Założenia problematyki nieskończoności wszechświata w kosmologii Robertsona-Walkera.

R O C Z N I K I F I L O Z O F I C Z N E T om X X X V 1 1- X X X V I1 I, Łestyt 3 - 1989-1990

JÓ Z E F T U R E K

Z A Ł O Ż E N IA P R O B LE M A T Y K I N IE S K O Ń C ZO N O Ś C I W SZE C H ŚW IA T A W K O S M O L O G II R O B E R T SO N A -W A LK ERA

1. WPROWADZENIE

Zagadnienie nieskończoności Wszechświata posiada swo­

ją wielowiekową historię i należy do tych zagadnień, które na przestrzeni wieków jawią się jako ciągle aktualne i wciąż interesujące człowieka1 . Jest to bowiem zagadnienie nie tyl­

ko samo w sobie bardzo ciekawe, ale również w przekonaniu ' wielu filozofów posiadające pewien wydźwięk światopoglądowy.

Człowiek w swych dążeniach poznawczych pragnie zrozumieć 1 wy­

jaśnić otaczający go świat, pragnie określić swoje miejsce w tym świecie 1 dlatego wcześniej czy później staje przed py- tanlem o czasowe i przestrzenne rozmiary Wszechświatami •J

Odpowiedzi na to pytanie starała się w przeszłości udzielać głównie filozofia, ale jak wiadomo bez większych w tym względzie osiągnięć^. Stąd też powstanie kosmologii relatywistycznej, wykorzystującej einsteinowską teorię gra­

witacji do opisu wielkoakalowych struktur Wszechświata, obu­

dziło nadzieje, jeśli nie na całkowite rozwiązanie problemu, to przynajmniej na jego nowe naświetlenie^. Kosmologia sta­

ła się tym samym główną areną dyskusji nad problematyką nie­

skończoności Wszechświata, wysuwając w tym względzie swoje własne propozycje sięgające nawet możliwości empirycznego rozstrzygania omawianej kwestii. Pociągnęło to za sobą zna­

czny wzrost zainteresowań wysuwanymi rozwiązaniami i to za­

równo od strony przedmiotowej, jak i metaprzedmiotowej. Za­

częto nie tylko uściślać i rozwijać poczynione wcześniej roz­

ważania, ale również coraz głębiej analizować ich podstawy

logiczno-metodologicznef Zaczęto pytać o założenia tkwiące'

u podstaw proponowanych rozwiązań, zwłaszcza o te, które

w bardziej bezpośredni sposób zdają się wpływać na takie

a nie inne rozwiązania.

Do tych właśnie metaprzedmiotowych analiz problematy­

ki nieskończoności Wszechświata pragnie nawiązać niniejszy artykuł, stawiając sobie za cel nie tyle prezentację samej koncepcji nieskończoności Wszechświata wysuwanej w ramach tzw. kosmologii Robertsona-Walkera, co raczej przeanalizo­

wanie założeń tkwiących u podstaw tej koncepcji. Ogranicze­

nie rozważań do kosmologii Robertsona-Walkera, a więc do tych relatywistycznych modeli Wszechświata, których czasoprzes­

trzeń jest opisywana metryką Robertsona-Walkera^, wydaje się być uzasadnione kilkoma racjami. Przede wszystkim kosmologia ta jest w stanie zaproponować w miarę całościowe, a przy tym nie zrywające radykalnie z dotychczasowym , podejście do pro­ O blematyki nieskończoności Wszechświata, wskazując ponadto na możliwości empirycznego testowania w tym względzie. Z drugiej zaś strony, mimo tak wielkich uproszczeń, zanotowała ona zna­

czne osiągnięcia w opisie realnego WszechświataJ|pozostając w zastanawiająco dobrej zgodności z istniejącymi obserwacja­

mi. Z racji zaś swojej prostoty stanowi najbardziej rozpow­

szechnione kompendium wiedzy o Wszechświacie, a jej propozy­

cje z zakresu problematyki nieskończoności wydają się nie mieć wyraźnej alternatywy w ramach innych teorii kosmologi­

czny |ti|

Podjęte analizy dotyczyć będą głćwnie tych założeń problematyki nieskończoności Wszechświata wysuwanej w ramach kosmologii Robertsona-Walkera, które stanowią jej nieodłącz­

ną całość. Nie dają się więo swobodnie oddzielić od samej pro­

blematyki, a ich obecność warunkuje zarówno możliwości propo­

nowania rozwiązań, jak i prowadzenia samych rozważań. Pomi­

nięte natomiast zostaną wszystkie założenia o charakterze bardziej ogólnym, a więc nie pozostające w bezpośrednim zwią­

zku z poruszaną problematyką i w jakiś sposób poza nią wy­

kraczającej! o których można by powiedzieć, że stanowią tzw.

bazę zewnętrzną nauk przyrodniczych

Analizy te wydają się być interesujące i uzasadnione z tej racji, że jak się okazuje, strona założeniowa nadaje proponowanym rozwiązaniom głębsze ich zrozumienie, pozwala­

jące równocześnie lepiej ocenić ich wartość poznawczą. Z dru­

giej strony tego rodzaju rozważania prowadzą do lepszego zro­

zumienia samej struktury kosmologii, która bardziej niż in­

ne dyscypliny przyrodnicze zmuszona jest do przyjmowania róż­

nego rodzaju założeń.

Z A Ł O Ż E N IA P RO B L E M A T Y K I NIESK O Ń CZO N O ŚCI W SZEC H ŚW IA T A 25

Realieaoja podjętego zadania, to jest możliwie cało­

ściowe przedstawienie wspomnianych założeń, wymaga uprzednio chociażby skrótowego zarysowania wysuwanej w ramach kosmo­

logii Robertsona-Walkera problematyki nieskończoności Wszech­

świata. Tylko wtedy możliwe będzie dostrzeżenie Istniejących założeń oraz uświadomienie sobie ich ro li, jaką w całości pro­

blematyki odgrywają.

2. KONCEPCJA NIESKOŃCZONOŚCI WSZECHŚWIATA W KOSMOLOGII ROBERTSONA-WALKERA

Pojęcie "nieskończoność Wszechświata" nie posiada jed­

noznacznie określonej treści. Dzieje się tak dlatego, że z jed­

nej strony sam termin "nieskończoność" jest wieloznaczny i mo­

że być rozumiany na wiele sposobów w zależności od płaszczyz­

ny poznawczej, w jakiej jest stosowany10, a z drugiej - ist­

nieją różne koncepcje pojęcia "Wszechświat " 11, któremu z ko­

lei przypisuje się różne aspekty. Do każdego zaś z tych aspek- tów można odnieść cechę nieskończoności .

Na przestrzeni wieków pojmowanie nieskończoności przyj­

mowało różne oblicza ?|: Przez długie lata dominowało wywodzą­

ce się od Arystotelesa a oparte na intuicji określenie nie­

skończoności jako braku granicy. Nieskończonym jest taki zbiór, do którego można ciągle dobierać z zewnątrz jakiś nowy element, a więc można go ciągle powiększać i nigdy w tym procesie nie dochodzi się do jakiejkolwiek granicy czy kresu1 Rozwój jed­

nak, między innymi matematyki, odsłonił braki takiego określe­

nia. Powstanie bowiem rachunku nieskończonościowego, geometrii nieeuklidesowych oraz teorii mnogości wskazało na istnienie nie tylko nowych typów nieskończoności, ale również przestrze­

ni nieograniczonych, a przy tym skończonych. Zrodziła się więc konieczność uściślenia i uzupełnienia dotychczasowego stano­

wiska nowym, szerszym podejściem1^ .

Ważną rolę zaczęła w związku z tym odgrywać teoria mno­

gości. Zajmując się zbiorami nieskończonymi szczegółowo ana­

lizuje różne ich własności, dająo przy tym ścisłe ich określe­

nia. Powszechnie przyjmuje się następującą definicję. Zbiór X nazywa się skończonym, jeżeli jest równoliczny ze zbiorem liczb naturalnych /1 , 2, . . . , n/ dla pewnego naturalnego n. W prze­

ciwnym wypadku mówimy, że zbiór X jest nieskończony1^ . Innymi słowy zbiór nieskończony to taki zbiór, który posiada nieskoń­

czoną liczbę elementów, tzn. jest równoliczny ze zbiorem wszyst­

kich liczb naturalnych. Nazywa się go nieskończonym zbiorem przeliczalnym 1 przyporządkowuje się mu liczbę kardynalną zwaną alef-zero1 . Jest to najmniejsza liczba kardynalna nie­

skończona oznaczająca moc nieskończonego zbioru przeliczalne- go 18 . Ponieważ zbiór wszystkich liczb rzeczywistych nie jest zbiorem przeliczalnym , liczba kardynalna więc odpowiadająca lq takiemu zbiorowi jest większa od alef-zero 1 nosi nazwę mocy kontinuum . Jest to nieskończoność wyższego rzędu, nieskoń­ 20 czenie bogatsza od zbioru wszystkich liczb naturalnych, a ge­

ometrycznie odpowiada jej moc zbioru wszystkich punktów od- cinka, kwadratu, koła, sześcianu, kuli itd. 21 Wykorzystując zaś pojęcie booleanu oraz znane twierdzenie Cantora orzeka­

jące, że żaden zbiór nie jest równoliczny ze swym booleanem, można konstruować coraz większe liczby kardynalne nieskoń­

czone. W efekcie otrzymuje się nieskończenie wiele nieskoń- czonych liczb kardynalnych* . Nie istnieje zatem zbiór o naj­

większej mocy, tak jak nie istnieje największa liczba. Można więc powiedzieć, że szereg wielkości nieskończonych jest nie- skończony .

Widać więc, że teoria mnogości posługuje się bardzo-pre­

cyzyjnym aparatem pojęciowym w zakresie zbiorów nieskończo­

nych, co pozwala nie tylko na uporządkowanie naszej wiedzy w tym względzie, ale również na znaczne jej rozszerzenie.

Należy jednak pamiętać, że jest to wiedza zbyt ogólna, bar­

dzo abstrakcyjna i tym samym niewystarczająca przy bezpośred­

niej charakterystyce układów kosmicznych. Trudno bowiem wyo­

brazić sobie, w jaki sposób te ogólne pojęcia teoriomnogościo- we mogłyby okazać się przydatne przy określaniu nieskończo­

ności realnego Wszechświata, zwłaszcza że chciałoby się zna­

leźć empiryczne rozstrzygnięcie problemu. Wszelkie zatem te- go rodzaju próby mogą same w sobie być ciekawe2^, ale z pew­

nością nie wyczerpują zagadnienia i nie są w stanie doprowa­

dzić do zasadniczych rozstrzygnięć2^.

Szukać należy więc nowego podejścia zapewniającego większe powodzenie, chociaż nie rezygnującego z ustaleń teoriomnogjpciowych. Wydaje się, że wymogi te może spełnić geometria, która badając różnego rodzaju relacje przestrzen­

ne, staje również przed problemem nieskończoności. Zadaniem więc dalszych rozważań będzie próba wykorzystania niektórych dobrze zdefiniowanych pojęć geometrycznych do możliwie ade­

kwatnego określenia głównych treści związanych z pojęciem

Z A Ł O Ż E N IA P RO B L E M A T Y K I N IE SK O Ń C ZO N O ŚCI W SZE C H ŚW IA T A 27

nieskończoności. Problemem pozostaje wybór tych pojęć.

Oa czasu pamiętnego wystąpienia Felixa Kleina w 1872 r . formułującego tzw. program z Erlangen okazało s||, że pod­

stawowe własności geometryczne można traktować jako teorie niezmienników pewnych grup przekształceń* . Zgodnie wiec z istniejącymi typami przekształceń wyróżnia się własności topologiczne, konforemne, rzutowe, afiniczne i metryczne przestrzeni. Każdej z otrzymanych w ten sposób przestrzeni można przypisać cechę nieskończoności, co prowadziłoby w kon­

sekwencji do różnych typów nieskończoności2 ' .

Traktując jednak geometrię jako matematyczny opis real­

nej przestrzeni, bardziej słusznym wydaje się stanowisko uj­

mujące różne typy własności geometrycznych jako różne sposo­

by opisu tej samej rzeczywistej przestrzeni fizycznej, w któ­

rej dają się wyróżnić poszczególne ze sobą powiązane struktu­

ry. fyłaby więc jedna nieskończoność odnosząca się do rze­

czywistej przestrzeni, którą można by charakteryzować za po­

mocą pojęć należących do różnych struktur czy też własności tej przestrzeni. Rodzi się jednak pytanie, które z tych bar­

dzo zróżnicowanych własności nadają się najlepiej do charak­

teryzowania i uściślenia pojęcia nieskończoności.

Biorąc pod uwagę fakt, że realnie istniejąca przestrzeń posiada pewną strukturę metryczną, która niejako automatycz- nie wyznacza pewną jej topologię 28 oraz to, że Ogólna Teoria Względności /OTW/ tkwiąca u podstaw relatywistycznych modeli Wszechświata zakłada metryczną strukturę czasoprzestrzeni2^, wydaje się słusznym, by własności metryczne i topologiczne traktować jako podstawowe struktury realnej przestrzeni. In­

ne natomiast cechy, takie jak konforemność, rzutowość czy afiniczność są raczej czystymi abstraktami niewiele wnoszący- mi do opisu realnych przestrzeni fizycznych' . Zatem ostate­ 30 cznie z pojęciami metrycznymi i topologicznymi wiązane będą możliwości głębszej eksplikacji pojęcia nieskończoności Wszech- świata ,. Podkreślić należy przy tym konieczność uwzględniania obu tych płaszczyzn równocześnie, mimo że przestrzeń metrycz­

na zawsze wyznacza jakąś przestrzeń topologiczną. Pomijając fakt, że sytuacja odwrotna jest niemożliwa^ , a także to, lż 32 z reguły jednej metryce odpowiada wiele możliwych t o p o lo g ii", 33 należy zdać sobie sprawę, iż w ogólnym przypadku nie ma jed­

noznacznej odpowiedniości pomiędzy poszczególnymi własnościa­

mi metrycznymi i topologicznymi. Znaczy to, że zasadniczo

dane własności metryczne nie pociągają za sobą z konieczno­

ści określonych własności topologicznych, czego przykładem może być fakt, iż trójwymiarowym przestrzeniom o stałej do­

datniej krzywiźnie odpowiada nieskończenie wiele różnych form topologicznych^.

W przypadku kosmologii relatywistycznej sytuacja jesz­

cze bardziej się komplikuje. Mamy tu bowiem do czynienia z przestrzeniami paeudometrycznymi-' , a einsteinowskie rów­

nania pola grawitacyjnego są lokalne, tzn. zależności mię­

dzy tensorami g^v 1 są ustalane w każdym punkcie. Za­

tem geometria modeli kosmologicznych jest określana lokal- nie, czyli w sąsiedztwie każdego punktu1' . Stwarza to jesz­ 36 cze większe możliwości dla zróżnicowania odpowiadających jej globalnych struktur topologicznych^. 37

Przechodząc obecnie do omówienia pojęć metrycznych znaj­

dujących zastosowanie przy definiowaniu nieskończności dos­

trzegamy, że tradycyjne określenie nieskończoności jako nie- ograniczoności jest tego wyraźnym przykładem.

Ograniczoność lub nieograniczoność':!M>ioru stanowi je­

go własność metryczną, to znaczy jest definiowana za pomocą metrycznego pojęcia średnicy zbioruJ . Zbiór A nazywamy ogra­ 38 niczonym wtedy, gdy jego średnica S I A / ^ o o ^ . Innymi słowy przestrzeń metryczna jest ograniczona, gdy odległość punktów w niej nie przekracza pewnej skończonej liczby rzeczywistej^0 . W przeciwnym razie przestrzeń ta jest nieograniczona, czyli

Z definicji tej widać wyraźnie, że nieograniczona prze­

strzeń metryczna winna być również przestrzenią nieskończoną.

Jest to nieskończoność w sensie rozciągłości, a więc wskazu­

jąca na nieskończone rozmiary danej przestrzeni^2 . Ponieważ przez rozciągłość: rozumie się maksymalną odległość między punktami jakiejś przestrzeni 43 , nieskończoność więc ta może przysługiwać jedynie przestrzeniom metrycznym. Jest to naj­

bliższe naszym intuicjom pojęcie nieskończoności, najlepiej odpowiadające przestrzeniom euklidesowym, w których metryka utożsamia się z rozciągłością^. Swoją prostotą wyróżnia się ona od innych rodzajów nieskończoności odnoszących się bądź do liczby punktów przestrzeni, bądź też do jej uporządkowa­

nia, miary lub podzielności^. Są one bowiem zbyt abstrakcyj­

ne, pomijają metryczne własności przestrzeni i jako takie nie

wydają się być bezpośrednio przydatne w określaniu nieskoń-

Z A Ł O Ż E N IA P RO B L E M A T Y K I NIE SK O Ń CZO N O ŚC I W SZE C H ŚW IA T A li- W

czoności realnego Wszechświata*

Nie znaczy to jednak, że określenie nieskończoności ja­

ko nieograniczoności jest określeniem w pełni zadowalającym^ . Przede wszystkim pojęcia przestrzeni nieograniczonej nie na­

leży utożsamiać z brakiem ograniczenia zbioru, brakiem kresu czy brzegu. Są to bowiem pojęcia topologiczne nie pozostają­

ce, jak wykazuje analiza ich treści, w bezpośrednim związku z zagadnieniem nieskończoności . Ponadto istnieje zasadni­

cza trudność z teoretycznym rozstrzyganiem czy dana konkret­

na przestrzeń metryczna jest ograniczona, czy też nie. Wystę­

pujące bowiem w definicji zbioru ograniczonego pojęcie śred­

nicy tego zbioru jako kresu górnego punktów zakłada uprzed- nie uporządkowanie zbioru . Pozostaje to, jak się wydaje, 48 w związku ze wspomnianą wcześniej koniecznością uwzględnie­

nia przy określaniu nieskończoności obok cech metrycznych rów­

nież własności topologicznych. Bez nich bowiem jednoznaczne rozstrzygnięcie o ograniczoności czy też nieograniczoności danej przestrzeni, a więc i jej nieskończoności jest niemoż­

liwe. W dodatku powyższe określenie nieskończoności nie uwzglę­

dnia w sposób wyraźny faktu istnienia przestrzeni zakrzywio­

nych, co nie pozostaje bez wpływu na ścisłość tego określe­

n i a ^ . Krzywizna charakteryzująca te przestrze||ke jawi się jako jedna z podstawowych własności metrycznych i jako taka wskazała na nowe, bardziej ogólne możliwości określenia po­

jęcia nieskończoności. Powszechnie bowiem przyjmuje się, iż zerowa i ujemna krzywizna wskazuje na nieskończoność przes- trzeni, a krzywizna ujemne* - na jej skończoność-' . Wynika to ca stąd, że niemal równocześnie z pojawieniem się geometrii nie­

euklidesowych dostrzeżono opierając się na badaniach krzywiz­

ny powierzchni, że stała dodatnia krzywizna odpowiada geome­

trii sferycznej, krzywizna ujemna - geometrii hiperbolicznej, a krzywizna zerowa - geometrii euklidesowej. Krzywizna stała się więc kryterium wyróżniającym te geometrie^. Z kolei in­

tuicje związane z powierzchniami płaskimi 1 hiperbolicznymi wskazały na ich otwartość przy równoczesnej zamkniętości po­

wierzchni sferycznych. Prowadziło to niemal automatycznie do przekonania, że przestrzenie otwarte posiadają objętości nie­

skończone, a zamknięte, czyli sferyczne - objętości skończo­

ne^2 . Ponieważ zaś w rozumieniu potocznym nieskończoność

przestrzeni jest utożsamiana z nieskończonością jej objęto-

ści CO , związki więc między znakiem krzywizny a nleskończono-

ścią stają sie zrozumiałe.

Samo zaś pojęcie objętości w swym najbardziej ogólnym znaczeniu jest rozpatrywane w ramach tzw. teorii miary C A . Mó­

wi się wtedy o objętości w sensie na przykład miary Jordana jako o wspólnej wartości miary zewnętrznej i wewnętrznej Jor­

dana dla danego obszaru” . Z istoty teorii miary znajdującej wyraz w powyższej definicji objętości wynika,:że objętość ta może być określana bez konieczności uciekania się do metry­

ki^ . Widać to w wypadku przestrzeni afinicznej. Jeżeli zos­

tał w niej określony układ współrzędnych / x 1, . . , x n/ , to obję­

tością bryły D nazywa się niezmiennik względny VD będący n-krotną całką

V jj *■ ^ d x 1d x ^ .. .dxn

rozciągnięta na obszar D i przekształcającą się do nowego układu według wzoru

. |detA*| VD

Tak określana objętość danej bryły nie wyraża się jakąś kon­

kretną liczbą, lecz zmienia się ze zmianą układu współrzęd­

nych. Niemniej charakteryzuje ona przestrzenną rozciągłość ciała niezależnie od jego kształtu i położenia, podobnie jak wyrażająca się liczbowo objętość w zwykłej p r zestrzen i^. Za­

tem objętość jawi się jako pojęcie, które nakłada na rozmai­

tość mniejsze ograniczenia niż sama metryka. W konsekwencji znając metrykę można jednoznacznie wyznaczyć objętość w po-

* CO

s t a d pewnej wartości liczbowej . . W przypadku przestrzeni Riemanna wartość ta dana jest wzorem

Wj» - ^gT dx1 . . . di11 59e

D

Własności metryczne okazują się zatem nieodzowne do jedno­

znacznego wyznaczenia objętości, a tym bardziej do rozstrzy­

gnięcia o jej skończoności czy też nieskończoności. Chodzi tu bowiem o nieskończoność w sensie rozciągłości. Próby więc określenia nieskończoności przestrzeni za pomocą jej krzy­

wizny nie są pozbawione racji, ale nie jest to określenie w pełni adekwatne. Wymaga bowiem, jak było to już wspomina­

ne, uzupełnienia odpowiednią charakterystyką topologiczną, w świetle której dopiero podejście metryozne nabiera właś­

ciwego znaczeniaI- Powataje jednak pytanie, jakie konkretnie

mają to być własności topologiczne.

Z A Ł O Ż E N IA P R O B L E M A T Y K I N IE SK O Ń C ZO N O ŚC I W SZE C H ŚW IA T A 31

Na pierwszy rzut oka wydawałoby się, że chodzi tu o brak ograniczenia zbioru, brak jego brzegu lub kresu. Bliższa jed­

nak analiza treściowa tych pojęć wskazuje, że tak nie jest.

Ograniczenie zbioru definiuje się jako różnicę domknię­

cia zbioru A 1 jego wnętrza lub jako iloczyn domknięcia zbio­

ru A i domknięcia dopełnienia zbioru A, co zaspisuje się w po­

staci

Kr/A/ • A - Int A - Xf)/iEA? 60.

Ograniczenie zbioru jest więc pojęciem topologicznym, a z Je­

go definicji wynika, że ograniczenie całej przestrzeni topo­

logicznej jest puste. Natomiast jeśli zbiór jest domknięty, to zawiera swoje ograniczenie, podczas gdy zbiór otwarty ograniczenia swojego nie zawiera. W wypadku więc zbiorów dom­

kniętych pojęcie ograniczenia zbioru pokrywa się ze spotyka­

nym również w topologii pojęciem brzegu zbioru^1 i stąd po­

jęcia te są często ze sobą utożsamiane, zwłaszcza w języku po­

tocznym.

Przytoczone określenia wskazują wyraźnie, że topologi­

czne pojęcia braku ograniczenia czy brzegu danej przestrzeni wcale nie Implikują jej nieskończoności. Orzekają one jedy­

nie, mówiąc potocznie, że można się w przestrzeni poruszać

"bez końca". Nigdy nie natrafi się na coś, co mogłoby być /intuicyjnie mówiąc/ nazwane "brzegiem" przestrzeni, poza którym już niczego nie ma. Niemożliwe jest natrafienie na ta­

kie miejsce, z którego nie ma już dalszej drogi, a jedynie powrót drogą przebytą . Zatem pojęcia te nie są w stanie wnieść nic nowego do charakterystyki nieskończoności i dla­

tego należy szukać innych możliwości.

Wydaje się, że użytecznym będzie tutaj pojęcie niezwar- toścl przestrzeni, stanowiące razem z jego zaprzeczeniem, t j . zwartością, jedną z podstawowych własności przestrzeni topo­

logicznych . Samo pojęcie zwartości zbioru jest uogólnie­

niem własności bycia zbiorem domkniętym i ograniczonym w prze­

strzeni euklidesowoj^t co jak wiadomo stanowi istotę trady­

cyjnego określenia skończoności. Ponadto w definicji zwarto­

ści występuje pojęcie pokrycia skończonego, co sugerowałoby, że słowu "skończony" /w jego intuicyjnym znaczeniu/ należa-

. 65

łoby przypisać jako precyzyjny odpowiednik termin "zwarty" _.

Przestrzeń topologiczną X nazywa się zwartą, gdy z każ­

dego jej pokrycia otwartego można wybrać pokrycie skończone*’**.

Natomiast przestrzeń X jest niezwarta, gdy nie jest ona zwar­

ta. Intuicyjnym odpowiednikiem pojęcia zwartości przestrzeni jest jej własność polegająca na tym, że jej punkty są "blis­

ko siebie", są "ś c iś n ię t e "^ . Natomiast cecha niezwartoścl przestrzeni przejawia się, mówiąc obrazowo, w tym że prze­

strzeń taka zawiera linie otwarte^®.Innymi słowy układ współ­

rzędnych /przypisujący punktom przestrzeni liczby rzeczywiste jako ich współrzędne/ przebiega wszystkie liczby rzeczywiste, cały ich zbiór, a nie np. jakiś zwarty przedział tego ibioru W efekcie, w wypadku przestrzeni niezwartej przynajmniej jed­

na ze współrzędnych, po których dokonuje się całkowania we wzorze na objętoś<|| przebiega<flmoże cały zbi<5r liczb rzeczy­

wistych, dając tym samym nieskojszoną objętość takiej prze­

strzeni, flecha niezwartości jest więc warunkiem koniecznym ta­

kiego określenia, ale sama tu nie wystarczy. Nleskoriljponość bowiem co do rozciągłości, o jakiej tu mowa, jest ze swej na­

tury powiązana z metrycznymi własnościami przestrzeni i dla­

tego własności te muszą w tym określeniu byfj! uwzględnione.

Mając w miarę zadowalające określenie pojęcia nieskoń­

czoności należy z kolei zastanowić się nad sposobem jego wy­

korzystania do charakterystyki nieskończoności Wsiechświata opisanego przez kosmologię Robertsona-Walkera. Wymagać to bę­

dzie chociażby skrótowego przedstawienia istotnych własności przypisywanych Wszechświatowi prze.? tę kosmologię.

W potocznym przekonaniu Wszechświat jest rozumiany jako zbiór wszystkich obiektów fizycznych Istniejących w czasie i przestrzeni. Można więc mówić o jego nieskończoności prze­

strzennej, czasowej czy też mnogościowej, biorąc w tym ostat­

nim wypadku pod uwagę nieskończoną ilość rzeczy, zdarzeń czy zjawisk wchodzących w jego skład.

W kosmologii relatywistycznej bada się przede wszystkim czasoprzestrzenną strukturę Wszechświata, która poprzez rów- nania pola OTW powiązana jest z zawartą w niej materią' . Py­ 70 tanie zatem o nieskończoność Wszechświata stawiane tam jest przed wszystkim pytaniem o jego czasoprzestrzenną nieskończo­

ność. Wprawdzie sama czasoprzestrzeń jest dobrze zdefiniowa­

nym tworem fizycznym, posiadającym na gruncie teorii względ­

ności charakter absolutny, to jednak zasadnicze różnice mię­

dzy czasem i przestrzenią nie ulegają w nim zatarciu. Nie mie­

rzy się bezpośrednio wielkości czasoprzestrzennych, ale osobno

Z A Ł O Ż E N IA P R O B L E M A T Y K I N IE SK O Ń CZO N O ŚC I W SZE C H ŚW IA T A 33

czas 1 osobno przestrzeń, i dopiero z nich składa się inter- wały czasoprzestrzenne 71 . Stąd pytanie o czasoprzestrzenną nieskończoność Wszechświata jest pytaniem zbyt abstrakcyjnymi pozbawionym tych wszystkich intuicji, jakie na przestrzeni wie­

ków wiązano bądź z nieskończonością czasową, bądź też z nies­

kończonością przestrzenną Wszechświata. Powrót do takiego właś­

nie traktowania problemu zapewnia kosmologia Robertsona-Walke­

ra, w której na mocy przyjętych założeń następuje niejako auto­

matycznie rozdział czasoprzestrzeni osobno na czas i osobno na przestrzeń. W konsekwencji problematyka nieskończoności Wszech­

świata podejmowana w ramach tej kosmologii sprowadza się zasad­

niczo do jej wymiaru czasowego 1 przestrzennego. Pomija się na­

tomiast inne jej aspekty, np. mnogościowy, które wymykają się właściwie spod metod stosowanych w kosmologii 72 .

Dalsza zatem eksplikacja pojęcia nieskończoności Wszech­

świata funkcjonującego w kosmologii Robertsona-Walkera zmie­

rzać będzie do wyeksponowania osobno treści związanych z jego nieskończonością przestrzenną.

W odniesieniu do czasowej nieskończoności Wszechświata podana wcześniej charakterystyka metryczna i topologiczna przy­

biera dosyć istotne uproszczenia. Przypisując czasowi cechę by­

cia zbiorem typu l in ii, czyli cechę jednowymiarowości, spójno- ści i nierozgałęzioności J sprowadza się określenie czasowej 70 nieskończoności do pytania: czy czas jako zbiór momentów jest ograniczony albo nieograniczony oraz czy ma momenty końcowe al- bo ich nie ma 7 A . Jest to zatem podwójna, metryczna i topologi­

czna, charakterystyka pojęcia nieskończoności czasu dająca w konsekwencji kilka różnych możliwości, t j .: A czas jest ogra­

niczony 1 posiada jeden lub dwa momenty końcowe, co przejawia się w postaci dwóch modeli: czasu-odcinka jednostronnie domknię­

tego /jeden moment końcowy/ oraz czasu-odcinka domkniętego / dwa momenty końcowe/; B. czas jest ograniczony i nie posiada momen­

tów końcowych, co jest realizowane przez model czasu-okręgu lub czasu-odcinka otwartego; C. czas jest nieograniczony i posiada jeden moment końcowy /je ś l i posiada dwa momenty końcowe, to jest ograniczony/. Jest to model czasu-półprostej z momentem kocowym;

D. czas jest nieograniczony i nie posiada momentów końcowych, czego obrazem jest model czasu-prostej. Zwartymi modelami są tylko czas-okrąg i czas-odcinek domknięty. Pozostałe modele są modelami niezwartymi1J . 7«;

Z analizy tej wynika, że istota problemu nieskończoności

czaau sprowadza się do udzielenia odpowiedzi na pytanie o mo­

del czasu”^ . Odnosząc to pytanie do podjętej w artykule pro­

blematyki, będzie chodziło o odpowiedź, który z powyższych mo­

deli czasu jest realizowany przez najbardziej prawdopodobny, t j. pozostający w najlepszej zgodności z danymi obserwacyjny­

mi, model Wszechświata proponowany przez kosmologię Robertso- na-Walkera. Ponieważ wiele wskazuje na to, że aktualny Wszech­

świat jest najlepiej opisywany przez model ekspandujący od pew­

nego wyróżnionego w przeszłości momentu zwanego osobliwością początkową*^, tym samym więc realizowany byłby model czasu-pół- prostej, czyli Wszechświat byłby ograniczony w czasie od stro­

ny przeszłości.

Uodelu takiego nie chcą jednak przyjąć wszyscy ci, któ­

rzy z racji filozoficznych opowiadają się za czasową nieskoń­

czonością Wszechświata. Widzą bowiem w nim, jeśli nie zaprze­

czenie, to z pewnością poważne trudności pogodzenia tezy o wie­

czności Wszechświata z obecnością osobliwości początkowej w mo­

delach kosmologicznych^®. Stąd wielorakie próby usunięcia oso­

bliwości z tych modeli lub ich uzgodnienia z tezą filozoficz- ną . 79

Wydaje się jednak, że akceptowany dosyć powszechnie przez kosmologów model z osobliwością początkową nie musi przesądzać o wynikach sporu co do filozoficzn(|||światopoglą- dowej strony zagadnienia czasowej skończoności czy też nies­

kończoności Wszechświata. Idąc bowiem za tezą G. Lemaitre'a można przyjąć, że proponowany przez kosmologię czasowy począ­

tek Wszechświata ma charakter względny 1 dotyczy początku ekspansji i ewolucji aktualnego Kosmosu. Tym samym pozostaje on poza problematyką filozoficzno-teologiczną, dla której czasowy początek świata ma charakter absolutny w sensie stwo­

rzenia z niczego®®.

Przechodząc z kolei do charakterystyki przestrzennej nieskończoności Wszechświata podkreślić należy większą jej złożoność i zróżnicowanie niż miało to miejsce w przypadku czasu!

Przede wszystkim chodzi tu o pewne szczególne prze­

strzenie, którymi są izotropowe 1 jednorodne trójwymiarowe

hlperpowierzchnie wyznaczone przez cięcia czasu kosmicznego

t = const. Są to więc trójwymiarowe przestrzenie riemanowskie

o stałej krzywiźnie opisywane metryką:

Z A Ł O Ż E N IA P RO B LE M A T Y K I N IE SKO Ń CZON OŚCI W SZEC H ŚW IA T A 35

da2 « R2 / t / £d.X2 + sin2x d (~ )2 + sin^(~)d (f H . W zależności od znaku krzywizny K * +1, -1, 0 będą to odpowied­

nio przestrzenie sferyczne, hiperboliczne lub euklidesowe. Za­

kłada się ponadto dynamiczny charakter tych przestrzeni, tzn.

że w zależności od typu modelu przestrzenie te zwiększają lub zmniejszają z czasem swoją objętość

.

Biorąc zaś pod uwagę możliwości obserwacyjne w takich przestrzeniach, to wskutek występowania w szeregu modeli tzw.

horyzontów zdarzeń lub cząstek, są one wyraźnie ograniczone Qp . W tym więc sensie Wszechświat byłby przestrzennie ograniczony i tym samym skończony. Widać więc, że w zakres problematyki przestrzennej nieskończoności Wszechświata wchodzą zarówno czynniki czysto geometryczne, jak i dynamiczne oraz fizyczne.

Wydaje się jednak, że najbardziej podstawowymi są tu czynniki geometryczne i dlatego przynajmniej w pierwszym przybliżeniu zagadnienie przestrzennej nieskończoności Wszechświata anali­

zowane będzie w tym właśnie sensie.

Wykorzystując pojęcie krzywizny przestrzeni oraz topo­

logicznej cechy zwartości czy też niezwartości przestrzeni można okazać, że trójwymiarowe przestrzenie proponowanych przez kosmologię Robertsona-Walkera modeli Wszechświata mogą być skończone lub nieskończone. Zakładając bowiem odpowiednio do znaku krzywizny najprostsze z możliwych topologii, t j . dla k o +1 - topologię trójwymiarowej sfery /S "V , dla k = 0 - to­

pologię trójwymiarowej przestrzeni euklldesowej /V?/ oraz dla k ■ -1 - topologię trójwymiarowej pseudosfery /H"V, otrzymuje się dla modeli o krzywiźnie dodatniej objętości skończone, a dla modeli o krzywiźnie zerowej 1 ujemnej objętośoi nieskoń- czone 83 g .

Kosmologia ta idzie jeszcze dalej, wskazując na możli­

wości empirycznego rozstrzygnięcia o przestrzennej skończo- ności czy też nieskończoności realnego Wszechświata. W propo­

nowanych przez nią modelach ustalane są związki pomiędzy zna­

kiem krzywizny przestrzeni 1 pewnymi wielkościami mierzalny­

mi, tzw. obserwablami, z których najważniejsze to średnia gę­

stość materii Wszechświata i tzw. parametr hamowania. Prowa­

dzi to do możliwości empirycznego określenia znaku krzywizny przestrzeni realnego Wszechświata, a w konsekwencji do roz­

strzygnięcia o Jego przestrzennej skończonoścl czy też nies­

kończoności*^ .

Pomijając techniczne trudności z dokładnym wyznaczeniem

wartości wspomnianych parametrów propozycje te wydają się na pierwszy rzut oka bardzo optymistyczne, dzięki czemu kosmolo­

gia Robertsona-Walkera zyskała sobie pewien rozgłos. Sprawa nie przedstawia się jednak tak prosto. Należy bowiem pamię­

tać, że propozycje te zostały wysunięte przy założeniu, iż poszczególnym krzywiznom odpowiadają najprostsze z możliwych topologii. Powstaje pytanie, czy nie ma innych możliwości.

Okazuje się, że są.

Z rozważań tzw. problemu Clif forda-Kleina8- * widaó ogromną różnorodność form topologicznych odpowiadających przestrzeniom o stałych krzywiznach. Jak dotąd problem ten został najlepiej przebadany dla trójwymiarowych przestrzeni o stałej krzywiźnie.

Podana została całościowa klasyfikacja trójwymiarowych form to- pologicznych dla przestrzeni euklidesowych i sferycznych 86 oraz niekompletna jeszcze, o ile wiadomo, klasyfikacja dla prze­

strzeni hiperbolicznych8^. Okazało się przy tym, że trójwymia­

rowym przestrzeniom o stałej dodatniej krzywiźnie odpowiada nie skończenie wiele różnych form topologicznych, z których wszyst­

kie są formami zwartymi. Podobnie nieskończona liczba form to­

pologicznych odpowiada trójwymiarowym przestrzeniom o stałej ujemnej krzywiźnie. Charakterystyczne jest jednak to, że są wśród nich zarówno formy zwarte, jak i niezwarte. W wypadku na­

tomiast trójwymiarowych przestrzeni o zerowej krzywiźnie istnie­

je tylko 18 różnych form topologicznych, z których jedne posia- QQ dają cechę niezwartości, inne zaś jej nie posiadają .

Stwierdzenia te nie rokują zbyt optymistycznych perspektyw dla podejmowanych w ramach kosmologii Robertsona-Walkera prób rozstrzygnięcia o przestrzennej skończoności czy też nieskoń­

czoności realnego Wszechświata. Wskazują one wyraźnie, że sa­

ma znajomość krzywizny przestrzeni Jest niewystarczająca do orzekania o tym, czy Wszechświat jest przestrzennie skończony czy też nieskpfczony. Przestrzenie o zerowej i ujemnej krzywiź­

nie, o których mówi się powszechnie, że są nieskończone, mogą róiyiież posiadać zwarte formy topologiczne i jako takie być skończonymi. Zatem do orzekania o przestrzennej nieskończono­

ści Wszechświata konieczna okazuje się znajomość nie tylko zna­

ku krzywizny przestrzeni, ale również tego, że jest ona topo­

logicznie niezwarta. Jednoznaczne określenie i rozstrzygnięcie, czy przestrzeni realnie istniejącego Wszechświata cecha ta przj sługuje i to w sensie globalnym, przekracza możliwości współ­

czesnej kosmologii relatywistycznej. Dlatego też problem nieskc

Z A Ł O Ż E N IA P R O B L E M A T Y K I NIE SK O Ń CZO N O ŚC I W SZE CH ŚW IA T A 37

clpności aktualnego Wszechświata pozostaje, przynajmniej na obecnym etapie rozwoju kosmologii, problemem dalej otwartym.

3. ZAŁOŻENIOWY CHARAKTER PREZENTOWANEJ PROBLEMATYKI

Mając!naszkicowaną przynajmniej w ogólnych zarysach kon­

cepcję nieskończoności Wszechświata rozwijaną w ramach ijosmo- logii Robertsona-Walkera można z kolei pokusió się o przedsta­

wienie chociaż najważniejszych założeń przyjmowanych bardziej lub mniej świadomie u podstaw podejmowanej problematyki*

Na wstępie należy zaznaczyć, że samo zawężenie rozważań nad nieskończonością Wszechświata do kosmologii Robertsona- -Walkera jest już pewnym założeniem. Jak wiadomo, kosmologię tę stanowią modele Wszechświata, których czasoprzestrzeń opi­

sywana jest metryką Robertsona-Walkera i spełnia dodatkowo pewne założenia /zapożyczone z OTW/ dotyczące ruchu*cząstek i promieni świetlnych8^. To, co jest najbardziej charakterys­

tyczne w tych modelach, to faktjgi że spełniając tzw. Zwykłą Zasadę Kosmologiczną /ZZK/ dopuszczają nie mniej niż 6-para- metryczną grupę symetrii. Znaczy to, że ich trójwymiarowe przestrzenie przy t = const. muszą bye jednorodne i izotropo- we, a więc posiadają stałą krzywiznę 90 . Bardziej symetryczne od nich są jedynie modele z tzw. Idealną Zasadą Kosmologicz­

ną /IZ K / nakładającą na czasoprzestrzeń dodatkowo żądanie stacjonarności, a więc dopuszczające więcej niż 6-parametry- czną grupę automorfizmów metrycznych. Istnieje również boga­

ta klasa modeli o mniej niż 6-parametrycznej grupie izometril, tzw. modeli anizotropowych i jednorodnych rozwijanych z myślą zbliżenia teoretycznych rozważań do obserwowanego w naszym są­

siedztwie niejednorodnego rozkładu materii^1 . W tym więc kon­

tekście kosmologia Robertsona-Walkera jawi się rzeczywiście jako szczególnie wyróżniona klasa modeli spełniających bardzo wyidealizowane warunki dla rozkładu materii we WszeChświecie.

Niemniej kosmologia ta z racji właśnie tej prostoty stanowi dogodny||unkt wyjścia dla szeregu bardziej już specjalistycz­

nych rozważań.

ZZK nie tylko wydziela z bogatszej klasy modeli kosmolo­

gię Robertsona-Walkera, ale również w istotny sposób warunku­

je w ramach tej kosmologii samo podejście do zagadnienia nie­

skończoności Wszechświata. Właśnie w następstwie nakładanych przez tę zasadę na czasoprzestrzeń symetrii można było wpro­

wadzić wspólny dla całego Wszechświata układ odniesienia, zwa­

ny globalnym układem współporuszającym się. W układzie tym do­

konuje się niemal automatycznie rozdział czasoprzestrzeni oso­

bno na czas i osobno na przestrzeń w taki sposób,że czas mie­

rzony względem tego układu jest czasem globalnym, wspólnym dla całego Wszechświata i stąd zwanym czasem kosmicznym. W konse­

kwencji można Jjff§jff|gD jednej wspólnej dla całego Wszechświata historii, którą trudno byłoby sobie wyobrazić w wypadku istnie­

nia jedynie czasów własnych. Wiadomo również o jaką przestrzeń tutaj chodzi. Są nią izotropowe i jednorodne trójwymiarowe hi- perpowierzchnie wyznaczone przez cięcia t = const. ®en rozdzia;

czasoprzestrzeni powoduje zatem, że problem nieskończoności Wszechświata rozważany jest osobno w odniesieniu do jego ist­

nienia czasowego i osobno w odniesieniu do jego istnienia prze strzennego ')2.

Wyjątkowość takiej sytuacji jest aż nadto widoczna. Prze­

de wszystkim w kontekście teorii względności stanowiącej pod­

stawę dla rozważań kosmologicznych pojawienie się jednego! wspó]

nego dla całego Wszechświata czasu kosmicznego i prostopadłych do niego cięć przestrzennych jest czymś rzeczywiście bardzo szczególnym. W teorii tej wielkością niezależną od układu od­

niesienia, a więc jednoznacznie określoną w całym obszarze jej stosowania, jest interwał czasoprzestrzenny. Czas natomiast i przestrzeń są wielkościami względnymi, ściśle związanymi z konkretnym układem odniesienia i dlatego nie mogą być w spo­

sób jednoznaczny odnoszone do całego Wszechświata. Tylko w wy­

padku szczególnie symetrycznego rozkładu materii, kiedy możli­

we jest wprowadzenie globalnego układu współporuszającego się, czas i przestrzeń nabierają charakteru uniwersalnego. Natomiasl w innych układach odniesienia każdy obserwator ma swój własny czas i swoją własną przestrzeń^. Zależność ich od układu od­

niesienia jest tak daleka, że względnymi okazują się także ce- chy im przypisywane^ . Zainicjowane w latach pięćdziesiątych bi 94 dania A. L. Zelmanowa wykazały-, że jeśli przyjmie się niejed­

norodny rozkład materii we Wszechświecie, to można otrzymać do­

wolną ilość układów odniesienia, w których Wszechświat będzie przestrzennie nieskończony oraz dowolną ilość, w których bę­

dzie on s k o ń c z o n y ^ . Rozpatrując zaś różne modele kosmologicz­

ne Zelmanow znalazł paradoksalne na pierwszy rzut oka między nimi związki. Tak np. model posiadającyNieskończoną prze­

strzeń okazuje się jedynie ograniczonym obszarem innego modelu

który na dodatek jest przestrzennie skończony^ .

Z A Ł O Ż E N IA P RO B L E M A T Y K I NIESK O Ń C ZO N O ŚCI W SZE C H ŚW IA T A 39

Oczywistą konsekwencją takiej sytuacji wydaje się być nie tylko relatywizacja samej problematyki nieskończoności, ale w ogóle postawienie pod znakiem zapytania możliwości po­

dejmowania przez kosmologię nierobertsonowską zagadnienia nie­

skończoności Wszechświata^. Wskazuje to jeszcze wyraźniej na bezpośrednią zależność rozważanej przez kosmologię Robertsona- -Walkera problematyki nieskończoności Wszechświata od przyję­

tych u jej podstaw założeń o izotropowym i jednorodnym roz­

kładzie materii.

Szereg założeń związanych jest z samą charakterystyką czasowej i przestrzennej nieskończoności Wszechświata. Doty­

czą one zarówno koncepcji czasu i przestrzeli., jak i sposobów określania ich nieskończoności. Chodzi tu o tzw. relacyjną al­

bo atrybutywną koncepcję czasu i przestrzeni, a także o struk­

turę ich metryczną i topologiczną.

W pierwszym wypadku bierze się pod uwagę stosunek czasu i przestrzeni do materii, do świata materialnego. Zgodnie z teorią względności czas i przestrzeń nie są wielkościami absolutnymi, Istniejącymi niezależnie od materii, tak jak ma to miejsce w wypadku koncepcji newtonowskiej^®, ale ściśle z nią powiązanymi od niej uzależnionymi. Jest to więc rela- cyjna koncepcja czasu i przestrzeni qq , pozostająca w pewnej łączności z tzw. koncepcją atrybutywną100. Własności czasu i przestrzeni są zaprogramowane w samej strukturze materii, do tego stopnia przez-nią zdeterminowane, że nie może być pustych zarówno momentów czasowych, jak i punktów przestrzeń- nych. Świat materialny niejako gwarantuje istnienie czasu i przestrzeni 101 .

To ścisłe powiązanie własności czasu i przestrzeni z włas­

nościami świata materialnego sprawia, że problem czasowej i przestrzennej nieskończoności Wszechświata nie różni się od problemu nieskończoności czasu i przestrzeni branych same w sobie. Mówiąc inaczej, problemy te się ze sobą pokrywają, tak że odpowiedź na pierwszy z nich jest identyczna z odpowie­

dzią na drugi i odwrotnie. Upraszcza to w istotny sposób sy­

tuację, gdyż mamy do czynienia tylko z jednym problemem, a nie z dwoma. Wykluczona jest np. sytuacja, w której czas jest nie­

ograniczony i bez punktów końcowych, a Wszechświafljest albo

ograniczony w czasie i ma dwa punkty /stany/ końcowe, albo

jest w czasie nieograniczony i ma jeden punkt /stan/ końco-

wy 102 • Ponadto relacyjna koncepcja czasu i przestrzeni zwięk­

sza w pewnym sensie możliwości orzekania o nieskończoności Wszechświata, gdyż wszelkie analizy struktury czasu i prze­

strzeni w kontekście ich nieskończoności mogą być niejako auto­

matycznie odnoszone do nieskończoności Wszechświata.

Istniejąca zatem u podstaw kosmologii Robertsona-Walkera relacyjna koncepcja czasu i przestrzeni w pewnym zakresie wa­

runkuje oraz wyznacza podejście do problematyki nieskończono­

ści Wszechświata. W przeciwnym razie problematyka ta musiała­

by inaczej być rozpatrywana.

Przypisywanie natomiast czasowi i przestrzeni własności metrycznych i topologicznych sprowadza właściwie całą charakte­

rystykę nieskończoności Wszechświata do tych dwóch cech. Ma to istotną zaletę, gdyż pozwala stosować dobrze zdefiniowane po­

jęcia matematyczne do uśoiślania ogromnie skomplikowanej pro­

blematyki nieskończoności Wszeohświata. Płaci się jednak za to cenę pewnego redukcjonizmu. Powstają bowiem wątpliwości, czy jest to wyczerpująca charakterystyka problemu, czy nie pomija się w ten sposób pewnych własności czasu i przestrzeni, któ­

rych uwzględnienie mogłoby okazać się również ważne przy okre­

ślaniu ich nieskończoności. W szczególności odnosi się to do czasu, któremu nawet w jego fizykalnym ujęciu trudno prs&ypi-;

sać sens zwykłej tylko współrzędnej przestrzennej.

Prowadzić to musi do bardziej realistyoznej postawy wo­

bec tej charakterystyki, zwłaszcza gdy weźmie się pod uwagę, że takie własności topologiczne jak jednowymiarowość, spójność, niezwartość czy też nierozgałęzioność są przypisywane czasowi najczęściej na podstawie zwykłych tylko konwencji. Nie ma bo­

wiem, jak wskazują na to przeprowadzone przez Z. Augustynek rozważania nad statusem epistemologicznym tych odniesień, wy­

raźnych danych empirycznych ozy też racji teoretycznych orze­

kających, że realny czas posiada takie właśnie cechy1

Biorąc więc pod uwagę rolę, jaką własności te odegrały w określaniu problematyki czasowej nieskończoności Wszechświa­

ta, założeniowy charakter tej problematyki jawi się bardzo wy­

raźnie i to niejako w dwóch wymiarach. Z jednej strony wspomnia ne własności w istotny sposób wyznaczają całokształt podejścia do tej problematyki, a z drugiej same są przyjmowane na pod­

stawie zwykłych konwencji lub założeń.

Wydaje się jednak, że najwyraźniej strona założeniowa da­

je o sobie znać przy próbach rozstrzygania, jakim jest aktual­

ny Wszechświat - skończony ozy też nieskończony. Pytanie to wy-

Z A Ł O Ż E N IA P RO B L E M A T Y K I N IE SK O Ń C ZO N O ŚC I W SZECH ŚW IA TA 41

daje sie być podstawowym i najbardziej interesującym w całej problematyce nieskończoności Wszechświata.

W pełni zadowalające rozstrzygnięcie tej kwestii jest możliwe jedynie opierając się na' danych obserwacyjnych, jako

że chodzi o rzeczywisty Wszechświat. Oznacza to sprowadzenie całego zagadnienia do obserwacyjnej strony kosmologii, która jak wiadomo, nie jest najmocniejszym jej punktem. Dzieje się tak nie tylko z racji czysto technicznych, które z biegiem czasu mogą być usuwane, ale przede wszystkim z racji bardziej fundamentalnych, związanych z naturą samej kosmologii i lokal­

nym charakterem dokonywanych obserwacji10^.

Kosmologię interesuje wielkoskalowa struktura Wszech­

świata10^ . Jest to szczególnie istotne w wypadku jego nieskoń­

czoności, kiedy to metryczne i topologiczne własności Wszech­

świata winny być określone w wymiarze globalnym. Obserwacje jednak mogą spełniać to tylko lokalnie i stąd rodzą się najpo­

ważniejsze trudności jak na podstawie takich obserwacji roz- strzygać o globalnych własnościach Wszechświata .

w przypadku czasowej nieskończoności Wszechświata trud­

ności te nie uwidaczniają się na pierwszy rzut oka zbyt dras­

tycznie, gdyż jak było to już wspominane, problem sprowadza się właściwie do wyboru modelu Wszechświata z osobliwością czy też bez n iej. Jednak wybór taki nie jest możliwy bez wie­

dzy o globalnych własnościach Wszechświata, co wyraźnie odsła­

nia istnienie wspomnianych trudności.

Natomiast odnośnie do przestrzennej nieskończoności Wszechświata trudności związane z przejściem od lokalnyoh obserwacji do orzeozeń o charakterze globalnym tkwią u samych podstaw niejako tego zagadnienia. Widać to zarfftno w odniesie­

niu do krzywizny przestrzeni, jak i topologicznej cechy nie- zwartości.

Pomijając znaczne Jeszcze niedokładności w wyznaczaniu krzywizny przestrzeni związane z aktualnymi możliwościami tech­

nicznymi obserwacji, a także wszystkie stojące za tymi obserwa- cjami teoretyczne uwarunkowania 107 , należy wyraźnie zdać sobie sprawę, że może ona być określona jedynie dla obszaru lokalne­

go. Zatem sama z siebie nie może służyć jako podstawa do roz­

strzygania o przestrzennej skończoności czy też nieskończono­

ści Wszechświata. Koniecznym jest określenie jej dla całego

Wszechświata, a więc nadanie lokalnym obserwacjom wydźwięku

globalnego. Zabieg taki jest możliwy jedynie na podstawie

JÓ Z E F T U REK

przyjętych uprzednio założeń, że Wszechświat jest w każdym punkcie taki sam. W kosmologii Robertsona-Walkera wymaganie to jest spełnione przez przyjętą u jej podstaw ZZK zakłada­

jącą jednorodność i izotropowość Wszechświata. Zatem jeśli Wszechświat jest jednorodny, to krzywizna przestrzeni okre­

ślona w dowolnym jego punkcie charakteryzuje całą jego przes­

trzeń i tym samym może wskazywać wespół z odpowiednimi włas­

nościami topologicznymi na jego skończoność czy też nieskoń­

czoność.

Założeniowy charakter takiego rozstjirzyfini ęcia jest aż nadto widoczny i nie budzi żadnej wątpliwoijfbi. Wydaje się jed­

nak, ple charakteru tego nie można rozumieć w sensie czysto po- stulatywnym, jak zdają się to sugerować niektórzy filozofujący kosmologowie radzieccy 108 . Nigdzie bowiem w kosmologii Robert- sona-Walkera nie postuluje się w sposób bezpośredni przestrzen­

nej skończoności czy też nieskończoności Wszechświata. Rozstrzy gnięcie o tym, jaki jest realny Wszechświat, skończony czy nie­

skończony®! wyprowadzane jest nie tylko na podstawie samych za­

łożeń jednorodności, ale również i na podstawie pewnych danych empirycznych. Z pewnością więc posiada ono inny charakter epis- temologiczny niż postulaty w systemach dedukcyjnych. Ponadto założenie jednorodnlici Wszechświata wydaje się mimo wszyst­

ko mieć pewne uzasadnienie, jeśli nie empiryczne, to przynaj­

mniej bardziej ogólne, teoretyczne1 .

Orzekanie o topologicznych własnościach realnego Wszech­

świata uwydatnia jeszcze bardziej założeniowy charakter omawia­

nej problematyki jego nieskończoności. Dzieje się tak przede wszystkim dlatego, że jak dotąd nie widać wyraźnych możliwoś­

ci wiązania tych własności z obserwacjami, w szczególności gdy chodzi o cechę zwartości czy też niezwartości przestrzeni110.

Jak zawsze w takich sytuacjach ma miejsce odwoływanie się do różnego rodzaju założeń, które w konsekwencji nabierają istot­

nego znaczenia. Przede wszystkim dochodzi do głosu tzw. zasa­

da prostoty stwierdzająca, że Wszechświat realizuje przypadki najprostsze. Zatem odpowiadające mu formy topologiczne winny być formami prostymi, co pozwoliłoby na wyeliminowanie całego szeregu tzw. form patologicznych. Poza postulatem prostoty wskazuje się jeszcze na inne racje przemawiające za elimina­

cją tychże form patologicznych jako mniej prawdopodobnych z fizycznego punktu widzenia. Uważa się, że "rozsądna." rozmai­

tość topologiczna przysługująca naszemu Wszechświatowi nie po­

Z A Ł O Ż E N IA P R O B L E M A T Y K I N IE SK O Ń C ZO N O ŚC I W S ZE C H Ś W IA T A 43

winna posiadać ograniczenia, gdyż mogłoby to sugerować istnie­

nie jakiegoś brzegu, krawędzi, które w realnym Wszechświecie nie zostały zaobserwowane. Wiana w dodatku być to przestrzeń Hausdorffa, to jest taka, w której otoczenia dwóch różnych punktów są rozłączne, gdyż w przeciwnym razie zostałoby naru­

szone to, co w rzeczywistości rozumie się przez zdarzenia od siebie oddzielone. Powinna też być to rozmaitość spójna, a więc nie składająca się z różnych, w żaden sposób ze sobą nie połą­

czonych części oraz para zwarta, t j . posiadająca dowolnie małe otwarte i lokalnie skończone pokrycia . Ważną własnością tej rozmaitości winna być też jej orientowalność, tzn. nie może być tak, aby po obejściu jej wokół powrócić do punktu wyjścia i założyć prawą rękawiczkę na lewą rękę 112 .

Są to więc, jak widać, bardzo ogólne kryteria wyboru

"rozsądnej" formy topologicznej dla naszego Wszechświata. Nie rozstrzygają one jednak o tym czy forma ta jest zwarta, czy też nie, chooiaż byłoby to bardzo pożądane z punktu widzenia oma­

wianego problemu przestrzennej nieskończoności. Niemniej nie pozostają one całkowicie bez związku z poruszanym problemem, a to w tym sensie, że przypisując realnemu Wszechświatowi pros­

tsze, mniej wyszukane formy topologiczne zdają się tym samym ułatwiać rozstrzygnięcie o tym czy jest on przestrzennie zwar­

ty, czy też nie. Wiadomo bowiem, że w wypadku najprostszych form topologicznych dla trójwymiarowej przestrzeni /E ^, S^, B?/

istnieje dosyć jednoznaczna odpowiedniość między znakiem krzy­

wizny a cechą zwartości czy też niezwartości danej przestrzeni.

Pozwala to niejako automatycznie orzekać na podstawie wyznaczo­

nej krzywizny o tym, czy Wszechświat jest przestrzennie skoń­

czony czy też nieskończony /oczywiście po uwzględnieniu wspom­

nianych wcześniej założeń/.

Jak dotąd nie widać innego sposobu rozstrzygania o prze­

strzennej zwartości czy też niezwartości naszego Wszechświa- ta 113 , chociaż podkreśla się, że warunek kauzalny głęboko tkwiący w strukturze czasoprzestrzeni przemawia raczej za jej niezwartością. Jest to jednak cecha czasoprzestrzeni jako ta­

kiej, związana bardziej z jej częścią czasową niż przestrzen­

ną11^ .

Orzekanie więc o topologicznych własnościach Wszećhświa- ta jest jeszcze bardziej skomplikowane i trudne niż ma to miej­

sce w wypadku własności metrycznych, co nie tylko potwierdza

założeniowy charakter problematyki nieskończoności Wszechświa-