ZESZY TY N A U K O W E P O L IT E C H N IK I Ś L Ą S K IE J Seria: B U D O W N IC T W O z. 95
2002 N r kol. 1559
M agdalena Ł A S E C K A * Politechnika P o z n a ń sk a
ANALIZA UKŁADÓW PRĘTOWYCH Z NIEJEDNORODNYMI WARUNKAMI BRZEGOWYMI METODĄ FUNKCJI WŁASNYCH
S tre s z c z e n ie . W p racy p rz e d sta w io n o m o ż liw o ść z a s to s o w a n ia m eto d y fu n k c ji w ła sn y c h do analizy je d n o w y m ia ro w y c h u k ła d ó w p rę to w y c h o s tru k tu rz e d y sk retn ej z n ie je d n o ro d n y m i w arunkam i b rz eg o w y m i. K o n c e p c ję o m ó w io n o n a p rz y k ła d z ie z g in a n ia b e lk i E u le ra - B em oulliego, któ rej w ę zły b rz eg o w e o p a rte s ą n a sp rę ż y s ty c h p o d p o ra c h o n ie z e ro w y c h p rzem ieszczen iach , a o b c ią ż e n ie stan o w i d o w o ln y cią g w ę z ło w y c h sił sk u p io n y c h . D o obliczeń p rz y ję to d y sk re tn y p o d z ia ł b e lk i n a d w u w ę z ło w e e le m en ty s k o ń c z o n e. W aru n k i rów now agi z a p isa n o w p o staci ró w n a ń ró ż n ic o w y c h , k tó ry c h ro z w ią z a n ia o trz y m a n o w postaci a n ality c zn e j.
ANALYSIS OF BEAM SYSTEMS WITH NON-HOMOGENEOUS BOUNDARY CONDITIONS USING EIGENFUNCTION METHOD
S u m m a r y . A p o ss ib ility o f a p p lic a tio n o f e ig e n fu n ctio n m eth o d fo r b e am sy ste m s w ith discrete stru c tu re w ith n o n -h o m o g e n e o u s b o u n d a ry c o n d itio n s is p re sen te d . A c o n c e p tio n is given fo r e x a m p le o f b e n d in g o f E u le r-B e rn o u lli b eam . Its b o u n d a ry n o d e s a re ela stica lly supported an d h a v e n o n -z e ro d isp lac em e n ts. T h e b e am is lo ad e d b y an a rb itrary se t o f n odal forces. T h e d isc re tisa tio n o f th e b e am in to tw o -n o d e fin ite e le m en ts is ad o p ted . T h e equilibrium c o n d itio n s a re e x p ress ed in th e fo rm o f d iffere n ce eq u atio n s. T h e s e e q u a tio n s are solved an aly tic ally .
1. Wstęp
S zybki ro zw ó j m e to d n u m ery c zn y c h w o b lic z e n ia c h k o n stru k c ji in ż y n ie rs k ic h , a sz czeg ó ln ie m eto d y e le m en tó w sk o ń c z o n y ch , sp o w o d o w a ł z a n ie c h a n ie p o sz u k iw a ń ro z w iąz ań a n ality c zn y c h . O k a z a ło się je d n a k , że ró w n ie ż w p rz y p a d k u u k ła d ó w m o d elo w a n y ch stru k tu ram i d y sk re tn y m i u z y sk a n ie tak ic h ro z w iąz ań w p o staci zam k n iętej je s t m o ż liw e d zięki z a s to s o w a n iu m eto d y ró w n a ń ró żn ico w y ch . T e o rię ró w n a ń ró ż n ic o w y c h
* O p ie k u n n au k o w y : P ro f. d r hab. inż. Jerzy R ak o w sk i
350 M. Lasecka
o ra z je j a p lik a c ję d o an alizy z ag a d n ie ń staty k i i d y n a m ik i re g u la rn y c h k o n stru k cji prętowych ro z w in ął w P o lsc e G u tk o w sk i [1], T em aty k ę tę p o d jął Ś w itk a [3,4] i R ak o w sk i [3], stosując d o ro z w iąz ań w y b ra n y ch p ro b lem ó w teo rii k o n stru k c ji m eto d ę fu n k cji w łasn y ch . Rakowski w y k a z a ł m .in. w p ra c y [2], ż e w p rz y p a d k u re g u larn ej d y sk re ty z a cji układu, ap ro k sy m o w a n e g o zb io rem id e n ty c zn y c h e le m en tó w sk o ń c z o n y ch , m o żliw e je s t w yznaczenie w a ru n k ó w ró w n o w ag i w p ostaci ró w n ań re k u re n c y jn y c h , e k w iw ale n tn y c h w stosunku do u k ła d u ró w n a ń alg e b raic zn y c h , o trzy m an y c h w p o staci m ac ierz o w e j d zięk i zastosow aniu m eto d o lo g ii M E S . T ak ie sfo rm u ło w a n ie , k tó re p ro w ad zi w w ie lu z a d a n ia c h d o określenia je d n e g o ró w n a n ia ró ż n ic o w e g o n ie z ale ż n ie o d lic z b y stopni sw o b o d y dyskretyzow anej k o n stru k c ji, p o z w ala n a p ro stą an alizę p a ra m e try c z n ą ro zw iązań . O k a z a ło się ono również siln y m n a rzę d zie m m .in. d o ocen y i k ry ty czn ej a n alizy sto so w an y c h e le m e n tó w skończonych i id en ty fik ac ji p a so ż y tn icz y c h z ja w isk p o jaw ia jąc y ch się w o b lic z en iac h nu m ery czn y ch , jak n a p rz y k ła d z ja w isk a b lo k ad y śc in an ia p o p rz e c zn e g o (sh e a r locking).
W e w s z y s tk ic h cy to w a n y c h w arty k u le p ra ca c h o ra z w in n y ch p o z y c ja c h w ym ienionych w b ib lio g ra fii ro z w iąz an ia a n a lity c zn e ró w n a ń ró ż n ic o w y c h w y z n a c z a n o d la wybranych k o n stru k c ji p rę to w y c h o jed n o ro d n y c h w a ru n k ac h b rz eg o w y c h .
W n in ie jsz ej p racy n a w y b ra n y m p rz y k ła d z ie belk i E u le ra -B e m o u llie g o (E-B) p rz e d sta w io n o k o n c ep c ję z as to s o w an ia m eto d y fu n k c ji w ła sn y c h , d la p rz y p ad k u gdy warunki p o d p a rc ia o k re ślo n e są u o g ó ln io n y m i p rz em ie sz c ze n ia m i o n ie z e ro w y c h w a rto ścia ch .
2. Równania równowagi dla jednowymiarowego pręta zginanego
B e lk ę o sko ń czo n ej d łu g o ści a p ro k sy m o w a n ą id en ty c zn y m i e le m en tam i skończonym i i o b c ią ż o n ą d o w o ln y m c ią g iem w ę zło w y c h sił sk u p io n y c h Pr i m o m e n tó w sk u p io n y c h M r p rz e d sta w ia rys. 1.
o
-* ■r-1 r +1
R
a r a
Rys. 1. B elka o regularnym podziale obciążona siłami i momentami węzłowymi Fig. 1. Regularly discretized beam loaded by nodal forces and moments
Analiza u k ła d ó w p rę to w y ch z n ieje d n o ro d n y m i w aru n k am i. 351
D o ro z w aż a ń p rz y ję to p o d z ia ł belk i n a d w u w ę z ło w e e le m en ty s k o ń c z o n e o cztere c h stopniach sw o b o d y i szty w n o śc i n a z g in a n ie E l.
“ _____
I »2
---
aRys. 2. Dwu węzłow y elem ent skończony belkow y E-B Fig. 2. Two-node E-B bcam finite elem ent
M acierz szty w n o śc i te g o e le m en tu w y p ro w a d z o n a d la śc isły ch fu n k c ji k sz ta łtu m a p o stać:
12 6 - 1 2 6 '
6 4 - 6 2
- 1 2 - 6 12 - 6 ^
- 6 2 - 6 4 i w iąże w e k to ry u o g ó ln io n y c h p rz e m ie sz c z e ń i sił w ę zło w y ch :
K q = f , (2 )
gdzie: q r = {w, ęi, w2 </i2}, m l P2 m 2},
<pl = a <pl , mi = M j a , d l a ; = 1,2.
K o rz y sta ją c z m ac ierz y (1), ró w n a n ia ró w n o w ag i d la d o w o ln e g o w ę z ła r m o ż n a p rzedstaw ić w n astęp u jącej p o staci (rys. 3):
Pr
H-.M__________ 1_A/r MrJ
.
Q,M , \ / A / T ^ A* W,
Rys. 3. R ów now aga w ęzła r Fig. 3. Equilibrium o f r-th node
6 ( « V - i - ™ r ) + 2(<*,_, + 2 ¿ ) + 6 (w , - w , t l ) + 2(2$¡, + ¿ , +1) = 24Bm,.
- 1 2 (> v , - w ,) - 6(&-i +(#, ) + 12(h-v - wr+1) + 6(y>, + 0 ,+1) = 24&P,
(3 )
gdzie:
24EI
352 M. Łasecka
W p ro w a d z a ją c d o ró w n a ń (3) o p e rato ry p rz esu n ię cia B o o le ’a E " i ró ż n ic centralnych A”
[1] o trzy m am y :
(a2 + 6)/>r - 3(e - E~] )wr = 1 2 Bm r
i 2 (4)
\ E - E yf>r - 2A wr = ĄBPr . E lim in u ją c z ró w n a ń (4) w ie lk o ś ć <j>r d o sta n ie m y
A4vr, = 4b(a2 + ć)pr - 1 2b(e - E~' )mr , (5)
gdzie:
A2 = A2 = E ' + E ~ ' - 2 , E " = E"r . A4 = E 2 - 4 E + 6 - 4E ~] + E~2 .
Z ajm ie m y się p rz y p ad k iem , gdy o b c ią ż e n ie b elk i o k o ń c a c h r = 0 i r = R stanowią je d y n ie siły sk u p io n e Pr o d o w o ln y m ro z k ła d zie (w ró w n a n iu (5 ) n a le ży p rz y ją ć m r = 0 ) . R o z w ią z a n ie m ró w n a n ia n ie je d n o ro d n e g o
A4 w, = 4b(a2 + ć )p r (6)
je s t fu n k c ja o d y sk re tn y m a rg u m e n cie r (fu n k c ja d y sk re tn a), o p isu jąc a przem ieszczenia w ę z łó w w r i s to w a rzy s zo n a z n ią fu n k c ja o b ro tó w w ę z łó w <j>r o p o sta ciac h [3]:
4 ^ , ¿ - ¿ ¿ W , (?)
g d z ie Pk = 'YJ PrWrk , a ] to w arto ści w ła sn e , a W r t to o rto g o n a ln e fu n k c je w łasne w
p rz e d z ia le (0,7?) je d n o ro d n e g o ró w n a n ia ró ż n ic o w e g o
A4wr - 4ar2 (a2 + 6)wr = 0 , (8)
o d p o w ia d a ją c e d an y m , je d n o ro d n y m w a ru n k o m b rzeg o w y m . to fu n k c je obrotów w ę złó w , k tó re w y z n a c z a się z ró w n a ń (4 ) p o p o d sta w ien iu tam w m ie jsc e wr
łr ® r,k» B pr -*■ <*l > p rz y ję ciu m r = 0 .
P rz y to cz m y ro z w iąz an ie d la b elk i o sch e m a c ie sta ty c zn y m j a k n a rys. 4.
D la w a ru n k ó w b rzeg o w y c h :
r = 0 , * „ = 0 , & = 0 >
= 0 .
r = R , - —
Analiza u k ła d ó w p rę to w y c h z n ieje d n o ro d n y m i w aru n k am i. 353
/ ’(, I \ P? Pr-\ P r P '*! Pr-\ Pr
I 1 i 1 1 1 1
S O 1 2 M r f+1 R-l
L=Ra
S 7 T 7
— +■
Rys. 4. Schemat rozważanej belki (L=Ra) Fig. 4. Layout o f considered beam (L=Ra) otrzym uje się [3]:
( l - c o s h / rt )2 _ (l - cos v k )2
K . t = D
1 2(cosh /Jk + 2 ) 2(cos v k + 2)
(cosh fxkR - cos —Sm |/t— sinh f i k ( c o s v4+ 2
sinh u t r --- -— s i n v /
+ cosh n kr - cos v kr sinh n k sin v k O r,t = 3 D
+ 3
(cosh n k + 2Xcos v k + 2)
cosh n k + 2
(cosh jukR - cos vt /íXc°sh ¡it r - c o s v kr)
sinh ¿4 . , s in v t
sinh /Jkr + — sm v t /- cosh fik + 2
( sinh fj k sin v kR sin v k sinh fj.k cosh n k + 2 cos vt + 2 gdzie: D =
fik i v k to p ierw ia stk i ró w n a n ia c h ara k te ry sty c zn e g o :
(cosh fjk - cos vt )[(cos v k + 2)sinh n k sin v k R cosh fJk R - (cosh /jk + 2)•
•sin 14 sinh /rt ^ c o s v t /?]= 0
... 5 - 2 c o s v 't . . 5-2co sh/4 zw iązane z s o b ą z ależ n o śc iam i: cosh u k = lub c o sv Ł = --- .
cos v k + 2 cosh n k + 2
Z n ając fu n k c je w r , z zależ n o śc i (2 ) i (4 ) m o ż n a o k re ślić w z o ry n a w a rto śc i p rzy w ęzło w y ch sił w e w n ę trz n y c h [2]
A = M = ^ - A 2w , - j P r ,
a 6
M r,„ l = M = ~ A 2w r + ^ P r ,
Qr,r-\ =6= - H e-' - i ) p „
a o
Qr.r+I = Q = H { E - \ ) A 2wr - H E - \ ) P r .
a ' 6
(1 0 )
354 M . Łasecka
3. Niejednorodne warunki brzegowe
W n in ie jsz y m ro z d ziale ro z p a trzy m y p rz y p ad e k b ard ziej ogó ln y . N ie c h w ę z ły brzegow e ro zw ażan ej belk i o p a rte s ą n a sp rę ż y sty ch p o d p o ra ch : w ę z e ł r = 0 n a lin io w ej i k ątow ej, zaś w ę z e ł r = R n a lin io w ej (rys. 5).
Rys. 5. Schemat belki opartej na sprężystych podporach Fig. 5. Layout o f elastically supported beam
W arto śc i k- to szty w n o ści sp rę ż y s ty ch p o d p ó r lin io w y c h (k0 i a % m - to sztyw ność k ą to w a sp rę ż y s te g o u tw ierd z en ia (%0).
O d p o w ie d n ie p rz em ie sz c ze n ia w ę złó w b rz e g o w y c h są p ro p o rc jo n a ln e d o reakcji w y s tę p u ją c y c h w sp ręży sty ch p o d p o rach . A b y u w z g lę d n ić w ro z w iąz an iu z a d a n ia ten fakt, d o k o n a m y a n alizy p rz y p ad k u , w k tó ry m b e lk a o sc h e m a cie p rz e d sta w io n y m n a rys.4 (p o d p o ry n iep o d a tn e), b e z z ew n ę trzn e g o o b c ią że n ia (-Pr = 0 ) d o z n aje w ym uszonych p rz e m ie sz c z e ń w ę z łó w b rzeg o w y c h :
W z ad a n iu p o m o cn ic zy m m u sim y w ię c w y z n ac z y ć fu n k c ję p rz em ie sz c ze ń w r , spełniającą ró ż n ic o w e ró w n a n ie je d n o ro d n e (por.(5)):
Po Pi A l P r P m Pr-i Pr
-d la r = 0 w 0 = v 0, ć > o = 0 o ( 0 „ = a 0 ) ,
( 11 )
-d la r = R
A* W r = 0 .
R o z w ią z a n ie o g ó ln e ró w n a n ia (1 2 ) m a p ostać:
W r = Cq + C ^ f + + ^ - 3 ^ ,
z a ś k ąty o b ro tó w w ę złó w o k re śla w zór, k tó ry w y z n ac z a się z ró w n a ń (4)
<j>r = C, + 2C 2r + 3 C 3r 2 . (14)
( 12)
(13)
Analiza u k ła d ó w p rę to w y ch z n ieje d n o ro d n y m i w a ru n k am i.. 355
U z u p ełn iają c trzy w aru n k i b rz e g o w e (1 1 ) o c zw a rty M RR+1= 0 , czy li d la r = R ,
FI / \
M = — - A 2wr = 0 , w y z n a c z y m y z n ich sta łe C, (i = 0,1,2,3) p o p o d sta w ie n iu d o n ic h relacji
a2
(13) i (14). O sta tec zn ie , w y m u sz e n ia k in e m a ty c z n e d a ją n a stę p u ją c e w z o ry n a u g ię c ia i obroty w ęzłó w :
3 K - v o ą L i . 1 wr =v0 + © 0r + — I — ^ ©0Jr + ^ r | e . -
(15)
W y m u szo n e p rz e m ie sz c z e n ia p o d p ó r ( v 0 , vR , 0 O ) w y w o łu ją w n ich reak cje. D o d a tn ie zwroty sił p o d p o ro w y c h i m o m e n tu u tw ie rd z e n ia z a z n a c z o n o n a rys. 5. W y z n a c z m y ich w artości. N a p o d sta w ie w z o ró w (1 0 ) o g ó ln e p o sta c ie fu n k c ji re ak cji z a p isu je się n astęp u jąco :
v » = -Q 0, = — +3W1 -3 w o + w - i ) a
V r = - Q r r = —[•(¡¡'a+i - 3 w r + 3 ^ - 1 -W R -2 ) (1 6 ) a
/ \
/ „ = F o /a = - M 0 J a = — \jv\ - 2 w 0 + w -i J a
Po p o d sta w ien iu w z o ró w (1 5 ) d o fu n k c ji (1 6 ) o trzy m am y o s ta te c z n ie w y ra ż e n ia n a re a k c je w yw ołane o sia d a n ie m podpór:
p° = - ^ t(v° - v* + 0 °'r )
F * = 7 i L ( vo - u * +©<>*) o dK
J o = F 0/ a = - ^ - i (v0 - v R + ® 0R ) onK
W p rz y p a d k u p rz em ie sz c ze ń je d n o s tk o w y c h re ak c je p rz e d sta w io n e w zo ram i (1 7 ) p rz y jm ą n astęp u jące w arto ści:
- d la v0 = 1 ( v R = 0 , 0 O = 0 )
1 r 1 ^ 1
V °’° = ~ o d „3 > = _ _ . / 0.0 = - 8B R 3 ’ ' W R ] ’ ’ W R 2 ’
(1 8 ) - d la vR = 1 ( v 0 = 0 , 0 O = 0 )
Ü0, R = — *-T , V R,R = f 0 „ = — !—
,
&BR 8 B R i ' 8 B R 2
356 M . Łasecka
- d la 0 O = 1 ( v 0 = 0 , vR = 0 )
v L _ v - - i - 7 = - _ L 0 / 8B R 2 ’ 85/?2 ’ 'f 8 5 5 '
R e a k c je w y w o ła n e d z ia łan iem o b ciążeń z e w n ę trzn y c h n a b e lk ę o p o d p o ra ch nieprzesuw nych o b lic z a się z g o d n ie z e w z o ram i (1 9 ), k tó re w y p ro w ad z o n e z o stały p o w y k o rz y stan iu relacji (7 ) i (10):
1 K A
VoF) = - O A X * + jr ( £ + 6K
^ — ¿ i J ( £_1 - ' W * , \ ( £ l + « K (19)
r A r o,t
24 a \
P o ro z w ią z a n iu z a d a n ia p o m o cn ic ze g o i w y z n a c z e n iu fu n k cji p rz em ie sz c ze ń (1 5 ) i reakcji (1 8 ) m o ż n a o k re ślić w a rto ści re ak cji w an alizo w a n ej b e lc e o p o d a tn y c h p o d p o ra ch (rys. 5) sto su ją c z a s a d ę su p erp o zy cji sk utków . W ielk o ści V0' , V„' i F ‘ ( f o* = / 0* a ), b ę d ą c e skutkiem d z ia ła n ia o b c ią ż e n ia Pr o ra z p o d atn o ści p o d p ó r, sp e łn ia ją u k ła d rów nań:
v ; = K 0(p ) + F o , o ^ - + F o , f i — + Vo.f -fo a
k0 K r X o
k ; = v j f > + Vr.o^ + V r,r a *. + ( 20)
5To
f - A F) + f ! ^ - + f ^ s ~ + f Jo — Jo W 0.0 T J 0 J I T J O /
*7 *7 Ko
W p ro w a d ź m y do o b lic z eń szty w n o ści z as tę p cz e (w ielk o ści b e z w y m ia ro w e ) i następujące o z n a c z e n ia sk ra ca jąc e zapis:
„ o35 V 0 I?k0 „ a353/cR Z,VR „ aRxa L z 0
A A — — , A. n — ——— —— — — — — A <■ — —
0 E l E l E l E l El E l
R o z w iąz an ie m u k ład u ró w n a ń (2 0 ) s ą w arto ści reakcji:
v ; = K \K 'V ^P) + 3 K 0K r (K0(f > - f t ]/lł)+ 3 K 0K f + Kjp>)],
F0* = ( v ^ + / 0(',| / £ ) + + Kf>)], < ?i)
/„' = A'[/K/0(/>) + 3KRKf (/ f> -5 K 0(P))+ 3*0*, (/ÓW +£ ^ ’) I g dzie:
JC = [ ^ '+ 3 ( ^ 0 ^ + K RK f + JC > iT of1, K '= K 0K RK , ,
Analiza u k ła d ó w p rę to w y c h z n ieje d n o ro d n y m i w a ru n k am i. 357
którym o d p o w ia d a ją rz ec zy w is te , u o g ó ln io n e p rz e m ie sz c z e n ia w ę z łó w p o d p o ro w y c h :
v0 = ^ = 2 Ą B R 'K [K RK f v t ] + 3A„ - / 0(p)/ a ) + 3 K f (k„(p> + Kjp>)],
Ko
v* ^ = 2ABR3K [K 0K f V ^ + 3 K 0( v y ) + ń P ) (2 2 )
k r
© 0 = ^ - = 2 4 B R Ą K 0K Rf ^ + 3 K 0{ f i P) + R V ^ ) + 3 K R { f ^ - R ^ p))].
Zo
P rz e m ieszc z en ia w ę z łó w b e lk i sta n o w ią su m ę p rz em ie sz c ze ń o b lic z o n y ch d la b elk i o niepodatnych p o d p o ra ch i p rz em ie sz c z e ń w y w o ła n y c h o sia d an iem w ę z łó w p o d p o ro w y c h określonych w z o ra m i (2 2 ). B io rą c p o d u w a g ę z a leż n o śc i (7 ) o ra z w z o ry (1 5 ), d o k tó ry ch należy p o d s ta w ić v 0, vR i 0 O z g o d n ie z (2 2 ), p o ż m u d n y c h p rz e k sz ta łc e n ia c h o trzy m am y ostateczną p o sta ć w z o ru n a u g ię c ia w ę z łó w b elk i o p o d a tn y c h p o d p o ra ch :
= 5 l 4 - K * + n 1( i - £ ) A X * + n 2( i - £ - ' ) A X . * + i n 3A X , t } +
t=l &k l J ( 2 j )
+ 4 5 [n , (E + ó)P0 + i2 2 (£-' + ó)pr ],
gdzie:
= ^ [k rK / <d,o>i- 6 K RR 2ait +6AT/ / ł 3],
Q 2 = ^ \ K 0K f { lR 2 - a ,c o 2) + 6 K 0r R 2 + 6 K f R 2],
C23 = ~ [ K RK Ra>\<0 2 + 2 R 2) + 6 K 0rR 2 + 6 K r R 2( d \
¿y, = o , (r) = r - W, a>2 = (r) = r 2 - 2R r - 2 R 2 , W artości k ą tó w o b ro tó w w ę z łó w m o ż n a o k re ślić z e w z o ru (por. [2]):
rf, = ± [ (e - E - ' \ 6 - A2)v , +m (e- F .- ')p\ (2 4 )
4. Wnioski
Z n a jo m o ść ro z w ią z a n ia z a d a n ia b rz e g o w e g o d la b elk i a p ro k sy m o w an e j u k ład e m d y skretnym (z g o d n ie z m e to d o lo g ią M E S ) z je d n o ro d n y m i w a ru n k am i b rz e g o w y m i p o z w ala u o g ó ln ić o b lic z e n ia n a p rz y p ad e k , g d y w ę z ły b rz e g o w e p o d p a rte są n a p o d p o ra c h p o d a tn y c h . W re z u lta c ie o trz y m u je się p ro ste w z o ry a n a lity c z n e o b u d o w ie z am k n iętej, p o z w a la ją c e n a
358 M . Łasecka
w y z n a c z e n ie d y sk re tn y ch fu n k cji p rz em ie sz c ze ń i o b ro tó w w ę z łó w belk i aproksym ow anej ele m en tam i sk o ń czo n y m i. U z y sk a n e ro z w iąz an ie m a c h a ra k te r b a rd z o o g ó ln y . D o k o n u ją c w o b lic z e n ia c h p rz e jść g ra n ic zn y c h (np.xr0 ->oo i k r -»oo lu b Xo ~>00)> o trz y m u je się wzory d la b e le k o c zę śc io w o lu b ca łk o w ic ie n iep o d a tn y ch p o d p o rach .
R o z w ią z a n ia m o ż n a ro z sz e rz y ć n a p rzy p ad k i in n y c h o b c ią że ń (w ę zło w e m om enty s k u p io n e ) o ra z a p ro k sy m ac ji u k ła d ó w je d n o w y m ia ro w y c h in n y m i ty p am i elem entów sk o ń c z o n y c h p rz y z a c h o w a n iu o c z y w iś cie reg u la rn o śc i p o d z ia łu [2],
L IT E R A T U R A
1. G u tk o w sk i W .: R e g u la rn e k o n stru k c je p rę to w e, P W N , W a rsz a w a 1973.
2. R ak o w sk i J.: A critical a n a ly sis o f q u a d ra tic b eam fin ite e lem en ts, In tern a tio n a l Journal fo r N u m e ric al M e th o d s in E n g in e e rin g , 31, 1991, 9 49-966.
3. R a k o w sk i J., S w itk a R .: O p e w n y ch u o g ó ln ie n ia c h m eto d y fu n k cji w ła sn y c h w z a s to s o w a n iu d o d y sk re tn y ch u k ła d ó w sp rę ży sty ch , W y d a w n ic tw o P o litech n ik i P o z n a ń sk ie j, P o z n a ń 1980.
4. S w itk a R .: D rg a n ia i fu n k c je w ła sn e re g u la rn y c h u k ła d ó w d y sk re tn y ch , P ra c e P o zn . Tow.
P rz y j. N a u k , t.II, z.2 , W arsz a w a -P o z n a ń 1973.
R ecen zen t: D r hab. inż. Jerzy S k rzy p czy k , prof. P o lite c h n ik i Śląskiej
Abstract
A p o ss ib ility o f a p p lic atio n o f e ig e n fu n ctio n m eth o d fo r b e a m sy s te m s w ith discrete stru c tu re w ith n o n -h o m o g en e o u s b o u n d a ry c o n d itio n s is p resen ted . A c o n ce p tio n is g iv en for e x am p le o f b e n d in g o f E u le r-B e m o u lli beam . Its b o u n d a ry n o d e s a re e la stica lly su p p o rte d and h a v e n o n -z e ro d isp lac em e n ts. T h e b e am is lo ad e d b y an a rb itrary set o f n o d al fo rces. T he d isc re tisa tio n o f th e b e am in to tw o -n o d e fin ite e le m en ts is ad o p ted . T h e eq u ilib riu m c o n d itio n s a re e x p ress ed in th e fo rm o f d iffere n ce eq u atio n s. T h es e eq u atio n s are solved a n aly tically .
