Estymacja parametrów funkcji przejścia obiektu liniowego w obecności zakłóceń addytywnych

(1)

ZESZYTY NAUKOWE POLITECHNIKI ŚLĄSKIEJ Seria: Automatyka, z. 25

______ 1974- Nr kol. 394

Jerzy Skrzypczyk

Instytut Konstrukcji i Technologii Urządzeń Automatyki i Elektroniki

ESTYMACJA PARAMETRÓW FUNKCJI PRZEJŚCIA OHEEKTU LINIOWEGO W OBECNOŚCI ZAKŁÓCEŃ ADDYTYWNYCH

Streszczenie. Praca opisuje rezultaty uzyskane przez zastosowanie metod modelowania stochastycznego do proponowanych w najnowszej li

teraturze metod identyfikacji funkcji przejścia jednowymiarowego, stacjonarnego układu dynamicznego.

Wzięto pod uwagę dwie metody estymacji parametrów funkcji przejścia przy założeniu, że dostępne są tylko sygnały wejściowy i wyjściowy układu dynamicznego w skończonym okresie czasu.

Porównano rezultaty otrzymane przy zastosowaniu metody liniowej i metody wektora wartości własnych. Przedstawiono przegląd problemów teoretycznych oraz porównanie obu metod celem eksperymentalnej we

ryfikacji teoretycznych rezultatów i aproksymacji.

1 . W3tęp

W najnowszej literaturze polskiej [4, 9, 11, 14^] brak przedstawie

nia metody identyfikacji obiektu w obecności zakłóceń na jego wejściu i wyjściu. Uproszczenie to ma tę zaletę, że przy założeniu braku za

kłóceń na wejściu układu forma matematyczna otrzymanych wyników jest bardzo zwarta i przejrzysta sQ.

Współczynniki funkcji przejścia estymowane są przy zastosowaniu me

tod analizy regresyjnej [5 , 11^). Metoda estymacji pozostaje bez zmian dla dowolnej transformaty funkcji przejścia. Dlatego możliwa jest e- stymacja tak transformaty Laplace*a w zastosowaniu do ciągłych ukła

dów dynamicznych jak i transformaty Lauręnta dla układów impulsowych.

Od rodzaju transformaty zależą wielkości mierzone,ciągłe funkcje i ich pochodne lub sekwencje wartości funkcji.

(2)

2. Problem est:ymac.1i -parametrów funkcji przejścia

Niech układ dynamiczny o stałych skupionych, stacjonarny i liniowy opisuje równanie różniczkowe (różnicowe) o stałych współczynnikach[li]

V o + *1y1 + ... + V n = V o + b1u1 + bmum 0 }

gdzie

yk ” dky(t)/dtk i Uj = d1u(t)/dt‘L,

dla ciągłego układu dynamicznego, a

yk “ y^’fc+kT) i u ^ « u(t+lT)

dla układu inęulsowego, gdzie T - czas próbkowania, k « 1, 2, ..., nj 1 = 1 , 2, ..., m.

Zakładając, że układ przed pobudzeniem (dla t = ~0) znajdował się w stanie równowagi i poddając równanie (i) odpowiedniemu przekształce

niu uzyskuje się wyrażenie dla transformaty sygnału wyjściowego [/li].

2.1, Sformułowanie zagadnienia estymacji

Model przyjęty dla estymacji jest następujący:

(3)

Estymacja parametrów funkcji przejścia obiektu liniowego... 67

Przyjęto następujące założenia;

1) Współczynniki estymowanej funkcji przejścia oznaczymy

- T * [ V ... an]’

T r -| ^

- “ Lb0* b1 »bmJ*

W dalszych rozważaniach oznaczymy wektor estymowanych współczynników

5. = i A J “ [ V bi »••••*»»kjjj» &gt ...aJ , (3 )

gdzie aR f^0, n jest znane. Estymacji podlegają a^ i b^.

2) U i _Y są odpowiednio wektorami wielkości wejściowych i wyj

ściowych wolnymi od zakłóceń

^ B [u0’ U1...*um }

- T = [ “yo’ "yi - y n] * ^

Dalej oznaczać będziemy

= [uT , r j = ... V “y0,"y1... _ynJ* ^

3) U i X spełniają równanie liniowe (1 ) (funkcja regresji), któ

re zgodnie z przyjętymi oznaczeniami (2 ) i (4 ) można zapisać w postaci

Ą TY + B TU = 0, (6)

lub w postaci równoważnej

QTS = O lub STQ =0, (7 )

po wykorzystaniu oznaczeń (3 ) i (5 ).

(4)

4 ) Wielkości X i H s3 obs erw cwanymi wektorami wielkości wejścio

wych i wyjściowych

£T “ [x0»x1... xm]'

RT = [ -r0*“ri... *-<]•

(

8

)

Oczywiście

X a U + Z i

R = 1 + 1 » (9 )

Obserwacji dokonujemy w skończonym okresie czasu.

Oznaczmy

lT - [xT,RT] = [x0,Xl V ~ ro'"ri *.... >“rn]- (10)

5) Zakłócenia _Z i V są wektorami wielkości przypadkowych o wie

lowymiarowych normalnych rozkładach prawdopodobieństyra. z wartością o- czekiwaną = 0 i znanych kowariancjach P = i» j=1 »2, ...,nH-nf2.

Oznaczmy

I = [lT .IT]» (1l)

Równania (9 ) dadzą się zapisać w postaci

1 = S_ + W. (1 2)

6) Ponieważ dokonujemy wielu obserwacji viszystkich interesujących nas wielkości fakt, że dany wektor lub wielkość pomiarowa dotyczy k- tej obserwacji zaznaczony będzie wskaźnikiem k umieszczonym w nawia

sie np. u!j lub TJ^.

(5)

Ekstymacja parametrów funkcji przejścia... 69

2,2. Estymator liniowy oparty na metodzie najmniejszych kwadratów Dokonujemy pomiarów wielkości ,.,.*un *y0»y1 * ••• *yn* Ogólnie ze względu na zakłócenia równanie

QTL ^ =0, (13)

gdzie wskaźnik (k) oznacza k-ty pomiar nie może być spełnione dla każ

dego k. Dlatego błąd definiujemy jako

.(k) - ^^(u)

i wybieramy Q tak, aby zminimalizować sumę błędów kwadratowych dla wszystkich wektorów pomiarowych l/k ^, k = 1,2,...,N(14^

Rozwiązanie otrzymamy w następującej formie!

= (k)T]-1 [Y, Ą (k)r0(k)]. (15)

k^1 k=1

gdzie I1 ^k^ jest v/ektorem L^k ^ z elementami rQ^k ^ usuniętymi, G[

jest wektorem Q z elementami rQ usuniętymi i wszystkimi innymi e- lementami podzielonymi przez aQtN jest całkowitą ilością wektorów po-, miarowych.

Inersja macierzy istnieje [14J pod warunkiem, że spełnione są na

stępujące założenia:

1) N jest co najmniej równe ilości współczynników w Oj 2) układ jest pobudzany przez wejścia lub warunki początkowej

3) wektor wejściowy U_ nie- jest rozwiązaniem jednorodnego równania różniczkowego (różnicowego) (1) rzędu niższego niż m. Nie są to ogra

niczenia istotne i w przypadku, gdy nie są spełnione, a macierz jest osobliwa, można ten problem rozwiązać wprowadzając pojęcie pseudoin- wersji macierzy £4].

(6)

2.3. Estymacją metodę, wektora wartości własnych

Przyjmijmy, że dla wszystkich N obiektów pomiarowych L' , gdzie Ck') k a 1,2,...,N łączna funkcja gęstości prawdopodobieństwa jest normal

na o budowie

pjj/1 ...1 ^ | =

a (23T)-N(m+nf2) |P| 1/^2Nexp

kał

Aby funkcja prawdopodobieństwa przyjęła wartość maksymalną,(metoda ma

ksimum prawdopodobieństwa), forma kwadratowa

R ° ^ (k)j (k)l V T L (k)j k)1, (17) k=1

musi osiągnąć wartość minimalną. A zatem najbardziej prawdopodobnym zbiorem ocen 0) parametrów będzie zbiór, dla którego forma (17) przyjmie wartość minimalną z warunkiem dodatkowym wynikającym z (7)

S ^ TQ = 0 . (18)

Używając mnożników Lagrange’a można pokazać |j3], że problem minimali

zacji formy kwadratowej R (1 7 ) ze względu na £ z ograniczeniem (18) da się sprowadzić do minimalizacji innej formy kwadratowej już bez ograniczeń

(7)

Estymacja parametrów funkcji przejścia.. 71

Zarys dowodu jest następujący. Tworzymy wektorową funkcję Xagrange’a

1^) =

K

- X ! E i (lc)-^.i,c)]3k “1DŁ(lc:’-s(fc,J * Ś t o )

k=.1 k^1

Warunki na ekstremum otrzymujemy z różniczkowania funkcji Lagrange’a

(

2 1

)

-ZP“1(L^kW kb + 1 ^ =» O, (22)

S ^ TQ = 0 . (23)

Po przekształceniach otrzymamy

fo»1 gdzie

(24).

Zazwyczaj przyjmuje się, że macierz £ jest symetryczna i dodatnio o- kreślona. Łatwo wykazać, że nie zmniejsza to ogólności rozważań [4J.

Z (2 4 ) i (2 5 ) otrzymamy wówczas, że

q teq

R - -S— , (26)

Q~PQ

gdzie ^ jest określone wzorem (20).

(8)

Znalezienie warunków, przy których forma kwadratowa (19) przyjmie war

tość minimalną, jest klasycznym zadaniem rachunku różniczkowego.

Po przekształceniach [13] otrzymamy warunek ekstremum

q'tę q'

(Ę - -TTs— r I)Q - 0. (27)

Q PQ

Z (1 9 ) wynika, że poszukiwana minimalna wartość lm formy kwadratowej 1 jest określona wzorem

q' V

Xm " J ł T * (28)

Q PQ

Jednocześnie warunkiem istnienia niezerowych rozwiązań jednorodnego U- kładu równań liniowych (27) jest zerowanie się wyznacznika macierzy współczynników, więc musi być spełnione równanie

| Ę - l ^ | =0t (29 )

gdzie 1 jest zgodnie z warunkiem (28) najmniejszą wartością 1 rów

nania

1 E - 2P j» °. (30)

Ocenę estymowanych współczynników _Qf znajdziemy zatem z (27)

(s - ypJa1- a* (3 1 )

Można pokazać, że 1 jest nieujemne. Jeżeli P = I_, gdzie I_ jest macierzą jednostkową, 1 jest najmniejszą wartością własną E_ i Q’‘ jest odpowiadającym wektorem wartości własnych. Poza tym przypadkiem mamy do czynienia z ogólnym zagadnieniem wartości własnych. Zauważmy, że P należy znać z dokładnością do stałego mnożnika. Jeżeli P. jest macie

rzą jednostkową, wyprowadzenie wzoru należy zmodyfikować, ale rozwią-

(9)

Estymacja parametrów funkcji przejścia... 73

zanie problemu nie traci ważności. Własności estymatora omówiono sze

rzej w pracach Ca, 13, u].

2.4. Ogólne zagadnienie wartości własnych

Zastosowanie elektronicznej maszyny cyfrowej narzuca specyficzne wy

magania na sformułowanie rozwiązania problemu estymacji metodą wektora wartości własnych. Niemożliwe jest zastosowanie maszyny cyfrowej do wy

ników ujętych wzorami (30) i (31 ). Wymagają one dodatkowego opracowa

nia.

Zagadnienie znalezienia najmniejszej wartości 1 spośród rozwią

zań 1 równania

| E - 1« 0, (32)

można sprowadzić do zagadnienia znajdowania najmniejszej wartości wła

snej innej macierzy, czyli do znalezienia najmniejszej wartości 1 spo

śród rozwiązań równania

(33)

a to już jest klasyczne zagadnienie wartości własnych. Można pokazać, że zagadnienie powyższe można rozwiązać bez znajdowania wartości włas- nych macierzy _A = P E.

Znajdziemy najpierw współczynniki równania charakterystycznego n-1

f(i) ° i m+ y 1 bvi k » o, (34)

k=0

metodą Kryłowa |j ¿J,

Z twierdzenia Cayley'a-Hamiltona otrzymujemy n-1

An + I ] v k - 0. (3 5 )

k=0

| p~1e - r r | = o,

(10)

Wobec tego dla dowolnego wektora ¡L^many

n-1

(36) k=0

Równanie to jest układem n równań liniowych z rdewiadomymi b0,b^,...

...,bn_1t który można rozwiązać dowolną metodą np. Gaussa (j, 13].

Znając współczynniki równania charakterystycznego (34) łatwo znaj

dujemy najmniejszą wartość własną lm , o której wiemy dodatkowo, że jest rzeczywista i dodatnia.

Stosujemy iteracyjną metodę Laguerre’a [12], której specyfika pole-, ga na tym, że daje wartość pierwiastka funkcji f(x) znajdującego się najbliżej pierwszego przybliżenia xQ. Oczywiste jest, że wybierając pierwsze przybliżenie x. = 0 znajdziemy interesującą nas wartość 1 .

o m

Procedura postępowania jest dana wzorami

Metoda Laguerre'a jest dobrze zbieżna i łatwo ją stosować do równa

nia mającego postać wielomianu o znanych współczynnikach. Układ rów

nań liniowych

nf(x ) n'

(37)

X n

(38)

można rozwiązać względem ilorazu zmiennych dowolną metodą [jl, 4 , 10, 12, 13^.

(11)

Estymacja parametrów fuiteji przejścia... 75

3. OszacoY/anie m e t o d estymacji

Dla porównania skuteczności obu metod estymacji zastosowano techni

kę symulowania cyfrowego. Modelowanie cyfrowe polegało na tym, że za

kłócenia działające w sposób addytywny na wejście i wyjście były symu

lowane generatorami zmiennych pseudolosowyeh 3, 13, 16] o rozkła

dach równomiernym i noimalnym o różnych parametrach, zależnie od wyma

gań £13].

3.1 * Parametry rozkładu zmiennej losowej w zależności od czasu próbko

wania

Niech ,X£, ...,xn oznaczają kolejne wartości estymatora otrzyma

ne jednym ze sposobów opisanych powyżejNa skutek działania zakłóceń addytywnych można się spodziewać, że każda seria obliczeń prowadzących do otrzymania estymatora peYmej wielkości x (wartość dokładna) da in

ny wynik.

W dalszym ciągu rozważań przez błąd estymacji t rozumiemy n

e <= x-m, gdzie m = — k=1

czyli różnicę między wartością prawdziwą i średnią arytmetyczną kolej

nych estymacji.

P o d pojęciami: odchylenie standardowe s, współc z y n n i k zmienności v średni b ł ą d kwadratoY/y e^ r o z umiemy odpowiednio

s 2 = i Ź X - m)2»

k»1

ek c i S (x k“x)2‘

k=1

(12)

Pierwszy przykład, został tak wybrany, aby pokazać zmiany parametrów rozkładu estymatora traktowanego jak zmienna losowa, w zależności od rodzaju estymacji i częstości próbkowania» Bstymowane były 3 funkcje, każda o transformacie Laplace*a-Carsona typu

k 1 + pT ’

^ o

przy czym k/TQ zmieniało się w granicach od 0,5 do 6,25.Użyto 4 róż

nych czasów próbkowania T = 0,25,0.5,1,0,2,0 sek. W każdym przypadku układ był pobudzany przez jednostkowy sygnał wejścioy/y. Przedział cza

su, w którym dokonano estymacji funkcji wynosił w każdym przypadku

~T<t*S8.0 sek.

Błąd, odchylenie standardowe, współczynnik zmienności i średni błąd kwadratowy są pokazane w tabeli I.

Liczba estymacji dokonana dla opraćowania tych wyników wynosiła 25.

W tabeli I podane są także prawdziwe wartości estymowanych współczyn

ników. Dla wszystkich wartości T szum był normalny N(0,0.1 ).

Z wyników zamieszczonych wf^{tabeli I} można wyciągnąć następujące wnioski:

1 ) lifystępują duże zmiany skuteczności obu metod w zależności od ro

dzaju obiektu. Szczególnie silnie widać to na przykładzie metody wek

tora wartości własnych. Dla zastosowanych w obliczeniach czasów prób

kowania o zakresie zmienności od 0.25 do 2.0 sek. metoda wektora war

tości własnych daje silnie błędne estymacje, jeżeli k/TQ <0.5.

Przy stosowaniu metody liniowej nie zauważono pojawienia się błędów dyskwalifikujących tę metodę w żadnym z rozpatrywanych przypadków.

2) Dalsza analiza wyników ograniczona zostanie do przypadków,w któ

rych obie metody dały wyniki porównywalne ze sobą. Daje się zauważyć wyraźne minimum błędu estymacji metodą liniową leżące dla współczynni

ka licznika estymowanej funkcji w przedziale 0 . 5 0 < T < 2 . 0 sek. i dla współczynnika mianownika w przedziale T ^ 2.0 sek. Błąd zmniej

sza się stopniowo wraz ze wzrostem T, osiąga minimum i gwałtoY/nie ro

śnie. Błąd estymacji metodą wektora wartości własnych osiąga minimum

(13)

Tabela I Paranetry rozkładu z d e n n e j losor/ej

Czas próbko

wania

Wielkość

ki V k2

V k3 V

lin. wekt. w. lin. wekt. w. lin. wekt. w. lin. wekt. w. lin. wek t . w. lin. wekt, w.

Wartość praw. 0.500 1.000 1.500 0.800 2.500 0.400

Błąd -Ok026 -0.003 0.453 -0,004 0.022 -0.415 o.oes -0.478 0.028 -4.012 0.028 -2.206

0.25 Odeh. stand. 0.017 0.105 0.124 0.217 0.030 0.180 O.C75 0.123 0.049 0.684 0.042 0.265

Wsp. m i e ń . 0.035 0.209 0.227 0.216 0.020 0.094 0.109 0.096 0.020 0.105 0.114 0.102 śr. bł. kwadr. 0.031 0.105 0.470 0.217 0.037 0.453 0.115 0.493 0.057 4.C70 0.051 2.222

Wartość praw. 0.500 1.000 1.500 0.80C 2.500 0.4CO

Błąd 0.027 -0.019 0.379 -0.031 0.003 -0.394 0.025 -0.446 -0.003 -3.778 -0.004 -2.076

0.50 ■Odch. stand. 0.036 0.129 0.182 0.264 0.055 0.271 0.089 0.172 0.072 0.938 0.053 0.359

Wsp. zmień. 0.076 0.249 0.293 0.256 0.037 0.143 0.114 0.138 0.029 0.149 0.130 0.145

Śr. bł. kwadr. 0.045 ^0.130 0.420 0.266 0.055 0.478 0.092 0.478 0.072 4.231 0.053 2.037

Wartość praw. 0.500 1.000 1.500 0.800 '2.500 0400

Błąd 0.012 -0.078 0.175 -0.167 0.008 -0.429 0.012 -0.481 0.015 -3.821 0.001 -2.121

1.00 Odch. stand. 0.070 0.230 0.284 0.545 0.091 0.275 0.134 0.211 0.106 1 .032 0.049 0.543

W3p, m i a n . 0.143 0.397 0.344 0.467 0.061 0.142 0.170 0.165 0.043 0.132 0.122 0.182

Śr. bł. kwadr. 0.071 0.243 0.334 0.570 0.091 0.509 0.135 0.525 0.107 4.475 0.049 2.355

Wartość praw. 0.500 1.000 1.500 o.eoo 2.500 0.400

Błąd 0.036 -0.030 O.C75 -0.064 ^0.038 -0.368 -0.009 -0.449 0.047 -3.345 -0.C08 -1.988

2.00 Odch. stand. 0.087 0.142 0.387 0.338 0.105 0.232 0.114 0.147 0.132 0.822 0.044 0.329

Wsp. zmień. 0.187 0.268 0.418 0.318 0.072 0.124 0.141 0.118 0.054 0.127 0.109 0.143

Śr. bł. kwadr. 0.094 0.145 0.394 0.345 0 .112 0.434 0.114 0.472 0.140 4.293 0.045 2.202

Estymacjaparametrówfunkcjiprzejścia

(14)

poza rozpatrywanym przedziałem zmian czasu próbkowania, dla T $ 0.25 sek.

W badanym zakresie, błąd estymacji metodą wektora wartości własnych posiada wyraźne maksimum leżące w obszarze, w którym błąd metody li

niowej osiąga maksimum, tj. dla 0.50 < T < ^{2.0 sek.}

3) Odchylenie standardowe estymacji metodą liniową rośnie wraz ze wzrostem czasu próbkowania. Odchylenie standardowe estymacji metodą wektora wartości własnych wykazuje takie same zmiany jak błąd estyma

cji.

4 ) Błędy estymacji metodą wektora wartości własnych są do 100 razy mniejsze od błędów metody liniowej. Odchylenie standardowe estymacji metodą wektora wartości własnych jest 2 do 6 razy większe od odpowied

niego odchylenia standardowego estymacji metodą liniową.

5) Błędy estymacji metodą wektora wartości własnych są dla wszyst

kich czasów próbkowania znacznie mniejsze od odchylenia standardowego.

Najmniejszy błąd normalizowany (odwrotność współczynnika zmienności) posiada amplitudę 1/0.209 = 4.775« Ponieważ odchylenie standardowe błę

du normalizowanego jest równe 1 /2 5 n 0 .2 m więc z wysokim prawdo

podobieństwem, najmniej 0.99 mamy, że

wartość średnia ^ 4.175 * 0.105 a^O.442,

skąd można wnioskować z prawdopodobieństwem 0.99, że błędy estymacji metodą wektora wartości własnych są dużo mniejsze od odchylenia stan

dardowego.

6) W przeciwieństwie, błąd współczynnika mianownika otrzymanego me

todą liniową rośnie z maleniem T i dla T < 0.5 jest 2 lub więcej razy większy od odchylen±a.\31andardowego. Jeżeli przyjmiemy, że esty

macja metodą liniową je3t z założenia typu gaussowskiego, to dla naj

większego błędu normalizowanego 1/0.227 =■ 4.405, z prawdopodobieństwem najmniej 0.99 mamy, że

wartość średnia ^ 5.005 0.124 “ 0.621,

skąd wynika, że z podanym wyżej prawdopodobieństwem metoda liniowa da

je estymacje obarczone błędem wielokrotnie większym od odchylenia stan

dardowego.

(15)

Estymacja parametrów funkcji przejścia... 79

7) Amplituda błędu estymacji liniowej, dla określonego czasu prób

kowania, wykazuje większą zmienność dla poszczególnych niż estymacja metodą wektora wartości własnych.

Jednocześnie, dla każdego cza3u próbkowania, w metodzie liniowej współczynnik obarczony największym błędem jest dużo bardziej błędny niż współczynnik obarczony największym błędem przy estymacji metodą wekto

ra wartości własnych, chociaż minimalne błędy metody liniowej są nie

wiele większe od minimalnych błędów metody wektora wartości własnych.

8) W metodzie wektora wartości własnych średni błąd kwadratowy esty macji wykazuje te same zmiany w zależności od czasu próbkowania, jak odchylenie standardowe. Nie da się tego powiedzieć o średnim błędzie kwadratowym w metodzie liniowej. Dla estymacji wartości współczynnika mianownika odchylenie standardowe rośnie, a średni błąd kwadratowy ma

leje.

3.2. Parametry rozkładu zmiennej losowej z zależności od warunków i sposobu estymacji

Drugi przykład został wybrany tak, aby pokazać zmiany parametrów rozkładu zmiennej losowej (estymatora) przy użyciu szumu o różnej mo

cy. Jednocześnie zbadano zmiany parametrów rozkładu przy zmianach spo

sobu estymacji i czasu próbkowania. Przeprowadzono próbę zbadania re

zultatów estymacji różnymi metodami przy użyciu wektorów nie nakłada

jących się, tzn. przy próbkowaniu w różnych chwilach czasu dla kolej

nych estymacji oraz dla nakładających się. Estymowana była jedna funk

cja przejścia. Jak przedtem korespondowała ona z liniowym systemem dy

namicznym i była postaci

Układ był pobudzany jednostkowym sygnałem wejściowym. Użyto przedziału czasu - K t ^ 4 . 0 sek. Szczegóły różnych przypadków 3ą podane w ta

beli II. We wszystkich przypadkach szum był noimalny. Liczba estymacji wynosiła tak jak poprzednio 25.

(16)

Efekt kompensacji niskiego stosunku sygnału do szumu przez użycie większej ilości wektorów może być pokazany przez porównanie przypadków A i B, C i D , E i P . Nakładanie się wektorów symulowano w ten sposób, że generowano 10 różnych pod względem zakłóceń obserwacji tej samej wolnej od szumu sekwencji wejście-wyjście. Efekty nakładania się wektorów mogą być widoczne po porównaniu przypadków A i E, B i P.

Tabela XI Szczegóły obliczeń dla 2 przykładu

Przypa

dek T

Odchyle

nie stand.

Liczba powtórzeń

Liczba wekt orów

Nakładanie się wekto

rów

A 0.25 0.1 10 170 tak

B 0.25 0.01 1 17 tak

C 1.0 0.1 10 50 tak

D 1.0 0.01 1 5 tak

E 0.25 0.1 10 170 nie

P 0.25 0.01 1 17 nie

Standardowe odchylenie, błąd i średni błąd kwadratowy dla każdego z przypadków są podane w tabeli III.

Z podanych wyników można wyciągnąć następujące wnioski:

1) Dla przypadków z nakładającymi się 'wektorami wnioski z pierwsze

go przykładu są podtrzymane.

2) V/ przypadku estymacji bez nakładania się wektorów błąd, odchyle

nie standardowe i średni błąd kwadratowy są nieco większe od odpowied

nich wartości w przypadku estymacji z wektorami nakładającymi się, nie zależnie od stosowanej metody i sposobu estymacji.

3) Zwiększenie ilości wektorów pomiarowych wywarło korzystny wpływ na wielkość błędu estymacji tylko w przypadku metody wektora wartości własnych.

Nastąpiło bardzo wyraźne zmniejszenie błędu, odchylenia standardowego i średniego błędu kwadratowego estymacji, szczególnie widoczne w obsza

rze występowania maksimum błędu metody wektora wartości własnych.

(17)

Estymacja parametrów funkcji przejścia.. 81

Tabela H I Parametry rozkładu zmiennej losowej

w zależności od sposobu i warunków estymacji Przy

padek Y/ielkość

lin.

k

wekt. w. lin.

T

wekt. w.

Wartość prawdziwa 0.500 1 000

Błąd 0.052 -0.001 0.351 0.004

A Odchylenie stand. 0.011 0.026 0.041 0.072 Wsp. zmienności 0.025 0.051 0.064 0.072 Śr. bł. kwadratowy 0.053 0.026 0.354 0.072

Błąd -0.002 -0.003 -0.005 -0.006

B Odchylenie stand. 0.003 0.009 0.019 0.022 Y/sp. zmienności 0.006 0.018 0.019 0.022 śr. bł. kwadratowy 0.003 0.010 0.020 0.023

Błąd 0.035 0.003 0.252 0.01 i

C Odchylenie stand. 0.024 0.045 0.092 0.124 Y/sp, zmienności 0.052 0.091 0.123 0.1 25 Śr. bł. kwadrat owy 0.043 0.045 0.268 0.124

Błąd -0.002 0.002 -0.005 0.009

D Odchylenie stand. 0.008 0.016 0.037 0.030 Y/sp. zmienności 0.016 0.032 0.036 0.038 Śr. bł. kwadratowy 0.008 0.016 0.037 0.039

Błąd 0.053 -0.001 0.411 0.006

E Odchylenie stand. 0 .011 0.029 0.056 0.079 Y/sp. zmienności 0.026 0.057 0.095 0.030 Śr. bł. kwadratowy 0.054 0.029 0.415 0.079

Błąd -0.002 -0.003 -0.006 -0.006

P Odchylenie stand. 0.003 0.010 0.022 0.025 V/sp. zmienności 0.005 0.020 0.022 0.024 Śr. bł. kwadratowy 0.003 0.011 0.023 0.025

(18)

Analizując błędy metody liniowej zauważamy wzrost błędów estymacji 1 .5 do 3 razy, zmniejszenie odchylenia standardowego w takim samym storv pniu i niewielkie zmniejszenie (do 2 razy) średniego błędu kwadratowe

go w obszarze występowania minimum błędu metody liniowej.

4 ) Kondensacja wysokiej wartości szumu przez zwiększenie ilości wek

torów pomiarowych spowodowała zmniejszenie błędów estymacji metodą wek

tora wartości własnych. Wpływ kompensacji był wyraźnie silniejszy od wpływu zwiększenia mocy szumu tylko w obszarze występowania minimum błędu estymacji metodą wektora wartości własnych. Zmniejszeniu, 1.5 do 3 razy uległ błąd, 3-krotnle wzrosły odchylenia standardowe i średni błąd kwadratowy. Poza minimum, dla T » 1.0 kompensacja przyniosła e- fekty, ale nie tak wyraźne.

Zwiększenie ilości wektorów nie spowodowało istotnych zmian w do

kładności metody liniowej.

5) Zwiększenie mocy szumu powoduje wzrost wartości błędów estyma

cji. Wzrost wartości błędu jest szczególnie wyraźny dla metody linio

wej. Minimalny zauważony wzrost błędu metody liniowej był 20-krotny, podczas gdy dla estymacji metodą wektora wartości własnych zaledwie 4- krotny. Rośnie również odchylenie standardowe i średni błąd kwadrato

wy, z tym, że wzrost dla metody wektora wartości własnych jest więk

szy.

4. W n l o e k i

W zasadzie na podstawie trzech przykładów trudno sformułować wnios

ki o zasadniczym znaczeniu, zwłaszcza, że many do czynienia ze zjawis

kami o charakterze stochastycznym.

Stwierdzono następujące fakty:

Zasadnicze znaczenie przy identyfikacji (estymacji) liniowych obiek

tów dynamicznych podanymi metodami, odgrywa czas próbkowania.Jego wpływ jest istotny do tego stopnia, że niewłaściwy dobór czasu próbkowania dyskwalifikuje wyniki estymacji i to niezależnie od wybranej metody.

Stwierdzono występowanie minimum błędu estymacji przy zmianach cza

su próbkowania niezależnie od stosowanej metody. Dla estymacji metodą wektora wartości własnych minimum przypadało w zakresie małych czasów

(19)

Estymacja parametrów funkcji przejścia, 83

próbkowania, leżących poza stosowanym do obliczeń. Zwiększenie Ilości pomiarów wpływa na zmniejszenie błędów estymacji metodą wektora warto

ści własnych.

Generalnie stwierdzono, że błędy metody wektora wartości własnych są znacznie mniejsze od odchylenia standardowego, odwrotnie niż to ma miejsce przy metodzie liniowej.

Konęlikując model matematyczny badanego zjawiska i wprowadzając do

datkowe informacje należało się spodziewać polepszenia wyników przy zastosowania metody wektora wartości własnych. W zakresie niskich mocy szumu metody są w zasadzie jednakowo skuteczne, więc zalecana jest me

toda liniowa, jako bardziej prosta. Metoda wektora wartości własnych daje możliwość prawie całkowitej kondensacji wpływu wzrostu zakłóceń przez zwiększenie ilości wektorów pomiarowych, co przy estymacji meto

dą liniową nie jest możliwe. Stroną ujemną jest wydłużenie czasu obli

czeń.

LETERAOTRA

1. AGEEJEW M.I., KRTWONOS L.S.| MARKDW Ju.I.: Algoritmy (l01-150),"0b- szczije woprosy progranmirowanijan, Wyczislltielnyj Cientr Akadie- mil Hank SSSR, Moskwa 1367.

2. Algorltmy i programmy słuczajnogo polska, Akadiemija Nauk Łatwij- skoj SSR, Inst, EliektronikL i Wyczlslit. Tiechniki, Izdat. "Zinat- nie", Riga 1969, str. 335-339.

3. BOSHEHKD H.P., SZRTEJEIER Ju.A.j Metod statisticzieskLch ispyta- nij (Monte-Carlo) 1 jego riealizacja na cifrowych wyczislitielnych maszinach, Gosudarstwiennoje Izdatielstwo Piziko-Matiematiczieskoj Litieratury, Moskwa 1961, str. 24.

4. DEUTSCH R.: Teoria estymacji, PWN, Warszawa 1969.

5. PISZ M.i Rachunek prawdopodobieństwa, Bi Tom 18, PWN, Warszawa 1969.

6. KULIKOWSKI R.j Sterowanie w wielkich systemach. WNT, Warszawa 1970.

7. LEVAtl V.S.j Parameter estimates in regression models, IEEE Trans.

Automatic Control, vol. AC-9, October, 1964, pp. 589.

8. LEVIN M.J.: Estimation of a system pulse transfer function in the presence of noise. IEEE Trans. Automatic Control, vol. AC-9, July, 1964, pp. 229-235.

(20)

9. MARCZAK K. : Metody identyfikacji wielowymiarowych obiekt óy/ stero- wania. WNT, Warszawa 1971.

10. MOSTOWSKI A., STARK M .: Elementy Algebry Wyższej. 31 Tom 16, PWN, Warszawa 1963.

11. Poradnik inżyniera automatyka. WNT, Warszawa 1969, str. 7-45.

12. RALSTON A.: T/stęp do analizy numerycznej. PWN, Warszawa 1971.

13. SKRZYPCZYK J.: Wyznaczanie estymatora impulsowej funkcji przejścia metodą Monte Carlo. Praca magisterska, Politechnika Śląska, Gliwi

ce 1971.

14. SMITH P.W., KELTON W.B.s Monte Carlo Evaluation of Methods for Pul

se Transfer Function Estimation, IEEE Trans. Automatic Control, vol. AC-12, October, 1967, pp. 568.

15. WĘGRZYN S.: Podstav/y automatyki kompleksowej. Systemy automatyki kompleksowej. PAN, Ośrodek Kształcenia i Doskonalenia Kadr Nauko

wych, Zakł. Naukowy im. Ossolińskich, Wrocław-Warszawa-Kraków,1969 str. 7-18, 37-45.

16. ZIEUlteKI R.; Metody Monte Carlo, WNT, Warszawa 1970.

hflEH T hQ >kK A l& n IlAPAmETPO.J IlE M J U i.O h H O w ijyH K U M . J lk llE /iH ü h CkiUTEIali l l r t . HAJttiHkh UOidEK

P e 3 jo m e

PaccMOTpeHu co B p e M e H u u e MeTORH «.ueHTiięjHKanHit nep<;,ąaT0H HCli ¡¿JyHKmUI JIMHeiiHoil C T a i J H O H a p H O M JlIlHaUHReCKOŁl C H C T e M H .

F i p e R C T a B J i e H H t e o j j e m u e c k h e upcóJiefiu n , n e H T M q J H K u n n n n a - paivieTjiOB C H c r e M b i npii h h j i h r m h n o M e x , ; ; e M C T ü y i o m n x Ha u x o ^ u BHIXOft, B C J i y R a e eCJIH X ü C T y n H H TOJl b K O B X O f l H O Ü M BfcDCOAHoN C H T H a J I H B K O J t O R H O M H H T OpBaJI fi B p e M e H H .

¿■na c u e H K H K a R a c T B a a e T o ^ o a i.i o h t3 Kapjio cpaBHfiHji a b h a:eTO,E,a K.u.eHTiiç)nKumijî j i h h fiiiHuii m o t o a h MfiToj!, c o f i C T B R H H o r o 3 Hci h &H 'A :i „

(21)

Estymacja parametrów funkcji przejścia..

TRANSFER JUNCTION ESTIMATION OF THE LINEAR SYSTEM OBSCURED BY NOISE

S u m m a r y

The paper describes the results of a Monte Carlo evaluation of the methods proposed in current literature for the estimation of the trans

fer function of a linear, time-invariant dynamic system.

Considered Eire two basic methods for estimating the coefficients o f a transfer function, gi v e n only the normal operating input and out

put of the sys t e m obscured b y noise and over a limited per i o d of time.

This paper presents theoretical problems of linear and eigenvector method and a set of examples designed to compare these methods and ve

rify experimentally the theoretical results.