Matematyczne Podstawy Kognitywistyki

(1)

Matematyczne Podstawy Kognitywistyki

Jerzy Pogonowski

Zakªad Logiki i Kognitywistyki UAM pogon@amu.edu.pl

Funkcje

(2)

Wst¦p

Ilo±ciowe opisy zjawisk

Poj¦cie funkcji to jedno z najwa»niejszych poj¦¢ matematycznych. W opisach ilo±ciowych, które s¡ charakterystyczne dla wspóªczesnej nauki, u»ywa si¦ powszechnie tego poj¦cia.

Funkcje s¡ formalnymi reprezentacjami sytuacji, gdy jaka± wielko±¢

jest w sposób jednoznaczny zale»na od innych wielko±ci.

Rozwa»a si¦ jednak caªkiem ogólne sytuacje, a wi¦c równie» te, w których zale»no±¢ funkcyjna nie wi¡»e wielko±ci liczbowych, lecz elementy jednego zbioru z elementami innego zbioru.

Z funkcjami spotykamy si¦ bardzo wcze±nie w procesie edukacji tabliczki dodawania i mno»enia charakteryzuj¡ bowiem pewne funkcje, okre±lone dla liczb i maj¡ce warto±ci liczbowe.

(3)

Wst¦p

Uwaga na intuicyjne skojarzenia!

W zale»no±ci od kontekstu, u»ywa si¦ okre±le«: funkcja,

przyporz¡dkowanie, odwzorowanie, przeksztaªcenie, operacja, i in.

Nale»y jednak wyra¹nie podkre±li¢, »e funkcje w matematyce s¡

pewnymi zbiorami, a dokªadniej: relacjami, speªniaj¡cymi stosowne warunki jednoznaczno±ci.

Czasami trudno uwolni¢ si¦ od ró»nych intuicyjnych skojarze«, motywowanych uzusem j¦zykowym i skªaniaj¡cych np. do »ywienia przekona«, »e funkcje s¡ jakimi± procesami, »e za ich przyczyn¡ co±

dzieje si¦ z rozwa»anymi obiektami.

Pewna praktyka posªugiwania si¦ funkcjami pozwala na wyzwolenie si¦

z tego typu zªudnych prze±wiadcze«.

(4)

Denicje

Poj¦cie funkcji

Funkcj¡ ze zbioru X w zbiór Y nazwiemy ka»d¡ tak¡ relacj¦ mi¦dzy elementami zbiorów X oraz Y , która nie zawiera »adnych dwóch par uporz¡dkowanych maj¡cych te same poprzedniki oraz ró»ne nast¦pniki.

Innymi sªowy, f jest funkcj¡ ze zbioru X w zbiór Y , je»eli:

1 f ⊆ X × Y

2 dla dowolnych x ∈ X oraz y1∈Y , y2∈Y : je±li (x, y1) ∈f i (x, y2) ∈f , to y1=y2.

Je±li (x, y) ∈ f , to x nazywamy argumentem funkcji f , za± y nazywamy warto±ci¡ funkcji f (dla argumentu x). Zamiast pisa¢

(x, y) ∈ f zwykle piszemy f (x) = y.

(5)

Denicje

Dziedzina i przeciwdziedzina

Dziedzin¡ funkcji f ⊆ X × Y nazywamy zbiór dom(f ) wszystkich jej argumentów, czyli zbiór tych wszystkich x ∈ X , dla których istnieje y ∈ Y taki, »e y = f (x).

Przeciwdziedzin¡ (lub zbiorem warto±ci) funkcji f ⊆ X × Y nazywamy zbiór rng(f ) tych wszystkich y ∈ Y , dla których istnieje x ∈ X taki,

»e y = f (x).

Je±li f ⊆ X × Y jest funkcj¡ oraz jej dziedzina jest równa caªemu zbiorowi X (czyli gdy dom(f ) = X ), to mówimy, »e f jest okre±lona w zbiorze X (lub: okre±lona na zbiorze X ). W takim przypadku u»ywamy (znanego ze szkoªy) zapisu f : X → Y . U»ywa si¦ wtedy okre±le«:

1 funkcja f odwzorowuje X w Y

2 funkcja f przeksztaªca X w Y .

(6)

Denicje

Przykªady

Zbiór f = {(x, y) ∈ R² :x · y = 1} jest funkcj¡. Zapisujemy j¡: y = ¹_x lub f (x) = ¹_x. Mamy w tym przypadku: dom(f ) = R − {0},

rng(f ) = R − {0}.

Relacja mniejszo±ci < liczb rzeczywistych nie jest funkcj¡.

Dla dowolnej liczby rzeczywistej x ∈ R, niech xxy b¦dzie najwi¦ksz¡

liczb¡ caªkowit¡, która nie przekracza x (czyli jest mniejsza lub równa x). Wtedy x y : R → Z. T¦ funkcj¦ nazywamy funkcj¡ podªogi.

Dualna do niej jest funkcja sutu p q : R → Z, która ka»dej liczbie rzeczywistej x przyporz¡dkowuje najmniejsz¡ liczb¦ caªkowit¡ pxq, która jest wi¦ksza lub równa liczbie x. Dla przykªadu: xπy = 3, pπq = 4.

Dla dowolnego ustalonego uniwersum U, funkcjami s¡:

{(X , ℘(X )) : X ⊆ U} oraz {(X , X⁰) :X ⊆ U}.

(7)

Denicje

Je±li f : X × Y → Z, to argumentami funkcji f s¡ pary

uporz¡dkowane (x, y) ∈ X × Y , za± jej warto±ciami s¡ elementy zbioru Z. W takich przypadkach warto±¢ funkcji f dla argumentu (x, y) oznaczamy przez f (x, y). Mówimy te», »e jest to funkcja

dwuargumentowa. Nale»y przy tym pami¦ta¢, »e kolejno±¢

argumentów funkcji dwuargumentowej jest istotna.

W caªkiem podobny sposób okre±lamy funkcje trójargumentowe, czteroargumentowe, itd. Ogólnie, mówimy, »e f jest funkcj¡

n-argumentow¡ (funkcj¡ n zmiennych), gdy f : Qⁿ

i=1X_i →Y , dla pewnych zbiorów X₁,X₂, . . . ,X_n oraz Y .

Dla dowolnego ustalonego uniwersum U, funkcjami

dwuargumentowymi s¡: {((X , Y ), X ∪ Y ) : X ⊆ U oraz Y ⊆ Y } oraz {((X , Y ), X ∩ Y ) : X ⊆ U oraz Y ⊆ Y }.

Funkcja f : R³ → R okre±lona wzorem: f (x, y, z) =p

x²+y²+z² jest trójargumentowa.

(8)

Denicje Funkcje znane ze szkoªy

B¦dziemy wielokrotnie korzysta¢ w dalszych wykªadach niektórych funkcji, znanych s¡ sªuchaczom ze szkoªy:

Podstawowe dziaªania arytmetyczne: dodawanie, mno»enie, odejmowanie, dzielenie.

Dalsze operacje: pot¦gowanie, pierwiastkowanie, funkcja wykªadnicza, funkcja logarytmiczna.

Funkcje wielomianowe jednej zmiennej. W szczególno±ci: funkcja liniowa oraz funkcja kwadratowa.

Funkcje wymierne. Funkcja homograczna.

Funkcje trygonometryczne: sinus, cosinus, tangens, cotangens.

Warto±¢ bezwzgl¦dna.

Zach¦camy sªuchaczy do przypomnienia sobie denicji wymienionych rodzajów funkcji.

(9)

Rodzaje funkcji

Wygodnie b¦dzie przyj¡¢ oznaczenia:

1 N+: zbiór wszystkich dodatnich liczb naturalnych (czyli N+= N − {0})

2 Z+: zbiór wszystkich dodatnich liczb caªkowitych (co jest tym samym co zbiór N+)

3 Q+: zbiór wszystkich dodatnich liczb wymiernych

4 R+: zbiór wszystkich dodatnich liczb rzeczywistych.

Iniekcje. Funkcja f : X → Y jest iniekcj¡ ze zbioru X w zbiór Y , gdy ró»nym argumentom funkcji f przyporz¡dkowane s¡ ró»ne jej warto±ci. Tak wi¦c, f : X → Y jest iniekcj¡ ze zbioru X w zbiór Y , gdy dla dowolnych x₁∈X oraz x₂ ∈X , je±li x₁ 6=x₂, to f (x₁) 6=f (x₂). Je±li f jest iniekcj¡, to mówimy, »e f jest funkcj¡ ró»nowarto±ciow¡. Je±li f : X → Y jest

ró»nowarto±ciowa, to stosujemy zapisy:

f : X −−→

1−1 Y lub f : X −−→¹⁻¹ Y

(10)

Rodzaje funkcji

Surjekcje. Funkcja f : X → Y jest surjekcj¡ ze zbioru X na zbiór Y , gdy przeciwdziedzin¡ funkcji f jest caªy zbiór Y . Tak wi¦c, f : X → Y jest surjekcj¡ ze zbioru X na zbiór Y , gdy dla ka»dego y ∈ Y istnieje x ∈ X taki, »e f (x) = y.Je±li f : X → Y jest surjekcj¡, to stosujemy zapisy:

f : X −→

na Y lub f : X −→^na Y

Bijekcje. Funkcja f : X → Y jest bijekcj¡ ze zbioru X na zbiór Y (albo: bijekcj¡ mi¦dzy zbiorami X i Y ), gdy f jest jednocze±nie iniekcj¡ z X w Y oraz surjekcj¡ z X na Y . Bijekcje nazywamy funkcjami wzajemnie jednoznacznymi (tak»e: 1 − 1 funkcjami). Je±li f : X → Y jest bijekcj¡, to stosujemy zapisy:

f : X −−→^na

1−1 Y lub f : X −−→¹⁻¹

na Y

(11)

Rodzaje funkcji

Funkcja f (x) = 2x + 3 jest bijekcj¡ z R w R.

Funkcja f (x) = x² jest surjekcj¡ z R na R+. Nie jest ona surjekcj¡ z R na R.

Funkcje sutu i podªogi s¡ surjekcjami z R na Z. Nie s¡ surjekcjami z R na R. Nie s¡ bijekcjami z R na Z.

Bijekcje f : X → X nazywamy równie» (zwªaszcza w przypadku, gdy zbiór X jest sko«czony) permutacjami zbioru X .

(12)

Rodzaje funkcji

Dowoln¡ funkcj¦, której dziedzin¡ jest zbiór {1, 2, 3, . . . , n} dla pewnej n ∈ N+ nazywamy ci¡giem sko«czonym (o dªugo±ci n). Warto±ci takiej funkcji nazywamy wtedy wyrazami tego ci¡gu: jej warto±¢ dla k-tego argumentu nazywamy k-tym wyrazem ci¡gu. Zwykle ci¡gi sko«czone o dªugo±ci n zapisujemy tak samo jak n-tki uporz¡dkowane:

(a1,a2, . . . ,an). Je±li »adne dwa wyrazy ci¡gu nie s¡ identyczne, to ci¡g nazywamy ró»nowarto±ciowym.

Ci¡giem niesko«czonym nazywamy funkcj¦, której dziedzin¡ jest zbiór N+. Ci¡g niesko«czony o n-tym wyrazie równym a_n oznaczamy (a_n)_n∈N₊ (czasem przez: ha_ni_n∈N₊). Cz¦sto pomijamy indeks n ∈ N+, gdy kontekst na to pozwala. Czasem wyrazy ci¡gu indeksujemy elementami zbioru N.

Ci¡gi, których wyrazami s¡ liczby, nazywamy ci¡gami liczbowymi.

Podobnie, ci¡gi, których wyrazami s¡ funkcje, nazywamy ci¡gami funkcyjnymi.

(13)

Rodzaje funkcji

Ci¡g (∅, {1}, {1, 2}, {1, 2, 3}) jest sko«czonym (ró»nowarto±ciowym) ci¡giem zbiorów.

Ci¡g (1, 2, 3, 4, 3, 2, 1) jest sko«czonym ci¡giem liczbowym, który nie jest ró»nowarto±ciowy.

Ci¡g (a_n)_n∈N₊, którego n-tym wyrazem jest a_n= ¹_n jest wa»nym niesko«czonym ci¡giem liczbowym (nazywanym ci¡giem

harmonicznym), który wielokrotnie pojawi si¦ w dalszych wykªadach.

Ci¡g (f_n)_n∈N₊, którego n-tym wyrazem jest funkcja, zdeniowana wzorem fn(x) = ¹_nx jest przykªadem ci¡gu funkcyjnego (dla x ∈ R, powiedzmy).

Ci¡g (p_n)_n∈N₊, którego n-tym wyrazem jest n-ta liczba pierwsza p_n jest niesko«czonym ci¡giem liczbowym.

Rozwini¦cia dziesi¦tne liczb rzeczywistych traktujemy jako ci¡gi:

zerowym elementem jest cz¦±¢ caªkowita liczby rzeczywistej, a kolejne dalsze elementy rozwini¦cia maj¡ posta¢ ₁₀^cⁿn, gdzie n ∈ N+, za± cn

jest liczb¡ naturaln¡ nie wi¦ksz¡ od 10.

(14)

Wizualizacje

Pami¦tamy, »e relacje reprezentowa¢ mo»na przez grafy. Poniewa» ka»da funkcja jest relacj¡, wi¦c równie» funkcje mog¡ by¢ reprezentowane przez grafy. Mo»na równie», w przypadku funkcji o dziedzinie sko«czonej, podawa¢ jej reprezentacj¦ w postaci tabeli: wertykalnie kolumna

argumentów, kolumna odpowiadaj¡cych im warto±ci (albo horyzontalnie wiersz argumentów, wiersz odpowiadaj¡cych im warto±ci). Bardziej rozpowszechniona jest jednak dobrze znana sªuchaczom ze szkoªy reprezentacja graczna funkcji poprzez ich wykresy. Sªuchacze pami¦taj¡

ze szkoªy ukªad wspóªrz¦dnych kartezja«skich na pªaszczy¹nie. Gdy rysujemy wykres funkcji jednej zmiennej rzeczywistej, to argumenty x tej funkcji tworz¡ o± odci¦tych, jej warto±ci f (x) znajduj¡ si¦ na takim wykresie pionowo nad x na takiej wysoko±ci, która odpowiada warto±ci f (x). Rysujemy wi¦c graf relacji {(x, y) ∈ R² :y = f (x)}. Nale»y przy tym pami¦ta¢, »e na osi odci¦tych oraz osi rz¦dnych mo»emy u»ywa¢ ró»nej skali, co cz¦sto znakomicie uªatwia zarówno rysowanie wykresów, jak te»

ich rozpoznawanie. Rozwa»my kilka przykªadów (¹ródªo:

http://pgfplots.sourceforge.net/gallery.html).

(15)

Wizualizacje Funkcja kwadratowa f (x) = x²−x − 4

Skala na osi rz¦dnych taka sama, jak na osi odci¦tych:

−2 −1 1 2

−4

−2 2

x x²−x − 4

(16)

Wizualizacje Funkcja kwadratowa f (x) = x²−x − 4

Inne skale na obu osiach:

−4 −2 2 4

10 20

x x²−x − 4

(17)

Wizualizacje Funkcja wykªadnicza f (x) = 2^x

Skala na osi rz¦dnych taka sama, jak na osi odci¦tych:

−2 −1 1 2

1 2 3 4

x 2^x

(18)

Wizualizacje Funkcja wykªadnicza f (x) = 2^x

Inne skale na obu osiach:

−4 −2 2 4

10 20 30

x 2^x

(19)

Wizualizacje Funkcja wykªadnicza f (x) = (¹₂)^x

−4 −2 2 4

10 20 30

x (¹₂)^x

(20)

Wizualizacje Funkcja trygonometryczna sin(x)

−4 −2 2 4

−1

−0.5 0.5 1

x sin x

(21)

Wizualizacje Narz¦dzia do rysowania wykresów funkcji

Sªuchacze znaj¡ ze szkoªy pewne wykresy funkcji dwóch zmiennych rzeczywistych: sfer¦, paraboloid¦, elipsoid¦, sto»ek, walec, itp.

Przykªadowe prezentacje ukazuj¡ce jak rysowa¢ takie wykresy:

1 https://www.youtube.com/watch?v=Q_NEbzFAdDE

2 https://www.youtube.com/watch?v=L3QEkUEsLbM Narz¦dzia do rysowania wykresów funkcji, np.:

1 https://www.geogebra.org/

2 https://www.medianauka.pl/portal:matematyka

3 http://www.matemaks.pl/index.html

4 http://www.scilab.org/

5 http://fooplot.com/

6 https://rechneronline.de/function-graphs/

7 MATLAB, Mathematica, itp.

(22)

Dalsze wa»ne poj¦cia Zªo»enie funkcji, funkcja odwrotna, obci¦cie funkcji

Obci¦ciem funkcji f : X → Y do zbioru Z ⊆ X nazywamy funkcj¦ f |Z zdeniowan¡ nast¦puj¡co:

f |Z = f ∩ (Z × Y ) = {(x, y) ∈ f : x ∈ Z}

Je±li funkcja g jest obci¦ciem funkcji f do pewnego zbioru, to f nazywamy przedªu»eniem g. Tak wi¦c, f jest przedªu»eniem g, gdy g = f |dom(g).

Zªo»eniem (superpozycj¡) funkcji f oraz g nazywamy funkcj¦ g ◦ f zdeniowan¡ nast¦puj¡co:

g ◦ f = {(x, z) ∈ dom(f ) × rng(g) :

istnieje y taki, »e (x, y) ∈ f oraz (y, z) ∈ g}

Rozpatruj¡c zªo»enie g ◦ f , zwykle zakªada si¦, »e rng(f ) ⊆ dom(g). Tak wi¦c, je±li f jest funkcj¡ z X w Y , za± g jest funkcj¡ z Y w Z, to ich zªo»enie, czyli g ◦ f jest funkcj¡ z X w Z. Je±li nie prowadzi to do nieporozumie«, to warto±¢ zªo»enia funkcji f oraz g dla argumentu x ∈ dom(f ) oznaczamy te» g(f (x)).

Je±li f jest funkcj¡ ró»nowarto±ciow¡, to zbiór {(y, x) : (x, y) ∈ f } równie»

jest funkcj¡, nazywan¡ funkcj¡ odwrotn¡ do funkcji f . Funkcj¦ odwrotn¡

do funkcji f oznaczamy zwykle przez f⁻¹. Tak wi¦c, je±li f jest funkcj¡ z X w Y , to funkcja do niej odwrotna, czyli f⁻¹ jest funkcj¡ z Y w X .

(23)

Dalsze wa»ne poj¦cia Zªo»enie funkcji, funkcja odwrotna, obci¦cie funkcji

Obci¦ciem ci¡gu (3, 5, 7, 9, 2, 2, 4) do zbioru {3, 4, 5} jest ci¡g (7, 9, 2).

Niech f (x) = 2x + 3 dla x ∈ R oraz g(x) = x² dla x ∈ R. Wtedy (g ◦ f )(x) = (2x + 3)², natomiast (f ◦ g)(x) = 2x²+3.

Niech f (x) = x² dla x ∈ R oraz g(x) =√

x dla x > 0. Wtedy (g ◦ f )(x) = |x| dla x ∈ R.

Niech f (x) = x² dla x > 0. Wtedy f⁻¹(x) =√

x dla x > 0.

(24)

Dalsze wa»ne poj¦cia Funkcja charakterystyczna zbioru

Niech X b¦dzie dowolnym podzbiorem ustalonego uniwersum U. Funkcj¡

charakterystyczn¡ zbioru X (w tym uniwersum) nazywamy funkcj¦

χ_X :U → {0, 1}, zdeniowan¡ nast¦puj¡co:

1 Je±li x ∈ X , to χX(x) = 1

2 Je±li x /∈ X , to χ_X(x) = 0.

Funkcja charakterystyczna zbioru jest zatem indykatorem przynale»no±ci elementów uniwersum do tego zbioru.

Funkcja charakterystyczna zbioru wszystkich liczb parzystych w uniwersum N przyjmuje warto±¢ 1 dla ka»dej liczby parzystej, a warto±¢ 0 dla ka»dej liczby nieparzystej.

Rozwa»my funkcj¦ charakterystyczn¡ zbioru Q wszystkich liczb wymiernych w uniwersum R. T¦ funkcj¦ nazywamy funkcj¡ Dirichleta.

Czy potrasz wyobrazi¢ sobie jak wygl¡da jej wykres?

(25)

Dalsze wa»ne poj¦cia Obrazy i przeciwobrazy zbiorów wzgl¦dem funkcji

Niech f : X → Y , A ⊆ dom(f ), B ⊆ rng(f ).

1 Obrazem zbioru A wzgl¦dem funkcji f jest zbiór:

f [A] = {f (x) : x ∈ A}.

2 Przeciwobrazem zbioru B wzgl¦dem funkcji f jest zbiór:

f⁻¹[B] = {x ∈ dom(f ) : f (x) ∈ B}.

Rozwa»my funkcj¦ f (x) = 2x oraz przedziaª otwarty (3, 4). Wtedy f [(3, 4)] = (6, 8). Proponujemy sporz¡dzi¢ wykres. Jakie± reeksje?

|[R − R+]| = R+∪ {0}.

Przeciwobrazem zbioru {1} wzgl¦dem funkcji Dirichleta jest zbiór wszystkich liczb wymiernych Q.

Niech f (x) = x² dla x ∈ R oraz niech B = (1, 2). Wtedy f⁻¹[B] = {x ∈ R : 1 < x²<2}. Wtedy

f⁻¹[(1, 2)] = (−√

2, −1) ∪ (1,√

2). Narysuj wykres rozwa»anej funkcji, zaznacz na nim zbiór B i podaj interpretacj¦ geometryczn¡

zbioru f⁻¹[(1, 2)].

(26)

Dalsze wa»ne poj¦cia Sposoby deniowania funkcji

Opis j¦zykowy. Funkcja mo»e zosta¢ okre±lona przepisem

otrzymywania jej warto±ci dla ustalonych argumentów. Przepis musi gwarantowa¢ istnienie oraz jednoznaczno±¢ warto±ci funkcji. Tak deniujemy np. funkcje podªogi oraz sutu.

Jawny wzór. Funkcja mo»e zosta¢ okre±lona w postaci jawnego wzoru, ustalaj¡cego zale»no±¢ mi¦dzy argumentami a warto±ciami. Np.:

funkcja liniowa, kwadratowa, pot¦gowa, itd. s¡ tak wªa±nie deniowane.

Deniowanie warunkowe. Funkcja mo»e by¢ okre±lona ró»nymi wzorami dla ró»nych fragmentów swojej dziedziny. Np.: warto±¢

bezwzgl¦dna |x| liczby rzeczywistej x: |x| = x dla x > 0, a |x| = −x dla x < 0.

Denicje przez indukcj¦. Funkcja mo»e by¢ okre±lona przez wzory rekurencyjne, okre±laj¡ce jej warto±ci dla wybranego pocz¡tkowego argumentu oraz formuªuj¡ce przepis, jak otrzymywa¢ dalsze warto±ci, gdy obliczone s¡ ju» warto±ci wcze±niejsze. Np.: dodawanie, mno»enie i pot¦gowanie liczb naturalnych, funkcja silnia.

(27)

Dalsze wa»ne poj¦cia atwa rekursja: ci¡g Fibonacciego

Nie±miertelne monogamiczne kazirodcze króliki

Mamy Pierwsz¡ Par¦ królików (samca i samic¦). Chcemy obliczy¢, ile par królików otrzymamy po n miesi¡cach przy zaªo»eniu, »e ka»da para królików rodzi co miesi¡c now¡ par¦ (samca i samic¦), która staje si¦

reproduktywna po miesi¡cu (i natychmiast z tego korzysta).

Nadto, króliki »yj¡ wiecznie, s¡ monogamiczne i kazirodcze (pocz¡wszy od drugiej pary tylko brat z siostr¡ daj¡ potomstwo;

Pierwsza Para te» kontynuuje prokreacj¦), oraz nie ustaj¡ w rozmna»aniu. [Jest równie» wersja ze ±miertelnymi królikami.]

Ci¡g Fibonacciego:

F (0) = 0 F (1) = 1

F (n) = F (n − 1) + F (n − 2) dla n > 2

(28)

Dalsze wa»ne poj¦cia Ci¡g Mosera-Steinhausa

Ci¡g Mosera-Steinhausa

Wprowad¹my oznaczenia (oryginalna symbolika Steinhausa byªa inna):

1 4(n) oznacza nⁿ

2 (n) oznacza iterowanie n razy operacji 4 dla argumentu n

3 F(n) oznacza iterowanie n razy operacji dla argumentu n.

Czy potrasz obliczy¢ F(2)?

1 F(2) = ((2)) = (4(4(2)))

2 4(4(2)) = 4(2²) = 4(4) = 4⁴ =256

3 F(2) = (256) = 4(4 . . . (4(256) . . .)), gdzie operacja 4 wykonywana jest 256 razy.

(29)

Dalsze wa»ne poj¦cia Ci¡g Mosera-Steinhausa

Ci¡g Mosera-Steinhausa

W notacji Steinhausa argumenty byªy umieszczane wewn¡trz wielok¡tów.

Konstrukcj¦: n w m p-k¡tach (p > 3) opisuje funkcja M(n, m, p):

1 M(n, 1, 3) = nⁿ

2 M(n, 1, p + 1) = M(n, n, p)

3 M(n, m + 1, p) = M(M(n, 1, p), m, p).

Liczba F2 (czyli 2 w pi¦ciok¡cie) nazywana jest czasem mega, za± 2 w mega-k¡cie (czyli wielok¡cie o mega bokach) nosi nazw¦ moser. Liczb¦

F10 (czyli 10 w pi¦ciok¡cie) nazywa si¦ megiston:

1 mega=M(2, 1, 5)

2 megiston=M(10, 1, 5)

3 moser=M(2, 1, M(2, 1, 5)).

(30)

Wybrane prawa dotycz¡ce funkcji

Dla dowolnej funkcji f : X → Y : f [A ∪ B] = f [A] ∪ f [B].

f [A ∩ B] ⊆ f [A] ∩ f [B].

f [A] − f [B] ⊆ f [A − B].

Je±li A ⊆ B, to f [A] ⊆ f [B].

f⁻¹[A ∪ B] = f⁻¹[A] ∪ f⁻¹[B].

f⁻¹[A ∩ B] = f⁻¹[A] ∩ f⁻¹[B].

f⁻¹[A − B] = f⁻¹[A] − f⁻¹[B].

Je±li A ⊆ B, to f⁻¹(A) ⊆ f⁻¹(B).

Je±li A ⊆ dom(f ) i B ⊆ rng(f ), to:

A ⊆ f⁻¹[f [A]], f [f⁻¹[B]] = B, f [A] ∩ B = f [A ∩ f⁻¹[B]].

f [A] ∩ B = ∅ wtedy i tylko wtedy, gdy A ∩ f⁻¹[B] = ∅.

f [A] ⊆ B wtedy i tylko wtedy, gdy A ⊆ f⁻¹[B].

(31)

Zbiory sko«czone i niesko«czone

Dysponuj¡c poj¦ciem funkcji, mo»emy poda¢ formaln¡ denicj¦

zbiorów sko«czonych oraz niesko«czonych. Mo»emy obieca¢

sªuchaczom, »e nasza Matematyczna Przygoda Edukacyjna stanie si¦

naprawd¦ frapuj¡ca od momentu, gdy zaczniemy obcowa¢ z Niesko«czono±ci¡.

Mamy wszyscy do±¢ dobre intuicje, je±li chodzi o sko«czone kolekcje przedmiotów, nawet je±li tych przedmiotów jest bardzo du»o.

Nasuwaj¡c¡ si¦ charakterystyk¡ zbiorów sko«czonych jest wyra»enie liczby ich elementów poprzez jak¡± liczb¦ naturaln¡: zbiór X jest sko«czony, gdy ma n elementów, dla pewnej n ∈ N.

Taka charakterystyka zakªada, »e dobrze wiemy czym jest zbiór N.

Zdarza si¦, »e potramy udowodni¢, »e jaki± zbiór jest sko«czony w powy»szym sensie, ale nie potramy okre±li¢ w sposób wyra¹ny dokªadnej liczby jego elementów. Zdarza si¦ i tak, »e potramy wyrazi¢ liczb¦ elementów jakiego± zbioru jako warto±¢ stosownej funkcji liczbowej, ale dokªadne wypisanie tej warto±ci nie jest mo»liwe.

(32)

Zbiory sko«czone i niesko«czone Równoliczno±¢

Mówimy, »e zbiory X i Y s¡ równoliczne, gdy istnieje bijekcja f : X → Y . Zbiór pusty nie jest równoliczny z »adnym zbiorem niepustym.

Zbiór wszystkich liczb parzystych jest równoliczny ze zbiorem

wszystkich liczb naturalnych. Funkcja f (n) = 2n jest bijekcj¡ ze zbioru N na zbiór wszystkich liczb parzystych.

Zbiór {1, 2, 3} nie jest równoliczny ze zbiorem ℘({1, 2, 3}). Za chwil¦

zobaczymy, »e »aden zbiór nie jest równoliczny z rodzin¡ swoich podzbiorów.

Ka»de dwa przedziaªy domkni¦te (dªugo±ci dodatniej) w zbiorze liczb rzeczywistych s¡ równoliczne. Niech a < b oraz c < d. Bijekcj¡

mi¦dzy przedziaªami [a, b] oraz [c, d] jest funkcja okre±lona dla x ∈ [a, b] nast¦puj¡co: f (x) = ⁽d−c)x+bc−ad

b−a .

Przedziaª otwarty (0, 1) jest równoliczny ze zbiorem R+. Równoliczno±¢ t¦ ustala np. bijekcja okre±lona dla x ∈ (0, 1) nast¦puj¡co: f (x) = _1−x^x .

(33)

Zbiory sko«czone i niesko«czone Zbiory niesko«czone w sensie Dedekinda

Denicja Dedekinda. Zbiór jest niesko«czony, gdy jest równoliczny z jakim±

swoim podzbiorem wªa±ciwym. W przeciwnym przypadku jest sko«czony.

Zbiór pusty jest sko«czony w sensie tej denicji.

Zbiór {1, 2, 3} jest sko«czony w sensie tej denicji.

Zbiór N jest niesko«czony w sensie tej denicji, albowiem jest równoliczny ze swoim podzbiorem wªa±ciwym: zbiorem wszystkich liczb parzystych.

Zbiór Z wszystkich liczb caªkowitych jest niesko«czony w sensie tej denicji, albowiem jest równoliczny ze swoim podzbiorem wªa±ciwym N. Stosown¡ bijekcj¦ f : N → Z otrzymujemy np. deniuj¡c:

f (n) = ⁿ₂ dla n parzystych oraz f (n) = −ⁿ⁺¹₂ dla n nieparzystych.

(34)

Zbiory sko«czone i niesko«czone Liczby pierwsze

Zbiór P wszystkich liczb pierwszych nie jest sko«czony.

Udowodnimy to metod¡ nie wprost. Przypu±¢my, »e jest tylko sko«czenie wiele liczb pierwszych (tj. takich liczb n, które maj¡

dokªadnie dwa dzielniki: 1 oraz n): 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17,. . . ,p.

Zatem p jest (rzekomo) najwi¦ksz¡ liczb¡ pierwsz¡. Tworzymy iloczyn:

m = 2 · 3 · 5 · 7 · 11 · 13 · 17 · . . . · p (rzekomo) wszystkich liczb pierwszych.

Liczba m + 1 jest liczb¡ pierwsz¡, poniewa» nie dzieli si¦ bez reszty przez »adn¡ z liczb pierwszych 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17,. . . ,p. Nadto, m + 1 jest wi¦ksza od p.

Otrzymujemy sprzeczno±¢: m + 1 jest liczb¡ pierwsz¡ wi¦ksz¡ od (rzekomo) najwi¦kszej liczby pierwszej p. Zatem, musimy odrzuci¢

przypuszczenie, i» liczb pierwszych jest sko«czenie wiele. W

konsekwencji, liczb pierwszych nie jest sko«czenie wiele. Nie istnieje najwi¦ksza liczba pierwsza.

(35)

Zbiory sko«czone i niesko«czone Twierdzenie Cantora

Czy wszystkie zbiory niesko«czone s¡ równoliczne?

Twierdzenie Cantora. aden zbiór nie jest równoliczny z rodzin¡

wszystkich swoich podzbiorów.

Dowód. Przeprowadzimy dowód nie wprost.

We¹my dowolny zbiór X i przypu±¢my, »e X jest równoliczny z rodzin¡

wszystkich swoich podzbiorów ℘(X ). Oznacza to, i» istnieje bijekcja f ze zbioru X na zbiór ℘(X ). Okre±lmy nast¦puj¡cy element rodziny

℘(X ): X_f = {x ∈ X : x /∈ f (x)}.

Wtedy dla pewnego x_f ∈X musiaªoby by¢: f (x_f) =X_f. St¡d i z denicji zbioru X_f otrzymujemy, i»: x_f ∈X_f wtedy i tylko wtedy, gdy x_f ∈/ X_f, a to jest sprzeczno±¢.

Musimy zatem odrzuci¢ przypuszczenie o istnieniu funkcji f . W konsekwencji, X oraz ℘(X ) nie s¡ równoliczne.

(36)

Konsekwencje twierdzenia Cantora

Jednym z wniosków z tego twierdzenia jest to, »e zbiór N nie jest równoliczny ze swoim zbiorem pot¦gowym ℘(N). Oznacza to, »e nie mo»na ponumerowa¢ w sposób wzajemnie jednoznaczny liczbami naturalnymi wszystkich zbiorów liczb naturalnych.

Innym wnioskiem jest oczywi±cie to, »e je±li utworzymy niesko«czony ci¡g zbiorów niesko«czonych:

(N, ℘(N), ℘(℘(N)), ℘(℘(℘(N))), . . .), to »adne dwa wyrazy tego ci¡gu nie b¦d¡ równoliczne.

Metoda u»yta w dowodzie twierdzenia Cantora nazywa si¦ metod¡

przek¡tniow¡. Wykorzystamy j¡ teraz do pokazania, »e nie mo»na ponumerowa¢ w sposób wzajemnie jednoznaczny liczbami naturalnymi wszystkich gaª¦zi peªnego drzewa dwójkowego.

(37)

Peªne drzewo dwójkowe

•

HH HH HH H

•₀

HH HH

•₀₀

HH

•₀₀₀ ...

•₀₀₁ ...

•₀₁

HH

•₀₁₀ ...

•₀₁₁ ...

•₁

H HH H

•₁₀

HH

•₁₀₀ ...

•₁₀₁ ...

•₁₁

HH

•₁₁₀ ...

•₁₁₁ ...

Ka»dy z kolejnych wierzchoªków ma dwóch bezpo±rednich potomków. Wierzchoªki (oprócz korzenia) kodujemy ci¡gami zer i jedynek. Je±li jaki± wierzchoªek ma kod s, to jego bezpo±rednimi potomkami s¡ wierzchoªki o kodach: s0 oraz s1. Gaª¦zi¡

nazwiemy ka»dy niesko«czony ci¡g zªo»ony z zer i jedynek. Czy mo»liwe jest ponumerowanie (liczbami naturalnymi: 0, 1, 2, 3, 4, 5,. . . ) wszystkich gaª¦zi?

(38)

Metoda przek¡tniowa

Przypu±¢my, »e mo»na ponumerowa¢ wszystkie gaª¦zie liczbami naturalnymi (ka»da a^j_i jest zerem lub jedynk¡):

g₁ =a¹₁a²₁a³₁. . . g2 =a¹₂a²₂a³₂. . . g₃ =a¹₃a²₃a³₃. . . . . .

Rozwa»my ci¡g G = b₁b₂b₃. . ., gdzie:

je±li a_nⁿ=0, to bn=1 je±li a_nⁿ=1, to bn=0.

Wtedy ci¡g G ró»ni si¦ od ka»dego z ci¡gów gn (co najmniej na n-tym miejscu). Tak wi¦c, jakkolwiek chcieliby±my ponumerowa¢ wszystkie gaª¦zie peªnego drzewa dwójkowego liczbami naturalnymi, to zawsze pozostan¡ gaª¦zie, dla których numerów nie starczy.

(39)

Zbiory sko«czone i niesko«czone Zbiory przeliczalne i nieprzeliczalne

Zbiory, które s¡ równoliczne ze zbiorem N wszystkich liczb naturalnych nazywamy przeliczalnymi (czasem: przeliczalnie niesko«czonymi). Je±li zbiór jest sko«czony lub przeliczalny, to mawia si¦, »e jest co najwy»ej przeliczalny. Je±li zbiór X jest niesko«czony, ale nie jest przeliczalny, to mówimy, »e jest nieprzeliczalny. Je±li zbiór X jest równoliczny ze zbiorem

℘(N), to mówimy, »e jest on zbiorem mocy kontinuum.

Zbiór wszystkich liczb parzystych jest przeliczalny. Funkcja f (n) = 2n jest bijekcj¡ ze zbioru N na zbiór wszystkich liczb parzystych.

Zbiór wszystkich liczb wymiernych jest przeliczalny. Ka»d¡ liczb¦

wymiern¡ rozumie¢ mo»emy jako par¦ liczb caªkowitych: licznik oraz mianownik uªamka (przy zastrze»eniu, »e mianownik nie jest zerem).

Jedna z bijekcji mi¦dzy zbiorami Q+ oraz N jest wyznaczona przez funkcj¦ pary Cantora: f (m, n) = ⁽m+n)(m+n+1)

2 +m.

Zbiór R wszystkich liczb rzeczywistych jest nieprzeliczalny. Jest zbiorem mocy kontinuum.

(40)

Zach¦ta do reeksji

My±l przekornie!

Czy ka»da funkcja ma jaki± opis j¦zykowy?

Czy mo»na sporz¡dzi¢ wykres dowolnej funkcji?

Co to znaczy, »e jedna funkcja ro±nie szybciej od drugiej?

Czy argumentami funkcji mog¡ by¢ funkcje?

Czy warto±ciami funkcji mog¡ by¢ funkcje?

Ze szkoªy znasz funkcj¦ silnia, zdeniowan¡ dla liczb naturalnych. Czy istnieje podobna do niej funkcja dla liczb rzeczywistych?

Przypu±¢my, »e Wszech±wiat jest sko«czony. Jaki jest wtedy sens mówienia o zbiorach niesko«czonych?

(41)

Podsumowanie

Co musisz ZZZ (Zapami¦ta¢-Ze-Zrozumieniem)

Denicja funkcji, argument i warto±¢ funkcji, jej dziedzina i

przeciwdziedzina, obrazy i przeciwobrazy zbiorów wzgl¦dem funkcji.

Iniekcje, surjekcje, bijekcje.

Zªo»enie funkcji, funkcja odwrotna, obci¦cie funkcji, funkcja charakterystyczna zbioru.

Wykres funkcji (zmiennej rzeczywistej).

Równoliczno±¢ zbiorów.

Zbiory niesko«czone (w sensie Dedekinda).

Twierdzenie Cantora.

Zbiory przeliczalne i nieprzeliczalne.

Zbiory mocy kontinuum.