WPŁYW OPTYMALNYCH PARAMETRÓW REDUKCJI SZUMU LOSOWEGO NA IDENTYFIKACJĘ CHAOSU W EKONOMICZNYCH SZEREGACH CZASOWYCH

Monika Miśkiewicz-Nawrocka

Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach Katedra Matematyki

monika.miskiewicz@ue.katowice.pl

WPŁYW OPTYMALNYCH PARAMETRÓW REDUKCJI SZUMU LOSOWEGO

NA IDENTYFIKACJĘ CHAOSU

W EKONOMICZNYCH SZEREGACH CZASOWYCH

Wprowadzenie

Rzeczywiste szeregi czasowe (st) składają się z części deterministycznej (yt) oraz części stochastycznej (εt), która wyraża poziom szumu losowego. Redukcja szumu losowego pozwala poznać własności szeregu (y_t) na podstawie analizy szeregu obserwacji (st). Jedną z metod redukcji poziomu szumu losowego jest metoda najbliższych sąsiadów.

Celem artykułu było zbadanie wpływu procesu redukcji szumu losowego metodą najbliższych sąsiadów na identyfikację chaosu w szeregach czasowych.

Badania empiryczne przeprowadzono na podstawie rzeczywistych danych natu- ry ekonomicznej – szeregi finansowe utworzone z logarytmów dziennych stóp zwrotu cen zamknięcia wybranych indeksów giełd światowych. Dane obejmują okres od 3.01.2000 do 26.08.2013. Do przeprowadzenia niezbędnych obliczeń wykorzystano program napisany przez autora w języku Delhi, arkusz kalkula- cyjny Excel oraz program TISEAN.

1. Redukcja szumu losowego metodą najbliższych sąsiadów

Rzeczywisty szereg czasowy można opisać za pomocą układu równań:

(

t t

)

t f x

x₊₁

= + η

^{, (1)}

Monika Miśkiewicz-Nawrocka 46

( )

t t

t h x

s₊1

=

₊1

+ ξ

, t=0,1,2, ... (2) gdzie:

X X

f : → – funkcja opisująca rzeczywistą dynamikę układu, R

X

h

: →

– funkcja pomiarowa generująca szereg czasowy obserwacji s_t układu dynamicznego, X

⊂

R^m,

X – przestrzeń stanów, x_t

,

x_t+1

∈

X – stan nieznanego, pierwotne- go układu wielowymiarowego odpowiednio w chwilach t,

+ 1

t , s_t+1 – obserwacja szeregu czasowego w chwili t

+ 1

,

η

t – szum dynamiczny wewnątrz układu,

ξ

t – szum pomiarowy.

W skrócie, szereg czasowy opisany równaniami (1) – (2) można zapisać jako:

t t

t y

s

= + ε

^{, (3)}

gdzie:

st – obserwacja szeregu czasowego w momencie t, yt – część deterministyczna szeregu czasowego,

ε

t – część stochastyczna szeregu czasowego (szum losowy).

Podstawą metody najbliższych sąsiadów służącej do redukcji szumu loso- wego jest rekonstrukcja przestrzeni stanów [10], która pozwala na podstawie jednowymiarowego szeregu czasowego obserwacji odtworzyć przestrzeń stanów układu dynamicznego. Elementami zrekonstruowanej przestrzeni stanów są wektory opóźnień tzw. d-historie postaci:

( )

( ^,

−^τ

^{, ... ,}

− −^1τ

)

=

_{t t t d}

d

t s s s

s , (4)

gdzie:

st – obserwacja szeregu czasowego w momencie t, d – wymiar zanurzenia,

τ

– opóźnienie czasowe,

(

^d

^{− 1} ) ^{τ + 1 ≤}

^t

^≤

^N.

Szacowanie wartości części deterministycznej y_n,

1 <

n

<

N szeregu cza- sowego

(

s₁

,

s₂

, ... ,

sN

)

metodą najbliższych sąsiadów odbywa się według nastę- pującej procedury [3]:

1. Dla oszacowanego wymiaru zanurzenia d oraz opóźnienia czasowego

τ = 1

tworzy się wektor opóźnień postaci:

( )

( ^,

−¹

^{, ... ,}

− −¹

)

=

t t t d

d

t s s s

s , (5)

tak aby filtrowana obserwacja s_n była jedną ze środkowych współrzędnych wektora s_t^d.

2. Wyznacza się k najbliższych sąsiadów (w sensie odległości euklidesowej) wektora s_t^d:

( ) ^ld( ) ^ld( )^k

d

l s s

s ₁

,

₂

, ... ,

. (6) 3. Na podstawie pierwszych współrzędnych najbliższych sąsiadów wektora s_t^d,

oblicza się wartość y_n według wzoru:

∑

( )

=

=

^k

i i l n s y k

1

1

, (7)

gdzie:

( )ⁱ

sl – pierwsza współrzędna wektora s_l^d_{( )i} .

Do oceny skuteczności stosowanej metody filtracji można zastosować współczynnik poziomu redukcji szumu NRL, który bada zależność pomiędzy si- łą szumu dodawanego do układu a strukturą geometryczną jego atraktora.

Współczynnik NRL dany jest wzorem [7]:

( ) ∑

∑

=

=

T= i

i T

i i

D d d

NRL

1

1 , (8)

gdzie:

di i D_i – odległości i-tego wektora opóźnień (d-historii) odpowiednio od jego najbliższego i najdalszego sąsiada.

2. Identyfikacja dynamiki chaotycznej w szeregach czasowych

Do podstawowych narzędzi teorii nieliniowych układów dynamicznych, służących do identyfikacji deterministycznego chaosu należą największy wy- kładnik Lapunowa oraz wymiar korelacyjny układu¹. Wartość największego

1 Metody identyfikacji chaosu pozwalają na wykrycie jedynie pojedynczego atrybutu dynamiki chaotycznej. Zatem przeprowadzenie pełnej analizy danych wymaga uwzględnienia uzupełnia- jących się metod (testu BDS, analizy przeskalowanego zakresu R/S, wymiaru fraktalnego sze- regu, testu Kaplana, analizy bispektrum lub testu White’a za pomocą sieci neuronowych).

Monika Miśkiewicz-Nawrocka 48

wykładnika Lapunowa mierzy wrażliwość układu dynamicznego na zmianę wa- runków początkowych, która jest podstawowym atrybutem dynamiki chaotycz- nej. Natomiast szacowanie wartości wymiaru korelacyjnego pozwala zmierzyć złożoność układu i określić liczbę zmiennych układu.

2.1. Największy wykładnik Lapunowa

Dla układu dynamicznego

(

^{X , f}

)

wykładniki Lapunowa definiuje się jako granice [11]:

( )

^{x0 lim}_n ¹_n^{ln i}

(

^n,x0

)

i

μ

λ

= →∞ , i = 1, ... , m, dla m

≥ 1

, (9) gdzie:

(

ⁿ

^{, x}

⁰

)

μ

i – wartości własne macierzy Jacobiego odwzorowania fⁿ, f n – n-krotne złożenie funkcji f, X,

f – j.w.

W praktyce, dla rzeczywistych szeregów czasowych, gdy nie jest znana funkcja generująca f, największy wykładnik Lapunowa szacuje się na podstawie zależności:

max 0

λ n

n ≈Δ ⋅e

Δ ^{, (10)}

jako współczynnik kierunkowy równania regresji:

n

ln

0 maxn

ln Δ = Δ + λ

^{, (11)}

gdzie:

Δ

0 – początkowa odległość pomiędzy dwoma początkowo bliskimi (w sensie metryki euklidesowej) wektorami zrekonstruowanej przestrzeni stanów,

Δ

n – odległość pomiędzy tymi wektorami po n iteracjach,

λ

max – największy wykładnik Lapunowa [3;11].

Dodatnia wartość największego wykładnika Lapunowa jest bardzo często uznawana jako warunek konieczny i wystarczający obecności chaosu w układzie dynamicznym.

2.2. Wymiar korelacyjny

Wymiar korelacyjny atraktora układu dynamicznego jest nazywany grani- cą [3;8]:

( )

ε ε

ε ln

, , limln

0

t d D_C C

= → , (12)

gdzie:

(

^{d t}

)

^C

(

^{d n t}

)

C ,

ε

, nlim , ,

ε

,

∞

= → – całką korelacyjną daną wzorem:

( ) ( ) ^{∑ ∑} ( )

= = +

−

− −

=

ⁿ

j n j i

d j d

i x

x n I

n n d C

1 1

1 , 2

,

, ε τ ε

^,

ε > ⁰

^{, (13)}

( ) ⎩ ⎨ ⎧

≥

= <

0 ,

1

0 ,

0

a a a

I ,

d

xi – wektor d-wymiarowej zrekonstruowanej przestrzeni stanów,

τ

– opóźnienie czasowe.

Dla rzeczywistych szeregów czasowych wartość wymiaru korelacyjnego szacuje się jako współczynnik kierunkowy równania regresji [7;11]:

( )

^{D a}

C

ε =

_c

⋅ ^ln ε +

ln

, (14)

gdzie:

a – stała.

Wartość wymiaru korelacyjnego D_C wyznacza się dla kolejnych wartości wymiaru zanurzenia d. Dla szeregów deterministycznych wartość wymiaru D_C powinna stabilizować się na pewnym poziomie równym szacowanemu wymia- rowi korelacyjnemu. Dla szeregów losowych wymiar DC powinien w przybliże- niu być równy wymiarowi zanurzenia d [5].

3. Badania empiryczne

Przedmiotem badania były logarytmy dziennych stóp zwrotu indeksów giełd światowych: CAC40 – indeks na Giełdzie Papierów Wartościowych w Pa- ryżu (CAC), HANGSENG – indeks na Giełdzie Papierów Wartościowych w Hongkongu (HSI), NIKKEI225 – indeks na Giełdzie Papierów Wartościo- wych w Tokio (NKX), SENSEX 30 – indeks na Giełdzie Papierów Wartościo- wych w Bombaju (SNX), S&P500 – indeks giełdy w Nowym Jorku (SPX), WIG – indeks na Giełdzie Papierów Wartościowych w Warszawie (WIG) oraz XU100 – indeks na Giełdzie Papierów Wartościowych w Stambule (XU); postaci:

ln

1

ln −

₋

=

t t

t s s

x , (15)

gdzie:

s_t – obserwacja szeregu, notowane w okresie 3.01.2000-26.08.2013².

2 Dane pochodzą z archiwum plików strony internetowej stooq.com.

Monika Miśkiewicz-Nawrocka 50

W pierwszym etapie badania, wybrane szeregi czasowe poddano procesowi re- dukcji poziomu szumu losowego metodą najbliższych sąsiadów dla opóźnienia cza- sowego

τ = 1

. Redukcję szumu losowego w szeregach czasowych przeprowadza się dla ustalonego wymiaru zanurzenia d i ustalonej liczby najbliższych sąsiadów wektora x_t^d. W celu ustalenia optymalnych parametrów, tj. parametrów, dla których poziom szumu losowego jest najniższy, pod uwagę wzięto następujące wartości wymiaru zanurzenia d = 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 15, 20, natomiast jako najbliższych sąsiadów wektora x_t^d ustalono wektory z jego otoczenia o promieniu otoczenia ρ = 0,001; 0,01; 0,1³. Do oceny poziomu szumu w przefiltrowanych szeregach za- stosowano współczynnik NRL.

W tabeli 1 zamieszczono optymalne parametry redukcji szumu losowego:

wartość wymiaru zanurzenia d i promień otoczenia ρ, oraz odpowiadającą im najniższą wartość współczynnika NRL dla analizowanych szeregów. Tak przefil- trowane szeregi oznaczono symbolem NazwaSzeregu_red.

Tabela 1 Współczynnik NRL dla szeregów przefiltrowanych metodą najbliższych sąsiadów

Szereg d ρ NRL

CAC_red 2 0,1 0,0005687

HSI_red 2 0,1 0,0008235

NKX_red 9 0,1 0,0008070

SNX_red 2 0,1 0,0006529

SPX_red 2 0,1 0,0005776

WIG_red 2 0,1 0,0003023

XU_red 3 0,1 0,0011119

Następnie dla analizowanych szeregów oszacowano parametry rekonstrukcji przestrzeni stanów metodą opóźnień: stosując funkcję autokorelacji – ACF [1;9]

wyznaczono czas opóźnień

τ

, natomiast za pomocą metody najbliższego po- zornego sąsiada – FNN [1;4] obliczono wymiar zanurzenia d. Tabela 2 zawiera parametry rekonstrukcji d i τ dla szeregów czasowych przed i po filtracji.

Tabela 2 Wartości parametrów rekonstrukcji przestrzeni stanów dla analizowanych szeregów Szereg Opóźnienie

czasowe

Wymiar

zanurzenia Szereg Opóźnienie czasowe

Wymiar zanurzenia

CAC 20 8 CAC_red 17 10

HSI 2 6 HSI_red 21 9

NKX 6 6 NKX_red 19 10

SNX 15 7 SNX_red 4 4

SPX 4 6 SPX_red 14 5

WIG 16 7 WIG_red 23 6

XU 4 6 XU_red 12 4

3 Redukcję szumu przeprowadzono przy wykorzystaniu darmowego programu TISEAN autor- stwa H. Kantza i T. Schreibera.

Kolejny etap badań, polegał na identyfikacji chaosu w analizowanych szere- gach czasowych. W tabeli 3 przedstawiono wyniki szacowania największego wy- kładnika Lapunowa dla badanych szeregów. Obok wartości największego wykład- nika Lapunowa podano również równanie regresji oraz współczynnik determinacji

R2, na podstawie których wyznaczono

λ

_max. Znakiem „–” oznaczono sytuację, w której oszacowany współczynnik kierunkowy równania regresji nie może być traktowany jako wartość największego wykładnika Lapunowa, ponieważ R² <0,3.

Tabela 3 Wartości największego wykładnika Lapunowa dla analizowanych szeregów

Szereg Równanie regresji

λ

_max Szereg Równanie regresji

λ

_max

CAC 0,2395 2329 , 4 0003 , 0

2 =

−

= R

x

y – CAC_red

3317 , 0

1894 , 9 0061 , 0

2=

−

= R

x

y 0,0061

HSI 0,2953 1869 , 4 0009 , 0

2=

−

= R

x

y – HSI_red

3728 , 0

6463 , 8 011 , 0

2 =

−

= R

x

y 0,0110

NKX 0,3630 1765 , 4 0018 , 0

2=

−

= R

x

y 0,0018 NKX_red

4348 , 0

5717 , 8 038 , 0

2=

−

= R

x

y 0,0380

SNX 0,3596 1885 , 4 0021 , 0

2 =

−

= R

x

y 0,0021 SNX_red

3376 , 0

8706 , 8 0321 , 0

2 =

−

= R

x

y 0,0321

SPX 0,3309 3929 , 4 0011 , 0

2=

−

= R

x

y 0,0011 SPX_red

6639 , 0

4164 , 9 0094 , 0

2=

−

= R

x

y 0,0094

WIG 0,3495 3491 , 4 0029 , 0

2=

−

= R

x

y 0,0029 WIG_red

6013 , 0

376 , 11 0251 , 0

2 =

−

= R

x

y 0,0251

XU 0,0823 8043 , 3 0018 , 0

2=

−

= R

x

y – XU_red

1907 , 0

8222 , 6 0217 , 0

2=

−

= R

x

y –

Obliczone wartości największego wykładnika Lapunowa

λ

_max dla wszyst- kich analizowanych szeregów czasowych są dodatnie, jednak są one niewielkie.

Świadczy to o wrażliwości tych szeregów na zmianę warunków początkowych, a zatem o obecności chaosu, lecz jego poziom jest nieznaczny. Analizując dane zawarte w tabeli 3, można stwierdzić, że po zastosowaniu procedury redukcji szu- mu losowego wartości największego wykładnika Lapunowa są znacznie większe niż w szeregach przed filtracją. Największym poziomem chaosu wykazały się sze- regi NKX, SNX oraz WIG, dla których zastosowano procedurę redukcji szumu metodą najbliższych sąsiadów. Ponadto, szacowane równania regresji charaktery- zują silniejszym dopasowaniem do danych dla szeregów przefiltrowanych.

W tabeli 4 zamieszczono oszacowane wartości wymiaru korelacyjnego dla wszystkich analizowanych szeregów dla wymiaru zanurzenia d = 2, 3, … , 10.

5

s n b g m g s

R

n o g c D w c 52

Sze CACA HS HS NKNK SN SN SPXSPX WI WI XUXU

są z nyc brak go.

moż go ( styc

Rys.

na p okre gno czon Do wyk cza

ereg AC AC_r

I I_red KX KX_r NX NX_re

X X_re IG IG_re U U_red

O zna ch. J

k je Dl żna (rys czny

. 1. W

W pod

esow ozy

no p wy kład się

ed d red

ed ed ed d

blic aczn Jed est w

a p a za s. 1 ych

War

Wob dstaw

weg wra pro yzna

dnik na

1,0, 1, 0, 1,0, 1, 0, 1,0, 1, 0, 1,0,

czo nie dnak

wyr prze aobs ). F h w

rtośc

ec wie go az z ogno acze ka L pod

2 ,4114 ,0574 ,378 ,0127 ,4757 ,0073 ,4103 ,0185 ,3154 ,0393 ,457 ,0172 ,398,0477

ne niż k za

raźn efilt

serw Fak

bad

ci wy

fak e od pro ze w ozy

enia Lap dsta

4 4 1 7 7 3 3 5 4 3

2 1 7

wa ższe arów

neg trow wow kt te

dan

ymi

ktu, dwz ogno wzro ana a pr puno awi

W 3 2,180,10 2,12 0,02 2,280,01 2,18 0,02 2,000,07 2,25 0,02 2,140,07

artoś e od wno go p wan

wać en m nych

aru

że oro ozo oste aliz rogn owa

e za

Wymi 3 801 028 238 218 844 107 882 273 061 766 582 252 406 731

ści d w o d poz nych

ć wo moż h sz

kore

dla owan

wan em zow noz a LE ależ

M

iar k

20 2 0 30 2 0 20 3 0 20

wy wart la s ziom

h sz olni że p zere

elac

a sz nia nia jej wany

z w EM żnoś

Mon

kore 4 2,967 0,157 2,864 0,033 3,112 0,014 2,996 0,036 2,711 0,124 3,083 0,033 2,911 0,099

ymi tośc szer mu

zere iejs potw egac

yjne

zere log po hor ych wyko M. W

ści ika

lacy

7874 46 37 2541 67 64 142 32 34 1997

aru ci D

regó stab egó sze wie ch.

ego

gów gisty twi ryzo

sze orzy W m [3],

Miś

yjny

3,70,2 3,6 0,0 3,90,0 3,8 0,0 3,40,1 3,9 0,0 3,70,1

u ko D_c o

ów biliz

w X tem erdz

dla p

w c ycz ierd ontu ereg ysta meto

, [4 śkie

dla W 5 7592219 6136 0484 95230173 8393 0453 44171792 9134 0416 71081266

orel otrz prz zow XU mpo zać

prze

chao zneg dzają

u [6 gów ano odzi

]:

wic

ana Wymia

40 4 0 40 4 0 40 4 0 40

acy zym zefi wan U_re o wz

istn

efiltr

otyc go,

ą w 6], [ w dla

me ie L

cz-N

alizo ar za 6 4,600,287 4,322 0,06 4,786 0,020 4,689 0,054 4,220,24 4,752 0,050 4,504 0,154

yjne many

iltro nia s ed,

zro nien

rowa

czny odw wyk

[8], a ho etod LEM

awr

owan anurz 5176 26 58 6806 99 42 5613 25 06 4945

ego ych owa

się SN stu nie

anyc

ych wzo kładn

w oryz dę o M p

rock

nych zenia 5,70,3 5, 0,0 5,50,0 5,5 0,0 5,20,3 5,6 0,0 5,40,

dla h dl any wa NX_

wa pew

ch sz

h (tj orow

nicz kol zon opar prog ka

h sze a

7 73293617 1482 0857 5165024 511 0627 24323093 6239 0604 41731836

a sz la s ych arto _red arto wny

zere

. sz wan ze t lejn ntu p

rtą gno

ereg

97 2 7 5

7 23 9 4 36

zere szer jak ści d, W ości

ych

egów

zere nia H

tem nym pro na zę o

gów 8 5,650,44 5,85 0,10 5,870,02 5,92 0,07 5,840,38 5,97 0,07 5,440,21

egów regó k i n wy WIG wy h za

w

egów Hen mpo m eta gno wa obs

8 573418 571 078 772274 237 714 473822 755 714 467137

w p ów niep ymi G_re

ymi ależ

w w non

wz apie ozy artoś serw

60 5 0 60 6 0 50 6 0 60

prze nie prze iaru

ed o iaru żnoś

wyg n), w zros e ba T = ści wacj

9 ,471,527 ,825 ,132 ,543,030 ,900 ,080 ,802,460 ,841 ,083 ,227,243

efilt eprz efilt u ko ora u ko

ści

gene wyn

stu adan

= 1, naj ji s_N

9 2 5 6 9 5 5 4 4 6 5 8

trow zefi

trow orel az H

orel det

erow niki

błę nia , 2, jwię

N+1

Tab

1 6,40,6 6,4 0,1 7,20,0 7,8 0,0 6,50,7 7,7 0,1 7,30,3

wan iltro wan lacy HSI_

lacy term

wan kró ędu

wy

… ększ

wy

bela

10 726 157 214 587 646 345 878 896 743 092 154 277 079 608

nyc owa nyc yjne _re yjne mini

nyc ótko

pro yzna , 10 zeg yzna

4

h a- ch

e- ed

e- i-

ch o- o- a- 0.

go a-

g

λ Δ Δ

e b s p d

R

R

gdz

λ

ma

Δ

m

Δ

1

euk będ s_N+1 pier dy p

Rys.

Rys.

zie:

ax

min

– W klide dące

[8 rwia prog

. 2. W

. 3. W

– w – o

– W zw

eso e od 8]. W

aste gno

War

War

wyk odle ozn odl wią wą, dpo W c ek b oz w

rtośc

rtośc

kład egło nacz legł

zku , pr owie

celu błęd wyzn

ci bł

ci bł

dnik ość zon łość u z rogn edn u os du

nac

łędu

łędu

k L ć po nym

ć po tym noz nio p

szac śred czon

RM

RM

Lapu omi m jak

omi m, ż za

ˆs

prz cow

dni nych

MSE

MSE

uno iędz ko iędz że o

ˆ

_N+ s

esz wani okw h m

prz

nied

wa zy s_mid

zy w odle

1 m zaco ia d wad meto

esza

dosz

Δ

,

we

in, wek egło moż

owa dokł drat odą

acow

zaco

Δ

1

ekto

ktor ości e p aną ładn tow

LE

wany

owan

Δ

≈

orem

ram i po przy i n noś wego EM w

ych

nych

Δ

mi

m s

mi s omi yjmo nied

ści w o RM

w z

prog

h pro

in

⋅

e

d

sN

d N 1+

ędz owa dosz wyz MS zale

gnoz

ogno λma

e

or

or zy w

ać d zaco zna SE.

eżno

z sze

oz sz

ax ,

raz

raz wek

dwi owa aczo Ry ości

ereg

zere

jeg

s_mid

ktor ie w aną ony ysun

i od

gów

egów

go

1 in+

ram war ą wa

ch p nki d ho

w

naj

[8]

mi są rtośc arto pro

2-5 oryz

bliż

. ą m

ci:

ości ogno 5 pr zont

ższy

mierz ˆ+_N

s ią r oz w rzed tu p

ym

zon

+1 o rzec

wyk dsta prog

m są

ne m oraz czyw

korz awi gnoz

ąsia

metr z ˆs wis zys ają zy.

(15

adem

ryk

−+1

ˆ_N s

teg tan błę

5)

m

ką

1, go no ę-

5

R

R

s t n p m k

P

s s w Ś d 54

Rys.

Rys.

szoś tu p nicz prze mu kacj

Pod

sąsi staw wyk Świ dla

. 4. W

. 5. W

N ści b prog

ze.

ez u los ji są

ds

W iadó wie kaz iadc

sze

War

War

Na p bad gnoz

Mo ukła sow

ą zn

um

W ar ów pr ały czą ereg

rtośc

rtośc

pods dany

zy, ożna ady wego nacz

mow

rtyk na rzep ce o t gów

ci bł

ci bł

staw ych jed a w cha o bł znie

wan

kule ide prow

chy tym w po

łędu

łędu

wie sze dnak więc

aoty łędy e mn

nie

e zb enty wad y ch m zn odd

RM

RM

pow ereg k te

wn yczn y pr

niej

e

bad yfik dzon hao nacz dany

MSE

MSE

wyż gów mp nios ne.

rogn jsze

ano kacj

nyc tyc znie

ych M

prz

nied

ższy w błę po w sko

Do noz e niż

o w ę ch ch b zne e w h pr

Mon

esza

dosz

ych ędy wzro

wać odat z an ż bł

wpły hao bad e w więk roce

ika

acow

zaco

wy y pro

ostu ć, ż tkow naliz

łędy

yw r osu dań w wi ksze edu

Miś

wany

owan

ykre ogn u ty że b wo zow y pr

redu w w mo ięks e wa urze

śkie

ych

nych

esów noz ych b

bada mo wany

rogn

ukc wyb ożn szym arto

red wic

prog

h pro

w (r zwi błęd ane ożna

ych noz

cji s bran na s m s ości

duk cz-N

gnoz

ogno

rys.

ięks dów e sz

a za h sz nie

szum nyc stw stop i naj kcji

awr

z sze

oz sz

. 2- szaj w je ereg auw

ereg eprz

mu ch s wierd

pniu ajwi

niż rock

ereg

zere

-5) m ją s est w

gi f waży gów zefil

los szer

dzić u n ięks ż dl ka

gów

egów

moż ię w wol fina yć, ż w w

ltro

sow rega ć, ż iż s szeg la s

w

żna wraz

lniej anso że w w ca owan

weg ach że p szer go w szer

a za z ze jsze owe w w ałym nyc

o m fin prz regi wyk regó

auw e wz e ni e ni wyn m p ch sz

meto nans

efil i ni kład ów

aży zros iż te ie s niku prze

zere

odą sow ltro iepr

dnik nie

yć, ż stem emp

ą g u red

dzia egó

ą na wych

wan rzef

ka L eprz

że w m h po w gene

duk ale ów.

ajbl h. N ne filtr

Lap zefi

w w hory

wyk erow kcji

we

iższ Na p sze row pun iltro

więk yzon kład wan szu eryfi

zyc pod ereg wane now

owa k- n- d- ne

u- fi-

ch d- gi e.

wa a-

nych. Istnienie pewnych zależności deterministycznych w czterech z badanych szeregów, wydaje się potwierdzać wolniejsze tempo wzrostu wartości wymiaru korelacyjnego po zastosowaniu metody redukcji szumu losowego.

Dodatkowo przeprowadzone badania wykazały, że szeregi poddane proce- sowi redukcji szumu charakteryzowały się znacznie mniejszymi błędami pro- gnozy w całym przedziale weryfikacji.

Literatura

[1] Cao L., Method of False Nearest Neighbors, [w:] Modeling and Forecasting Fi- nancial Data, ed. A.S. Soofi, L. Cao, Kluwer, Boston 2001.

[2] Guégan D., Leroux J., Forecasting Chaotic Systems: The Role of Local Lyapunov Exponents, „Chaos, Solitons & Fractals” 2009, Vol. 41.

[3] Kantz H., Schreiber T., Nonlinear Time Series Analysis, Cambridge University Press, Cambridge 2004.

[4] Kennel M.B., Brown R., Abarbanel H.D.I., Detecting Embedding Dimension for Phase Space Reonstruction Using a Geometrical Construction, „Physical Review A”

1992, Vol. 45.

[5] Kyrtsou C., Terraza M., Stochastic Chaos or ARCH Effects in Stock Series?

A Comparative Study, „International Review of Financial Analysis” 2002, Vol. 11.

[6] Miśkiewicz-Nawrocka M., Zastosowanie wykładników Lapunowa do analizy ekonomicznych szeregów czasowych, Wydawnictwo Uniwersytetu Ekonomicznego, Katowice 2012.

[7] Orzeszko W., Identyfikacja i prognozowanie chaosu deterministycznego w ekonomicz- nych szeregach czasowych, Polskie Towarzystwo Ekonomiczne, Warszawa 2005.

[8] Ott E., Chaos w układach dynamicznych, Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, Warszawa 1997.

[9] Ramsey J.B., Sayers C.L., Rothman P., The Statistical Properties of Dimension Calculations Using Small Data Sets: Some Economic Applications, „International Economic Review” 1990, Vol. 31, No. 4.

[10] Takens F., Detecting Strange Attractors in Turbulence, [w:] Lecture Notes in Ma- thematics, ed. D.A. Rand and L.S. Young, Springer, Berlin 1981.

[11] Zawadzki H., Chaotyczne systemy dynamiczne, Wydawnictwo Akademii Ekono- micznej, Katowice 1996.

[12] Zhang J., Lam K.C., Yan W.J., Gao H., Li Y, Time Series Prediction Using Ly- apunov Exponents in Embedding Phase Space, „Computers and Electrical Engi- neering” 2004, Vol. 30.

Monika Miśkiewicz-Nawrocka 56

EFFECT OF OPTIMUM PARAMETERS OF RANDOM NOISE REDUCTION ON THE IDENTIFICATION OF CHAOS IN ECONOMIC TIME SERIES

Summary

Real time series are usually disturbed by random noise and the presence of noise in the data can significantly affect the characteristics of dynamic system. The aim of the ar- ticle will be to research the effect of reduction of random noise by the nearest neighbor method on the identification of chaos in time series. The test will be conducted on the basis of selected financial time series.