Matematyczne podstawy mechaniki kwantowej (c.d.)

(1)

Matematyczne podstawy mechaniki kwantowej (c.d.)

Wykład 5

Karol Kołodziej Instytut Fizyki Uniwersytet Śląski, Katowice

http://kk.us.edu.pl

Karol Kołodziej Matematyczne podstawy mechaniki kwantowej 1/33

(2)

Operatory i funkcjonały liniowe

Niech X i Y będą przestrzeniami wektorowymi nad ciałem K liczb rzeczywistych lub zespolonych.

Odwzorowanie A : X → Y nazywamyoperatorem liniowym, jeśli

A (a₁x₁+ a₂x₂) = a₁A (x₁) + a₂A (x₂) , dla dowolnych x₁, x₂ ∈ X i a₁, a₂ ∈ K.

Jeżeli Y = K, to operator liniowy A : X → K nazywamy funkcjonałem liniowym.

(3)

Operatory i funkcjonały liniowe

Odwzorowanie A : X → Y nazywamyoperatorem liniowym, jeśli A (a₁x₁+ a₂x₂) = a₁A (x₁) + a₂A (x₂) ,

dla dowolnych x₁, x₂∈ X i a₁, a₂ ∈ K.

(4)

Operatory i funkcjonały liniowe

(5)

Operatory i funkcjonały liniowe

(6)

Operatory i funkcjonały liniowe

Przykłady. Operator różniczkowy jest operatorem liniowym odwzorowującym przestrzeń wektorową funkcji rzeczywistych różniczkowalnych określonych na przedziale [a, b] ⊂ R w przestrzeń funkcji rzeczywistych na tym przedziale.Dla f , g : [a, b] → R, α, β ∈ R mamy

d

dx (αf (x ) + βg (x )) = α df (x )

dx + β dg (x ) dx . Operator całkowy

b

R

a

f (x )dx jest funkcjonałem liniowym Zb

a

(αf (x ) + βg (x )) dx = α Zb

a

f (x )dx + β Zb

a

g (x )dx .

(7)

Operatory i funkcjonały liniowe

Przykłady. Operator różniczkowy jest operatorem liniowym odwzorowującym przestrzeń wektorową funkcji rzeczywistych różniczkowalnych określonych na przedziale [a, b] ⊂ R w przestrzeń funkcji rzeczywistych na tym przedziale. Dla f , g : [a, b] → R, α, β ∈ R mamy

d

dx (αf (x ) + βg (x )) =

α df (x )

b

R

a

(αf (x ) + βg (x )) dx = α Zb

a

f (x )dx + β Zb

a

g (x )dx .

(8)

Operatory i funkcjonały liniowe

d

dx (αf (x ) + βg (x )) =α df (x )

dx + β dg (x ) dx .

Operator całkowy

b

R

a

(αf (x ) + βg (x )) dx = α Zb

a

f (x )dx + β Zb

a

g (x )dx .

(9)

Operatory i funkcjonały liniowe

d

dx (αf (x ) + βg (x )) = α df (x )

b

R

a

f (x )dx jest funkcjonałem liniowym

Zb

a

(αf (x ) + βg (x )) dx = α Zb

a

f (x )dx + β Zb

a

g (x )dx .

(10)

Operatory i funkcjonały liniowe

d

dx (αf (x ) + βg (x )) = α df (x )

b

R

a

b

Z

a

(αf (x ) + βg (x )) dx =

α Zb

a

f (x )dx + β Zb

a

g (x )dx .

(11)

Operatory i funkcjonały liniowe

d

dx (αf (x ) + βg (x )) = α df (x )

b

R

a

b

Z

a

(αf (x ) + βg (x )) dx =α

b

Z

a

f (x )dx + β

b

Z

a

g (x )dx .

(12)

Operatory i funkcjonały liniowe

d

dx (αf (x ) + βg (x )) = α df (x )

b

R

a

b

Z

a

(αf (x ) + βg (x )) dx = α

b

Z

a

f (x )dx + β

b

Z

a

g (x )dx .

(13)

Operatory i funkcjonały liniowe

Każdy operator liniowy A : Kⁿ→ K^m, gdzie K jest ciałem liczb rzeczywistych lub zespolonych, jest postaciy = Ax ,gdzie

y1 = a11x1 + a12x2 + · · · + a1nxn, y₂ = a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + · · · + a_2nx_n, . . . . ym = am1x1+ am2x2+ · · · + amnxn,

przy czym x = (x₁, x₂, . . . , x_n), y = (y₁, y₂, . . . , y_m), a_ij ∈ K.

Powyższy układ równań możemy zapisać w formie yi =

n

X

j =1

aijxj, i = 1, 2, . . . , m.

(14)

Operatory i funkcjonały liniowe

Każdy operator liniowy A : Kⁿ→ K^m, gdzie K jest ciałem liczb rzeczywistych lub zespolonych, jest postaciy = Ax ,gdzie

y1 = a11x1 + a12x2 + · · · + a1nxn, y₂ = a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + · · · + a_2nx_n, . . . . ym = am1x1+ am2x2+ · · · + amnxn,

przy czym x = (x₁, x₂, . . . , x_n), y = (y₁, y₂, . . . , y_m), a_ij ∈ K.

Powyższy układ równań możemy zapisać w formie yi =

n

X

j =1

aijxj, i = 1, 2, . . . , m.

(15)

Operatory i funkcjonały liniowe

Rzeczywiście, wybierzmy bazę w Kⁿ

e1= (1, 0, ..., 0), e2 = (0, 1, ..., 0), ..., en= (0, 0, ..., 1) i bazę w K^m

e₁⁰ = (1, 0, ..., 0), e₂⁰ = (0, 1, ..., 0), ..., e_m⁰ = (0, 0, ..., 1).

y =

m

X

i =1

yie_i⁰ = Ax = A





n

X

j =1

xjej



=

n

X

j =1

xjA (ej)

=

n

X

j =1

xj m

X

i =1

aije_i⁰ =

m

X

i =1 n

X

j =1

aijxje_i⁰ ⇒ yi =

n

X

j =1

aijxj,

dla i = 1, 2, . . . , m.

(16)

Operatory i funkcjonały liniowe

e1= (1, 0, ..., 0), e2 = (0, 1, ..., 0), ..., en= (0, 0, ..., 1) i bazę w K^m

e₁⁰ = (1, 0, ..., 0), e₂⁰ = (0, 1, ..., 0), ..., e_m⁰ = (0, 0, ..., 1).

y =

m

X

i =1

yie_i⁰ = Ax = A





n

X

j =1

xjej



=

n

X

j =1

xjA (ej)

=

n

X

j =1

xj m

X

i =1

aije_i⁰ =

m

X

i =1 n

X

j =1

n

X

j =1

aijxj,

dla i = 1, 2, . . . , m.

(17)

Operatory i funkcjonały liniowe

e1= (1, 0, ..., 0), e2 = (0, 1, ..., 0), ..., en= (0, 0, ..., 1) i bazę w K^m

e₁⁰ = (1, 0, ..., 0), e₂⁰ = (0, 1, ..., 0), ..., e_m⁰ = (0, 0, ..., 1).

y =

m

X

i =1

y_ie_i⁰ =

Ax = A





n

X

j =1

xjej



=

n

X

j =1

xjA (ej)

=

n

X

j =1

xj m

X

i =1

aije_i⁰ =

m

X

i =1 n

X

j =1

n

X

j =1

aijxj,

dla i = 1, 2, . . . , m.

(18)

Operatory i funkcjonały liniowe

e1= (1, 0, ..., 0), e2 = (0, 1, ..., 0), ..., en= (0, 0, ..., 1) i bazę w K^m

e₁⁰ = (1, 0, ..., 0), e₂⁰ = (0, 1, ..., 0), ..., e_m⁰ = (0, 0, ..., 1).

y =

m

X

i =1

y_ie_i⁰ =Ax =

A





n

X

j =1

xjej



=

n

X

j =1

xjA (ej)

=

n

X

j =1

xj m

X

i =1

aije_i⁰ =

m

X

i =1 n

X

j =1

n

X

j =1

aijxj,

dla i = 1, 2, . . . , m.

(19)

Operatory i funkcjonały liniowe

e1= (1, 0, ..., 0), e2 = (0, 1, ..., 0), ..., en= (0, 0, ..., 1) i bazę w K^m

e₁⁰ = (1, 0, ..., 0), e₂⁰ = (0, 1, ..., 0), ..., e_m⁰ = (0, 0, ..., 1).

y =

m

X

i =1

y_ie_i⁰ = Ax =A





n

X

j =1

x_je_j



=

n

X

j =1

xjA (ej)

=

n

X

j =1

xj m

X

i =1

aije_i⁰ =

m

X

i =1 n

X

j =1

n

X

j =1

aijxj,

dla i = 1, 2, . . . , m.

(20)

Operatory i funkcjonały liniowe

e1= (1, 0, ..., 0), e2 = (0, 1, ..., 0), ..., en= (0, 0, ..., 1) i bazę w K^m

e₁⁰ = (1, 0, ..., 0), e₂⁰ = (0, 1, ..., 0), ..., e_m⁰ = (0, 0, ..., 1).

y =

m

X

i =1

y_ie_i⁰ = Ax = A





n

X

j =1

x_je_j



=

n

X

j =1

x_jA (e_j)

=

n

X

j =1

xj m

X

i =1

aije_i⁰ =

m

X

i =1 n

X

j =1

n

X

j =1

aijxj,

dla i = 1, 2, . . . , m.

(21)

Operatory i funkcjonały liniowe

e1= (1, 0, ..., 0), e2 = (0, 1, ..., 0), ..., en= (0, 0, ..., 1) i bazę w K^m

e₁⁰ = (1, 0, ..., 0), e₂⁰ = (0, 1, ..., 0), ..., e_m⁰ = (0, 0, ..., 1).

y =

m

X

i =1

y_ie_i⁰ = Ax = A





n

X

j =1

x_je_j



=

n

X

j =1

x_jA (e_j)

=

n

X

j =1

xj m

X

i =1

aije_i⁰ =

m

X

i =1 n

X

j =1

n

X

j =1

aijxj,

dla i = 1, 2, . . . , m.

(22)

Operatory i funkcjonały liniowe

e1= (1, 0, ..., 0), e2 = (0, 1, ..., 0), ..., en= (0, 0, ..., 1) i bazę w K^m

e₁⁰ = (1, 0, ..., 0), e₂⁰ = (0, 1, ..., 0), ..., e_m⁰ = (0, 0, ..., 1).

y =

m

X

i =1

y_ie_i⁰ = Ax = A





n

X

j =1

x_je_j



=

n

X

j =1

x_jA (e_j)

=

n

X

j =1

xj m

X

i =1

aije_i⁰ =

m

X

i =1 n

X

j =1

n

X

j =1

aijxj,

dla i = 1, 2, . . . , m.

(23)

Operatory i funkcjonały liniowe

e1= (1, 0, ..., 0), e2 = (0, 1, ..., 0), ..., en= (0, 0, ..., 1) i bazę w K^m

e₁⁰ = (1, 0, ..., 0), e₂⁰ = (0, 1, ..., 0), ..., e_m⁰ = (0, 0, ..., 1).

y =

m

X

i =1

y_ie_i⁰ = Ax = A





n

X

j =1

x_je_j



=

n

X

j =1

x_jA (e_j)

=

n

X

j =1

xj m

X

i =1

aije_i⁰ =

m

X

i =1 n

X

j =1

aijxje_i⁰

⇒ yi =

n

X

j =1

aijxj,

dla i = 1, 2, . . . , m.

(24)

Operatory i funkcjonały liniowe

e1= (1, 0, ..., 0), e2 = (0, 1, ..., 0), ..., en= (0, 0, ..., 1) i bazę w K^m

e₁⁰ = (1, 0, ..., 0), e₂⁰ = (0, 1, ..., 0), ..., e_m⁰ = (0, 0, ..., 1).

y =

m

X

i =1

y_ie_i⁰ = Ax = A





n

X

j =1

x_je_j



=

n

X

j =1

x_jA (e_j)

=

n

X

j =1

xj m

X

i =1

aije_i⁰ =

m

X

i =1 n

X

j =1

n

X

j =1

aijxj,

dla i = 1, 2, . . . , m.

(25)

Operatory i funkcjonały liniowe

e1= (1, 0, ..., 0), e2 = (0, 1, ..., 0), ..., en= (0, 0, ..., 1) i bazę w K^m

e₁⁰ = (1, 0, ..., 0), e₂⁰ = (0, 1, ..., 0), ..., e_m⁰ = (0, 0, ..., 1).

y =

m

X

i =1

y_ie_i⁰ = Ax = A





n

X

j =1

x_je_j



=

n

X

j =1

x_jA (e_j)

=

n

X

j =1

xj m

X

i =1

aije_i⁰ =

m

X

i =1 n

X

j =1

n

X

j =1

aijxj,

dla i = 1, 2, . . . , m.

(26)

Operatory i funkcjonały liniowe

e1= (1, 0, ..., 0), e2 = (0, 1, ..., 0), ..., en= (0, 0, ..., 1) i bazę w K^m

e₁⁰ = (1, 0, ..., 0), e₂⁰ = (0, 1, ..., 0), ..., e_m⁰ = (0, 0, ..., 1).

y =

m

X

i =1

y_ie_i⁰ = Ax = A





n

X

j =1

x_je_j



=

n

X

j =1

x_jA (e_j)

=

n

X

j =1

xj m

X

i =1

aije_i⁰ =

m

X

i =1 n

X

j =1

n

X

j =1

aijxj,

dla i = 1, 2, . . . , m.

(27)

Operatory i funkcjonały liniowe

Widzimy, żeoperatory liniowe możemy reprezentować poprzez macierze– skończenie lub nieskończenie wymiarowe.

W rozpatrywanym przykładzie macierz operatora A : Kⁿ→ K^m ma postać

A =







a₁₁ a₁₂ · · · a_1n a21 a22 · · · a_2n . . . . a_m1 a_m2 · · · a_mn





,

gdzie aij ∈ K.

(28)

Operatory i funkcjonały liniowe

Widzimy, żeoperatory liniowe możemy reprezentować poprzez macierze– skończenie lub nieskończenie wymiarowe.

W rozpatrywanym przykładzie macierz operatora A : Kⁿ→ K^m ma postać

A =







a₁₁ a₁₂ · · · a_1n a21 a22 · · · a_2n . . . . a_m1 a_m2 · · · a_mn





,

gdzie aij ∈ K.

(29)

Działania na operatorach

Niech A, B będą operatorami liniowymi w przestrzeni Hilberta X (K).Dla każdego x ∈ X (K) definiujemy:

iloczyn cAoperatora A przez liczbę c ∈ K (cA)x ≡ c(Ax ), sumę A + B operatorów A i B

(A + B)x ≡ Ax + Bx , iloczyn AB operatorów A i B

(AB)x ≡ A(Bx ), który rozumiemy jako złożenie operatorów.

(30)

Działania na operatorach

Niech A, B będą operatorami liniowymi w przestrzeni Hilberta X (K). Dla każdego x ∈ X (K) definiujemy:

iloczyn cAoperatora A przez liczbę c ∈ K (cA)x ≡ c(Ax ),

sumę A + B operatorów A i B

(31)

Działania na operatorach

(A + B)x ≡ Ax + Bx ,

iloczyn AB operatorów A i B

(32)

Działania na operatorach

(33)

Działania na operatorach

(34)

Komutator

Ponieważ złożenie operatorów jest na ogół nieprzemienne, to definiujemykomutator [A, B]operatorów A i B

[A, B] ≡ AB − BA.

Zadanie. Niech A, B, C będą operatorami liniowymi w przestrzeni Hilberta X (K), a a, b, c ∈ K stałymi współczynnikami. Pokazać że komutator spełnia następujące własności:

i) Liniowość ze względu na pierwszy argument: [aA + bB, C ] = a[A, C ] + b[B, C ]

ii) Antysymetria: [A, B] = −[B, A] iii) [c, A] = [A, c] = 0.

(35)

Komutator

[A, B] ≡ AB − BA.

Zadanie. Niech A, B, C będą operatorami liniowymi w przestrzeni Hilberta X (K), a a, b, c ∈ K stałymi współczynnikami.

Pokazać że komutator spełnia następujące własności:

(36)

Komutator

[A, B] ≡ AB − BA.

Zadanie. Niech A, B, C będą operatorami liniowymi w przestrzeni Hilberta X (K), a a, b, c ∈ K stałymi współczynnikami.Pokazać że komutator spełnia następujące własności:

(37)

Komutator

[A, B] ≡ AB − BA.

i) Liniowość ze względu na pierwszy argument:

[aA + bB, C ] = a[A, C ] + b[B, C ]

(38)

Komutator

[A, B] ≡ AB − BA.

[aA + bB, C ] = a[A, C ] + b[B, C ] ii) Antysymetria:

[A, B] = −[B, A]

iii) [c, A] = [A, c] = 0.

(39)

Komutator

[A, B] ≡ AB − BA.

[A, B] = −[B, A]

iii) [c, A] = [A, c] = 0.

(40)

Komutator

[A, B] ≡ AB − BA.

[A, B] = −[B, A]

iii) [c, A] = [A, c] = 0.

(41)

Komutator

iv) [AB, C ] = A[B, C ] + [A, C ]B v) Tożsamość Jacobiego:

[A, [B, C ]] + [B, [C , A]] + [C , [A, B]] = 0.

i’) Liniowość ze względu na drugi argument: [A, bB + cC ] = b[A, B] + c[A, C ].

iv’) [A, BC ] = B[A, C ] + [A, B]C .

Jako przykład rozważmy komutatory operatorów położeniax_i, i = 1, 2, 3i pędu cząstki

pj = −i ~∂

∂x_j, j = 1, 2, 3

(42)

Komutator

[A, [B, C ]] + [B, [C , A]] + [C , [A, B]] = 0.

i’) Liniowość ze względu na drugi argument:

[A, bB + cC ] = b[A, B] + c[A, C ].

iv’) [A, BC ] = B[A, C ] + [A, B]C .

pj = −i ~∂

∂x_j, j = 1, 2, 3

(43)

Komutator

[A, [B, C ]] + [B, [C , A]] + [C , [A, B]] = 0.

[A, bB + cC ] = b[A, B] + c[A, C ].

iv’) [A, BC ] = B[A, C ] + [A, B]C .

pj = −i ~∂

∂x_j, j = 1, 2, 3

(44)

Komutator

[A, [B, C ]] + [B, [C , A]] + [C , [A, B]] = 0.

[A, bB + cC ] = b[A, B] + c[A, C ].

iv’) [A, BC ] = B[A, C ] + [A, B]C .

Jako przykład rozważmy komutatory operatorów położeniaxi, i = 1, 2, 3i pędu cząstki

pj = −i ~∂

∂x_j, j = 1, 2, 3

(45)

Komutator

[A, [B, C ]] + [B, [C , A]] + [C , [A, B]] = 0.

[A, bB + cC ] = b[A, B] + c[A, C ].

iv’) [A, BC ] = B[A, C ] + [A, B]C .

Jako przykład rozważmy komutatory operatorów położeniaxi, i = 1, 2, 3i pędu cząstki

pj = −i ~∂

∂x_j, j = 1, 2, 3

(46)

Komutator

w przestrzeni Hilberta X funkcji całkowalnych z kwadratem modułu.Dla dowolnej funkcji ψ ∈ X zachodzi

[x_i, p_j]ψ =

"

x_i, −i ~ ∂

∂xj

#

ψ = − i ~

" x_i, ∂

∂xj

# ψ

= − i ~ x_i∂ψ

∂x_j −∂(x_iψ)

∂x_j

!

= −i ~ x_i∂ψ

∂x_j −∂x_i

∂x_jψ − x_i∂ψ

∂x_j

!

= i ~δijψ;

[xi, xj]ψ = (xixj − x_jxi) ψ =0; [p_i, p_j]ψ =

"

−i ~ ∂

∂x_i, −i ~ ∂

∂x_j

#

ψ = − ~² ∂

∂x_i

∂ψ

∂x_j − ∂

∂x_j

∂ψ

∂x_i

!

= − ~² ∂²ψ

∂x_i∂x_j − ∂²ψ

∂x_j∂x_i

!

=0,

(47)

Komutator

w przestrzeni Hilberta X funkcji całkowalnych z kwadratem modułu. Dla dowolnej funkcji ψ ∈ X zachodzi

[x_i, p_j]ψ

=

"

x_i, −i ~ ∂

∂xj

#

ψ = − i ~

" x_i, ∂

∂xj

# ψ

= − i ~ x_i∂ψ

∂x_j −∂(x_iψ)

∂x_j

!

= −i ~ x_i∂ψ

∂x_j −∂x_i

∂x_j

!

= i ~δijψ;

"

−i ~ ∂

∂x_i, −i ~ ∂

∂x_j

#

ψ = − ~² ∂

∂x_i

∂ψ

∂x_j − ∂

∂x_j

∂ψ

∂x_i

!

= − ~² ∂²ψ

∂x_i∂x_j − ∂²ψ

∂x_j∂x_i

!

=0,

(48)

Komutator

[x_i, p_j]ψ =

"

x_i, −i ~ ∂

∂xj

#

ψ = − i ~

" x_i, ∂

∂xj

# ψ

= − i ~ x_i∂ψ

∂x_j −∂(x_iψ)

∂x_j

!

= −i ~ x_i∂ψ

∂x_j −∂x_i

∂x_j

!

= i ~δijψ;

"

−i ~ ∂

∂x_i, −i ~ ∂

∂x_j

#

ψ = − ~² ∂

∂x_i

∂ψ

∂x_j − ∂

∂x_j

∂ψ

∂x_i

!

= − ~² ∂²ψ

∂x_i∂x_j − ∂²ψ

∂x_j∂x_i

!

=0,

(49)

Komutator

[x_i, p_j]ψ =

"

x_i, −i ~ ∂

∂xj

# ψ =

− i ~

" x_i, ∂

∂xj

# ψ

= − i ~ x_i∂ψ

∂x_j −∂(x_iψ)

∂x_j

!

= −i ~ x_i∂ψ

∂x_j −∂x_i

∂x_j

!

= i ~δijψ;

"

−i ~ ∂

∂x_i, −i ~ ∂

∂x_j

#

ψ = − ~² ∂

∂x_i

∂ψ

∂x_j − ∂

∂x_j

∂ψ

∂x_i

!

= − ~² ∂²ψ

∂x_i∂x_j − ∂²ψ

∂x_j∂x_i

!

=0,

(50)

Komutator

[x_i, p_j]ψ =

"

x_i, −i ~ ∂

∂xj

#

ψ = − i ~

"

x_i, ∂

∂xj

# ψ

= − i ~ x_i∂ψ

∂x_j −∂(x_iψ)

∂x_j

!

= −i ~ x_i∂ψ

∂x_j −∂x_i

∂x_j

!

= i ~δijψ;

"

−i ~ ∂

∂x_i, −i ~ ∂

∂x_j

#

ψ = − ~² ∂

∂x_i

∂ψ

∂x_j − ∂

∂x_j

∂ψ

∂x_i

!

= − ~² ∂²ψ

∂x_i∂x_j − ∂²ψ

∂x_j∂x_i

!

=0,

(51)

Komutator

[x_i, p_j]ψ =

"

x_i, −i ~ ∂

∂xj

#

ψ = − i ~

"

x_i, ∂

∂xj

# ψ

=

− i ~ x_i∂ψ

∂x_j −∂(x_iψ)

∂x_j

!

= −i ~ x_i∂ψ

∂x_j −∂x_i

∂x_j

!

= i ~δijψ;

"

−i ~ ∂

∂x_i, −i ~ ∂

∂x_j

#

ψ = − ~² ∂

∂x_i

∂ψ

∂x_j − ∂

∂x_j

∂ψ

∂x_i

!

= − ~² ∂²ψ

∂x_i∂x_j − ∂²ψ

∂x_j∂x_i

!

=0,

(52)

Komutator

[x_i, p_j]ψ =

"

x_i, −i ~ ∂

∂xj

#

ψ = − i ~

"

x_i, ∂

∂xj

# ψ

= − i ~ x_i∂ψ

∂x_j −∂(x_iψ)

∂x_j

!

= −i ~ x_i∂ψ

∂x_j −∂x_i

∂x_j

!

= i ~δijψ;

"

−i ~ ∂

∂x_i, −i ~ ∂

∂x_j

#

ψ = − ~² ∂

∂x_i

∂ψ

∂x_j − ∂

∂x_j

∂ψ

∂x_i

!

= − ~² ∂²ψ

∂x_i∂x_j − ∂²ψ

∂x_j∂x_i

!

=0,

(53)

Komutator

[x_i, p_j]ψ =

"

x_i, −i ~ ∂

∂xj

#

ψ = − i ~

"

x_i, ∂

∂xj

# ψ

= − i ~ x_i∂ψ

∂x_j −∂(x_iψ)

∂x_j

!

= −i ~ x_i∂ψ

∂x_j −∂x_i

∂x_j

!

= i ~δijψ;

"

−i ~ ∂

∂x_i, −i ~ ∂

∂x_j

#

ψ = − ~² ∂

∂x_i

∂ψ

∂x_j − ∂

∂x_j

∂ψ

∂x_i

!

= − ~² ∂²ψ

∂x_i∂x_j − ∂²ψ

∂x_j∂x_i

!

=0,

(54)

Komutator

[x_i, p_j]ψ =

"

x_i, −i ~ ∂

∂xj

#

ψ = − i ~

"

x_i, ∂

∂xj

# ψ

= − i ~ x_i∂ψ

∂x_j −∂(x_iψ)

∂x_j

!

= −i ~ x_i∂ψ

∂x_j −∂x_i

∂x_j

!

=

i ~δijψ;

"

−i ~ ∂

∂x_i, −i ~ ∂

∂x_j

#

ψ = − ~² ∂

∂x_i

∂ψ

∂x_j − ∂

∂x_j

∂ψ

∂x_i

!

= − ~² ∂²ψ

∂x_i∂x_j − ∂²ψ

∂x_j∂x_i

!

=0,