Filtr Kalmana w przypadku istnienia korelacji między szumami urządzenia pomiarowego i obiektu (Praca wpłynęła do Redakcji 29.03.1983)

ROCZNIKI PO LSKIEG O TO W A RZYSTW A M A TEM A TYCZN EGO Seria III: M A TEM A TYK A STOSOW ANA XXV I (1985)

A l e k s a n d e r K o w a l s k i D o m in ik S z ^ n a l

Lublin

Filtr Kalmana w przypadku istnienia korelacji między szumami urządzenia pomiarowego i obiektu

(Praca wpłynęła do Redakcji 29.03.1983)

WSTĘP

W pracy sformułujemy i rozwiążemy problem liniowej filtracji z cza- sem dyskretnym, dopuszczającej w modelu Kalmana istnienie korelacji między szumem obiektu a szumem urządzenia pomiarowego w chwili k oraz między szumem obiektu w chwili k a szumem urządzenia pomiaro- wego w chwili k+1. Rozpatrywany model pojawia się wtedy, gdy szum urządzenia pomiarowego zniekształca stan układu w chwili pomiaru i wpływa na stan układu w chwili następnej. Ponadto podajemy roz- wiązanie problemu dualnego w rozważanym uogólnieniu filtracji Kal- mana.

1. PROBLEM ESTYMACJI SREDNIOKWADRATOWEJ STANU UKŁADU DYNAMICZNEGO

Niech na przestrzeni probabilistycznej^, c/K P) będzie określony proces stochastyczny (x(k), y(k), k>0), w którym x(k) oznacza n- -wymiarowy wektor stanu układu dynamicznego, a y(k)- m-wymiarowy

[93]

94 A. KOWALSKI i D. SZYNAL

wektor wielkości obserwowalnych, tj.

x^ k )

x2 Ck) y2 (k)

X(k) «

•

•

> (k ).

, y(k) -

•

•

gdzie Ex^(k)

<00

Fakt ten oznacza, że każda obserwacja wnosi „istotnie nową" infor- mację o stanie układu dynamicznego.

Problem liniowej estymacji średniokwadratowej stanu układu po- lega na znalezieniu n-wymiarowego wektora losowego x(J|k), stano- wiącego optymalną w sensie średniokwadratowym liniową ocenę wekto- ra x(J), bazującą na obserwacjach y(0) , ..., y(k).

Wektor x(j|k) nazywamy filtrem, Jeśli J=k, predyktorem, gdy J > k, i oceną wygładzającą, gdy J<k.

Niech

z: z

Z

i=*0 N. U)y(i), N (i) e L(Rm ,R1) i-0, 1

X S* Zn

*k k*

Wiadomo, że Zjj; Jest domkniętą, liniową podprzestrzenią przestrzeni

FILTR KALMANA W PRZYPADKU ISTNIENIA KORELACJI MIĘDZY•.. 95 Lg^fC^P) z iloczynem skalarnym•I

(x,y) » E[xTy] « tr E[xyT]

i normą ||x| ■ (x,x)1^2.

W terminach teorii przestrzeni Hilberta ocena z wektora z e L g ^ c ^ , P) na podstawie obserwacji y(0), ..., y(k) jest orto- gonalną projekcją ocenianego wektora na przestrzeń ZjJ;.

Ortogonalizując metodą Gramma-Schmidta wektory losowe y(0),...

. y(k), wprowadźmy bazę ortogonalną w y^:

y(0|-1) = y(0),

y(1|0) = y(1) - pro3 y(1)|Y0 ,

Zauważmy, że ocenę z można zapisać w postaci

(P) z - proj z|z£ =

k

- H e[z yTCr|r-1)] (E [y(r| i-1)yT (r|!>-1)])"1 y (r| i-1 ).

r=0

Aby dowieść (P), wystarczy wykazać, że wektor z = z - z jest orto- gonalny do przestrzeni Z^. W tym celu zauważmy, że można Z^ przed- stawić w postaci

96 A. KOWALSKI i D. SZYNAL

ft

z \ = {z: z = S M (i)y(i|l-1), Mz (i)e L ^ . R 1), 1=0

•1®0* 1* •••* k J, i dla każdego u e Zk1

k I

E | (z- 2 )uT ] - e [ { z- Z E [ z ? T ( i | i - 1 ) ] ( E [ y ( i | i- 1 ) yT ( 1 1 i - 1 ) J ) ‘ | i=0

k

X y(i |i-1)] ( N(r)y('r|r-1))T - ' r=0

k k k

=

S

Z E

r=0 r=0 1=0

V (E[y(i|i-1)yT (i|5-1)])-1 E[y (i| i-1)^T (r |r-1)] Nz (r) = 0 , co wraz z faktem, że

e [(^z-^z)T ^u ] = tr ^e[(^z-^z)^uT ] dowodzi (P).

2. FILTRY DLA LINIOWYCH UKŁADÓW DYNAMICZNYCH

Rozważamy liniowy układ dynamiczny z czasem dyskretnym postaci Ka>

mana, tj.

FILTR KALMANA W PRZYPADKU ISTNIENIA KORELACJI MIĘDZY... 97

(1) x(k+1) * A(k) x(k) + C(k)wCk), (2) y (k) * B(k) x (k) + v(k),

gdzie A(k), B(k), C(k) są odpowiednio nxn, nxm, nxp wymiarowymi ma- cierzami rzeczywistymi, a

x(k) - stan układu,

y(k) - obserwacja stanu układu,

w(k) - zakłócenia na wejściu (szum obiektu),

v(k) - niepewność obserwacji (szum urządzenia pomiarowego^, przy czym Ex(0) =» x(0), Ew(k) = 0, Ev(k) = 0, E[x(0)w^(k)] * 0, E[x(0)vT (k)]= 0, k * 0, 1, 2, ...

Filtracja w sensie Kalmana polega na rekurencyjnym wyznaczeniu oceny x(k|k), zwanej filtrem, i macierzy kowariancji P(k|k) błędu tej oceny, przyjmując, że x(0|0) * x(0) i

P(0|0) = E[(x(0) - x (0)) (x (0) - x(0))T]

oraz zakładając, że dane są macierze kowariancji wektorów w(k) i v(l):

E[wCk)wT (l)]= Q(k)cfk;L, E[v(k)vT (l)] = R(k)cTkl,

E[w(k)vT (l)] = 0, k,l - 0, 1, 2 ...

gdzie (fkl = 1 dla k=l i cfkl = 0 dla k A »

R.E. Kalman wykazał, że przy powyższych założeniach i warun- kach początkowych

98 A. KOWALSKI i D. SZYNAL

x(0|-i; =

-

[(

(0)- 5(0)) (

(O)-

(0))T],

(4) x(k|k-1) * A (k-1) x (k-11 k-1) ,

gdzie macierz K(k), zwana współczynnikiem wzmocnienia, dana Jest wzorem

(5) K(k) - P(k|k-1)BT (k)[B(k)P(k|k-1)BT(k) + R(k)]“1 , a macierze kowariancji błędów spełniają równania

(6) P(k|k) = [i - K(k)B(k)] P(k| k-1),

(7) P(k+1)k) = A(k)P(kjk)AT (k) + C(k)Q(k)CT(k).

M.N. Simkin |5] rozważał problem filtracji Kalmana w przypadku istnienia korelacji między szumami w(k) i v(k) , k = 0, 1, 2, ...

Wykazał, że Jeśli

E [x(k) w^(l) j = Q(k)cTkl, E[v(k) vT (l)] o R(k)cTkl,

(

)

E[w(k)vT (l) j = S(k)crkl, k,l = 0, 1, 2, ... , to

(9) x(kjk) = x(k jk-1) + K(k) [y(k) - B(k)x(k|k-1)] ,

FILTR KALMANA W PRZYPADKU ISTNIENIA KORELACJI MIĘDZY... 99

(10) ^y. (k+1 j k) = AQ(k)x(k|k) +F(k)y(k), gdzie

(11) AqCK) = A(k) - F(k)B(k), (12; F(k) * C(k)S(k)R~1(k),

(13) K(k) * P(k| k-1) BT (k)[ B (k) P(k|k-1) BT (k) + R(k)] “1, a macierze kowariancji błędów dane są równaniami

(14) P(k|k) - [i - K(k)B(k)] P(k|k-1) , (15) P(k+l|k) = A„(k)P(k|k)i£(k) + Qo(k), gdzie

(16) Q0 (k) = C(k)Q(k)CT(k) + F(k)R(k)FT (k) .

Celem pracy jest znalezienie filtrów typu Kalmana, w przypadku istnienia korelacji między w(k) i v(k) oraz w(k) i v(k+1). Ponadto rozważamy problem dualny w zagadnieniu Simkina i w zagadnieniu sfor- mułowanym wyżej.

3. STRUKTURA FILTRU

Rozważmy najpierw przypadek, w którym dopuszcza się istnienie kore- lacji między w(k) i v(k) oraz w(k) i v(k+1).

100 A. KOWALSKI i D. SZYNAL

Niech

E [w(k) wT (k)J = Q(k) , E [v(k) (1)] = RCk)^kl, (17)

Ejw(k) vT (l)] = S(k)cfkl + S1 (k)cTk+1 k,l = 0, 1, ...

\

(

LEMAT 1. Wektor w(k) da się przedstawić w postaci następującej sumy ortogonalnych składników:

(18) w(k) « F(k) v(k) + G(k) v(k+1) + wQ (k) , gdzie

(19) E [^{w q} (k) V1 (.k)] « E[wQ (k)v:r(k+1)] « 0, (20) E[wQ (k)wQ(k)] » Q0 (k) ,

(21) F(k) = S(k)R~1 (k) , (22) G(k) - S1 (k)R"1(k+1) ,

(23) Q0 (k) = Q(k) - S(k)R“1(k)ST (k) - S1 (k)R*1 (k+1) S* (k+1) .

D o w ó d , Niech

Vl " {vs v * M v(1)» M e L ( R m ,Rp)} , 1 - 0, 1, ...

FILTR KALMANA W PRZYPADKU ISTNIENIA KORELACJI MIEDZY.•* ¹⁰¹

jest liniową, domkniętą podprzestrzenią przestrzeni Ponieważ E[v(k) (k+1)] * 0, więc

w(k) » Proj w(k)|Vk + Proj *Kk)|Vk+1 +

+ [w(k) - Proj w(k) |vk - Proj w <-k)|Vk+1].

Pierwszy składnik należy do Vk , drugi do Vk+1, a trzeci jest orto- gonalny do nich.

Zatem składniki te mają postać

Proj w(k)|Vk = F(k)v(k), Proj w(,k)|Vk+1 - G (k) v(k+1) ,

w(k) - F(k)v(k) - G(k) v(k+1) = wQ (k).

Stąd otrzymujemy reprezentację (18). Z (17) i (18) mamy

0 = F(k)E[v(k)vT (k+1)] * E[(w(k) - G(k)v(k+1) - - w0 (k))vT (k+1)] - S1 (k) - G(k) R(k+1) ,

co daje (22).

Podobne rozważanie prowadzi do postaci (21) macierzy F(k). Dalej

A. KOWALSKI i D. SZYNAL

Q0 (k) = E[w0 (k)wJ(k)] = Q(k) - FCk)R(k) FT (k) -

- G(k) R(k+1) GT (k+1) .

WNIOSEK. Jeżeli E [wQ (k) wjjj (1)] « Q0 (k^ k l 1 E [w0^k^ ^{^} * °»

k,l *» 0,1, to

E[w(k+1) wT (k)] « E[(S(k+1)R"1 (k+1) v(k+1) +

+ S1

(k+1)R“1 (k+2)v(k+2)

fk+1» (s (k)

Ck)

+ S1 (k)R"1 (k+1) v(k+1) + w0 (k))]T a S(k+1)R“1(k+1) slj (k) .

W dowodach lematów i twierdzeń wygodna będzie następująca pos- tać równań (1) i (2):

LEMAT 2.

(24) Proj y(k)|Yk>_1 = B(k)x(k|k-1) .

FILTR KALMANA W PRZYPADKU ISTNIENIA KORELACJI MIĘDZY... 103

D o w ó d .

Proj y(k)|Yk-1 « Proj) B (k)x(k) + v(k)] Yk-i

» Proj B(k) x(k) | Y ^ + Proj v(k) | ^{Y ^ ^} .

Na mocy wzoru (P) pierwszy składnik równa się B(k)x(kjk-1) , a drugi z uwagi na definicję przestrzeni Y ^ ^ i wzory (2')i (18) równa się 0, co dowodzi (24) .

TWIERDZENIE 1. Załóżmy, że spełnione są następujące warunki:

E[x(0)] = x(0), E [w (k)] = 0, E[v(k)J= 0, E[x(0)wT (k)] - 0,

E[x(0) v1 ^)] = 0, E[w(k)wT (,k)] = Q(k), E[w(k)vT (l)]= R (k)<Tkl.

E j w W ^ U ) ] = S(k)cfkl + S ^ k ) ^ . , ^ ,

(25) E[w0 Ck)wY U)] = Q0 (k)cfkl’ E[w0 (.k)vT (l)] = 0, i niech

x(p | - 1) = x(O) , P (0 | -i; = E [(x(0) - x (0)J(x(0) - x(0))T]

104 A. KOWALSKI i D. SZYNAL

Wtedy

'26) x'k'k^ = xfk'k-l^ + K(k) fy(k) - B(k) x (k | k-1)] ,

(27; x(k| k-1) - Aq (k-1) X (k-11 k-1) + C(k-1) F(k-1) y(k-1) ,

gdzie

(28) K(k) = [P(k|k-1)BT (k) + C(k-1) S1 (k-1)] [ B(k)P(k|k-1) BT (k) +

+ B(k)C(k-1) (k-1) + S^(k-1) CT (k-1) BT (k) + R(k)] “*1 ,

(29) Ao(k) - A(k) - C(k)S(k)R“1(k).

Macierze kowariancji błędu predyktora x(k|k-1) i filtra x(k|k) dane są wzorami

(30; P(k| k-1) » A0 (k-1)P(k-l|k-1) A^(k-1) +

+ C(k-1) S1(k-1)R” 1(k)s5f(k-1) CT (k-1) + C(k-1) QQ (k-1)CT (k-1) >

(31) P(k| k) = [i - K(k)B(k)] P(k|k-1) « K(k) S^(k-1) CT (k-1) . Ponadto mamy

FILTR KALMANA W PRZYPADKU ISTNIENIA KORELACJI MIĘDZY. 105

(32) x(k|k-1) = x(k) - x(k| k-1) =

= AgCk-1) x(k-l|k-1) + C (k-1) G(k-1) v(k) + C(k-1)wQ (k-1) ,

(33) x(k|k) => x(k) - x(k|k) = [i - K(k)B(k)] x(k|k-1) - K(k) v(k)

Zauważmy najpierw (przed podaniem dowodu), że założenie (25) oznacza, iż „resztowy” szum (wQ(k), k « 0, 1, ...) jest procesem ortogonalnym i nieskorelowanym z szumem (v(k) , k » 0, 1, ...).

Stanowi ono przeniesienie klasycznego założenia dotyczącego szumu (w(k), k = 0, 1, •••) na szum (wQ (k), k = 0, 1, ...). Przykładem procesu (w(k), k ■ 0, 1, . . spełniającego założenia twierdzenia 1 jest np. proces normalny postaci

(w(k) « Wq(k) + S(k)R“1 (k) v(k) + S1 (k)R~1 (k+1) v(k+1) ,

S(k), S1 (k)€ L(Rm , Rp), k * 0, 1, ...)

o E [w(k)] = 0 i

E[w(k)wT (k)] » Q0 (k) + S(k)R”1(k)ST (k) + S ^ t y R ”1 (k+1) S^f(k)

gdzie procesy (v(k), k = 0, 1, ...) i (wQ(k), k ■ 0, 1, ...) są nie- skorelowanymi procesami normalnymi o ortogonalnych wartościach, średnich zero i macierzach kowariancji Qg(k) ° E [wo (k) wo W ] *•

R(k) » E[v(k)vr (k)] , det R(k) j^O, k = 0, 1, ...

D o w ó d . Biorąc pod uwagę, że x(k|k) = Proj x(k) da się

106 A. KOWALSKI i D. SZYNAL przedstawić wzorem (P), mamy

x(k|k) * Proj x(k)|Kk = Proj x(k)|Xk->1 +

+ E[x(k)yT (k|k-1)] (E[y(k|k-1) y^kl k-1)])"*1 y(k|k-l).

Ale na mocy (24)

y(k|k-l) = y(k) - Proj y(k)|Yk-_1 = y(k) - B(k)x(k|k-1)

Stąd kładąc

K(k) = E[x(k)yT (k|k-1)] (E[y (k |k-1) yT (k |k-1)])“1 ,

otrzymujemy (

26

Aby udowodnić (27) zauważmy najpierw, źe x(k|k-1) = Proj x(k) jXk-1 =

= Proj [A(k-1) x(k-1) + C (k-1) w (k-1)]

= A (k-1) Proj x(k-1)|Xk-1 + Proj C(k-1) w(k-1)j X k^ .

Na mocy zależności (18) drugi składnik możemy przedstawić w postaci Proj C(k-i) w(k-1)| Xk-1 = Proj C(k-1)F (k-1) v(k-1) |Xk->1 +

k-1

FILTR K ALM ANA W PRZYPADKU ISTNIENIA KORELACJI MIĘDZY., • 107 + Pro j C(k-1) C-(k-1) v(k) |Xk_1 + Proj C (k-1) wQ (k-1) jxk-1.

Z definicji przestrzeni X k_.j, zt wzoru (2')rz założeń modelu oraz z (17) i (24) wynika, że

E [c (k~1) G (k-1) v (k) y1 (i)] *= e [c (k-1) wQ (k-1) yT (i)] « 0,

0<:i<k-1, co dowodzi, że

Proj C(k-1)G(k-1) v(k-1)|Xk-1 = Proj C (k-1) wQ (k-1) | X k-1 = 0

Zatem mamy

Pro3 C(k-1)w(k-1)|xk-1 = Proj C (k-1) F(k-1) v(k-1)|Xk-1 =

=

[c

x

Pro j C(k-1)F(k-1)B(k-1)x(k-1)|Xk-1 *

= C (k-1) F (k-1) B (k-1) x (k-11 k-1),

otrzymujemy (27).

Wzory (32) i (33) otrzymamy po prostych przekształceniach algę braicznych z (1) , (2), (18), (26), (27) i (29).

108 A. KOWALSKI i D. SZYNAL Współczynnik wzmocnienia K(k) wyznaczymy z zależności

E[x(k|k)yT (k)] = 0.

Na mocy wzoru (33) powyższa równość jest równoważna

0 = [i - K(k)B(k)] E[x(k|k~1)yT (k)] - K(k)E[v(k)yT (k)] .

Ale

E[x(k jk-1) yT (k)] *

* E[x(kjk-1) (B(k)x(k|k-1) + B(k)x(kjk-1) + v(k)T J *

- P(k|k-1)BT (k) + Etx(k| k-1) vT(k)]f natomiast -

I

E[v(k)yT (k)] « E [y Ck) (B (k) x (k | k-1) + B(k)x(k|k-1) + v(k)) T] -

* E[v(k) xT (k jk-l)J BT (k) + E[v(k)xT (k |k-1)] BT (k) + R(k) .

Korzystając teraz z faktu, że x(k|k-1)e X k-1 oraz z zależności (1') i (17), widzimy, że E[v(k) xT (k|k-l)] = 0. Zatem

E[v(k)xT (k|k-1)] = E[y(k) (x(k) - x(k|k-1)) T ] = E[v(k)xT (k)] *

- E [v(k)xT (k-1)] AT (k-l) ^j L[v(») vT vk-1)J F (k-1) CT (k-1) +

+ E[v(k)vT (k)] GT (k-1)CT (k-1) + E [v(k) w£(k)] CT (k-1) =

= RCk)GT Ck-1) CT (k-1) . Stąd

(34) O = [i - K(k)BCk)] P(k|k-1) BT (k) + C(k-1) GT (k-1) R(k) - - K(k)R(k)GT (k-1) CT (k-1)BT(k) - K(k)R(k),

co dowodzi (28).

Wyznaczymy teraz macierze kowariancji błędu predykcji. Ponie- waż x(k-1 |k-1) jest kombinacją liniową wektorów losowych x(k-1) i y(0), ..., y(k-1) , więc ze wzorów (1')» (2') , (17) i (19) wynika, że wszystkie składniki wyrażenia (32) są ortogonalne, co pozwala na zapisanie macierzy kowariancji P(k|k-1) w postaci

P(k|k-1) * E[x(k|k-1) xT (k|k-1)] *

« E [(A0 (k-1) x(k-1 |k-1) + C(k-1) G(k-1) v(k) + C(k-1) wQ (k-1))*

k(Aq (k— 1) x(k— 1 1 k— 1) + C (k-1) G(k-1) v(k) + C(k-1) w0 (k-1))T J =

» A^k-I) P(k-1 |k-1) a£ (k-1) + C(k-1)S1 (k-1)R“1 (k)S?[(k-1)x

*CT (k-1) + C(k-1) Qq(k-1) CT (k-1) •

FILTR KALMANA W PRZYPADKU ISTNIENIA KORELACJI MIĘDZY... 109

110 A. KOWALSKI i D. SZYNAL Aby dowieść (31), zauważmy, że

P(k|k) « E[x(k|k)xT (,klk)l * [i - X(k)B(k)] E [x(k |k-1) xT (k |k-1)]

v[l - K(k)B(k)]T - K(k)R(k)KT (k) - [i - K(k)B(k)]x

xE[x(k|k-1) ^(k)] KT (k) - K(k)E[v(k)xT (k|k-1)] [i - K(k)B(kf.

Podobnie, jak w dowodzie wzoru (28), mamy

E[v(k)xT (kjk-1)] * R(k)GT (k-1)CT (k-1) , więc

P(kjk) » [i - K(k)B (k)] P(k|k-1) - [[i - K('k)B(k)]p(k| k-1)BT (kj

*

+ C(k-1) G(k-1) R(k) - K(k)R(k)GT (k-1)CT (k-1)BT (k) +

+ K(k)R(k)} KT (k) - K(k)R(k)GT (k-1)CT (k-1) , co na mocy (34) daje (28).

U w a g a 1. Struktura filtru z twierdzenia 1 redukuje się d°

przypadku klasycznego Kalmana, w przypadku gdy S^(k) = S(k) = 0 i do przypadku rozważanego przez Simkina, gdy (k) « 0.

Jeśli natomiast założymy, że S^(k) / O i S(k) * 0, to otrzy- mujemy postać filtru w przypadku klasycznym, w którym dodatkowo za- j

FILTR KALMANA W PRZYPADKU ISTNIENIA KORELACJI MIĘDZY... 111

kłada się, że szum urządzenia pomiarowego v(k) zakłóca stan układu x(k).

U w a g a 2» W pracy [4j wyprowadzono równania filtracji dla układu dynamicznego (1)-{2) nie cz^iąc żadnych założeń odnośnie do korelacji między szumami - żądając jednak aby filtr miał z góry zadaną postać. Z prowadzonych tam rozważań wynika, że do uzyskania ocen stanu układu w chwili k potrzebna jest znajomość wszystkich parametrów układu aż do chwili k. Fakt ten praktycznie uniemożli- wia wykorzystanie uzyskanych wzorów w zastosowaniach. Spostrzeże- nie to uzasadnia potrzebę, przeprowadzonej analizy układów dyna- micznych, w których korelacja między szumami spełnia warunki wymie- nione we wstępie pracy.

4. PROBLEM DUALNY '

Z własności projekcji ortogonalnej wynika, że

E|aT (x(k) - x(kj j))]2 * min E[aT (x(k) - y)]2 y e x k

dla każdego a £ Rn .

Kalman wykazał (dowód w [

2

f(y) = E[(x(k) - y)T (x(k) - y)] , y e X k_v

112 A. KOWALSKI i D. SZYNAL

jest równoważne zagadnieniu znalezienia sterowania (u (k-1) , u(k-2), . u(0)) , u (i) € Rn dla deterministycznego układu dynamicznego:

(35) z (t) = AT (t+1) z(t+i) + BT (t+1)u(t+1),

(36) e (t) = CT (t)z(t), t = -1, 0, k-1; z(k-1) = a,

minimalizującego funkcjonał

g(,u(0), u (1) ^f u (k—1))) '= zT (-1) P (0 jO) z (-1) +

k-1

+ Z ] ( z (t) C (t) Q (t) CT Ct) zT (t) + u 'T(t) R (t) u'(t)) , u 'ft) € R®.

t=0

Sformułujemy tu i rozwiążemy problem dualny w zagadnieniu Sim- kina i w uogólnieniu przez nas rozważanym.

TWIERDZENIE 2. Problem znalezienia optymalnej w sensie śred- ni okwadra to wym oceny x(k|k-1) stanu układu (1) i (2), gdy spełnione są warunki (17) i (25) oraz x(0) = 0 jest równo- ważny problemowi znalezienia sterowania (u (k-1) , u(k-2),.*»

•.., u (0)) , u (i) € Rmt dla układu dualnego (35), (36) mini- malizującego funkcjonał

FILTR KALMANA W PRZYPADKU ISTNIENIA KORELACJI MIĘDZY... 113

(37) g((u'(0), u'(1), ..., u'(k-1)) - zT (~1) P(010) z(-1) +

k-1

+ ZZ(z(t)C(t)Q(t) CT (t)zT(t;+ u #T (t)R (t) u' ( t ) - t=0

- 2zT (t)C(t)S(t)u'(t) + k-2

+ 2 Z (z(t+1)C(t+1)S(t+1)R~\t+1)S^(t)CT (t)zT (t) -

*fc =0

- u'T (t+1)S1 (t)CT (t)zT (t)), utt) c R m , t . O, 1, ..., k-1.

D o w <5 d. Z rozważań wstępnych wynika, że x(k|k-1) minimali- zuje

(38) f(y) « E [aT x (k) - aT y]2 , Y € X k-1»

dla wszystkich a e R n . Ponieważ x(k|k-1) Jest liniową kombinacją wektorów losowych y(0), ..., y(k-1) , przeto aTx(k|k-1) można przed- stawić w postaci sumy

k-1

(39) aT x(k|k-l) « - Z Z uT (t)y(t).

t=0

114 A. KOWALSKI i D. SZYNAL

Problem znalezienia aT x(k|k-1), a więc i x(k|k-1) sprpwadza się teraz do wyznaczenia wektorów u(0) , u (k-1) minimalizujących funkcjonał (38).

Uwzględniając warunek początkowy z(k-1) = a, otrzymamy

(40) aT x(k) = zT (k-1)x(k) «

k-1

= zT (-1) x (0) + 2 1 (zT (t)x (t+1) - zT (t-1)x(t)) . t=0

Na mocy (1) i (35) mamy

zT(t)x(t+1) = zT (t) A(t)x(t) + zT (t)C(t)w(t) ,

zT (t-1)x(t) = zT (t) A (t) x (t) + uT Ct) B (t) x (t).

Wstawiając powyższe wielkości do równania (40), otrzymamy

k-1

(41) aT x(k) = zT (-1)x(0) + 2 (z(t)CCt)w(t) - uT (t) B (t) x (t)) . t=0

Równania (2) i (39) dają

k-1

(42) aT x(k|k-1) = - 2 Z (uT Ct) B Ct) x (t) + uT Ct)v(t)) . t=0

Odejmując ostatnią wielkość od (41) , uzyskujemy

FILTR KALMANA W PRZYPADKU ISTNIENIA KORELACJI MIĘDZY... 115

aT x(k) - aTx(kjk-1) = zT (-1)x(0) +

k-1

+ (zT ^(t) C (t)w (t) + uT (t) w (t j) . t=0

Stąd po uwzględnieniu założeń (17) i ^(2k) mamy

E[aTx(k) - aTx(k|k-1)]2 = E[(aTx(k) - afx (k |k-1)) (aTx(k) -

- aTx(k|k-1))T ] = zT (-1)E[x(0)xT (C)] ^z (-1) +

k-1

+ 2 (zT (t) C (t) e[w (t) wT (t)J CT(t!z (t) + uT (t) E [v (t) (t)] u (t) t=0

- 2 zT (t)C(t)E[w(t)yr (t)] u(t)) +

>

k-2

+ 2 Z ] ( z T (t+1)C(t+1)E[w(t+1)wT (t)] CT (t)z(t) - t-0

- uT (t+1) E [v (t ł-1) wT (t)j CT (t) z (t)) =

k-1

= zT (-1)P(0|0)z(-1) + 2 (zT (t')C(t)Q(t)CT (t)z(t) + t=0

+ uT (t) R (t) u (t) - 2 zT (t)C(t)S(t)u(t)^ +

116 A. KOWALSKI i D. S£YNAL

k-2

+ 2 2_](zT (t+1) C (t+1) S (t+1) R"1 (t+1) s! (t) CT (t) z (t) - t=0

- uT (t+1) S^ (t)CT (t) z (t)) ,

co kończy dowód twierdzenia 2.

WNIOSEK. Jeśli S^k) = O - przypadek rozpatrywany przez Simki- na [

5

k-1

zT (-1) P(0| 0)z(~1) + Z [zT (t)C(t)Q(t)CT (t)z(t) + t=0

+ uT (t)R (t)u (t) - 2 zT (t)C(t)S(t)u(t)] .

PRACE CYTOWANE

[1] K. Astrom, Introduction to Stochastic Control, Academic Press, New York 1970.

[

2

95-107.

[

3

[

4

FILTR KALMANA W PRZYPADKU ISTNIENIA KORELACJI MIĘDZY... 117

korrelirovannych Sumach i vyroSdennych korreljacionnych matri- cach, Avtomatika i telemechanika, (1982), Nr 5, 107-116.

[5] M.M. Simkin, 0 rekurrentnoj fil,tracił pri vzaimo korrelirovan- nych Sumach ob>,ekta i izmeritelja, Avtomatika i telemechanika

(1980), Nr 1, 71-80.