4
i
V P P - Z Z Ł O I ) / ^
TECHNIKI
DR. L. BYKOWSKI
MATEMATYCZNE PODSTAWY BIOLOGJI
LWOW-WARSZAWA KSIĄŻNICA POLSKA T. N. S. W.
'WSłCA:
B I B L J O T E C Z K A P R Z Y R O D Y I TECHNIKI
REDAKTOR PROF. DR. B. FULIŃSKI, LWÓW, NABIELAKA 22, INST. ZOOLOG.
1. Malarski T. O radjotelegrafji. Z 49 ryc.
2. Krzemieniewski S. Ochrona przyrody oj
czystej. Z 11 rycinami.
3. Fuchs Z. Budowa materji w świetle badań nowoczesnych.
4. Łbmnicki J. Z życia mrówek. Z 12 ryc.
5. Pawłowski S., Jakubski A. i Fischer A.
Z polskiego brzegu. Z 27 ryc. i 4 tabl.
6. Friedberg W. Z zagadnień paleontologji.
Z 15 rycinami.
7. Malarski T. Prądy termoelektronowe.
(Lampy katodowe). Z 43 rycinami.
8. Bykowski L. Matematyczne, podstawy bio- logji. Z 38 rycinami.
9. Wiśniewski T. Metody i zadania współ
czesnej socjologji roślin.
10. Dembowski J. Naśladowanie zjawisk ży
ciowych jako metoda biologiczna. Z 8 ryc.
11. Demel K. Ryby Bałtyku polskiego. Z 37 ryc.
12. Simm K. Gąbki słodkowodne. Z 19 rycin.
/- • Dla abonentów „Przyrody i Techniki“ 20°/» opustu przy każ
dym pojedynczym zeszycie przez administrację czasopisma.
Dla nieabonentów 15% opustu przy każdorazowym komplecie.
DO NABYCIA W KSIĄŻNICY POLSKIEJ TNSW.
LWÓW, CZARNIECKIEGO 12.
Za d a ć w e w s z y s t k i c h k s i ę g a r n i a c h.
B I B L J OT E KA . P R ZYR ODY I T E C H N I K I “
t >&X) L U D W I K JA X A B Y K O W S K I
MATEMATYCZNE PODSTAWY BIOLOG]!
(z 38 ilustracjami)
K S I Ą Ż N I C A P O L S K A
TOW. NAUCZYCIELI SZKÓL ŚEEDN. I WYŻSZYCH
LWÓ W—WARSZ A W A MCMXXIV
/
Wydawnictwo Polskiego Towarzystwa Przyrodników im. M. Kopernika.
Wszelkie prawa zastrzeżone.
Z Pierw seej Z w iązkow ej D ru k a m i w e L w ow ie, ul. L indego 4.
I.
Z a d a n ia i m e to d y b io m e tr y k i.
„W każdym dziale nauk przyrodniczych je s t tylko tyle wiedzy, ile tam tkw i m ate m a ty k i“. Może przesadnym nieco je s t ten pogląd K a n ta , ale nie ulega k w e stji, że ujęcie pe
w nych zjaw isk przyrodniczych we wzór m ate m e ty cz n y , n a daje większą w artość naszej in te rp re ta c ji, bo w tedy w prow a
dziliśmy do niej czynnik objektyw ny, niezależny od indyw i
dualnych właściwości badania. W tedy czujem y się panam i jakiegoś zjaw isk a, jeśli udało się nam przebieg jego ująć w ścisłą form ułę, k tó ra ogarnia w szystkie pojedyncze ogniw a, k tó ra umożliwi ujęcie i określenie szczegółów nieznanych, przepow iedzenie dokładne przyszłych. W zory m atem atyczne bez w zględu na teorje, jak ie na nich się opierają , w yrażają prawidłowość pew nych procesów, tern samem są pow ażnym — choć nie bezw zględnym - i o b jek ty w n y m , niezależnym od indyw idualności badacza, jego braków lub uprzedzeń, próbie rzem w artości naukowej uogólnień, n ad ając im powagę praw a
przyrody.
Podobnie, ja k użycie eksperym entu zaczęło się w n a u kach przyrodniczych abstrak cy jny ch fizyce, chem ji — ta k samo w yrażenie wyników przy pomocy form uł m atem atycz nych tu na n ajsiln iejszy ch , bo i najdaw n iejszy ch, stoi podsta wach. Ale dziś i biologja z jed n ej strony z nauki^ w yłącznie opisowej staje się e k sp e ry m e n ta ln ą , z drugiej dąży do wy krycia i uchw ycenia związku zależności, określenia je d n e g o zjaw iska jako funkcji zmiennej zależnej, od drugiego, będą
cego w tym w ypadku zm ienną niezależną. Liczbowe w yra-
4
zenie praw przebiegu zjaw isk oczywiście idzie ręka w rękę z zastosow aniem e k sp ery m en tu , stąd też fizjologja, k tóra pierwsza z nau k biologicznych w prow adziła eksperym ent, może od daw na pochlubić się całym szeregiem praw u jęty ch we wzory m atem atyczne. Dla p rzy k ładu p o d a ję , że z liczbową ścisłością um iem y oznaczyć szybkość przew odzenia nerwów, zależność skurczu m ięśni od natężen ia p rą d u , wielkość pracy serca pędzącego krew po c ie le , związek częstości pulsu ze wzrostem itd.
Z czasem jed n ak dążenie do ścisłości drogą w prow a
dzenia czynnika ilościowego i form uł m atem atycznych roz
szerzyło się na inne działy. Psychofizyka i eksperym entalna psychologja, m echanika rozw ojow a, nau ka o dziedziczności i zmienności swoje w yniki eksperym entalnych dociekań s ta ra ją się ile możności w yrazić krzyw em i i określającem i je wzorami m atem atycznem i. U jm uje się wreszcie w praw a licz
bowe liczne spostrzeżenia w dziedzinach, gdzie eksperym ent wy j4^kowo może znalezc zastosowanie i ja k w astronom ji, tak w licznych zestaw ieniach sta ty sty k i biologicznej znajdu jem y ogrom ny m a te rja ł, um ożliw iający z liczbową ściśłością u s ta lenie pew nych stałych związków, w ykrycie i określenie praw mniej lub więcej doniosłych. Tą drogą udało się wprowadzić z czasem pew ien ład i praw idłowość naw et ta m , gdzie przed zastosowaniem w yrażeń m atem atycznych widziało się jed y n ie ciem ny las szczegółów niemożliwie splątanych, i znaleźć drogi a p rzynajm niej ścieżki w niedostępnej do niedaw na puszczy.
P rzy k ład jeden z łatw iejszych rzecz zilustruje.
Dokonano pom iarów ab iturjen tó w lwowskich w szeregu zakładów . Przykładow o podaję w zrost „obywateli gm iny im.
M. Łom nickiego“ w r. 1920: 1738, 1642, 1801, 1701 1545 1620, 1696, 1652, 1661, 1800, 1708, 1708, 1700, 1606, 16K)’
1674, 1678, 1715, 1625, 1783, 1604, 1805.
Mamy tu do czynienia z 22 liczbam i wym iarowem i, a już jak ieś zorjentow anie się w nich nie je s t ta k proste Grdy uwzględnim y, że gim nazjów polskich we Lwowie było w tedy
5
9, „las c y fr“ jeszcze by się spotęgow ał, a jeślibyśm y chcieli poznać ogół m łodzieży i zebrali d aty z większej ilości m iej
scowości choćby przykładow o, trudności wzrosną niepom iernie.
Oczywiście, jeśli chcemy poznać dokładniej młodzież, nie mo
żemy się zadowolić jed n ą cechą, choćby niew ątpliw ie ważną antropologicznie ja k w zro st, lecz m usim y objąć ich więcej, przynajm niej uwzględnić w ym iary czaszki, k sz ta łt tw arzy, budowę piersi, ciężar, pigm entację. Do tego przyłączy się sze
reg właściwości um ysłowych, które znów można określić licz
bowo, więc ostatecznie z tej jednej klasy ilość w zrosłaby do poważnej sum y około 1000, gdyby naw et ograniczyć się do najm niejszej ilości szczegółów niezbędnych dla c h a ra k te ry styki jed nstki, trzebaby jed n ak dla każdego badanego ustalić przynajm niej 25—30 szczegółów.
Okazuje się tedy konieczność jakiegoś uporządkow ania m aterjału, a następnie dokonania syntezy, zw iązania szczegó
łów razem w jed n ą całość.
W ięc w om awianym przykładzie musi się przedewszyst- kiem m aterjał rozsortow ać na grupy rasowe, n astępnie uw zglę
dnić wiek, a w dalszym ciągu jeszcze inne szczegóły np. s ta nowisko społeczne rodziców, w yniki pracy w szkole itd. Do
piero w tak rozsortow anym m aterjale próbujem y doszukać się dalszych związków i zależności i oprzeć je na jakichś ogól- niejszych zasadach, u jęty ch w tak zw ane praw a.
Czasem związki te okażą się bardzo łatw o i w yraźniej, częściej jed n a k są one bardziej zaw ikłane, tak , że dopiero subtelna analiza zdoła je wykryć. W badaniach tych wycho
dzimy z założenia, że pewne zw iązki są czemś stałem , pewne zjaw iska są koniecznem następstw em innych w arunkujących je, są tedy, mówiąc językiem m atem atyków , fun k cją zm ienną zależną od zm iennych innych, które znów w dalszym łańcuchu zjaw isk mogą być zależne. Tabela spostrzeżeń, zaw ierająca szczegółowe daty, umożliwia przedew szystkiem sporządzenie w ykresu jak o graficznego obrazu funkcji. Znacznie jeszcze ściślej zależność ta przedstaw i się, jeśli uda się wprowadzić
6 -
pew ien wzór m atem atyczny. Jeżeli użyjem y przy kład u wyżej przytoczonego i rozsortujem y badanych wedle wieku, poczem obliczym y w zrost przeciętny, natenczas można w zrost uważać za funkcję wieku. I tak np. uczniow ie chrześcijanie okazyw ali w gim nazjum V III n astęp u jące w ym iary w zrostu i w agi w roku 1917/18 przy uw zględnieniu w ieku :
L a ta : 11 12 13 14 15 16 17 18 19
w zrost w cm 132-32 135-78 189-68 147-22 150’93 158-01 161-75 167-07 169-66 w aga w kg 30-6 31-8 33-9 36-8 45-7 50-2 56-2 69-9 63-5
Jeżeli stosunki te przedstaw im y rysunkiem w postaci w y k resu , to w odniesieniu do w zrostu w ykres przedstaw i się ja k o lin ja zbliżona do prostej i tylko lekko falisto w ygięta, (wykres 1), natom iast wykres ciężaru przedstaw i się w części dolnej, a więc dotyczącej m łodszych silnie w klęsły, świadcząc o wolniejszym wzroście w początku studjum gim nazjalnego, a następnie bujaniu w latach od 13 roku (wykres 2).
W i/kres W yJores <2.
Bys. 1.
D okładniej przedstaw iłyby się te stosunki, gdybyśm y podali form ułę m atem atyczną, ch araktery zującą dany wykres jak o krzyw ą. Określi ją styczna w każdym punkcie u w aru n kow ana wielkością kąta nachylenia wobec osi podstawowej (xx).
W w ypadku pierwszym uznając ten wykres w przybliżeniu za li- nję prostą, mielibyśmy stałą m iarę jej pochylenia tg a = 37 : 8=«4-6 rów nanie więc określające w ykres m iałoby w przybliżeniu formę y — 4-6 x. Zauważyć.; należy, że na załączonym rys. (1) stosu-
7
nek odciętych je s t 20 razy większy niż rzędnych, stąd w ykres przedstaw ia się m niej strom y.
Ale istn ieją specjalne m etody, pozw alające w yrazić zna
cznie dokładniej stosunki zależności naw et bardzo zawiłe, a naw et zestawić cechy, nie m ające c h arak teru ilościowego.
D ziały m atem atyki, jak ie przytem wchodzą przedew szystkiem w grę, to kom binatoryka, rachunek praw dopodobieństw a oraz sta ty sty k a naukow a. D ziały zaś biologji, które w znacznej m ierze w yniki swe w ten sposób usiłują sformułować, są nader różne, w ym ieniam y naukę o zmienności biologicznej, dziedzicz
ności z uw zględnieniem praw krzyżow ania, korrelację, działa
nie doboru, w pływ -bezpośredni warunków i t. d. W dalszych rozdziałach zaznajom im y się z waźniejszem i m etodam i szcze- gółowem i i zasadniczem i zdobyczam i na ty ch polach.
II.
Z a g a d n ie n ie b a d a n ia i l o ś c i o w e g o w b io lo g ji.
Pozornie problem m etodyczny może się wydaw ać zupeł
n ie ja sn y m , jeśli nie w prost banalnym . A przecież i nad n im w arto się gruntow niej zastanowić. Przedew szystkiem rozważm y, co można m ierzyć i c z e m , gdzie możemy użyć „cyrkla, wagi i m ia ry “ i jak ie one być m uszą, aby spełniły swe zadanie, a wreszcie ja k je stosować.
J a k wszędzie ta k i tu, obowiązuje zasada, że m iara n a leżeć musi do tego samego rodzaju, co przedm iot mierzony, więc długość m ierzym y długością, siłę siłą i t. d., dobierając ty lk o ja k o jed n o stk i wielkości najbardziej nam odpowiadające, w zględnie n atu raln ie wiążące się z podstaw ow ym układem cgs.
N iektóre właściwości najlepiej i n ajłatw iej m ierzyć w zglę
dnie oznaczać w prost np. długość lub wysokość zw ierząt lub ich części, w zrost ludzi, albo w ym iary czaszek, liści, kwiatów, skorup ślim aczych itp. Przyrządem są podziałki miernicze, np.
zw y k ły m etr, klupa lub prosty tró jk ą t m ierniczy (Rys. 2), czasem
.Rys. 2.
specjalnie przystosow ane np. kraniom etr (rys. B), tj. cyrkiel o łu kow atych ram ionach, zaopatrzony podziałką i um ożliw iający w ten sposób łatw e oznaczanie odległości na pow ierzchniach
krzyw ych, stąd m ający zastosowanie do pom iarów głow y (rys. 4), gdy wzrost oznacza się podziałką stałą, um ocow aną np. przy pionowej ścianie (rys. 6), albo przenośną, gdy przeciw nie do m ierzenia obwodów, głowy, piersi, ram ienia i t. p. używ a się taśm y (rys. 5).
Rys. 3.
R y s .
Rys. 5.
Oczywiście przy wszystkich pom iarach należy być bardzo skru- pulatnym , baczyć, aby zm ierzony przybrał właściwą postawę, by przyrządy były należycie stosowane.
- 10 -
G dy rozm iary są zbyt dro
bne tak, że n aw et użycie no- niusza nie w ystarcza, uciekam y się do pom iarów pod m ikrosko
pem, przy pomocy specjalnych okularów, opatrzonych podział- ką. Z nając wielkość powiększa
nia danego system u szkieł, z ła
twością możemy oznaczyć w y
m iary rzeczywiste.
W pew nych w ypadkach dokładniej możemy poznać w ła
ściwości po przeniesieniu ich na papier zapomocą fotografji lub rysunkiem przy pomocy w idni optycznej, gw arantującej ścisłość proporcyj. Użycie k ra t
kowanego papieru m ilim etrowe
go może być znacznem ułatw ie
niem. Na reprodukcji często łatw iejsze je s t dokonanie po
m iaru linji krzyw ych zapomocą kółka mierniczego, używanego do m ierzenia odległości na m apach (rys. 7).
T rudniejsza rzecz z m ierzeniem powierzchni np. liścia, skrzydła owada itp . Użycie papieru kratkow anego może dać w yniki z przybliżeniem wcale dokładnem. Można też użyć w tym celu dokładnej wagi, ważąc w ycięty z papieru narys danej powierzchni i porów nując ściśle ciężar tej w ycinanki
11
z ciężarem 1 cm 2 wyciętego z tego samego papieru. M etoda ta może być u ży ta przy p rep a ra ta c h m ikroskopowych z uw zglę
dnieniem powiększenia.
O wiele łatw iej można oznaczyć wielkość powierzchni przy pomocy inżynierskiego planim etru (rys. 8), w ystarczy tu bowiem przeciągnięcie sztyftu wzdłuż obwodu żądanej powierzchni, aby na m ierniczym bębnie znaleźć wym iarowe cyfry pow ierzchni.
Rys. 8.
W łaściw ości trójw ym iarow e w yraża ilościowo objętość.
Oznaczyć j ą m ożna zapomocą ilości w ypartej wody względnie piasku. W tym celu zanurzam y okaz do naczynia kalibrow a
nego, wypełnionego wodą lub piaskiem i z podniesienia się po
ziomu oznaczamy objętość w ypartego środowiska, a więc i mie
rzonego ciała.
Rys. 9.
Ciężar łatw o się oznacza na wadze, czu łej wedle potrzeby, z za
chowaniem ostrożności, przestrzeganych przy badaniach wagow ych przez fizyków i che
mików.
Siłę u człowieka, a także większych zw ierząt, n. p. domo
wych ssaków, m ierzym y zapomocą dynam om etrów, zwykle uży
w any je s t system C o l i i n a , (rys. 9) który stanow i ow alna sprę
żyna stalowa, okazująca przy pomocy system u dźwigni i kół
12 —
zębatych wielkość nacisku lub rozciągnięcia w kilogram ach na odpowiedniej podziałce. Dla oznaczenia siły zw ierząt m niejszych, poszczególnych narządów np. w ypreparow anego mięśnia, albo wielkości ciśnienia krwi, używ a się specjalnie skonstruow anych przyrządów , mniej lub więcej skom plikow a
nych. Podobnież m ożna oznaczyć siły, w ystępujące w orga
nizm ach roślinnych np. siłę parcia soków przez korzenie, kon
stru u jąc prosty przyrząd, podobny do rtęciowego m anom etru (rys. 10), rozpierającego środowisko kiełka i t. p*
Znacznie trudniejsze je s t ilościowe określenie właściwości barw nych. W p ra wdzie fizyka sprow adza różnice barw do długości fal św ietlnych, m iara ta jed n a k w biologji nie da się zastosować p ra k ty cznie, bo wchodzi tu w grę także n a sy cenie barw, kom binacje w różnym sto
pniu z barw ą białą i c z a rn ą , które choć fizycznie zupełnie odrębne, wrażeniowo przedstaw iają się analogicznie do barw prostych.
W ięc tw orzy się specjalne skale p rak tyczne , które jakkolw iek czasem opa
trzone num eram i, nie m ają ścisłości licz
bowej i podobnie, ja k skale term om etru, służą nie do właściwego mierzenia, lecz jakościowego oznaczenia barw lub odcieni. "W ten sposob uło
żono wcale dokładną skalę barw oczu od ciemnych, brunatnych, przez różne odcienie piw nych do niebieskich i siwych w ró żnych stopniach. Mniej u d ałą je s t skala barw włosow, nie obejm uje bowiem w szystkich o d c ie n i, jak ie u nas naw et nie rzadko w ystępują.
Również maści konia określone są wcale dokładnie, przy- czem ma,my naw et z daw na przekazane specjalne nazw y znacznie bogatsze, niż w odniesieniu do ubarw ienia włosów ludzkich.
w odniesieniu do ras kolorow ych m a szerokie zastosowanie.
W innej dziedzinie m am y np. skalę kolorym etryczną dla oznaczania ilości hem oglobiny we krwi, przedstaw iającą szereg odcieni barw y czerwonej ( T a l q u i s t i i.), natom iast P o r e l ułożył, skalę barw ną dla wód jeziornych od błękitu do zieleni, którą uzupełnił U l e , dodając jeszcze odcienie bru natn e. Skala ta, k tóra opracow ana została dla jezior alpejskich, nie w y sta r
cza dla naszych stosunków , gdzie należałoby, mojem zdaniem , jeszcze dołączyć pewne odcienie popielate.
T em peraturę tak poszczególnych organizm ów ja k i śro
dowisk oznacza się term om etrem rtęciow ym , czasem specjalnie przystosow anym do sw oistych celów. Zw łaszcza częste ma zastosowanie term om etr m aksym alny i m inim alny.
Za dalekoby nas zaprow adziło wyliczanie rozlicznych przyrządów , dających ilościowe w yniki, zwłaszcza używ anych w badaniach fizjologicznych, podane powyżej przykłady dają obraz dziedzin i istoty metod badania.
In n a znów zasada, um ożliw iająca uzyskanie liczbowych dat, to eksp ery m ent, w którym możemy zmieniać dowolnie wielkość w prow adzanych czynników , a następnie m ierzyć w iel
kość w yw ołanych m odyfikacyj. Z am iast słownego w yjaśnienia przykładu podaję rysunek, ilu stru jący w pływ ciepłoty na szyb
kość przeobrażenia żab (rys. 11).
Oczywiście zakres ty ch dziedzin bardzo obszerny i uroz
maicony.
* * *
Innego rodzaju badania liczbowe, to badania statystyczne.
Dane ilościowe w tej dziedzinie m ożna uzyskać w dw o
ja k i sposób.
Po pierwsze badacz może po prostu stw ierdzić obecność lub b rak jak iejś cechy w serji badanych przedm iotów, obec
ność lub b rak szczegółu określonego w szeregu zjaw isk, obec
ność lub nieobecność określonych form w danych zbiorowiskach, a następnie obrachowaó i zestawić bezwzględnie, czy procen
towo ilość wypadków dodatnich i ujem nych , zatem obecności
14
lub braku tej cechy, zjaw iska lub przedm iotu. W ten sposób można np. obliczyć ilość jasnookich i ciemnookich w jak ie jś gm inie, ilość zdrow ych i chorych w czasie epidem ji, ilość po
żarów w określonym obszarze zimą i latem itp.
155°C 13*0 16'5°C 10‘5°C
MARZ. 11 & O O O
¿ 0 + 3 * O < g ) ©
¿ 5 *
¿ 5 <ii>
U
.¿ 8
31 KW iEC. 4 6 10 M A J &
SIERP. 18
¿ 8
____ J * C
Pa z d z. 1 1
- -
Rys. 11.
Po w tóre może badacz oznaczać istotną wielkość jakiegoś ty p u , ja k ie jś cechy zmiennej badanych przedm iotów, zjaw iska zm ieniającego się ilościowo w porów naniu do otoczenia. Mo
żem y więc badać np. w zrost m łodzieży, albo ilość płatków w kwiecie , ilość jakichś form określonych w danem zbioro
wisku, powiedzmy rozw ielitek wśród planktonicznej fauny d a nego staw u w ciągu roku.
Podział ten nie je s t bezwzględny. Stałość bowiem może być uw ażana za graniczną wartość zmienności. Obecność lub
15
brak można uważać za dwie w artości zmiennej, ja k ie ona je- ym e je st w stanie przyjm ować, m ianowicie 1 i 0. Jeśli mó
wimy np. o zdrow ych i chorych, o silnych i w ątłych, jasno-
£ * ciemnookich. to m am y tu przeprow adzoną granicę, tóra dzieli nam całość na dwie grupy, które w praktyce niekiedy nieznacznie przechodzą je d n a w drugą tak , że podział okonany musi być mniej lub w ięcej’ sztuczny, a g ru py u z y skane nie przedstaw iają się bezwzględnie jednolite. Umożliwia nam jed n a k takie ujęcie spraw y traktow anie liczbowe cech i stosunków jakościow ych, które pozornie w ykraczają poza
ilościowe pojęcia. 1
III.
M e to d a s z e r e g ó w w b io lo g ji.
N ajprostszym sposobem uporządkow ania danych liczbo
wych je s t uszeregow anie ich wedle wielkości, siły lub liczby w porządku m alejącym lub rosnącym . W ten sposób u p o rząd
kow any szereg nazyw a się s z e r e g i e m i n d y w i d u a l n y m . Można w ten sposób ugrupow ać spostrzeżenia bardzo różnych kategorji, więc np. ludzi wedle wzrostu, siły, wym iarów głowy, barw y włosów lub oczu, ry b y wedle ilości prom ieni w płe
tw ach albo k w ia ty wedle ilości płatków , skorupy ślim aka w edług siły zabarw ienia itp. Dla p rzy kład u podaję cyfrow y szereg wzrostu zeszłorocznych ab iturjen tów gim nazjum V III we Lwowie od najniższego do najw yższego:
160, 165, 165, 166, 167, 167, 171, 172, 172, 175, 175. 176, 177, 179, 182, 187.
Szereg ten ilu stru je rycin a (12) wedle fotografji.
Oznaczając w artość pierw szą i ostatnią szeregu otrzym u
jem y granice zam ykające m iędzy sobą w szystkie szczegółowe spostrzeżenia, je s t to t. z w. szerokość lub am plituda w ahań.
Ponadto widzimy, jak ie wielkości przew ażają , dokoła których więc ześrodkowuje się znaczniejsza ilość danych.
U łatw ić orjentację może jeszcze wykres. W tym celu na osi poziomej (odciętych) wyznaczam y szereg rów noodległych punktów , z których każdy odpowiada jednem u osobnikowi uszeregowanem u, n a odpowiednio zaś w ykreślonych piono
wych (linjach czy kolum nach) oznaczam y wielkości (rzędne), odpowiadające wartościom naszego szeregu. O braz, który w odniesieniu do w zrostu je s t ja k b y schem atem fotografji,
17
w odniesieniu do innych właściwości przedstaw ia się zn a
cznie plastyczniej. Dla przykładu podaję analogiczny rysunek 1 wykres w odniesieniu do siły (Rys. 13), gdzie w ygląd mięśni Jest znacznie m niej wymowny, a odpowiedni szereg liczb jest następu jący :
28, 32, 36, 38, 42, 45, 45, 45, 45, 45, 46, 46, 50, 52, 52, 56.
W w ykresie takim ilość pionów rów nej wysokości daje nam ilość osobników czyli t. zw. liczebność właściwości tego samego stopnia. Stopnie obfitsze d a ją tedy górne granice p o ziome kolum n dłuższe, tam więc w ykres je s t mniej strom y, gdy zaś pewne właściwości są rzadsze, tam w ykres staje się strom y. Zazw yczaj granice w ykresu są bardziej strome, środek zaś zbliża się mniej lub więcej do poziomu, św iadcząc, że w artości skrajne są bardziej w yjątkow e, a dom inuje ty p po
średni. D okładność, ale i przejrzystość obrazu zależy od Przyjęfej podziałki, gdybyśm y np. pierw szy w ykres oparli na odległościach decym etrowych, nie centym etrow ych, przed staw iłby się on inaczej, ja k w skazttje^linia kresko
L . J . B y k o w sk i. JM, Í
Oczywiście takie uporządkow anie um ożliwia daleko do
kładniejsze rozpatrzenie danej g ru p y badanych, niż daty bez
ładne, zapisyw ane np. w porządku pom iarów, jeszcze jaśn iej
przedstaw iają się stosunki przy w prow adzeniu t. zw. s z e r e g u l i c z e b n o ś c i , który z jednej strony daje jasny obraz n a w et wielkiej ilości badanych, z drugiej um ożliwia w zajem ne porównanie grup i szeregów.
e t t O a * * ' 0 120 2 4 « a 130 2 u ¿ a 140 2 4 6 8 150 2 Rys. 14.
Jeżeli w w ypadku pierwszym um ieszczamy badanych w jednej linji, ja k rząd żołnierzy, przy tw orzeniu szeregu li
czebności rozm ieszczam y ich także w głąb w te n sposób, że
19
badanych o tych sam ych właściwościach um ieszczam y nie obok sieb ie, lecz za s o b ą , obok szeregu więc tw orzym y kolumnę.
Im ted y ilość osobników w ykazujących określoną właściwość czyli tak zw ana k l a s a je s t w ię k s z a , tern kolum na będzie dłuższa. Ilość osobników wchodzących w skład poszczególnej kolum ny czyli należących do odpowiedniej klasy nazyw a się jej liczebnością.
Ilu strację powyższego zestaw ienia stanow i dołączony ry sunek 14 (według Cleparede'a), przedstaw iający zbiór pół tysiąca dzieci dziesięcioletnich uszeregowanych w kolum nach wedle wzrostu w ten sposób, że najniższe, wysokości średniej 108 cm od 107 do 109 cm) umieszczono na skrzydle praw em , następne wysokości 110 (109 — 111 cm), w kolumnie obok i ta k dalej ku skrzydłu lewemu, które zam yka najroślejszy 152 cm wysoki.
U porządkow anie tego rodzaju je s t zupełnie ścisłe i n a tu r a ln e , jeżeli cecha służąca za podstaw ę podziału na klasy 1 ugrupow ania szeregu w ystępuje w ilościach ściśle określo
nych, w yrażonych liczbam i całkow item i bez przejść, ja k np.
ilość płatków w kwiecie, komór w owocu, prom ieni w płetw ach ryb, sterówek w ogonie ptaka, członów w rożkach owadów itp.
W tym w ypadku zmienność je s t skokowa, zm ienna cecha zaś czyli krótko z m i e n n a (w arjant) je s t p r z e r y w a n a z a m k n i ę t a (integrated).
D la przykładu podaję szereg liczebności fłąder ( Pleuro- nectes), o p arty n a ilości prom ieni w płetw ie ogonowej, a op arty na zbadanych przez C. G. J . P etersena 703 okazach z okolicy Skagen. W zestaw ieniu tern wiersz górny podaje ilość pro mieni, drugi w odpowiednich m iejscach bezw zględną ilość osobników w ykazujących tę liczbę, trzeci wreszcie liczby p ro centowe w odniesieniu do ogółu :
I l o ś ć p r o m i e n i
47 48 .49 50 51 52 58 54 55 56 57 58 59 60 61 I l o ś ć o k a z ó w
5 2 13 23 58 95 134 127 111 74 37 16 4 2 1
P r o c e n t
0-71 0-28 1-85 2-60 8-25 14-30 19-06 18-11 15-79 10-52 5 26 2-28 0-57 0-28 0-14
*
20
P rzy kład drugi oparty n a badaniach Zdz. Chmielewskiego podaje obraz zmienności znam ion u naszego m aku polnego (Papaver Rhocas L.), któ ry zbadał 2323 makówek, pochodzą
cych z różnych okolic:
I o ś ć z n a m i o n
B 6 7 8 9 10 11 12 18 14 15 16 17
L i c z e b n o ś ć b e z w g i ę d n a
8 45 204 441 560 467 844 167 62 23 4 1 2
P r o c e n t
0-13 1-94 8-78 18-98 24-11 20-10 14-81 7-19 2‘67 0-99 017 0 04 009
W innych w ypadkach jed n a k właściwość nie daje się w yrazić liczbam i całkowitem i, albowiem zmienność je s t ciągła, a cechy okazują przejścia stopniowe, są więc p ł y n n e . Z tym w ypadkiem m am y do czynienia wszędzie tam , gdzie przed miotem badań są w ym iary przestrzen n e, siły, skład che
m iczny, albo też w ykładniki stosunków lub określenia procen
towe. P rzykładem może być cytow any wyżej szereg w zrostu abiturj entów.
W tym szeregu widzim y stopniowe przejścia. Tu więc w prow adzam y pewien u k ład sztuczny, tw orzym y klasy w ten sposób, że łączym y razem jed n o stki znajdujące się w obrębie granic, tw orzym y ted y w artości przybliżone, pom ijając np.
ułam ki centym etrów . J a k w każdem przybliżeniu, ta k i tu możemy dokładność dowolnie zmieniać, zależnie od okoliczno
ści. Jeżeli tw orzym y klasy o różnicy 1 cm, natenczas do kate- gorji osobników wysokich n a 162 cm, zaliczy się nietylko jedn ostk i ściśle w ykazujące ten wzrost, ale ogół w zrostu od 161-51 do 162-50, które to liczby stanow ią granicę klasy.
Liczba charak tery zująca klasę, w naszym przekładzie 162 zwie się wielkością klasy, odległość obu granic przedziałem klaso
wym (Intervall), liczba zaś osobników zaliczona do danej klasy je s t liczebnością (frequency). Oczywiście możemy dowolnie ustalać p rzedziały klasowe, przyczem jed n a k zm ienia się do
kładność. Zw iększenie przedziału skraca szereg, w skutek czego dostaje się zw łaszcza przy m niejszej ilości badanych większą
21 -
przejrzystość w zgrupow aniu, ale równocześnie zm niejsza się dokładność w szczegółach.
Oczywiście znów stosunki te możemy przedstaw ić g r a ficznie przy pomocy wykresu.
W tym celu używ a się dwu sposobów m etody prostoką
tów lub trapezów . W w ypadku pierwszym na osi poziomej odcinamy szereg rów nych odcinków, z których każdy odpo
wiada kolejno jednej klasie szeregu. Na końcu każdego od
cinka w ykreślam y piony odpowiadające liczebnościom bez
względnym lub procentowym danych klas. Po połączeniu tych punktów zapomocą po
ziomych i w yciągając sil- nieJ granice otrzym am y wraz 2 osią podstaw ow ą wielobok liczebności. Załączona rycina (15) daje w ykres procentowy znam ion m aku wedle m etody powyższej.
P rzy metodzie trapezów oznaczamy w rów nych odle
głościach szereg punktów , z których każdy odpowiada kolejnej klasie nowego sze
regu. W każdym punkcie wykreślam y pionowe odcinki, których długość w dowol
nych jed no stk ach odpowiada liczebnościom odpowiednich klas. Łącząc ich wierzchołki otrzym am y znów wielobok liczebności. Przykładem je s t
rycina (16), na której lin ja ciągła odpowiada rycinie 15, zaś przeryw ana daje obraz zmienności ilości promieni fląder.
W ieloboki takie nie są niczem innem, ja k narysem w po
m niejszeniu zbioru badanych osobników, odpowiednio rozmie-
- 22 —
szczonych na płaszczyźnie, ja k to widać z ryciny 14. G ranice tego wieloboku p rzedstaw iają się poza podstaw ą będącą lm ją prostą, jako lin ja łam ana, która, im większa je s t liczba b ad a
nych, tern bardziej zbliża siędo lin ji krzyw ej, stąd też zw ykle mówi się w prost o k r z y w y c h , które są idealnem i granicam i nieskończenie wielkiej ilości spostrzeżeń przy cechach o cha
rakterze ciągłym. . r
Oczywiście w ykresy tak ie sprow adzone do jednakiej skali i sporządzone wedle tych sam ych zasad um ożliw iają w zajem ne porównanie, przyczem m ożna analizować, albo jed n ą cechę w śród różnych grup (Rys. 17), albo zestaw iać dwie grupy naw et pod względem znaczniejszej ilości cech. Jeśli w ten sposób zesta
wim y szeregi liczebności wzrostu uczniów rozm aitych naro d o wości, zajm iem y się porównaniem jednej cechy w różnych g ru pach (rys. 16), gdy znowu n arysujem y w ykresy różnych w łaści
wości tej samej grupy, może
my porównać rozm aite szcze
góły kilku cech (rys. 18). W y żej oznaczona rys. 16 pozwala nam śledzić zmienność w dwu różnych grupach w obrębie dw u różnych cech. W idać z nich, że zmienność promieni fląder w aha się w nieco szer
szych granicach niż znamion maku, ponadto najliczniej re
prezentow ana ilość czyli t. zw.
m o d a l ub z a g ę s z c z e n i e w pierwszym w ypadku godzi się z w artością średnią, w sku
tek czego krzyw a je s t praw ie sym etryczna, u m aku przesu
wa się. na lewo do ilości 9 z a m iast 11 znamion, wobec cze
go gałąź po stronie lewej je s t bardziej strom a niż po p raw e j, krzyw a je s t niesym etryczna.
P3 Ti
©NI P P
o3 do3
£O 44Pi
O 44
CC
© 4d ^
69 *r<
fc. *
44 -69 S
69 £>>
Hf) *" O
©
«5 £ _
d £ %
* -69 „
69 O
■1=5
^ Ti O ©
a m -p o
iaD ©
* 53 Ti
OS ---I Ti 3
^ -GG 44m
©u
44
oS1d -p ©*
• rHO
©69
O bfi
© 44
- za
a 3 a
d £
^ Ti 69 cg
O Jh P
2 S
§ .2 W 5
• rHd
abfi
©
44o
Pd-O 44
d
id
« s
O
69
©d
idc3
69O 44O
P d-O 44
ffoS O
Pi
d
Pd©•
O 44
69
|| s §■
- ICO
2 t> -p eS F- O 2 ‘O P
§ 43 -N
bfi bfi
rl N
44
O a3*
•1—3d O
£
69 ci1
d Ti©
44 -O£
44oS
dH W Pn
Rys. 16.
A.
BO T Í o d i 0M cd*
O O
a>* c o * 3 • T r-H cd* p d
5=1O CSJ
?H c - d
• rH
£
a
0 CS3
CO ‘ i ?N
T 3
< o NO
d - oVCQ
O
’ tnu fe> ca
• rH d
O p
ca 0 405
0 J 4 aes o ’ p O <»
o E* 0
O co % 0 4 pjtn
P *
d T
O O
-+j oa .05
r—H J D
05*
r &
N fe»t-1
o
CS5' a O
T 3 d
-4^
* r f ł - T
0
ci fe»
O r—H na
- i ś 0 CO
o O
05 3 do *s? 05
T l f~i
KI ca 01 . Sh £ CO
^5 d £ 'O CD
• rH O l o fe» 05
•toe ‘. a 5
ca c3
cS i
§ Ph d
¿5
r H fe»
£ ' S 5
i*co UN 0 4 ' o ?
O 0 T 305
g 0 £
o ‘ NP
d O
n T N
• rH 0 r0 - 6
*^> S-c c b
-4Jd i O M co
P
O CO -05
CO O
T Í r d £
o "
0 OES o 0 4o
05
£ N
Jh O
fe» ca [> O tsj
P
T 3 fe»
§ P - a C S 05 O £
c£
CJ5
fe> *r 2 J*
£ ts .®
o fe
i-rH ^
r ? ® T i
» O
d 5 2 03‘N
W 00
£ £
W pq
18 19 20 21 22 17 18 19 20 21 22
- 25 -
Przedziały klasowe i skalę wykresów możemy dowolnie dobierać. Je d n ak nie w szystkie odpow iadają wym aganiom . Oto (rys. 19) dwa w ykresy odnoszące się do tego samego m a te rja łu , mianowicie do wzrostu abiturjentów „obywateli gm iny szkolnej im. M. Łomnickiego w gimn. V I I I “ we Lwowie w roku 1920. Pierwszy, przeryw any, zrobiony w przedziałach dwu, drugi, ciągły pięciu centym etrów . Pierw szy gubi się w szczegółach, je s t zb y t rozproszkowany, z drugiego w yraźnie
"widać, że poważna większość badanych skupia się około wzro
stu 16B cm (między 155 a 170), a prócz tego je s t pow ażniejsza grup a roślejszych, powodująca wyniosłość („ząbek“) między 175 a 180. W ybór więc właściwej sk ali, właściwego p rze
działu klasowego je s t nader ważny, od tego bowiem zależy przejrzystość szeregu i łatwość in terpretacji. Jeśli wykres rozciąga się zb y t szeroko, jeśli w ykazuje dużo drobnych ząbków, zygzaków i przerw, analiza nic w tedy nie daje, koniecz- nem je s t „w ygładzenie“ („polisage“), gdy przeciwnie, skala je s t zbyt obszerna, m ielibyśm y znów ledwie kilka słupków r z ę d n y c h , z których również nic w yczytać nie można, bo zatrą się zupełnie szczegóły. Koniecznem tedy je s t ustosun
kowanie skali do ilo sci spostrzeżeń. J e st zasadą, że im w ię
cej sp ostrzeżeń , tern więcej m ożna w pro
wadzić przedziałów co raz drobniejszych, przez co obraz staje się dokładniej szy. W a lor tedy badań pozo
staje w prostym sto sunku do ilości spo
strzeżeń.
Oczywiście w ykresy m ożna ze sobą porównywać tylko 0 ile sporządzone są wedle tej samej zasady. Podobnież analiza liczbowa szeregów pozwala nam poznać ich właściwości i do-
- 26
kładnie scharakteryzow ać. Do tego jed n a k potrzeba ustalenia pew nych stałych w artości zasadniczych.
Pierw sza z nich to ta k zwana ś r e d n i a a r y t m e t y c z n a czyli p r z e c i ę t n a . Określić j ą bardzo łatw o, do
d ając w artości poszczególnych liczb i dzieląc przez ilość skła
dników. W yraża ją zatem wzór:
k=u
A x— i 2 X k
k = l
k = n
w ktorem n oznacza ilość składników , 2 w yraża sumę skła-
k = l
dników X t , dodanych od pierwszego (k=i) do ostatniego czyli n - tego włącznie (k=n). D la znamion m aku wynosi średnia ilość 9'476, dla prom ieni fląder 53 67.
M ając dany szereg liczebności obliczamy jego średnią z bardzo dokładnem przybliżeniem , m nożąc (ifk) wielkości klas przez ich liczebności (F k), a otrzym aną sumę uzyskanych w ten sposób iloczynów dzieląc przez ilość osobników (n ). W zór w tedy przedstaw ia się następująco :
k = n
A x - i 2 JTk F k .
k = l
W edle ty ch zasad obliczona średnia wysokość gm iny im.
Łom nickiego w roku 1918 wynosiła przy przedziale klasowym dw ucentym etrow ym 165’06 cm, przy pięciocentym etrow ym 16514, gdy w artość ta obliczona z całą dokładnością wedle wzoru pierwszego z uw zględnieniem m ilim etrów wynosi 165-11 cm, różnice zatem dotyczą dopiero drugiego miejsca dziesiętnego.
D rugą charak tery sty czn ą w artością je s t tak zw ana w i e l k o ś ć s z c z y t o w a czyli m o d a (M). J e s t to w ar
tość, ja k a w ykazuje najw iększą ilość osobników w danym szeregu, któ ra zatem okazuje najw iększą liczebność. W naszych przy kład ach w szeregu prom ieni płetw fląder w artością tą je s t 53, w ykazująca liczebność 134 osobników czyli 19-06% ogółu, w odniesieniu do znam ion m aku je s t nią 9, pod którą podpada
27
560 okazów czyli 24-11%, w odniesieniu do w zrostu z r. 1918 w artość szczytow a przy przedziale pięciocentym erowym w y
pada na 165 wynosząc 11 osób czyli 31-57%.
Trzecią wreszcie charakterystyczną w artością je st wiel
kość dzieląca ogół osobników na pół czyli t. zw. ś r e d n i a t o p o l o g i c z n a albo w i e l k o ś ć ś r o d k o w a (mediana), d zieli ona w ielokąt liczebności n a dwie części równej wielkości, a ogół badanych na dwie równe grupy, z których jed n a obej- m uje większe, d rug a zaś m niejsze wielkości. W odniesieniu do gm iny im. Łom nickiego w artość ta przedstaw ia, wobec tego, że liczyła ona wówczas 35 obyw ateli, 18-ty z porządku oso
bnik w szeregu, liczący w tym w ypadku 165'1 cm wzrostu.
Chcąc w artość tę oznaczyć w odniesieniu np. do znam ion
^ a k u przeprow adzam y n astępujące rozum ow anie, opierając S1ę przy tern na wykresie m etodą prostokątów . W obec tego, 26 ilość zbadanych jedn o stek wynosi 2323 osobników, żądaną wartośó rep rezen tu je osobnik stojący w pośrodku tj. 1162-gi.
Jego wartość oznaczym y dodając liczebności poszczególnych klas póki nie otrzym am y dwu wartości, m iędzy którem i żądany osobnik się znajduje. Dodawszy cztery pierwsze klasy tj. li
czebność osobników m ających 5, 6, 7 i 8 znamion, dostajem y 3 -f- 45 -f- 240+ 441 — 693, dodawszy nadto liczebność klasy n a stępnej (9-tej) 560 dostajem y 1256. Średnia topologiczna leży więc w prostokącie reprezentującym klasę 9, której granice stanow ią 8-5 i 9-5, a wobec tego, że 1162 je s t bliższa w arto- tości 1256 niż 693, przesuw a się n a praw o w kierunku w arto
ści większych. D okładnie możemy określić jej położenie w na- stępujący sposób: n a lewo od prostokąta (b), przez który przechodzi średnia topologiczna znajduje się a = 6 9 3 osobników, na praw o c= 23 2 3 — 1256 = 1067 osobników. Chodzi o to, ja k podzielić podstaw ę pośredniego prostokąta liczącego 6 = 560 osobników, aby pion przez ten p u n k t przeprow adzony przepo
łowił cały wielokąt, obejm ujący ogół badanych, tj. a + 6 + c = w.
Oznaczając przez x odległość tego punktu od granicy lewej prostokąta czyli w artości żt = 8 i pam iętając, że podział kla
sowy A wynosi 1, otrzym am y — wobec tego, że podstaw y obu
28
części prostokąta (czyli x i X — x) m ają być proporcjonalne do ilości osobników w obu ty ch częściach — następującą pro
p o rcję:
( \ n — a ) : ( \ n — ć) = x : (X—x). Z proporcji tej w ynika dalej x (%n—c) = (X—x) ( \ n — a ) = A ( j - n - a ) — x (|-n —a)
x ( \ n —c) - \- x (\n — a) = X { \ n - a) x ( \ n - c + \ n - a ) = X ( } n —a), a że
\ n — c - \ - \n —a = n —{a-\-c)=b, przeto X . .
Z czego średnia topologiczna Z = l ±+ x
Podstaw iw szy wartości szczegółowe dostajem y : Z = 8-5 + ^ ( 1 1 6 1 - 5 - 693) = 8 5 + ~ ^ - 9-337.
W szeregach sym etrycznych, w których w części pier
wszej aż do wartości szczytowej w takim stopniu wielkości rosną, ja k w drugim m a le ją , wszystkie te wielkości są id en
tyczne, w szeregach niesym etrycznych w artości są różne, w jednoszczytow ych średnia topologiczna znajduje się m iędzy średnią arytm etyczną, a w artością szczytową. W ielkości te nie są niezależne, Pearson podaje wzór przybliżony w zajem nego ich zw iązku A — M = 3 (A — Z). Z wzoru tego łatw o obliczyć teo retyczn ą w artość m odalną dokładniej niż z obserw acji i nie
zależnie od przedziałów w ybranych, co je st ważne przy sze
regach ciągłych. Mianowicie
M ~ A - 3 ( A - Z )
W naszym przykładzie ze znamionam i m aku .4=9-476,
£ = 9 3 3 7 , a wówczas M = 9-059.
Dla ch arak tery sty k i liczbowej szeregu w artości te, z k tó rych średnia arytm etyczn a je s t najczęściej stosowana, jed n ak nie wystarcza. Chodzi jeszcze o ch araktery stykę rozmieszcze
nia poszczególnych wartości, które obrazuje nam graficznie w ielokąt liczebności. Typow ą niew ątpliw ie je s t wielkość pod-
stawy, tj. granica w ahań w szeregu. Nie je s t to jed n a k cecha charakterystyczna. Jed en osobnik np. chorobliwie niedorozwi- m ęty może przesunąć granicę dolną daleko, czasem o jed n ą trzecią pozostałego obszaru. W ięc nie odchylania krańcow e
°d średniej, lecz odchylenia, które obejm ą ogół, będą ch ara
kterystyczne.
W skaźników kilka je s t w użyciu, z nich naj c h a ra k te ry styczniej szy i obecnie najczęściej używ any je s t wskaźnik zwany o d c h y l e n i e m ś r e d n i e m albo z n a m i e n n e m (standard deviation), opierający się na drugiej potędze po
szczególnych odchyleń. Yule tem i słowy uzasadnia tę pozorną ni©naturalność w prow adzenia potęgi drugiej : „byłoby bezce- lowem p rzy jąć poprostu sumę odchyleń, gdyż w artość jej je s t Zer°, jeśli liczym y od ś r e d n i e j ... . koniecznem je s t stw orzyć Przeciętną dla odchyleń w ten sposób, aby w szystkie odchy-
^enia b y ły uw ażane za posiadające ten sam znak. Podniesienie kw adratu je s t najprostszym sposobem wyelim inow ania zn a
ków, przyczem daje dogodne algebraiczne w y n ik i“.
W artość ta, k tó rą powszechnie oznacza się literą a , obli-
1 k = 1
Cza się z w zoru: o 2= - X x\.
fl k=n
gdzie n oznacza ilość [osobników [szeregu, xk odchylenie po
szczególnych jednostek k od średniej, X je s t konw encjonalnym Zriakiem sumy.
U w zględniając cały szereg ugrupow any w klasy o li
czebności f otrzym am y w zór: <72= — X x 2.f, w którym x ozna- 7Z
Cza odchylenie każdej klasy od średniej arytm etycznej. Oczy
wiście <7 =
±v
~ X x \ f *)*) Jeśli średnia je st w arto ścią ułam kow ą, odchylenia klas przedsta
w i ą się również ułamkowo, a działania tak iem i liczbami są bardzo żm u
dne. Dla u ła tw ien ia przeprowadza się obliczenia nie od dokładnej średniej
^ )j lecz całkow itej w artości przybliżonej ( A '), a w w yniku uw zględniam y dokładną poprawkę « = A — A'. W tym w ypadku wzór w y g ląd a 1 ^ i y—£ z ' 2. / — a 2 ; przyczem x' je st odchyleniem od wyjściowej A'.
1 71
- BO -
W w ielokrotnie -agitowanym przez nas przykładzie zm ien
ności znam ion maku-Wretrtóść odchylenia znam iennego, obliczona przez Chmielewskiego a = 1-7449, zaś dla szeregu prom ieni fląder a = ± 2 1 3 4 :. Jeżeli zaś chodzi o om aw ianą gm inę im.
Łom nickiego, to tam przy średniej 165'11 cm odchylenie zn a
m ienne o = 7-345 cm.
W artości te zw iązane są m iarą u żytą przy badaniach i zależą od bezw zględnych wartości danych cech, a więc nie pozw alają na w zajem ne porównanie, gdy chodzi o szeregi zw łaszcza ciągłe. W obec tego tw orzy się wielkość niezależną i niem ianow aną jak o w ykładnik procentowego stosunku odchy
lenia znam iennego do średniej, którą nazyw am y w s k a ź n i k i e m z m i e n n o ś c i (v).
v = 100. a A
W skaźnik ten daje się z powodzeniem stosow ać jako ścisła liczbowa m iara stałości, względnie zm ienności cech. Im v je s t większe, tern większym w ahaniom podlega dana cecha w grupie. Obliczone w ten sposób w skaźniki w ynoszą dla pro
m ieni płetw fląder 0 = 3 9 7 , dla znamion m aku 18-415, dla ucz
niów 0 = 4 5 2 5 . Dla porów nania zaznaczam , że w edług badań Pearsona ch arakterystyczn e w skaźniki odnoszące się do wzro
stu dorosłych Anglików były : .4 = 172-8 cm, cr=7'04cm , 0 = 4-07, dla Baw arów A = 165-9 cm, <7 = 6-68 cm, 0=4-02, Francuzów A = 166-8 cm, <7 = 6 47 cm, 0=3-88, wreszcie studentów angiel
skich z Uniw. w Cambridge, m ierzonych w calach: .4= 6 8-86 ",
<7 = 2-52", 0=3-66.
IV.
W y k r e s y o b s e r w a c j i b io lo g ic z n y c h .
W ykres każdy je s t graficznem przedstaw ieniem jakiegoś
°bjawu. Może ilustrow ać np. przebieg jakiegoś zjaw iska, albo być w yrazem jak ich stałych stosunków m iędzy przedm iotam i, które się w odpow iedni sposób uporządkow ało i zestawiło.
J©st on więc w yrazem pew nych związków funkcyjnych, które
^ o ż n a też w yrazić określonemi form ułam i m atem atycznem i, co
^ wielu w ypadkach rzeczywiście się udało, w ykazując ścisłą prawidłowość mimo zawiłości nierzadko bardzo wielkiej. W y kres tak i często ułatw ia zrozum ienie i w yjaśnienie ro z p a try wanego zagadnienia, bo subtelna jego analiza pozwala sięgnąć nieraz w głąb bardzo daleko.
Jeżeli przez w ypreparow any mięsień żabi zawieszony na myo- Srafie, przepuścim y dostatecznie silny prąd elektryczny, mięsień na chwilę skurczy się, a pisak zaznaczy ten skurcz na wykresie Wyniosłością śladu, poczem w dalszym ciągu kreśli linię prostą, c° świadczy, że mięsień mimo przepływ ającego p rąd u nie h i e n i a objętości, a skurczy się znów w chwili przerw ania
32
p rąd u albo jego wzm ocnienia, o czem znów świadczy ruch pisaka. Stąd w ynika praw o du Bois Reym onda, że nie sam prąd, lecz zm iana jego natężenia pobudza mięsień. W tern doświadczeniu „krzyw a m ięśniow a“ (a) w ykazuje ram ię w stę
pujące, odpow iadające okresowi kurczenia się i ram ię zstępu
jące, w yobrażające rozkurcz. Oba ram iona są mniej więcej sym etryczne, a zatem okresy oba równe. Ponieważ wykres przedstaw ia się jak o lin ja krzyw a, a nie łam ana, nie mamy nigdzie ani linji prostej, ani ostrego zagięcia widać, że skurcz początkowo w zm agający się z czasem słabnie, a potem bezpo
średnio przechodzi w rozkurcz.
Rzecz zmieni się, gdy na mięsień działać będzie szereg podniet elektrycznych. W ynik zależy od czasu, w jakim pod
n iety po sobie n astęp u ją. Gdy podnieta nowa działa, gdy skurcz poprzedni się skończył, g ra zaczyna się na nowo i otrzym am y szereg jed n ak ich krzyw ych. Gdy n atom iast podnietę zbliżym y tak, że zacznie działać nim n astąp i rozkurcz, w ystąpi ta k zw.
n ak ładanie się skurczów, m ianowicie druga podnieta wyw oła skurcz nowy praw ie taki, ja k b y długość, ja k ą mięsień posiada w chwili, gdy ona zaczyna działać, była norm alną (b). Oczy
wiście w ynik będzie najw iększy, gdy początek nowej podniety w ypadnie na szczyt działan ia poprzedniej' co przy mięśniach żaby, wobec tego, że okres całego zjaw iska wynosi średnio 0 1 0 sek., wynosi m niej więcej 0'05 sek. Jeżeli na m ięsień skierujem y cały szereg podniet rytm icznych np. uderzeń prądu indukcyjnego, n astąp i przy dość szybkiem następstw ie sumo
w anie się działań, a m ięsień przejdzie w stadjum ja k b y drże
nia, które ujaw n i się w postaci ząbków na krzyw ej (c), które w m iarę szybkości ry tm u podniet stają się coraz szybsze, a wreszcie znikną zupełnie, a krzyw a z lekko falistej p rze j
dzie znów w gładką (d). W tedy mówimy o tężcu zupełnym mięśnia.
A teraz p rzy kład ruchów dowolnych. Zaczerpniem y z b a dań B. B łażka nad znaczeniem pracy ręcznej jak o czynnika wychowawczego.
83
W doświadczeniach tych badany przy pomocy stosownego erg °grafu podnosił ciężar zginając kończynę górną w staw ie łokciowym, połączony z ergografem przyrząd piszący znaczył Wielkość każdego ruchu, w ykonyw anego wedle tak tu m etro - n°mu. Równocześnie specjalny m y ograf znaczył zapomocą osobnego pisaka zm iany w wym iarach m ięśni ram ienia
^ czasie pracy. W ten sposób każdy ruch zaznaczył krzyw ą oiem entarną ergografu, przedstaw iającą się jak o o stry ząbek, zwrócony szczytem do góry i odpow iadają krzyw ą myograficzną.
W szystkie krzyw e elem entarne składały się na krzyw ą pracy.
.Rys. 21.
Porów nując krzyw e pracy widzimy różnice w dwu wy
miarach. Jed en w ym iar to różne zm ienne wysokości krzyw ych elem entarnych (ząbków) zależna od pracy m ięśnia dwugłowego,
^y m iar drugi tw orzy rozległość całego w ykresu zależna od
^ości krzyw ych elem entarnych, więc i czasu trw an ia pracy.
Praw idłow o rozpoczyna się od p rzy ro stu wysokości krzy- wych elem entarnych w skutek działania w praw y, n astępuje
°kres pracy pełnej, o określonym rozpędzie i krzyw ych m. w.
Jednakich, wreszcie przychodzi znużenie w takim stopniu, że tylko wola może mu się przeciw staw ić, w skutek czego w y stę
pują znów zmiany w wyglądzie krzywych. (Rys. 21).
Te trzy fazy nie wszędzie przedstaw iają się jednakow o, Często naw et niektóre ro zra sta ją się kosztem innych, co po
k u ł a w niknąć w podłoże psychiczne badanego.
•Li. J. Bykowski. q
34
Oto w krzyw ej powyższej po krótkim okresie rozpędo
wym, obejm ującym ledwie trz y ta k ty , n astęp u je okres ciągłej intenzyw nej pracy od A do C. P rzy B w ystępuje znużenie, zaznaczone niższemi ząbkam i m yogram u (u dołu), siła woli jed n ak u trzy m u je w ynik na poziomie, dopiero od C znużenie bierze górę. A utor charaktery zu je badanego n a stę p u ją c o : „w y
kazuje pod każdym względem k sz ta łtu jąc ą się system atycz
ność i w ytrw ałość, objaw iającą się patrzeniem n a dalszą metę- Na pozór flegm atyk lubi zastanaw iać się nad widzianerni i słyszanem i rzeczam i i mieć ład we w łasnych z a p a try w an iach “.
Nie potrzeba zdaje się w y jaśn iać, że krzyw a następna (rys. 22) pochodzi od typow ego nerw owca, zapalającego się do pracy, ale szybko p rzy m ałem natężeniu ulegającego zniechę
ceniu i opuszczającego skrzydła.
Rys. 22.
Tu ten obraz graficzny pozwala w niknąć w głąb umysłu badanego i określić właściwości eksperym entalnie z dziedziny objaw ów woli ze ścisłością, k tórą potw ierdza dłuższa i skru
p u latn a obserw acja.
P rzy k ład inny. Pokarm y wprowadzone do żołądka powo
d u ją wydzielanie się soku żołądkowego, przyczem okazuje się.
że wydzielanie to nie je s t rów nom ierne i stałe, lecz zmienia się z biegiem czasu, a nadto ja k w ykazały badania Pawłów»
35
1Jego szkoły, zależy też od rodzaju wprow adzanego pokarm u.
Znów ja s n y obraz dadzą nam „krzyw e“. (Rys. 23).
W reszcie p rzykład z innej dziedziny, któ ry znalazł za
stosowanie w ta k potężnem i zawiłem zjaw isku społecznem, Jak w ielka w ojna światowa.
Z jaw iska przem iany m ate- rJ1 lub energji przebiegają na-
^er prawidłowo t a k , że cały proces m ożna w yrazić zapo- ruocą rów nania wykładniczego, któremu odpowiada właściwa krzywa. W y rażają one prawo, szybkość reakcji jest p ro porcjonalna do m asy ciała rea gującego. W yjaśnim y rzecz przykładzie szczegółowym.
Prędkość inw ersji cukru trzci
nowego je s t proporcjonalna do dości cukru jeszcze niezinwer-
^owanego.
Oznaczając przez a stężenie początkowe, x m iarę stężenia
°ukru uległego inw ersji w czasie i , otrzym am y związek w yra
żony rów naniem
dx \
di~k ( -
Sdzie k je s t stałym współczynnikiem i w naszym w ypadku Wynosi 0-0015. C ałkując rów nanie otrzym ujem y
—kt
x = a — a. e ,
^ którem zm ienna x w yrażona je s t jako funkcja czasu, jako Zruiennej niezależnej. Zależność tę można oczywiście przed
stawić w postaci w ykresu funkcji w ykładniczej.
Otóż prof. S. Dąbrowski badając ,proces w yczerpyw ania Sl<* sił ludzkich w czasie wielkiej wojny, spostrzegł „analo- Sję m iędzy w ojną św iatow ą a ja k ą ś potw orną reakcją che-
Rys. 23.
I lo ś ć so k u żołądkow ego, w yd zielan ego w c za sie k a rm ien ia (wed. P a w ło w a )
— m ię sem ... chlebem ---m le k iem
