Pokaza´c, ˙ze 1992X k=1 ak+1− ak 1 + a2k &gt

1

Ob´oz przygotowawczy do zawod´ow miedzynarodowych_, Zwardo´n, 24.05.1993 — 3.06.1993.

1. Na okrag lym stole o promieniu 1, w odleg lo´sci r od ´srodka po lo˙zono pi leczk_, e (0 < r < 1)._, Na ile sposob´ow mo˙zna jej nada´c taki zwrot, aby po trzykrotnym odbiciu, nie przechodzac_, przez ´srodek, pi leczka przesz la przez po lo˙zenie poczatkowe?_,

2. Dla jakich liczb naturalnych n, r´ownanie x² + xy + y² = 7ⁿ ma rozwiazania w liczbach_, naturalnych niepodzielnych przez 7 ?

3. Dane sa liczby rzeczywiste 1 = a_{, 1} 6 a2 6 . . . 6 a1993 = 1993. Pokaza´c, ˙ze

1992X

k=1

a_k+1− a^k 1 + a²_k > 3

4. 4. Ciag (a_{, n}) okre´slony jest nastepuj_, aco:_,

a1 = 0, a2 = 1

2, a2n+1 = a_2n+ a_2n−1

2 , a2n+2 =√a2n+1· a²ⁿ, dla n> 1 . Wykaza´c, ˙ze istnieje granica ciagu (a_, n) i znale´z´c jej warto´s´c.

5. Niech n> 3 i k 6= 0 bed_, a liczbami ca lkowitymi oraz niech W (x) =_,

Xn r=0

(rk + 1)x^n−r. Pokaza´c,

˙ze W (x) nie ma pierwiastk´ow ca lkowitych.

6. Dane sa okr_, egi o_{, 1} i o₂ przecinajace si_, e w punkcie P. Punkty A_{, i} ∈ o¹ i B_i ∈ o², gdzie i = 1, 2, sa takie, ˙ze P nale˙zy do wn_, etrza odcinka A_{, i}B_i. Dowie´s´c, ˙ze kat mi_, edzy prostymi A_{, 1}A₂ i B1B2 nie zale˙zy od wyboru punkt´ow Ai, Bi.

7. Liczby ak (k = 1, 2, . . . , n) sa z przedzia lu [0, 2], przy czym_, ^Pn

k=1

ak > n. Pokaza´c, ˙ze

Xⁿ

k=1

a⁴_k^− n 6 11^

Xn k=1

a²_k^− n^.

8. Pokaza´c, ˙ze najmniejsza wsp´olna wielokrotno´s´c liczb 1, 2, . . . , n jest nie mniejsza od 2ⁿ⁻¹. 9. W okrag wpisany jest czworok_, at wypuk ly, kt´_, orego przekatne s_, a prostopad le. Udowodni´_, c, ˙ze

´srodki bok´ow tego czworokata oraz rzuty prostopad le punktu przeci_, ecia przek_, atnych na boki_, le˙za na jednym okr_, egu i promie´_, n tego okregu zale˙zy jedynie od po lo˙zenia punktu przeci_, ecia_, przekatnych._,

10. Wyznaczy´c wszystkie funkcje f ze zbioru N₀ = {0, 1, 2, . . .} w siebie takie, ˙ze f(1) > 0, f (m²+ n²) = (f (m))²+ (f (n))² dla dowolnych liczb ca lkowitych nieujemnych m, n.

11. Dany jest kat o wierzcho lku A i okr_, ag we´_, n wpisany oraz prosta p przechodzaca przez A_, i nieprzecinajaca okr_, egu. Rozpatrujemy zbi´_, or wszystkich czworokat´_, ow takich, ˙ze:

— sa one opisane na danym okr_, egu,_,

— jedna para przeciwleg lych bok´ow zawiera sie w ramionach k_, ata,_,

— druga para przeciwleg lych bok´ow przecina sie na prostej p._,

Znale´z´c miejsce geometryczne punkt´ow przeciecia przek_, atnych tych czworok_, at´_, ow.

2

12. W pewnym kraju jest n miast, n> 4. Miedzy pewnymi z nich s_, a drogi. Jaka jest minimalna_, liczba dr´og, je´sli:

(a) dla dowolnych dw´och miast istnieje miasto z nimi po laczone;_,

(b) dla dowolnych niepo laczonych dw´_, och miast A i B istnieja co najmniej dwa miasta C_, i D po laczone drog_, a zar´_, owno z A jak i B.

13. Znale´z´c wszystkie funkcje f : R → R, kt´ore sa niesko´, nczenie wiele razy r´o˙zniczkowalne oraz spe lniaja to˙zsamo´s´_, c:

2f (x + 1) = f (x) + f (2x).

14. Dany jest dowolny tr´ojkat ABC. Udowodni´_, c nier´owno´s´c:

r_a

sin α + r_b

sin β + r_c

sin γ > 2p.

15. Proste k₁, k₂, k₃, n przecinaja si_, e w punkcie P . Proste k_{, 1}⁰, k⁰₂, k⁰₃ sa obrazami odpowiednio_, prostych k₁, k₂, k₃ w symetrii wzgledem prostej n. Punkty A_{, 1} ∈ k¹, A₂ ∈ k², A₃ ∈ k³ sa_, r´o˙zne od P . Niech prosta AiAj przecina prosta k_{, l}⁰ w punkcie A⁰_l, gdzie {i, k, l} = {1, 2, 3}.

Pokaza´c, ˙ze punkty A⁰₁, A⁰₂, A⁰₃ sa wsp´_, o lliniowe.

16. (Zawody dru˙zynowe) Wyznaczy´c:

(a) min

fi: [0,1]→R max

0≤xi≤1 |f¹(x₁) + f₂(x₂) + . . . + f_n(x_n) − x¹x₂. . . x_n| , (b) min

fi: [0,1]→R max

0≤xi≤1 |f¹(x₁)f₂(x₂) . . . f_n(x_n) − (x¹+ x₂+ . . . + x_n)| .

17. (Zawody dru˙zynowe) Znale´z´c wszystkie czworokaty wypuk le z ca lkowitymi d lugo´sciami bo-_, k´ow, kt´ore mo˙zna wpisa´c w okrag i kt´_, orych pole jest r´owne obwodowi.

18. (Zawody dru˙zynowe) Liczba a_na_n−1...a₀ jest liczba pierwsz_, a. Niech_, f (x) =

Xn i=0

a_ixⁱ.

Dowie´s´c, ˙ze f (x) nie jest iloczynem dw´och wielomian´ow stopnia ni˙zszego o wsp´o lczynnikach ca lkowitych.

19. Udowodni´c, ˙ze liczba

"

(m − 1)!

m

#

jest parzysta dla m > 4.

20. Dowie´s´c, ˙ze mo˙zna pokolorowa´c liczby 1, 2, . . . , 1986 na dwa kolory tak, aby nie by lo jedno- kolorowego ciagu arytmetycznego o d lugo´sci 18._,

21. Dany jest tr´ojkat ABC. Spodek wysoko´sci C_, ⁰ z punktu C le˙zy wewnatrz odcinaka AB._, Rozpatrzmy okrag o ´srednicy CC_, ⁰. Prosta AC przecina ten okrag w punktach C i P ,_, a prosta CB w punktach C i X. Prosta AX przecina prosta CC_, ⁰ w punkcie Q. Udowodni´c,

˙ze punkty B, P , Q sa wsp´_, o lliniowe wtedy i tylko wtedy, gdy AC = CB.

22. Pola ´scian czworo´scianu wynosza S_{, 1}, S₂, S₃, S₄. W czworo´scianie tym le˙za cztery niewsp´_, o l- p laszczyznowe punkty P₁, P₂, P₃, P₄ o tej w lasno´sci, ˙ze je´sli przez d_ij oznaczymy odleg lo´s´c od punktu P_i do ´sciany S_j to dla ka˙zdego i ∈ {1, 2, 3, 4} czw´orka dⁱ¹, d_i2, d_i3, d_i4 jest permutacja tej samej czw´_, orki liczb. Pokaza´c, ˙ze S₁ = S₂ = S₃ = S₄.

3

23. Funkcja f : R → R jest ciag la i spe lnia r´, ownanie funkcyjne:

f x + y x − y

!

= f (x) + f (y)

f (x) − f(y) dla x 6= y . Wyznaczy´c te funkcj_, e._,

24. Czy istnieje liczba naturalna, kt´ora ma nie wiecej ni˙z 444 cyfry, dzieli si_, e przez 1993 oraz_, czytana od ko´nca jest ta sam_, a liczb_, a?_,

25. Znale´z´c wszystkie pary liczb naturalnych m, n takie, ˙ze:

2! + 3! + . . . + n! = m³. 26. Dane sa klocki trzech rodzaj´_, ow: ^@@

1 1

√ 1

2 2

√2

. Z klock´ow tych u lo˙zono prostokat o_, wymiarach m × n, przy czym wierzcho lki klock´ow le˙za w punktach kratowych prostok, ata._, Udowodni´c, ˙ze tr´ojkat´_, ow ^@@ jest tyle samo co tr´ojkat´_, ow ^@@ .

27. Dany jest tr´ojkat A_{, 1}A₂A₃. Niech B_i bedzie ´srodkiem boku A_{, j}A_k (i 6= j 6= k 6= i). Niech o bedzie okr_, egiem wpisanym w ten tr´_, ojkat. Z punktu B_{, i} prowadzimy styczna do tego okr_, egu_, r´o˙zna od boku A_{, j}A_k, kt´ora przecina prosta B_{, j}B_k w punkcie C_i. Udowodni´c, ˙ze punkty C₁, C₂, C₃ sa wsp´_, o lliniowe.

28. (Zawody dru˙zynowe) Niech dla ustalonego n> 1 liczby nieujemne w1, w₂, . . . , w_n spe lniaja_, warunek:

Xn i=1

1

1 + w_i = 1.

Udowodni´c, ˙ze zachodzi nier´owno´s´c:

Xn i=1

√w_i > (n − 1)^Xn

i=1

√1w_i.

29. (Zawody dru˙zynowe) Zbada´c, czy ciag_,

a_n =



 Yn i=1

Yn j=1

NWD (i, j)





1/n²

jest zbie˙zny.

30. (Zawody dru˙zynowe)

(a) Dane sa trzy wsp´_, o l´srodkowe okregi o_{, 1}, o₂, o₃ o promieniach r₁ < r₂ < r₃. Z punktu A ∈ o³ prowadzimy styczne do o1 i o2 odpowiednio w punktach P i Q, kt´ore przecinaja o_, 3

odpowiednio w punktach B i C (A 6= B, C). Prosta P Q przecina okregi o, ₁ i o₂ odpowiednio w punktach R (R 6= P ) i S (S 6= Q). Wykaza´c, ˙ze prosta CR jest styczna do o¹, prosta BS jest styczna do o2 i ˙ze proste te przecinaja si_, e na o_, 3.

(b) Rozwa˙zy´c powy˙zsze zadanie przy za lo˙zeniu, ˙ze okregi o_{, 1}, o₂, o₃ sa parami styczne ze-_, wnetrznie, a nie wsp´_, o l´srodkowe.