż n ic zk ow al ne.

Uwaga 1 . Wzorując się na umowie wprowadzonej w pracy [ l 7 ] , s. 80 dla przestrzeni różniczkowych, odróżniamy w przypadku rozmaitości różniczko­

wej sarnę rozmaitość, to Jest parę uporzędkowanę : (przestrzeń topologicz­

na. atlas maksymalny), np. 8, od zbioru rozmaitości oznaczonego przez /B/

i nazwanego nośnikiem rozmaitości. To samo dotyczy rozmaitości różniczko­

wych Y, F. W przypadku grupy Liego G zastosowana symbolika (/G/) ozna­

czę dodatkowo pominięcie działania grupowego, czyli utworzenie podkładu grupy ( [is] , s. 20). Ola uproszczenia wypowiedzi będziemy oznaczali i na­

zywali tak samo odwzorowania homeomorficzne (dyfeomorflczne) nośników prze­

strzeni topologicznych (rozmaitości różniczkowych) jak i przekształcenia homeomorficzne (dyfeomorficzne) przestrzeni topologicznych (rozmaitości różniczkowych), tzn. uporzędkowanę trójki (odwzorowanie, obie przestrze­

nie lub rozmaitości) używane jako morfizny w kategoriach przestrzeni to­

pologicznych czy też rozmaitości różniczkowych ( [1 5 ] , s. 21). Również dla skrócenia zapisu pomijamy często w określeniu rozmaitość r ó ż n i c z k o w a . sło­

wo różniczkowa. Poza tym nazwa rozmaitość różniczkowa wydaje się oopraw- niejsza niż rozmaitość różniczkowalna. W ślad za pracę (17) (w s z cz eg ól­

ności s. 10) posługuję się tę plerwszę.

Uwaga 2 . Ze wz ględu na przykłady więzek, które podamy, pr zy jmujemy dla u p r o s z c z e n i a , że rozmaitości różniczkowe 8, Y, F sę klasy CM , o d wz or ow a­

nia p oraz g i działanie © sę też klasy C«. Podobnie zakładamy, że mapy (oraz odwzorowania 1^) sę dyfeomorfizmami klasy C^. To samo m o ż­

na powtórzyć dla klasy C k , k 3* 1.

Uwaga 3 . V* księżce fi] przyjmuje się dodatkowo, że grupa Liego G d z i a ­ ła we włóknie wzor co wy m F efektywnie. Wprawdzie obie więzki , które z d e­

finiujemy będę spełniać taki warunek, lecz przy wskazanej poniżej kons­

trukcji więzki przyjęcie go nie jest konieczne. Wypada Jednak zaznaczyć, że w przypadku braku efektywności działania o dobrze byłoby wzbogacić cięg definicyjny więzki włóknistej o rodzinę niepustych odwzorować ze zbio- PU e l ' Ponieważ wówczas mapy atlasu więzki nie wy zn ac za ję jed­

n o z n a c z n i e ’ dla danych wskaźników oę , fi tych odwzorowań. Jednocześnie przyj­

mujemy spełnienie warunku (8) i wyni ka ję cy ch z niego w a r u nk ów g^cf^) • e ("e" - element Jednostkowy grupy G ) , ą^.(y) » (< W v ) r l * ( [19J - s - 8 0 ) - W przypadku efektywności działania ® można wy kazać spełnienie tych w a ­ runków ([20], ss. 76, 77).

Z podanym określeniem więzek Czytelnik może zapoznać się w księżkach [i ], s. 216, [l9], ss. (79-8l): z definicję grup Liego pr zekształceń np. - [19] , s. 39.

Istnieje metoda konstrukcji więzek. którę wykorzystany w neszyn przy­

kładzie. Metode ta opisana jest w książkach [lj, ss. (217-220)i [l9] , ss.

87, 88. Zachodzi nianowicie następujące twierdzenie.

Zakładeny (porównaj uwagę 2 w punkcie 2 dotyczęcę kwestii gładkości), ze dane s ę : rozmaitość różniczkowa bazowa Y, grupa Liego przekształceń lewostronnych (G, F , o ) , otwarte pokrycie ju^jofSj rozmaitości Y, od­

wzorowania : U ^ n U ^ — /G/, oę ,jb 6 1. n jl >). spełnia jęce wa­

runki :

g ^ ( y ) ■ 9/)c^y ^ ' dl" do wc ln®•, 2" lenneJ y * u,9 ft u/ł>n ucy' ^ (nie występuje tu sunowanie podług wskaźnika ¡b oraz: of . fi.f « I). Wów­

czas istnieje wlęzka włóknista (8. Y, F, G, ®, p . Y ) (spełnlajęca defini­

cyjne warunki (l-7)).

Szkic dowodu. Rozmaitość więzki 8 otrzyaana jest jako pewien zbiór ilorazowy, zaopatrzony w topologię i atlas w sposób opisany poniZej. Two- rzyny zbiory U ^ k /F/ x jof J przyjaujęc w zbiorze I topologię dyskrotnę

< M . •- 27), a w wymienionym zbiorzo topologię Tlchonowa ([7], SS. 105, 106). Następnie tworzyay sunę H tych zbiorów, gdy wskaźnik naleZy do Zbioru I, wprowadzajęc topologię suay ([7], s. 102). W zbiorze H buduje­

my relację równoważności :

((y.*.cf) <“ (y',w’,jł)) s ((y • V) a (w'» g ^ ( y ) ® ")). («)

Wówczas: /B/ » H/«o. Zbiór /8/ zaopatrujeay w topologię llorazowę ([?].

ss. 122, 123). Definiujemy odwzorowania, (bijekcje - wzór ( 3 ) ) ^ , Cf « I w następujęcy sposób:

“Ij^iy.w) - 8 (y ,S,of) , y « U^, w e/F/. (10) gdzie odwzorowanie 9 : h — /B/ jest zdefiniowane

9 (y.S.Cf) - z « /B/, (11)

tzn. "e" przyporzędkowuje’elementowi (y,w,of) zbioru H klasę równoważnoś­

ci z relacji «-» . do której on naleZy. Określamy jednocześnie odwzorowanie suriektywne (rzut więzki włóknistej) p: /B/— /Y/ przyjaujęc p(z) - y.

- 11 -

(y,w,oę) € z i stwierdzając, że przyporządkowanie to nie zależy od wyboru reprezentanta klasy abstrakcji z. Wzór (4) Jest wówczas spełniony. Można wykazać, że odwzorowania sę homeonorf izmami ( [l] , s. 218) , uważamy je za mapy atlasu więzkl Y . Dziedziny (otwarte) tych nap pokrywają zbiór /B/

i z ich pomoce zdefiniujemy atlas rozmaitości wiązki B rozumiany J a ­ ko zbiór map

u : U . - ~ R dłl"8 . U . c /B/. s I (12)

<*B °*b ^b b b

Mianowicie, jeśli homeomorfizmy

u. : U , — - R di"Y . Ofy CJy U c /Y/. PPy e* e I T T (13)

W \ C /F/- * F e I F (U)

sę mapami odpowiednio rozmaitości bazowej i włókna wzorcowego, to de fi­

niujemy:

u (z) - (u (*4>Jz)), u (^«( z) )) « Rd i "B , dimB - dimY + dinF,

0fB ofY 0fF ^

gdzie

i * p % ° V ■ p r F 0 tor

i zachodzi

d(u^. ) (ł o (-¡¡i.) 4 i , d(u_, ) n a (i|> )

i

.

czyli

> B * (u* Y x \ )0 V <1 5 >

(Znak x stosujemy tu dla iloczynu kartezjaóskiego odwzorowań^ Many więc prsyporzędkowanie ws ka ź n i k ó w (op, epY , <PF )— — cpg. Dla wy go dy w oznaczaniu konkretnych map możemy założyć, że zbiory I, Iy ; 1F< Ig sę parami roz- łęczne. St wi erdzamy teraz, że napy u ^ sę zgodne i otrzymujemy e t l a s § Q klasy C « (zobacz: [ l j , s. 219, 220 oPaz uwagę 2 p. 2). Następnie atlas ten uzupełniamy do maksymalnego klasy CM . Łatwo wykazać, że wówczas mapy atlasu wl ęz ki •p , oę e X sę dyfeomorfizmami "p“ 1 (Ucj)" nB •U cp * / F / ‘"

w oparciu o w z ó r (4) stwierdzamy, że rzut p jest odwzorowaniem klasy C^,.

W ten sposób przeprowadziliśmy konstrukcję rozmaitości B, rzutu p oraz atlasu więzki ''f i sprawdziliśmy, że punkty (l-7) dotyczęce określenia więzki sę w przypadku podanej konstrukcji spełnione.

llwaga. Jeśli atlas więzki nie jest maksymalny, nożna go uzupełnić do maksymalnego, tak by warunki (l-7) definicji więzki były spełnione.

Nie zawsze w zastosowaniach jest to korzystne z punktu widzenia potrzeb opisu danego obiektu fizycznego. Również nie zawsze wygodnie Jest op er o­

wać atlasami maksymalnymi rozmaitości B, Y, F, G, np. ze względu na z a ­ pis w poszczególnych układach współrzędnych rozmaitości G oraz F wzoru g ^ ^ ( y ) o w zwięzanego z teorię obiektów geometrycznych (zagadnienie to omówimy wraz z podaniem przykładów więzek). W przypadku atlasu, który nie Jest maksymalny, mówimy o rozmaitości współrzędnościowej zamiast różnicz­

kowej ( [ l ] , s. 50). Przez analogię, można mówić o więzce ws półrzędnościo­

wej, gdy atlas pewnej 9pośród rozmaitości różniczkowych B, Y. F, G nie jest maksymalny.

4. PRZYKŁADY WP ROWADZONYCH WIĄZEK

W myśl twierdzenie podanego w punkcie 3 konstrukcję więzki należy roz­

poczęć od rozmaitości bazowej, grupy Liego przekształceń, otwartego po­

krycia rozmaitości bazowej i odwzorowań przejścia. Z chwilę wprowadzenia tych pojęć, resztę pojęć figurujęcych w określeniu więzki otrzymujemy w sposób opisany w punkcie 3.

Trzeba wobec tego podać obiekty elektryczne, do których odnosić się będę powyższe rozumowania. Sę nimi sieci elektryczne złożone ze sk ończo­

nej liczby gałęzi szeregowych normalnych. Budowę ich objaśnia rysunek 1.

i9

M gh Rgh s gh eg g e G

(c)U 9 Rys. 1

Oznaczenia (dla ustalonych wartości ws ka ź n i k ó w g, h):

- indukcyjność własna gałęzi g (g»h) i wzajemna gałęzi g i h (g*h). M gh 6 R.

“R - rezystancja gałęzi g, można użyć też oznaczenia rezystancji

9P R . o -h

9 P P

R , (R » p ), R € R, 9 9p p 0 , g p fhp P

■S " - elastancja gałęzi g. podobnie Jak dla rezystancji można w p r o ­ wadzić oznaczenie S . , S e R,

9 9p

“6 g “ - siła elektromotoryczna gałęzi g, eg : R-*-R,

■q9 " - ładunek wskazanej na rys. 1 okładki kondensatora gałęzi g, q 9 : R — R ,

"i9 “ - pręd gałęzi g, i9 : R — R,

”(c)u g" “ całkowite gałęzi g, U g : R — R, (klasy występuję- cych tu funkcji zostanę określone później).

"G" - zbiór indeksów gałęzi sieci (istnieje bijekcja zbioru G na zbiór gałęzi).

Sens występowania ws ka źn ik ów na różnych poziomach, jak i obecności wskaźnika p, będzie też wyjaśniony później. Gałęzie zorientowane sę prę-

dowo. Orientacje uzyskane za pomoce napięć całkowitych sę przeciwne do prędowych.

Uw ag a. Poprawne zdefiniowanie gałęzi, ich orientacji, sieci (zoriento­

wanej), jej elementów oraz pewnych innych wielkości dotyczęcych sieci nie stanowi treści niniejszej pracy. Czytelnik, który nie jest elektrykiem m o ­ że zapoznać się z tymi zagadnieniami w rozmaitych pracach z dziedziny e- lektrotechniki np. [l3] , [4 ].

Budowę geometryczna sieci (nie zawierajęcej pętli) określaję dwie rze­

czywiste macierze a « [aUg ] ’ ** “ ' 9 * G * u * u > k e K, ("g" jest wskaźnikiem wierszowym w obu macierzach), gdzie “U" Jest zbiorem indeksów tak zwanych niezależnych wę zł ów sieci zorientowanej, "K" - indeksów niez a­

leżnych obwodów (oczek) tejże sieci (obowięzuje tu ta sama uwaga co przy oznaczeniu gałęzi sieci). Umówimy się, że wskaźnik h będzie występować również w roli gałęziowego, czyli h e G, "v* - węzłowego, v € U oraz "1"

- obwodowego, 1 e K. Macierze transponowane a i b nazywane sę odpo-

t t

wiednio macierzę incydencji eraz obwodewę (oczkowę). Ich definicje C z y­

telnik może znaleźć np. w pracach [13 ], sa. 186, 194 lub [4 ], ss. 26, 27.

Aby wprowadzić teraz rozmaitość bazowę trzeba obra ć Jakieś wielkości elektrycznej natury, które maję być w niej “rejestrowane". Ola sieci zło­

żonej z n, n c N gałęzi szeregowych normalnych rozsądnie uważać za ta­

kie wielkości ładunki kondensatorów kolejnych jej gałęzi, w pewnych m o ­ mentach czasu opisane za pomocę cięgów q » (ó1 ,... Z^11) 6 R n . Za tym. w y ­ borem przemawia możliwość łatwego uzależnienia (typu algebraiczno-róż- niczkowego) wszystkich pozostałych wielkości gałęziowych od funkcji ła­

dunków q zmiennej czasu.

U w a g a . Aby rozróżnić funkoję (odwzorowanie) np. zmiennej t (czasu) od jej wa rtości w punkcie, wprowadzamy następujęcę umowę. Zmienne należęce do przeciwdziedziny danej funkcji lub do pewnego zbioru zawierajęcego ję, oznaczamy literami zaopatrzonymi wężykiem n p . : q (q e R ), same zaś funk­

cje - literami bez wężyka np. : q. Czyli przykładowo mamy wyrażenie-» q *

> q(t). Umowę tę przyjmiemy dla zmiennych będęcych współrzędnymi map roz­

maitości X n , oraz włókien wzorcowych i rozmaitości obu konstruowa­

nych wlęzek. Umowa powyższa spowodowana Jest chęcię zachowania tej samej litery w przypadku funkcji oraz jej wartości w punkcie dla ustalonej w i e l ­ kości fizycznej, z którę dana litera jest tradycyjnie skojarzona.

Najprościej będzie więc przyjęć za zbiór (zwięzany z ładunkami gałę­

ziowymi), na którym zdefiniujemy atlas, zbiór R n . Topologia Jego jest naturalna wyznaczona np. przez metrykę euklidesowę ([7 ], s. 304). Praukła- dem współrzędnych u jest odwzorowanie tożsamościowe (homeomorfizm)

X n -

przestrzeni (topologicznej) R na nlę sarnę. Atlas otrzymamy składajęc wymieniony praukład z transformacjami (odwzorowaniami) “R ‘ na “R “ nale- żęcyml do grupy centroafinicznej (tzn. u ■ t ° u )

15 -

(16)

Uw ag a. Kreskę przy wskaźniku g lub jej brak należy Interpretować Ja­

ko zalennę dotyczęcę układów współrzędnych, lecz ze wzgl ęd ów na wygodę zapisu wiel u w z or ów traktujemy znak g' Jako całość. Pr zy po mi na ny rów­

nież, że obowięzuje umowa sumacyjna dla ws ka źn ik ów powtarzajęcych się w iloczynie - tutaj dla wskaźnika g w zakresie zaznaczonym we wz or ze (16), Górny wskaźnik traktujemy Jako w i er sz ow y - tu dla maci er zy c.

Atlas otrzymany w ten sposób nazywa się strukturę F. Kleina ([li], s.

32). Nie Jest on atlesem maksymalnym klasy C M , lecz okaże się, że w ł a ś ­ nie opisany atlas nsm wystarczy. Uporzędkowanę parę (przestrzeń topolo­

giczna R n , jej atles) nazwiemy rozmaitościę ws półrzędnościowe X n . U w a g a . Wp ro wa dz en ie nowych współrzędnych kreskowanych m o ż n a interpre­

tować fizykalnie poprzez zastosowenie układu pr zekształcającego stare współrzędne q na nowe "q’" , realizującego macierz trensformacji (l6).

Czyli danemu stanowi sieci przyporządkowujemy rozmaite pomiery cf, ej' itd.

zwlęzane z rozmaitymi układami współrzędnych.

Punkty tak otrzymanej rozmaitości odzwierciedlaję p r a c ę , w pewnych ch wi­

lach czasu, dowolnych sieci "próbnych" składajęcych się z n gałęzi s z e­

regowych normalnych odseparowanych galwanicznie Jedna od drugiej (tak, by ich ładunki mogły być dowolne). "Na tle" takich sieci będziemy ob se r­

wować pracę (na razie pod wz ględem ładunków kondensatorów) dowolnej w y ­ branej sieci o n gałęziach, f obwodach niezależnych (n, f t N) oraz n-f węzłach niezależnych. W ten sposób ustalamy, że zbiór G Jest n el e­

mentowy, "K" - f elementowy oraz "U" - (n-f) elementowy. Rozmaitość Xn nie jest jeszcze naszę rozmaitościę bazowę ze względu na te, że w rozpa­

trywanych sieciach zachodzi nierówność: n-f > O, a ładunki w węzłach ni e­

zależnych zwlęzane sę zasedę zachowanie. Czyli nie każdy punkt rozmaitoś­

ci Xn będzie przez takę sieć "osięgalny" i wł aśnie prawo zachowania ła­

dunku elektrycznego pozwoli n8m dopiero zdefiniować rozmaitość bazowę ja­

ko zenurzonę w "Xn " oraz spełnlajęcę ws po mn ia ny wa runek oslęgalności.

Prawo to można w praukładzie u zapisać nestępujęce:

PX

66 U

- Q (17)

O

u

adzie "Q" oznacza ładunek węzła niezależnego u. Zwięzek (17) obowiązuje

° G n-f

dla dowolnego stanu sieci określonego cięgiem ładunków (Q) e R . (Dla o

uoroszczenla zapisu pomijamy indeks X przy indeksie pj Przyporzędko-

*i^r / r \ f \ wawszy obwodom niezależnym ładunki obwodowe oznaczone Q ((Q ) « R ).

mamy zamiast równania (17) definiującego w rozmaitości Xn f - wymiarowe g hioerołaszczyznę , jej równanie parametryczne ( p r z y p om in am y,że punkty £f ) sę tu jednocześnie punktami przestrzeni punktowej / X n/ 1 analitycznej Rn )

„9 p 9 ^k ^g

q p = bkPQ * q p . k r e

{ ‘ ' I

(18)

“ U n.9p «9p Q = a q p . 9 e r

o M po o

U w a g a . Ponieważ rzęd macierzy ag j wykosi n - f . a macierzy |b Pk j* ' oraz zachodzi zależność:

ag p b9 p kr = O. (19)

więc stęd wnioskujemy, że rzeczywiście dla dowolnego cięgu (O ) € R g

punkt (^ p ) określony równaniem (l8) leży na hiperpłaszczyźnie określo­

nej równaniem (17) oraz każdy punkt tej hi perpłaszczyzny może być osięg-

^|(

nięty przez odpowiedni wybór punktu (Q r ). Czyli równania (l7) i (l8) d o ­ tyczę tej samej hiperpłaszczyzny.

Hiperpłaszczyznę tę zaopatrujemy w topologię indukowane przez to polo­

gię przestrzeni Rn ([7 ], s. 92). Wówczas równanie (18) definiuje homeo- morfizm przestrzeni topologicznej R* na przestrzeń topologiczne u t w o ­ rzone dla omawianej hiperpłaszczyzny, czyli odwrotność praukładu w s p ó ł ­ rzędnych u . Praukład ten poddajemy transformacjom centroafinlcznym "R*"

f Y

na “R "

Q = d kQ , d k e R,

^k'

-

e n ,

( 2 0 ) k e

det[^dk j i 0.

{•... ’}•

k' € jl'... fj.

W ten sposób otrzymujemy na naszej hiperpłaszczyźnie strukturę F, Kleina i czynimy z niej podobnie jak w przypadku "Xn ” rozmaitość ws pó łrzędnoś­

ciową Y f klasy C R o z m a i t o ś ć Y f jest podrozmaitościa rozmaitości Xn ([i?]* s - 32), włożenie "y*" jest odwzorowaniem regularnym (rzęd macierzy b p (<

j

Postępując w powyższy sposób uzyskalibyśmy różne hi perpłasrczyzry roz- u maitości bazowej dla różnych ci ęgów ładunków w ę zł ów niezależnych (o) i

- - - -

0

Byłoby to n i e w y g o d n e . B ę d z i e m y o p e- - 17 -

tych samych macierzy

r*y [ \ ] ' itościę bazowę Y ,

rować* Jedną rozmaitościę bazowę Y T , dla której hi perpłaszczyzna /Y*/

przechodzi przez poczętek układów ws pó łrzędnych rozmaitości X ( o r a z po- czętki układów współrzędnych rozmaitości Y^ pokrywają się z ooczętkami układów ws pó łrzędnych rozmaitości X n ) i powiężemy ję z pozostałymi hi- g perpłaszczyznami translacjami wyznaczonymi przez wektor o składowych (q p ' w praukładzie u . Sę to oczywiście homeomorfizmy o d o o w i e d n i c h r o z m a l t o -

P X

ści majęce tę własność, że punkty h i p e r p ł e s z c z y z n . które sa nimi p o w l ę z a - n e , maję te same współrzędne O w odpowiadających s o b i e u k ł a d a c h w s p ó ł ­ rzędnych. powstałych przez jednoczesne transformowanie ich p r a u k ł a d ó w za pomocę tych samych transformacji.

Rolę przestrzeni punktowej przy konstruowaniu rozmaitości X od g r y w a ­ ła pr ze st rz eń R n . Można znaleźć inne wyjście, bardziej z a d o w a l ajęce z w o ­ lenników opisu wielkości fizycznych z uwzględnieniem ich wymiarów. M i a n o ­ wicie budujemy zbiór złożony z następujęcych cięgów:

((*|l p . C ) ...(S"P .C)).

gdzie “C" symbolizuje jednostkowy ładunek elektryczny - kulomb. W p r o w a ­ dz am y działanie dodawania elementów tego zbioru, polegające na dodawaniu

^ Q ^ Q

kolejnych liczb rzeczywistych q “p ♦ q P dla cięgów 1 oraz 2. Wprowadza-

1 2

my działanie mnożenia elementów naszego zbioru przez liczby rzeczywiste g

Of € R, polegające na mnożeniu: oę q p . Łatwo stwierdzić, że uporządkowana czwórka (wymieniony zbiór, ciało liczb rzeczywistych, działanie d o d a w a ­ nia, działanie mnożenia) stanowi przestrzeń liniową. W oczywisty sposób

1 n 1

zachodzi bljekcja tego zbioru na zbiór R n : ((q p ,C),...,(q P .C))— — (q p , n

,..,q P ). Bijekcja ta posłuży do przeniesienia topologii z przestrzeni to­

pologicznej R n do utworzonego zbioru wielkości fizycznych oraz jako od­

wzorowanie przestrzeni topologicznych na siebie będzie stanowić homeomor- fizm, czyli globalny układ współrzędnych. Następnie w po kazany już sposób tworzymy strukturę F. Kleina i rozmaitość współrzędnościową.

Mankamentem podobnej metody (przypisującej wymiar fizyczny punktom pr ze­

strzeni punktowej) zastosowanej odnośnie do dowolnych rozmaitości, jest fakt polegający na tym, że w przypadku transformacji nieliniowych o p o s­

taci u, o u“ 1 wiążących układy w s p ó ł r z ę d n y c h , dodawanie elementów prze- X *x

strzeni punktowej rozmaitości, o ile w ogóle Jest zdefiniowane, nie po le­

ga na dodawaniu ich współrzędnych w poszczególnych układach w s pó łr zę d­

nych. To samo dotyczy mnożenia tych elementów przez liczby rzeczywiste.

2 kolei operowanie przestrzeniami analitycznymi Jako przestrzeniami w i e l ­ kości fizycznych ma tę słabę stronę, że wymiary fizyczne współrzędnych o danym numerze nie muszę być identyczne we wszystkich układach wspó łr zę d­

nych, co przeczy samej definicji rozmaitości. Dodatkowo zachodzi koniecz­

ność różniczkowania i całkowania odwzorowań pomiędzy tak rozumianymi prze­

strzeniami an al itycznymi (trzeba wówczas uczynić z nich uprzednio prze­

strzenie Banacha). Rzecz jasna, prościej robić to dla odpowiednich odwzo­

rowań "Rn “ w "Rn ".

Pewnym kompromisowym wyjściem byłoby przyporzędkowanie każdemu układo­

wi ws półrzędnych (zbudowanemu bez uwzględnienia wy mi ar ów fizycznych) od­

powiedniej przestrzeni liniowej wielkości opatrzonych tymi wymiarami, n a ­ stępnie rachowanie z użyciem zwykłego układu współrzędnych i "tłumaczenie wyników na język przestrzeni opatrzonej wymiarami". W oparciu o takie pa­

ry uporzędkowane (układ współrzędnych, odpowiednia przestrzeń liniowa) można utworzyć atlas r o z m a i t o ś c i , którę nazwalibyśmy rozmaitościę fizycz- nę. Komplikowałoby to Jednak spis rozmaitości oraz w następstwie i tak Już złożony opis więzki włóknistej. Z powyższych powodów wolimy operować w a r ­ tościami bezwymiarowymi wielkości fizycznych, pamiętajęc, aby dotyczyły one konkretnie ustalonego układu jednostek.

W dalszym cięgu zdefiniujemy odpowiednio grupę Liego oraz grupę Liego przekształceń. Zbiory nieosobliwych macierzy kwadratowych c'(wzór (l6)) oraz d' (wzór (20)) zaopatrzone w atlasy składajęce się z pojedynczych map będęcych odwzorowaniami! c L » ( c * ji x i f i l nc * i c " ‘,...,c") oraz d'— - (di,n 1 ..., df ... d j .... df) (oczywiście możemy mówić tu, w wiadomy sposób,o ho- meomorfizmach zb iorów otwartych) oraz działania mnożenia macierzowego, stanowię grupy Liego oznaczone przez GL(n,R) oraz GL(f ,R).

U w a g a . Nie żędamy spójności dziedzin (oraz przeclwdziedzin) map rozm a­

itości.

Tworzymy iloczyn kartezjańskl ww. grup Liego G r « GL(n,R) x GL(f,R), tworzęc iloczyn prosty grup i zaopatrujęc go w atlas złożony z mapy ilo­

czynowej powstałej z poprzednio wymienionych map. Czyli mamy tu do c z y­

nienia z grupę Liego G r (r « n2 + f2 ) , dla której rozmaitość powstaje z iloczynu kartezjańskiego rozmaitości współrzędnościowych występujęcych w definicjach grup Liego GL(n,R) i GL(f,R). Wprawdzie w definicji grup Liego ( [l9j , s. 36, 37) występuję rozmaitości różniczkowe (zaopatrzone w atlasy maksymalne), a nie rozmaitości współrzędnościowe, ale uzupsłniajęc w razie potrzeby atlas do maksymalnego spełniamy wymóg tej definicji.

Zdefiniujemy teraz rozmaitość współrzędnośclowę Fra. Definicja ta bę­

dzie skonstruowana tak, by grupa Liego przekształceń kojarzyła się z o- blektami abstrakcyjnymi specjalnymi ( [lo] , [ l l j , s. 60) użytymi do opisu wielkości fizycznych dotyczęcych sieci elektrycznych. Wymienimy wobec te­

19 -

go najpierw te sieciowe wielkości, których znaczenie fizykalne objaśnione zostało pod rys. 1. a = (q9 ) € R n , q - (q9 ) e Rn . (C )U » ((c )Ug ) e R n • e ■ (? ) € R n , ai = (a ) e R n (dla każdego ustalonego wskaźnika u € -li.

" % 9 p 2 2 1

I. •" /<” > n / n n* /■” » n i”

n-fj), M » (Mgh) e R , R = (Rgh1 € R • s * gh^ 6 R . *> -

» (b9 k) e R n *. b ■ (b^g) e R n ^ (potrzebę wprowadzenia ostatniej w i e l ­ kości i sposób jej powiężenia z "b" ws każemy nieco później). Przy okazji podamy wielkości, które potrzebne będę w konstrukcji następnej więzki.

Q ■ (Ó ) € R - prędy obwodów niezależnych, sr r?|( f

Q ■ (Q ) e R - pochodne prędów obwodów niezależnych,

«*> . IW f .

(c)U * (c)U k' e R ” całkowite napięcia obwodów niezależnych (w każdej sieci równe zeru na mocy dr ugiego prawa Kirchhof- fa) ,

< • / * * . f

E « 6 R - siły elektromotoryczne ob wo dó w niezależnych, S - (agS \ ) a R?

u e |l ,. . . , n - f | - dla dowolnej sieci wielkości te sę zawsze zerowe (wzór (19)) ,

2

•Pi ■ i R ^ ) « R* - obwodowe ln du k c y j n o ś c i , 'fi1 » ('Rjęj) * R* - obwodowe rezystancje,

X 2

'S » C s ^ ) « R - obwodowe elastancje.

U w a g a . Pod względem matematycznym konstruujemy teraz grupę Liego prze­

kształceń zupełnie niezależnie od map rozmaitości bazowej. Skojarzenie z tymi mapami występuje dopiero podczas budowy więzki. Ola lepszego zr o z u ­ mienia fizykalnego możemy tu zaznaczyć, że wymienione wiel ko śc i fizyczne op is uj em y składowymi odpowiednich obiektów specjalnych szczególnych ([ll], s. 61) dla dowolnego punktu rozmaitości bazowej i dowolnej mapy tej roz­

maitości, względnie mapy rozmaitości X n . Zazwyczaj składowe tych w i el ko­

ści podajemy dla sieci w praukładach o indeksach px oraz ry . n „n 2 _nf

Zb io ry S , R , R zaopatrujemy w topologie naturalne i następnie mnożymy je kartezjańsko. W iloczynie tym występuje: "Rn " - 4*(n-f) razy,

2

“R n * - 3 razy, "Rn ” - 2 razy. Ut oż samiamy ww. iloczyn kartezjański ze zbiorem R m . Uprzednio, dla występujęcych tu cięgów podwójnych tworzymy pojedyncze, tak Jak dlB macierzy c‘ oraz d’. Elementami "R®" sę więc cięgi oplsujęce omawiane wielkości elektryczne występujęce we wskazanej poprze­

dnio kolejności, tzn. zachodzi: (<5\ q, (c )u". a, M, R, §, S\ b}€ R m . Z a ­ opatrujemy wynik, tzn. "Rm ” (m « 4n+(n-f)n + 3n2 ♦ 2nf) w topologię Ti- chonowa. Dla przestrzeni topologicznej Rm definiujemy atlas złożony z jednej mapy stanowięcej odwzorowanie tożsamościowe (homeomorfizm) "Rm ” na

"R ". W ten sposób otrzymujemy rozmaitość współrzędnościowe F m (/ F m / = Rm ) (klasy Coo) stanowięcę nasze wł ók no wzorcowa.

Uwaga. Rozmtiite spośród wymienionych wielkości fizycznych, dotyczących dowolnych sieci elektrycznych, mogę podlegać pewnym ograniczeniom, np.

forma kwadratowa zmiennych prądowych oparta na macierzy R (symetrycznej) jest istotnie dodatnio określona, macierze f? i ? sę również symetrycz­

ne i odpowiednie formy kwadratowe oparte na nich sę dodatnio określone.

N O» t*J

Analogiczne wnioski obowięzuję dla macierzy 'M, R , *S. Podobne ogranicze­

nia (np. wzór (19) ; oozostaje teź kwestia ewentualnych obcięć włókien dla M W N

wielkości 9, b, B w oparciu o ich definicje) sugeruję, że włókno w z o r ­ cowe więzki jest zbyt "szeroko za kr o j o n e ”. Zacieśnienie go więzałoby się z wy zn ac ze ni em włókna podobiektu abstrakcyjnego złożonego ( [llj , sa. 62,66) obiektu zwięzanego z włóknem wzorcowym F®. Powstaje też pytanie, czy ta­

kie obcięte wł ókno da się przedstawić Jako rozmaitość różniczkowa będęca podrozmaitościę -Fm " (z topologię indukowana). Gak widać obcięcie włókna byłoby procederem bardzo skomplikowanym i dlatego pominiemy go.

Posiadając Już grupę Liego G r i włókno wzorcowe Fm trzeba zd ef in io­

wać działanie © i zarazem grupę Lięgo przekształceń (Gr , Fm , ©). W tym celu sc harakteryzujemy najpierw wymienione wielkości fizyczne jako pewne obiekty abstrakcyjne specjalne podajęc ich prawa transformacji. Kwestie pewnego wyboru tych praw oraz ich weryfikacji eksperymentalnej omówimy p ó ź n i e j .

Gest to prawo transformacji wektora kontrawariantnego. Podobne prawo o b o­

wiązuje dla wielkości o składowych (q9 ) . Matematyczne uzasadnienie tych praw polega w pierwszym przypadku na spostrzeżeniu, że we kt or o s k ł a d o ­ wych (Ą9 ) może być stycznym do nośnika ( [l6] , s. 451) gładkiej krzywej pa­

rametrycznej q w pewnym jego punkcie oraz w drugim, że transformacje więżące układy współrzędnych rozmaitości Xn sę liniowe.

( c ) V " cg ' ( O V (22)

Gest to prawo transformacji^wektora kowarientnego. Podobne prawo mamy dla wielkości o składowych e. a. Wielkości o składowych M. R, S transformuję się jak tensory o walencji (0,2). Przykładowo:

"g-h' = Cg<C h ' > - (23>

Spostrzegamy, że wymienione reg'uły transformacji nie zależę od elementów d' grupy GI_(f.R); Reguły transformacji dla wielkości o składowych Q , O, dotyczęcych drugiej więzki sę następujęce:

21 -

¡ y _ yd “ Q . (24)

<-> «*» t?

zaś dla wielkości o składowych (c )u - A

Dla " 'M- . ” 'R" . ” 'S" mamy :

(c)U k' * d k'(c )U k- (25)

'fik-l-- d^-d},-Mk l . (26)

Z kolei teraz reguły (24) . (25) , (26) nie zależę od elementów c' grupy GL(n.R). Pozostaje podać reguły transformacji dla wielkości o składowych

ro «*> f

b i b oraz sposób ich powięzania dla rozmaitości Y .

(27)

(28)

Sę to reguły obowięzujęce dla wielkości rozdwojonych ([^9] . s. 152).

W p r o w a d ź m y teraz najeżenie rozmaitości ( [ ® ] • ss. 154, 155):

0. g 6 j i fl, w c jf+l,...,n|,

b M , } .(29)

g , w s jf + 1 .. ,nj.

9 f w.

<T W

Q = W ,

Następnie, w stosunku do macierzy utworzonej z wy razów b9 k oraz £ 9 (wskaź­

nik g uważamy za w i e r s z o w y ) . zdefiniujmy macierz odwrotnę o wyrazach b 1^ , B h (wskaźnik h - kolumnowy). Oest to możliwe, bowiem Jeśli dla pierwszych f spośród w s ka źn ik ów g możemy z założenia zbudować podma- cierz nieosobliwę macierzy b, to na skutek pr zedstawionego doboru na je­

żenia rzęd odwracanej macierzy równy Jest - n. Mamy więc:

b9k bkh ♦ b9 bh = <S9 .

k e

g,h e | 1 nj , (30)

| 1 f | , w € | f + 1 ... n | .

Wzór (30) zachowuje swoję postać po dokonaniu transformacji (27), (28), w

Jeśli założymy, że wielkości o składowych b, b transformuję się kolejno w

Jak wektory kontrawariantne oraz kowariantne - wskaźniki w sę martwe ([9J, s. 36). Czyli wzór ten Jest współzmienniczy (kowariantny). Dla zaznacze­

nia faktu, że po dokonaniu transformacji wzór (29) nie musi o b o w i ę z y w a ć , 9tosuJemy gwiazdkę nad znakiem równości (porównaj n p . : [9], s. 62). Od- wracajęc wprowadzonę macierz kwadrstowę typu (n,n) po dokonaniu trans­

formacji (27), (28) i porównujęc ze współzmienniczym wzorem (30) widzimy, że wyrazy macierzy odwrotnej transformuję się kolejno Jak wielkości o

k w

składowych (b h ) oraz (^h ). Można poza tym przekonać się, że zachodzę następujęce wzory :

k e

b kh i 0, ' * x (31)

h c jf+1

i1 f}' (f+1 "}'

■ * " ( )

bh *<?h , w , h t | f + 1 ... n|. (32)

Wielkość b potrzebna Jest np. do obliczenia "£>" z następujęcego wzoru:

q9 = b9 k Q k , (33)

<<>

dla Hq" wz iętego z przsciwdzisdziny występujęcego tu odwzorowania. W ó w ­ czas :

5 k = b kg | 9 . (34)

Oczywiście macierz b nie Jest Jedynę pozwalajęcę odwrócić wzór (33).

Spostrzegamy Jednocześnie, że za pomocę wielkości b Jesteśmy w stanie dokonać rzutowania wielkości kontrawariantnych na rozmaitość (nie tyl­

ko w przypadku w e kt or ów kontrawariantnych i nie tylko, gdy Jak we wzorach (33), (34), wektor ten Jest styczny do "Y*"). Obserwujęc obecność składo­

wych wielkości b we wzorze (l8) stwierdzamy, że odgrywa ona rolę tenso­

ra pośredniczącego dla rozmaitości Y f , xn ([9], s. 153). Oprócz tego w i ­ dzimy, że wzory (17), (l8), (l9) sę współzmiennicze.

U w a g a . Przyjmujemy dodatkowo, że wielkość o składowych ^ posiada re- o

gułę transformacji wektora kontrawariantnego względem struktury rozmaito-

C*»

n u

ści X , a wielkości o składowych 0 - skalarów. Oprócz tego siły elek- o

tromotoryczne obwodów niezależnych pochodzęce od ładunków poczętkowych o- raz całkowite siły elektromotoryczne tych obwodów opisywane sę składowymi E, (C )E we ktorów kowariantnych względem struktury rozmaitości Y . Dla

- 23 -

uproszczenia konstrukcji wiązki nie umieszczany ich we włóknie w z o r ­ cowym.

Układając składowe wymienionych obiektów abstrakcyjnych w ciąg w ko­

lejności wymienionej poprzednio oraz uwzględniając podane reguły tr an s­

formacyjne otrzymujemy obiekt abstrakcyjny złożony o składowych fi 6 R® =

* / F m/ oraz regule transformacji zapisanej następująco:

w' = l^c d )(»*) = (c.d) o W .

(35) ( c . d ) e / G r/, w 6 / F 1"/.

Ponieważ reguły transformacji ob iektów składających się na nasz obiekt złożony spełniają równanie fundamentalne i warunek identyczności ([li], s.

61) (kontrola tego faktu Jest prosta), więc reguła dla obiektu złożonego (zupełnie przywiedlnego) też podobne równania spełnia. Oest to obiekt li­

niowy Jednorodny ( [ll] , s. 65). Nietrudno s p r a w d z i ć . że odwzorowanie l^c jest bljekcją "Rm " na "Rn ". W dalszym ciągu stwierdzamy, że działanie (o- kreślone w z or em (35)) e : / G r/ x /F1"/— /F*/ jest od wzorowaniem klasy C M oraz odwzorowanie l^c ^ Jest dla każdego elementu (c.d) de fe om or fi z­

mem klasy C^,. Następnie dla dowolnych elementów (Cj.dj), (c2 ,d2 )*/Gr/ za­

chodzą związki:

1 (c2 ,d2 ) . (Cj.dj) ' 1 (c2 ,d2 )° 1 (c1 ,d1) • (36)

(kropka Jest d z ia ła ni em mnożenia w grupie G r ) oraz

lg = ldR m, (37)

gdzie "e" Jest elemerttem neutralnym grupy G r . Związki (36), (37) są w ł a ­ śnie odpo wi ed ni o równaniem fundamentalnym naszego obiektu złożonego oraz w a r u n k i e m identyczności zapisanymi w terminologii algebraicznej wz orowa­

nej na prac y [l9] , s. 39. Ma my zatem spełnioną aksjometykę grupy (.lego pr ze ks zt ał ce ń (lewostronnych) (Gr , Fm , o ) .

U w a g a . W p r o wa dz on y obiekt złożony Jest obiektem efektywnym ([lO]s [l9] , s. 39), mi ęd zy innymi ze względu na obecność obiektów składowych będących wektorami kontrawariantnymi względem grupy Gl(n,R) oraz ob iektów b, b.

Nie wszy st ki e Jednak poszczególne obiekty składające się na niego są obie k­

tami efektywnymi względem grupy G r , np. nie są nimi wszystkie o regule transformacyjnej zdefiniowanej w oparciu o jedną tylko grupę GL(njR). S k u ­ tek tego Jest taki, że Istnieją elementy dj f d2> takie że zachodzi rów­

ność: l(c d ^ « l(c d Wydaje się, że ze wz ględu na prostotę oraz sz e­

roko znane zastosowania używanych tu obiektów geometrycznych, lepiej zde-

cydować się na ich nieefektywność, niż na zastosowanie takiej procedury Jak opisana w twierdzeniu 4 na str. 124 książki [l9] doprowadzającej do obiektu efektywnego i efektywnej grupy Liego przekształceń.

Zgodnie z naszkicowanym programem postępowania podamy teraz otwarte ookrycie rozmaitości bazowej Y^. Oako zbiór indeksów I dla tego pokrycia przyjmiemy zbiór par uporzędkowanych indeksów numerujących kolejno mapy atlasu rozmaitości Xn oraz Y^. Czyli zachodzi: (oęx ,ofY ) e I. Dla up ro­

szczenia pisowni zamiast zastosujemy oznaczenie oę , zamiast "gly" - 'oę. Każdy ze zb io ró w pokrycia Jest identyczny z "/Y V " = /Y V ) -

Zd ef in iu jm y następnie pojęcie kiełków dla dowolnych dyfeomorfizmów (co najmniej klasy C^) zbiorów otwartych "Rn " oraz zbiorów otwartych "R^"

(C20J , s. 68). Sę nimi odpowiednio klasy równoważnych (w sensie równoważ­

ności logicznej) uporzędkowanych par (q,t) oraz (o,T) ( q í D ( t ) , O c d ( t ) ) , Pary (q,t) oraz s? równoważne wtedy i tylko wtedy, gdy zachodzi:

q = qL oraz istnieje taki zbiór otwarty U w przestrzeni R n , dla które-

I /

go mamy t | U = t^JU. Podobne rozumowanie przeprowadzamy dla "(Q.T)". T w o ­ rzymy pary uporzędkowane kiełków [c¡,t] i [o,tJ , tzn. : ([ćf,t], [o .t]). W zbiorze tak otrzymanych par kiełków wprowadzamy złożenie oznaczone O :

( [ t f . f ] , [ Q . T “] ) = ([sritr] . [q'.t,-] ) n ([q.f] . [Q,T-]) , (38)

odzie

= t'(q) , Q ’ = V(Q) .

t" = t ” o t1, T" = T- a Tl

Łatwo zauważyć, że nie wszystkie pary kiełków sę składalne, a dla tych, które sę - złożenie nie zależy od wyboru ich reprezentantów. Ws po mn ia ny zbiór par kiełków wraz ze złożeniem D tworzy grupoid Brandta ( . ss.

41, 42). Oznaczymy go GB.

• Odwzorujemy przedstawiony powyżej grupoid Brandta (jego podkład /GB/) na zbiór par uporzędkowanych złożonych kolejno z macierzy pochodnych cząst­

kowych transformacJi t' w punkcie oraz T 1 w ounkcie O, czyli na V G r/"

([q , t'], [ S . T 1]) P— (A*(q) , b'(5) ) ,

gdzie

A’(q) = [a9'(5)J ,

b’(q) = [bJ^Vq)] ,

AjfOÍ) - g f e ) .

) ^_i)Q ( 3 ) -

(39)

- 25

Powyższe odwzorowanie jest suriekcją, lecz nie jest injekcją. Stosując twierdzenie o różniczkowaniu złożenia odwzorowań oraz wzór (38) łatwo za­

uważyć, że mamy tu do czynienia z h o m o m o r f i z m e m , dokładniej - epimorfiz­

mem grupoidu GB na grupę G r , powstałą przez pominięcie struktury róż- . niczkowej grupy Liego G r (porównaj: [20], s. 69).

U w a g a . Wprowadzenie grupoidu Brandta kiełków nie jest niezbędne do przeprowadzenia żądanej konstrukcji wiązki. Został on podany, aby uw yp uk­

lić możliwość określenia pewnych struktur algebraicznych w zbiorze klas dy fe omorfizmów pozwalających na wyznaczenie elementów grupy G . Innym po­

jęciem, które również mogłoby tu być zastosowane jest grupoid Brandta że- tów ( [ll] , s. 54).

Powiążmy następnie transformacje uzyskiwane za pomocą map rozmaitości X n oraz Y f z dyfeomorfizmami występującymi w definicji naszego grupoi­

du Brandia oraz zdefiniujmy odwzorowania

w y s t ęp uj ąc e w przytoczonym twierdzeniu o konstrukcji wiązki.

t1 » " uib°

< ■

= V V ’

V / T V

(41)

t" >

\ oę ’

V

V < *

Naśladując definicje macierzy a'(3). d(Q) ze wzoru (39) oraz posługując się wzorami (16) , (20) mamy:

A'(q) = c' . B' (0) = d’. *

A “ (q) = , b; (q) = d';

.

a" (q ) = c". b" ($) = d"

o r a z

9(^'/9(0ffcp(y ) = A ' (5) • B'

,

9 ( - J W / 5 (y) = (*’(*>- = < < . < > . 9 (y'y) toto(y) = (A" (9)> =

(43)

dla

$ = u^(y) ■ Q “ u 'o/v) '

q ‘ = u^(y) • Q ( ■ ui^(y) • y « /yf/.

Stąd też wynika :

9 («S'^(Cfbf)(y) = 9 (ff'y)W)(y) • 9 W)(oę'of)( y ) ’ (44)

dla dowolnych elementów y e /Y*/. (tyty • • (/’j) 6 I * Widzimy jednocześnie, że odwzorowania (40) s? klasy Coc.

Zaznaczmy jeszcze sposób powiązania map atlasu wiązki oraz map rozmai-

f N

tości bazowej Y i rozmaitości wiązki B . Czyli zapiszmy w naszym przy­

padku wzór (15) :

" W # “ (UW X idR m ) ° ♦ & » * ) • (45)

Żaden z atlasów rozmaitości BN , Y*, Fm , G r , ani też atlas wiązki nie są tutaj maksymalne.

U w a g a . Moglibyśmy dla rozmaitości G r , Fm wprowadzić atlasy maksymal­

ne i działanie zapisane we wzorze (35) traktować Jako przeprowadzane tyl­

ko na punktach należących do “/ G r/ ” i , nie pytając Jak go zapisać w poszczególnych układach współrzędnych rozmaitości G r i Fm . Dzięki wprowadzeniu jednej mapy dla "Fm " mamy jednak bardzo proste powiązanie map rozmaitości B N z mapami rozmaitości Y^. Fm i atlasu wiązki 'f*. M o g l i ­ byśmy również operować atlasem maksymalnym rozmaitości bazowej, lecz w ó w ­ czas rozpatrywane obiekty geometryczne byłyby określone wyłą cz ni e dla map rozmaitości Y^ wprowadzonych przy pomocy wzoru (20).

W ten sposób zakończyliśmy konstrukcję pierwszej z wiązek oznaczonej literą W, W = (sN , Y ^ , Fm , G r , 0 , p , ^ ) . Ponieważ przeciwobrazy map atla- su tej wiązki są iloczynami kartezjańskimi /Y / x /F /, więc Jest ona trywialna (pórównaj : [ l 9 ] , s. 97).

U w a g a . Zauważmy, że w przypadku operowania rozmaitościami Y^ i X n kla­

sy Ck oraz obiektami abstrakcyjnymi specjalnymi klasy s ([11] . s. 58), (ze względu na struktury obu ronraaitości), klasa odwzorowań przejścia 9 (.jb'lb) (afty bV łoby ^k-s (zakładamy: k-s > 0 ) . Mi ęd zy innymi z tego powo­

du wygodnie Jest używać. Jak to zaznaczono w punkcie 2, wszystkich rozma­

itości i odwzorowań klasy C ^ .

Przedstawiona konstrukcja wiązki uprościłaby się dość znacznie, gdyby nie obecność obiektów rozdwojonych. Następna wiązka (której sposób wp ro­

wadzenia już tylko naszkicujemy) będzie pozbawiona takich obiektów, po­

nieważ związana będzie wyłącznie z wielkościami elektrycznymi obwodowymi.

- 27 -

Rolę rozmaitości bazowej dla więzki tej spełnia również, ta sama co poprzednio, rozmaitość współrzędnościowa służęca do rejestracji ła­

dunków obwodowych. Grupę 1-iego będzie grupa GL(f,R) » 'Gr ('r = f2 ). Zbiór r1"1 ('m « 4 f + ( n - f ) f+3f2 ) tworzymy z kolei dla rejestracji wielkości obwo- dowych o składowych (Q, O, E, A ^ M ^ R . S ) . Posiada on naturalny to­

pologię oraz atlas złożony z jednej mapy będęcej tożsamościowym odwzoro- waniem "Rlm" na "R,m". W ten sposób powstaje wł ók no wzorcowe 'f1". Ols w y ­ mienionych wielkości obwodowych zachowujemy poprzednio podane reguły trans­

formacji ich składowych, czyli charakteryzujemy Je tymi samymi obiektami abstrakcyjnymi specjalnymi. Uwzględniajęc ww, kolejność ich składowych kon­

struujemy z nich obiekt abstrakcyjny złożony o regule transformacji, któ- rę zapiszemy następujęco:

• w 1» = d'®'w,

(46) d e /t'r/, 'we /ł=m/.

Podobnie też stwierdzamy, że odwzorowanie 1^ Jest dyfeomorfizmem klasy C«, "/Fm/ “ na ’/F* /" oraz działanie '© Jest odwzorowaniem klasy C ^ . Z a ­ chodzi równocześnie dla dowolnych elementów d ^ . d ^ e /fer/ z w i ę z e k :

1H . = 1 . 6 1 . (47)

2 1 2 d l

lfe = idR'm (48)

(symbol '• jest działa ni em mnożenia w grupie 'Gr , "te" jest elementem neu­

tralnym tej grupy). Czyli mamy do czynienia z grupę Liego przekształceń (lewostronnych) Og'", ‘Fm ,'0). Ze względu na obecność w opisanym obiekcie abstrakcyjnym złożonym we kt or ów k o nt ra wa ri an tn yc h, względnie kowariant- nych, grupa ta jest efektywna. Za zbiór indeksów *1 otwartego pokrycia rozmaitości bazowej, przyjmiemy tu zbiór indeksów map atlasu tej rozmaito­

ści. Indeksy te oznaczymy symbolami 'oę ,'/b ,' f e 'I. Odwzorowania przejścia k l a s y C M

9._W

: UrA"

— A'"/.

u'cę = > = Y / d e f i n i u j e m y n a s t ę p u j ę c o :

(49)

V

B'(0) = [Bk'(Q)] < ■

(50) BQ

dla

a (y) = B'(0) *= d'

Q » u J v ) . v s / v f/.

Podobnie zachodzi z w i ę z e k :

gi . = 9< .iy) '• 9i * J y) • 'j bf 't'f> 'fto

dla dowolnych elementów (51)

y e A f / .

1

Ma my też odpowiednik wzoru (45) :

u (u x id 'm)o'ib (52)

'B'e* 'oę R V r,<* 1

Symbolem oznaczyliśmy tu mapę rozmaitości więzki. W oparciu o twier­

dzenie przedstawione w punkcie 3 konstruujemy wobec tego więzkę trywialnę wielkości obwodowych 'W = ('BN , Y^ , 1F1" , 'G1", '© , 'p ,'Y) - Kreski występujęce z lewej strony przy oznaczeniach pewnych elementów tej więzki zwięzane sę zamiarem powięzania obu więzek W oraz 'W za pomocę pewnego morfizmu na- śladujęcego rzutowanie obiektów geometrycznych na podrozmaitóść ([9 ], ss.

154. 155).

5. KONSTRUKCJA PEWNEGO MORFIZMU WIĄZKI W W WI ^Z K^ 'W

Morfizmem wiązki W w wiązkę 'w ( [19] , ss. 101, 102) nazywamy nast ę­

pujący cięg odwzorowań (h, h, h^, hQ , h) (klasy C«,) :

h: / BN / — -/£*/■, h: / Y f/ — / Y f/.

h lS /f"7 - A ' V hQ : / G r/ — /fe"7. (63)

h: /HM / _ ~ A lM/. M = f + r , ‘M = f+V,

gdzie "HM " , “V|M " są odpowiednio rozmaitościami głównych wiązek wł ók ni s­

tych W, W, przyporządkowanych wiązkom W, 'w ([19 ], ss. 82, 88). W przy- H 'H

padku tutaj rozważanym rozmaitości bazowe obu wiązek W,'w są identyczne - ogólnie nie musi tak być. Odwzorowania wymienionego ciągu spełniają pew­

ne warunki, które będziemy omawiać, budując nasz przykład morfizmu.

Od wz or ow an ie hQ (suriekcja klasy CM ) zdefiniowane jest następują­

co :

ho (c,d) = d, (c.d) e G r . (54)

Łatwo spostrzec, że odwzorowanie h Jest epimorfizmem grupy G r na gr u­

pę 'Gr .

Odwzorowanie h^ (suriekcja klasy C w ) podane Jest za pomocą wzorów:

'kl

£h k "gh 0 I 1 O o>n «O <°h 3kl " b k Sgh b 1"

(55)

Na podstawie reguł transformacyjnych wielkości związanych z włóknami Fm i 'F1" oraz w z or ów (55) stwierdzamy spełnienie dla dowolnego elementu (c,d) e / G r/, równania:

iho (c.d) ° h l = h l o X (c,d) •

które można zapisać w postaci przemiennego diagramu

y p ^ y (c ,d) y p m y

"1

/F"/

Xh (c ,d)

h Ł , ( c . d ) f ,/Gr|.

/ Fm/

(56)

(57)

Oeśli uporządkowane trójki (Gr , Fm , a), (lG r ,'Fm ,'o) są grupami Liego przekształceń (lewostronnych) oraz spełnione Jest równanie (56) (czy też diagram (57)), ”h0 " jest homomorf izmem grupy. G r w grupę *G'r , to u p o­

rządkowaną parę odwzorowań (h0 ,hj) (pewnej klasy) nazywamy współzgodną ([l9], s. 43). W naszym przypadku mamy więc do czynienia z odwzorowaniami współzgodnymi (ho > h 1 ).

Zauważmy, że równanie (56) podobne jest do tego, jakie występuje w d e ­ finicji komitanty dwu obiektów abstrakcyjnych specjalnych ( [ n ]. s. 88).

Różnice polegają na tym, że definiując komitantę nie żądamy różniczkowal- ności odwzorowań hQ , h^ oraz odwzorowanie h Q jest identycznością. We wzorach (55) dostrzegamy definicję rzutu wielkości kontra i kowariantnych na podrozmaitość Y f. Na razie jednak, rzut ten dotyczy tylko samego po­

wiązania punktów włókien wzorcowych Fm i ’F1", Celem naszym będzie teraz powiązanie obiektów geometrycznych szczególnych, czyli punktów rozmaitoś­

ci wiązek BN i 'bN .

A b y to osiągnąć zbudujmy najpierw Jeszcze współzgodną parę odwzorowań

/ A A

(hQ ,h). Odwzorowanie h definiujemy następująco:

y = p(z) » p ( z ) , z 6 / H M/.

H H 'H'H H

(58)

- 31 -

Wykorzystując reguły transformacji dla elementów włókien wzorcowych obu wiązek głównych (porównaj wzór (6)) oraz fakt, że odwzorowanie h stanowi

r* 'r ^

epimorfizm grupy G na grupę 'G , łatwo wykazać, że odwzorowanie h nie zależy od wyboru map o indeksach of,'cę, czyli jest prawidłowo określone.

(Mapy rozmaitości bazowej oraz atlasu wiązki i rozmaitości wiązki indek­

sowane są tak samo w przypadku wiązek W, W, jak i odpowiednio wiązek W, IWJ Jednocześnie spostrzegamy, że odwzorowanie to (suriekcja klasy C.J indukuje odwzorowanie tożsamościowe h » id^,y f^ rozmaitości bazowych wi ą ­ zek głównych. Działania o, © (klasy C « ) oraz odwzorowania 1/ •■. , 1 H

H 'H H 'H 0

(dyf eomorf izmy klasy C<*>) definiujemy poniżej (porównaj: [19] , s. 85):

e

( c 'd) ® * = ¿ ( c . d ) (^ = t < ^ v • ( c 'd)" K

y = p(z), z 6 /HM /. (c.d) e / G r/. <591 H H H

d © z = ld (z) i. d ‘ ł ),

*H'H 'h <H

y ® p(z) , z e AlM/, d i / Gr/. (60) 1 H 'H 'H

Podobnie jak w przypadku odwzorowania h można wykazać, że odwzorowania A

¿ ( c , d ) ’ ¿d nie zależą od wyboru map ot ,'of. Stwierdzamy następnie, że wa-

M H

runki podobne do określonych wzorami (36), (37), (47), (48) są spełnione, czyli mamy do .czynienia z grupami Liego przekształceń (lewostronnych) (Gr , HM , ©), (tr , -HM . ©). W dalszym ciągu można wykazać spełnienie dla do-

H 'H

wo ln eg o elementu (c,d) e /G /.'równania:

,iho (c,d) 0 ° ¿(c.d)' (61)

lub też przemiennego diagramu

/hm / (c.d)

/hm /

/^M/ ---AłM /. (c .d )e / G r/ . 'Hho (c 'd)

(62)

Wobec teqo odwzorowania (h ,h) są współzgodne oraz odwzorowanie h wyzna-

3 O

cza z pomocą rzutów p i p odwzorowanie h. Stanowią one tzw. homomor-

H 'H

fizm wiązek ( [l9j, s. 94).

Odwzorowanie h posłuży nam teraz do konstrukcji odwzorowania R

R = | ^ Z ^J 0 h i° Z 6

gdzie dla z e P_ 1 (|yV) dyfeomorfizmy klasy Co ^i zl“ 1

H H

IJ LHJ

([z]"1 : p- 1 (jyj) — / F m/) oraz [h(z)J (h(z) : / F m/ _ 'o- 1 (jy |) )

zdefiniowane są następująco (patrz: [l9] , s. 89):

"

= [

]_1(Z)

H ^ ' 1 ® t ( ° i ^ V ( z ) '

y = p (z ) = p(z) , (6 4 )

H H

'z . [8(Z>] («> ■

<65)

y = ’p('z) = p ( z ) . H H

Można wykazać, że odwzorowanie R jest suriekcją klasy Co,, oraz że nie zależy ono od wyboru indeksów oę , 'of ani od wyboru elementu zsp *( jy |) .O d

T 1-1H Ha 1 wyboru indeksów of , 'cf nie zależą również odwzorowania^ z

J

£h(z)J

dego elementu z e /H/) diagramu:

H M

/ F m/ - ^ L / & /

[

]| |[fi(z>] (66)

/ B N/ A ' n/

33 -

Ma my w ten sposób odwzorowane włókna rozmaitości B N na włókna ro zmaito­

ści 'BN , czyli zachodzi rzutowanie obiektów specjalnych szczególnych na rozmaitość bazowę Y*. Oeśli obrać element z oraz w konsekwencji z, tak

H *H

by dla pewnych ws ka źn ik ów op , 'qf zachodziły zwięzki:

• • • $ * < , ; > ■'*

wzory (64), (65) przybiorę szczególnie przejrzystę postać.

Powracajęc do definicji morf izmów zamieszczonej na poczętku punktu 5, podamy teraz warunki, jakie musi spełniać cięg odwzorowań róźniczkowal- nych (Fi, h, hj, hQ , h). Mianowicie para (ho>h) ma być homomorf izmem wię- zek, para (h ,h.) - parę odwzorowań współzgodnych oraz dla dowolnego "z"

° l H

diagram (66) ma być przemienny. W omawianym przykładzie, jak w i d a ć , warun­

ki te sę spełnione.

Umiejętność konstruowania dowolnych morfizmów więzek polega na doborze trójki odwzorowań (h ,h^,h) spełniajęcych dwa pierwsze z wymienionych w a ­A

runków. Dak można wykazać, odwzorowanie h ok re ślo n e przez wzór (63) Jest wó wc za s zawsze niezależne od wyboru elementu z e p- 1 (jyj). W omawianym przykładzie morfizm można nazwać rzutem więzki W na więzkę 'W. Dokonu- Jęc rzutowariia więzek wystarczy właściwie zbudować parę odwzorowań ws p ó ł ­ zg odnych (hQ ,h1), gdyż odwzorowanie h określone wzorem (58) zawsze sp eł­

ni warunek (61), Jeśli "h “ będzie określone wzorem (54). Podanę ko nstruk­

cję rzutowania więzek można zastosować w przypadku teorii Lagrenge'a ukła­

d ó w elektromechanicznych. Występuję tam również więzy powodujęce, że nie każdy punkt rozmaitości X n służęcej do określenia Dołożeń układu jest

\przez taki układ "osięg al ny". Więzy te definiuję podrozmaitość rozmai­

tości Xn . Stęd też pojawi się konieczność wprowadzenia operacji rzutowa­

nia więzek.

Sam fakt dysponowania pojęciem odpowiedniej więzki pozwala na rejes­

trację punktów pracy rozmaitych sieci w kolejnych momentach czasu. W na­

szym przypadku ustaliwszy więzki W , ' W mamy możliwość analizy pracy kon­

kretnej sieci o n gałęziach 1 f obwodach niezależnych dla ustalonych liczb n, f(n;>f). Jednakże wspomnianę rejestrację pracy sieci musi po­

przedzić podanie równań opisujęcych Ję i to w formie niezależnej od wybo­

ru indeksów cę, 'of map rozmaitości bazowej i Jednocześnie map atlasu wi ęz­

ki i rozmaitości więzki (patrz wzory (45), (52)) - tzw. formie współzmien­

nicze j .

W równaniach sieci figurować będzie zmienna czasu t. Czas nie był re­

prezentowany ani w rozmaitości bazowej, ani we włóknie wzorcowym. Mo żl i­

wa Jest realizacja będź pierwszej z tych koncepcji, będż drugiej. W y st ar­

czy w tym celu wzbogacić rozmaitości X n , o Jeden wymiar i zmiennę czasu transformować niezależnie, stosujęc dla niej transformację tożsa- mościowę - dalszy tok postępowania byłby analogiczny do przedstawionego w punktach 4, 5. W drugiej koncepcji wzbogacamy włókna wzorcowe F01 oraz 'F m o Jeden wymiar, traktujęc czas jako skaler (w sensie obiektu abstrakcyj­

nego). Przeprowadzenie rozważań podobnych Jak w punktach 4, 5 1 w tym przypadku nie nastręcza trudności. Oba wyjścia sę jednak dość sztuczne.

Pierwsze ze wz gl ęd ów geometrycznych (transformacje wszystkich pozostałych wielkości nie ulegaję wówczas zmianie)} drugie ze wz ględów fizykalnych, ponieważ wówczas, przynajmniej formalnie, transformacje dla czasu uważa się za uzależnionę od transformacji dotyczęcej ładunków elektrycznych. Nie­

bawem stwierdzimy, iż obrazem pracy sieci w przypadku ładunków elektrycz­

nych obwodowych będzie krzywa parametryczna, której nośnik za warty będzie w Gdyb y w oparciu o ten nośnik można zawsze utworzyć rozmaitość jednowymiarowa (podrozmaitość rozmaitości Y f) , można by traktować chwile cza su jako współrzędne map takiej rozmaitości. Niestety nie zawsze tak musi być. Do tego dochodzi Jeszcze kwestia oslęgnięcle współzmienności równań sieci przy zmianie współrzędnych czasowych, która komplikuje takę koncepcję. Wobec powyższego pezostawimy tu czas Jako wielkość natury nle- geometrycznej przynajmniej w sensie reprezentowania go w rozpatrywanych wlęzkach. Stanowi ta pewnę lukę, ale upraszcza 1 tak Już dość złażony opis sieci.

Podamy teraz równania sieci więżęca ze eobę składowe obiektów geome­

trycznych, dla kolejnych wartości zmiennej czasu t, występujących w Jej

opisie. Oest to prawo zachowania ładunku elektrycznego dla rozpatrywanej sieci zapisane w zwyczajnej postaci

9 lub też w formie parametrycznej

u u

a_q = Q . (67)

q9 " b9kQk ♦ q8. (68)

O gdzie

u u

Q = a q9 , (69)

o yo

drugie prawo Kirchhoffa dla naszej sieci

(c)U k ■ b 9 k (c)u g ■ 0 <7 0 >

oraz równania definicyjne gałęzi (rys. 1)

(c)ug ■ Mghqh ♦ W 9 * Sghqh ' V - (?1)

W świetle wz or ów (l6). (20), (22), (27), (25), (2i) . (23) oraz za miesz­

cz onych uwag o wektorowym charakterze transformacji składowych q i ska- larnym O współzmienniczość równań (67) - (71) Jest oczywista. We w z o ­u rach (67^, (69) porównujemy dla poszczególnych wartości zmiennej t skła­

dowe skalerów, we wzorze (68) - we ktorów kontrewarientnych (względem struk­

tury rozmaitości xn ) , we wzorze (71) - we kt or ów kowariantnych (też wz g l ę ­ dem struktury rozmaitości Xn ) , we wzorze (70) występuję składowe ze ro we­

go wektora kowarlantnego (względem struktury rozmaitości Y ).

Równania te nie sę zbyt wygodne do analizy, bowiem mamy n równań róż­

niczkowych (wzór (71)) i również n algebraicznych (wzory (67), (70)).

Podstawiajęc prawe strony zależności (68) do (71) i mnożęc te ostatnie przez “bq." otrzymujemy, po wy korzystaniu wzoru (70), równania obwodowe

(oczkowe) :