Lista nr 3 z Robotyki 1
1. W parametryzacji o´s-kat (v, θ) macierz obrotu wylicza si, e z formu ly Rodrigueza jako,
R(v, θ) = I3+ [v] sin θ + (1 − cos θ)[v]2 (1) Pokaza´c, ˙ze R(v, θ) = R(−v, −θ), czyli ˙ze reprezentacja o´s-kat nie jest jednoznaczna.,
2. Uzasadni´c, ˙ze R−1= RT = R(v, −θ).
3. Pokaza´c, ˙ze o´s obrotu w reprezentacji o´s-kat dla macierzy R uzyskuje si, e ze wzoru, [v] = R − RT
2 sin θ
4. Korzystajac ze wzoru podanego na wyk ladzie wyliczy´, c macierz obrotu wok´o l wektora w = (1, 1, 1)T o kat,
π 3.
Wskaz´owka: najpierw unormowa´c wektor w do d lugo´sci 1, a nastepnie przeprowadzi´, c obliczenia.
5. Macierze jednorodne maja posta´, c blokowa, K =
R T 0 1
Korzystajac z og´, olnej postaci poszczeg´olnych transformacji pokaza´c na przyk ladzie, ˙ze sk ladanie ruch´ow wzgledem r´, o˙znych osi bazowych nie jest przemienne.
6. Dla jakich sytuacji sk ladanie translacji z obrotem wzgledem wybranych osi jest przemienne?, 7. Wyliczy´c symbolicznie posta´c macierzy K−1.
8. Niech bedzie dana macierz R = rot(z, φ). Policzy´, c ∂R∂φ, a wynik zapisa´c w postaci AR. Wyrazi´c macierz A jako macierz sko´snie symetryczna zbudowan, a z wektora elementarnego e, 1 = (1, 0, 0)T, e2 = (0, 1, 0)T lub e3= (0, 0, 1)T. Podobne r´o˙zniczkowania nale˙zy przeprowadzi´c dla macierzy rot(x, α) oraz rot(y, β).
9. Predko´, sci obrotowe w przestrzeni/ciele ωS/ωB definiujemy nastepuj, aco:, [ωS] = ΩS= ˙RRT [ωB] = ΩB= RTR.˙
Za l´o˙zmy, ˙ze macierz obrotu R jest przedstawiona w parametryzacji R = RP Y (φ, θ, ψ). Wyliczy´c predko´, s´c obrotowa ω, S oraz ωB jako funkcje k, at´,ow φ, θ, ψ oraz ich pochodnych. Wynik przedstawi´c w postaci ωS= W3×3( ˙φ, ˙θ, ˙ψ)T, gdzie W jest macierza zawieraj, ac, a funkcje trygonometryczne k, at´,ow parametryzacji.
10. (?) Korzystajac z formu ly Rodrigueza (1) pokaza´, c, ˙ze
tr R(v, θ) = 1 + 2 cos θ
11. (?) Pokaza´c, ˙ze formu la Rodrigueza daje r´ownowa˙zny opis dla macierzy R(v, θ) (gdzie v = (cαsβ, sαsβ, cβ) jest wektorem jednostkowym) do zapisu
R = rot(z, α)rot(y, β)rot(z, θ)rot(y, −β)rot(z, −α)
