Podstawy obliczeń inżynierskich/przemysłowych z obszaru przepływomierzy próbkujących

1. Wprowadzenie

Strumień objętości lub strumień masy jest jedną z najważniej- szych wielkości mierzonych w przemyśle. Pomiar strumienia masy lub strumienia objętości należy do najtrudniejszych w me- trologii przemysłowej [2; 3 s. 7]. Artykuł ma na celu przedsta- wienie wykorzystania zagadnień matematyki w przemysłowej metrologii, w szczególności do pomiarów przepływu płynów.

Przedstawiono przykładowe zastosowanie matematyki do wyznaczania współczynnika wzorcowania przepływomierzy próbkujących oraz do analizy budżetu niepewności zwężki po- miarowej.

Strumień objętości wyznacza się, korzystając ze wzoru:

śr

v A v

q = ⋅ (1.1)

gdzie: A – pole powierzchni przekroju przepływowego;

ν_śr – prędkość średnia po przekroju przepływowym.

Ogólnie strumień objętości w przekroju przepływowym jest równy [Spitz 1993]:

∫

=

A

v

vdA

q

_(1.2)

gdzie: ν – funkcja opisująca rozkład prędkości.

2. Obliczanie strumienia objętości

Charakterystyczną cechą przepływomierzy próbkujących jest przekazywanie przez czujnik (lub czujniki), umieszczo- ny w wybranym miejscu (rozmieszczone w określonych miej- scach) przekroju przepływowego informacji o wartości pręd- kości miejscowej (lokalnej) płynu. Na podstawie tych danych, jak również na podstawie znajomości powierzchni przekroju przepływowego, położenia czujników oraz tzw. współczynnika wzorcowania wyznaczany jest strumień objętości przepływa- jącego medium.

Współczynnik wzorcowania jest zdefiniowany następująco:

c

v

śr

k = v

^(2.1)

gdzie: νśr – średnia prędkość płynu po przekroju przepływowym, v – średnia prędkość płynu w powierzchni czynnej czujnika.

Do wyznaczania strumienia objętości można się posłużyć schematem przedstawionym na rys. 1.

Strumień objętości w przepływomierzu próbkującym z jed- nym czujnikiem prędkości miejscowej jest obliczany zgodnie ze schematem przedstawionym na rys. 1 według wzoru:

A. k v

q_v = _c⋅ ⋅ (2.2)

2.1. Modele matematyczne rozkładu prędkości

Wyróżniamy różne modele matematyczne rozkładu prędko- ści w przewodzie zamkniętym, określające różne charaktery przepływu:

2.1.1. Przepływ laminarny

Postać jego jest następująca:











 



 



−

=

m

m R

v r

v 1 _(2.3)

Streszczenie: Pomiary przepływu są bardzo ważne w przemy- śle. Przepływomierze próbkujące to urządzenia, których można użyć do pomiaru przepływu w sytuacji, gdy nie ma możliwości użycia całoprzewodowych, uwzględniając techniczne i ekono- miczne warunki. W przypadku, gdy używamy matematycznych modeli czujnika oraz matematycznych modeli obiektu, istnieje możliwość teoretycznej analizy optymalnego położenia czujnika w rurociągu. W artykule przedstawiono matematyczne metody analizy przepływomierzy próbkujących.

Słowa kluczowe: przepływomierz próbkujący, modele mate- matyczne.

USING MATHEMATIC IN INDUSTRY OPERATION WITH SAMPLING FLOWMETERS

Abstract: Flow-rate measurements have very important mean- ings in industry. The sampling flowmeters are devices which can be used for measuring the flow-rate in situations where full-bore flowmeters cannot be used for technical or economical reasons.

When we use a mathematical model of a sensor and a mathe- matical model of an object, we can theoretically optimize the po- sition of the sensor in the pipe. In this article are the mathemati- cal method to a analized the sampling flowmeters.

Keywords:flowmeters, mathematical model.

Podstawy obliczeń inżynierskich/przemysłowych z obszaru przepływomierzy próbkujących

Witold Krieser

gdzie: v_m – prędkość w osi rurociągu, która jest prędkością mak- symalną; r – odległość punktu od osi rurociągu w przekroju przepływowym; R – promień wewnętrzny rurociągu.

2.1.2. Przepływ turbulentny

Poniżej zostaną przedstawione wybrane wzory opisujące roz- kład prędkości dla przepływu turbulentnego.

lWzór uniwersalny











 



 



−

=

m

m R

v r

v 1 (2.4)

lWzór potęgowy trójskładnikowy

( )











 



 



− 

 −



 



− 

=

m

m R

b r R

b r v

v 1 ² 1 (2.4 a)

gdzie: b, m – parametry, które wyznacza się dla konkretnego profilu prędkości.

lWzór potęgowy Prandtla

n

m R

v r v

1

1 



 

 −

= (2.5)

gdzie: 1/n – wykładnik potęgowy zależny od liczby Reynoldsa i chropowatości rurociągu.

2.2. Współczynnik wzorcowania – wyznaczanie

Prędkość średnią płynu występującą we wzorze na współ- czynnik wzorcowania oblicza się w następujący sposób:

∫

=

A

śr vdA

v A1

(2.6)

gdzie: v – model rozkładu prędkości w przekroju przepływo- wym; dA – element powierzchni przekroju.

Prędkość średnia płynu w powierzchni czynnej czujnika „A_c” zdefiniowana jest następująco:

∫∫

=

Ac

c

c vdxdy

v A1

(2.7)

gdzie: x oraz y to współrzędne w czujniku.

Schemat umiejscowienia czujnika o powierzchni czynnej ko-

W celu obliczenia prędkości średniej w powierzchni czynnej czujnika należy rozpatrzyć sytuację przedstawioną na rys. 3 [1].

Z twierdzenia kosinusów można wyznaczyć promień bieżący w rurociągu:

) 90 cos(

2

2 2

2 =r_co+r_c + r_cor_c ^o−

ϕ

r _(2.8)

Z tego równania:

(

_rco² _rc² 2_rcorcsin

ϕ )

^0,5

r = + +

(2.9) Średnią prędkość w powierzchni czynnej czujnika można

Rys. 1. Schemat wyznaczania strumienia objętości płynu metodą próbkującą

k

Vc Vśr qv

A

Rys. 2. Schemat czujnika powierzchniowego o powierzchni czyn- nej kołowej: R – promień wewnętrzny rurociągu; rco – odległość środka czujnika od osi rurociągu

Rys. 3. Schemat sytuacji w powierzchni czynnej czujnika:

R_c – promień czujnika; r_c – promień bieżący w czujniku; r – pro- mień bieżący w rurociągu, φ – współrzędna kątowa

π ϕ

πv r rdrd

v R ^R _{c c}

c c

∫ ∫

c

=

0 2

0

2 ( )

1 (2.10)

gdzie: v(r) – rozkład prędkości w przekroju poprzecznym ru- rociągu.

Współczynnik wzorcowania dla przepływu laminarnego opisanego wzorem (2.3)

Prędkość średnią w powierzchni czynnej czujnika oblicza się ze wzoru:

( )



















− 







−

 =























 + +

−

=

∫ ∫

2 2

0 2

0

5 2 , 2 0

2

2 2

1 1 sin

1 2

R R R

v r d dr R r

r r r r R

v v c m ^{co c}

R

c c co c co c

c m

c ϕ ϕ

π

π

( )















 



− 



 



−

 =























 + +

−

=

∫ ∫

2 2

0 2

0

5 2 , 2 0

2

2 2

1 1 sin

1 2

R R R

v r d dr R r

r r r r R

v v c m ^{co c}

R

c c co c co c

c m

c ϕ ϕ

π

π

Współczynnik wzorcowania:















 



− 



 



−

=

= _{2 2}

2 1 1

2

1 R R R

v r k v

c c co

śr

Współczynnik wzorcowania dla przepływu turbulentnego opisanego wzorem (2.4)

Dla m = 4 prędkość średnią w powierzchni czynnej czujnika oblicza się ze wzoru:

( )















 



− 

 −



 



−

 =























 + +

−

=

∫ ∫

4 4

2 4 2

0 2

0

5 4 , 2 0

2

2 3

2 1 sin 1

1 2

R R R

R r R

v r d dr R r

r r r r R

v v ^{R co c co c} _{c c m} ^{co co c c}

c c m

c ϕ ϕ

π

π

( )















 



− 

 −



 



−

 =























 + +

−

=

∫ ∫

4 4

2 4 2

0 2

0

5 4 , 2 0

2

2 3

1 1 2

sin 1 2

R R R

R r R

v r d dr R r

r r r r R

v v ^{R co c co c} _{c c m} ^{co co c c}

c c m

c ϕ ϕ

π

π

Współczynnik wzorcowania:















 



− 

 −



 



−

=

= ₄

4 2 4 2

3 1 1 2

3

2

R R R

R r R

v r k v

c c

co c co

śr

Dla m = 8 prędkość średnią w powierzchni czynnej czujnika oblicza się ze wzoru:















 



− 

−

−

 −



 



−

=

8 8

6 2 8

4 4 8

2 8 6

5 1 4

12 1 8

R R R

R r R

R r R

R r R

v r

v_{c m} ^{co co c co c co c c}

(2.15)

Współczynnik wzorcowania:















 



− 

−

−

 −



 



−

=

= ₈

8 6 2 8

4 4 8

2 8 6

5 1 4

12 1 8

5

4

R R R

R r R

R r R

R r R

v r k v

c c

co c co c co c co

śr















 



− 

−

−

 −



 



−

=

= ₈

8 6 2 8

4 4 8

2 8 6

5 1 4

12 1 8

5

4

R R R

R r R

R r R

R r R

v r k v

c c

co c co c co c co

śr

Dla m = 12 prędkość średnią w powierzchni czynnej czujnika oblicza się ze wzoru:















 



− 

−

−

−

−

 −



 



−

=

12 12

10 2 12

8 4 12

6 6 12

4 8 12

2 12 10

7 6 1

45 100

75 1 18

R R R

R r R

R r R

R r R

R r R

R r R

v r

vc m ^{co co c co c co c co c co c c}















 



− 

−

−

−

−

 −



 



−

=

12 12

10 2 12

8 4 12

6 6 12

4 8 12

2 12 10

7 6 1

45 100

75 1 18

R R R

R r R

R r R

R r R

R r R

R r R

v r

v_{c m} ^{co co c co c co c co c co c c}

Współczynnik wzorcowania:















 



− 

−

−

−

−

 −



 



−

=

= 12

12 10 2 12

8 4 12

6 6 12

4 8 12

2 12 10

7 6 1

45 100

75 1 18

7

6

R R R

R r R

R r R

R r R

R r R

R r R

v r k v

c c

co c co c co c

co c co c co

śr















 



− 

−

−

−

−

 −



 



−

=

= 12

12 10 2 12

8 4 12

6 6 12

4 8 12

2 12 10

7 6 1

45 100

75 1 18

7

6

R R R

R r R

R r R

R r R

R r R

R r R

v r k v

c c

co c co c co c

co c co c co

śr

Współczynnik wzorcowania dla przepływu turbulentnego opisanego wzorem (2.4 a)

Dla m = 4 prędkość średnią w powierzchni czynnej czujnika oblicza się ze wzoru:

( ) _{( )} ( )















 



− 

− −

 −



 



− 

−



 



− 



 



− 

=

 =























 + +

−

 −











 + +

−

=

∫ ∫

4 4

2 4 2

2 0

2 0

5 4 , 0 2 0

20 5 2

, 0 2 0

20 2

3 ) 1 ( ) 2 )(

1 ) (

1 2 (

1

sin 1 2

sin 1 2

R R b R

R r b R

b r R

R b R b r v

d dr R r

r r r b r

R r r r b r

R v v

c c

co co

c m co

c R

C c C C C C

C C C c

c m

c ϕ ϕ ϕ

π

π

( ) _{( )} ( )















 



− 

− −

 −



 



− 

−



 



− 



 



− 

=

 =























 + +

−

 −











 + +

−

=

∫ ∫

4 4

2 4 2

2 0

2 0

5 4 , 0 2 0

20 5 2

, 0 2 0

20 2

3 ) 1 ) ( 2 )(

1 ) (

1 2 (

1

sin 1 2

sin 1 2

R R b R

R r b R

b r R

R b R b r v

d dr R r

r r r b r

R r r r b r

R v v

c c

co co

c m co

c R

C c C C C C

C C C c

c m

c ϕ ϕ ϕ

π

π

( ) _{( )} ( )















 



− 

− −

 −



 



− 

−



 



− 



 



− 

=

 =























 + +

−

 −











 + +

−

=

∫ ∫

4 4

2 4 2

2 0

2 0

5 4 , 0 2 0

20 5 2

, 0 2 0

20 2

3 ) 1 ) ( 2 )(

1 ) (

1 2 (

1

sin 1 2

sin 1 2

R R b R

R r b R

b r R

R b R b r v

d dr R r

r r r b r

R r r r b r

R v v

c c

co co

c m co

c R

C c C C C C

C C C c

c m

c ϕ ϕ ϕ

π

π

( ) _{( )} ( )















 



− 

− −

 −



 



− 

−



 



− 



 



− 

=

 =























 + +

−

 −











 + +

−

=

∫ ∫

4 4

2 4 2

2 0

2 0

5 4 , 0 2 0

20 5 2

, 0 2 0

20 2

3 ) 1 ( ) 2 )(

1 ) (

1 2 (

1

sin 1 2

sin 1 2

R R b R

R r b R

b r R

R b R b r v

d dr R r

r r r b r

R r r r b r

R v v

c c

co co

c m co

c R

C c C C C C

C C C c

c m

c ϕ ϕ ϕ

π

π

(2.11)

(2.17)

(2.18)

(2.19) (2.16)

(2.12)

(2.13)

(2.14)

Współczynnik wzorcowania:















 



− 

− −

 −



 



− 

−



 



− 



 



− 

−

= +

= ₄

4 2 4 2

2

3 ) 1 ( ) 2 )(

1 ) (

1 2 (

1 12

4 ) 4 ( 2

R R b R

R r b R

b r R

R b R b r

b b v

k v

c c

co co

c c co

śr















 



− 

− −

 −



 



− 

−



 



− 



 



− 

−

= +

= ₄

4 2 4 2

2

3 ) 1 ( ) 2 )(

1 ) (

1 2 (

1 12

4 ) 4 ( 2

R R b R

R r b R

b r R

R b R b r

b b v

k v

c c

co co

c c co

śr

Dla m = 8 prędkość średnią w powierzchni czynnej czujnika oblicza się ze wzoru:

( ) _{( )} ( )















 



− 

− −

− −

− −

 −



 



− 

−



 



− 



 



− 

=

 =























 + +

−

 −











 + +

−

=

∫ ∫

R b R R

R r b R

R r b R

R r b R

b r R

b R R b r v

d dr R r

r r r b r

R r r r b r

R v v

c c

co c

co c

co co

c m co

c R

C c C C C C

C C C c

c m

c

5 ) 1 ( ) 4 )(

1 ( ) 12 )(

1 ( ) 8 )(

1 ) (

1 2 (

1

sin 1 2

sin 1 2

8 6 2 8

4 4 8

2 8 6

2 0

2 0

5 4 , 0 2 0

20 5 2

, 0 2 0

20

2 ϕ ϕ ϕ

π

π

( ) _{( )} ( )















 



− 

− −

− −

− −

 −



 



− 

−



 



− 



 



− 

=

 =























 + +

−

 −











 + +

−

=

∫ ∫

R R b R

R r b R

R r b R

R r b R

b r R

R b R b r v

d dr R r

r r r b r

R r r r b r

R v v

c c

co c

co c

co co

c m co

c R

C c C C C C

C C C c

c m

c

5 ) 1 ( ) 4 )(

1 ( ) 12 )(

1 ( ) 8 )(

1 ) (

1 2 (

1

sin 1 2

sin 1 2

8 6 2 8

4 4 8

2 8 6

2 0

2 0

5 4 , 0 2 0

20 5 2

, 0 2 0

20

2 ϕ ϕ ϕ

π

π

( ) _{( )} ( )















 



− 

− −

− −

− −

 −



 



− 

−



 



− 



 



− 

=

 =























 + +

−

 −











 + +

−

=

∫ ∫

R b R R

R r b R

R r b R

R r b R

b r R

b R R b r v

d dr R r

r r r b r

R r r r b r

R v v

c c

co c

co c

co co

c m co

c R

C c C C C C

C C C c

c m

c

5 ) 1 ( ) 4 )(

1 ( ) 12 )(

1 ( ) 8 )(

1 ) (

1 2 (

1

sin 1 2

sin 1 2

8 6 2 8

4 4 8

2 8 6

2 0

2 0

5 4 , 0 2 0

20 5 2

, 0 2 0

20

2 ϕ ϕ ϕ

π

π

( ) _{( )} ( )















 



− 

− −

− −

− −

 −



 



− 

−



 



− 



 



− 

=

 =























 + +

−

 −











 + +

−

=

∫ ∫

R b R R

R r b R

R r b R

R r b R

b r R

b R R b r v

d dr R r

r r r b r

R r r r b r

R v v

c c

co c

co c

co co

c m co

c R

C c C C C C

C C C c

c m

c

5 ) 1 ( ) 4 )(

1 ( ) 12 )(

1 ( ) 8 )(

1 ) (

1 2 (

1

sin 1 2

sin 1 2

8 6 2 8

4 4 8

2 8 6

2 0

2 0

5 4 , 0 2 0

20 5 2

, 0 2 0

20

2 ϕ ϕ ϕ

π

π

( ) _{( )} ( )















 



− 

− −

− −

− −

 −



 



− 

−



 



− 



 



− 

=

 =























 + +

−

 −











 + +

−

=

∫ ∫

R b R R

R r b R

R r b R

R r b R

b r R

b R R b r v

d dr R r

r r r b r

R r r r b r

R v v

c c

co c

co c

co co

c m co

c R

C c C C C C

C C C c

c m

c

5 ) 1 ) ( 4 )(

1 ( ) 12 )(

1 ( ) 8 )(

1 ) (

1 2 (

1

sin 1 2

sin 1 2

8 6 2 8

4 4 8

2 8 6

2 0

2 0

5 4 , 0 2 0

20 5 2

, 0 2 0

20

2 ϕ ϕ ϕ

π

π

Współczynnik wzorcowania:















 



− 

− −

− −

− −

 −



 



− 

−



 



− 



 



− 

−

= +

= ₈

8 6 2 8

4 4 8

2 8 6

2

5 ) 1 ) ( 4 )(

1 ( ) 12 )(

1 ( ) 8 )(

1 ) (

1 2 (

1 20

8 ) 8 ( 2

R R b R

R r b R

R r b R

R r b R

b r R

R b R b r

b b v

k v

c c

co c

co c

co co

c c co

śr















 



− 

− −

− −

− −

 −



 



− 

−



 



− 



 



− 

−

= +

= ₈

8 6 2 8

4 4 8

2 8 6

2

5 ) 1 ( ) 4 )(

1 ( ) 12 )(

1 ( ) 8 )(

1 ) (

1 2 (

1 20

8 ) 8 ( 2

R b R R

R r b R

R r b R

R r b R

b r R

b R R b r

b b v

k v

c c

co c

co c

co co

c c co

śr















 



− 

− −

− −

− −

 −



 



− 

−



 



− 



 



− 

−

= +

= ₈

8 6 2 8

4 4 8

2 8 6

2

5 ) 1 ( ) 4 )(

1 ( ) 12 )(

1 ( ) 8 )(

1 ) (

1 2 (

1 20

8 ) 8 ( 2

R R b R

R r b R

R r b R

R r b R

b r R

R b R b r

b b v

k v

c c

co c

co c

co co

c c co

śr

Dla m = 12 prędkość średnią w powierzchni czynnej czujnika oblicza się ze wzoru:

( ) _{( )} ( )

12

12 10 2

12 8 4 12

6 6 12

4 8 12

2 12 10

2 0

2 0

5 12 , 0 2 0

20 5 2

, 0 2 0

20 2

7 ) 1 ) ( 6 )( 1 (

) 45 )( 1 ( ) 100 )( 1 ( ) 75 )( 1 ( ) 18 )(

1 ) (

1 2 (

1

sin 1 2

sin 1 2























 



− 

− −

−

− −

− −

− −

− −

 −



 



− 

−



 



− 



 



− 

=

 =























 + +

−

 −











 + +

−

=

∫ ∫

R b R R

R r b

R R r b R

R r b R

R r b R

R r b R

b r R

b R R b r v

d dr R r

r r r b r

R r r r b r R

v v

c c

co

c co c

co c

co c

co co

c co

m

c R

C c C C C C

C C C c

c m

c ϕ ϕ ϕ

π

π

( ) _{( )} ( )

12

12 10 2

12 8 4 12

6 6 12

4 8 12

2 12 10

2 0

2 0

5 12 , 0 2 0

20 5 2

, 0 2 0

20 2

7 ) 1 ) ( 6 )(

1 (

) 45 )(

1 ( ) 100 )(

1 ( ) 75 )(

1 ( ) 18 )(

1 ) (

1 2 (

1

sin 1 2

sin 1 2























 



− 

− −

−

− −

− −

− −

− −

 −



 



− 

−



 



− 



 



− 

=

 =























 + +

−

 −











 + +

−

=

∫ ∫

R R b R

R r b

R R r b R

R r b R

R r b R

R r b R

b r R

b R R b r v

d dr R r

r r r b r

R r r r b r

R v v

c c

co

c co c

co c

co c

co co

c co

m

c R

C c C C C C

C C C c

c m

c ϕ ϕ ϕ

π

π

( ) _{( )} ( )

12

12 10 2

12 8 4 12

6 6 12

4 8 12

2 12 10

2 0

2 0

5 12 , 0 2 0

20 5 2

, 0 2 0

20 2

7 ) 1 ) ( 6 )( 1 (

) 45 )( 1 ( ) 100 )( 1 ( ) 75 )( 1 ( ) 18 )(

1 ) (

1 2 (

1

sin 1 2

sin 1 2























 



− 

− −

−

− −

− −

− −

− −

 −



 



− 

−



 



− 



 



− 

=

 =























 + +

−

 −











 + +

−

=

∫ ∫

R b R R

R r b

R R r b R

R r b R

R r b R

R r b R

b r R

b R R b r v

d dr R r

r r r b r

R r r r b r

R v v

c c

co

c co c

co c

co c

co co

c co

m

c R

C c C C C C

C C C c

c m

c ϕ ϕ ϕ

π

π

( ) _{( )} ( )

12

12 10 2

12 8 4 12

6 6 12

4 8 12

2 12 10

2 0

2 0

5 12 , 0 2 0

20 5 2

, 0 2 0

20 2

7 ) 1 ( ) 6 )(

1 (

) 45 )(

1 ( ) 100 )(

1 ( ) 75 )(

1 ( ) 18 )(

1 ) (

1 2 (

1

sin 1 2

sin 1 2























 



− 

− −

−

− −

− −

− −

− −

 −



 



− 

−



 



− 



 



− 

=

 =























 + +

−

 −











 + +

−

=

∫ ∫

R R b R

R r b

R R r b R

R r b R

R r b R

R r b R

b r R

R b R b r v

d dr R r

r r r b r

R r r r b r

R v v

c c

co

c co c

co c

co c

co co

c co

m

c R

C c C C C C

C C C c

c m

c ϕ ϕ ϕ

π

π

Współczynnik wzorcowania:























 



− 

− −

− −

− −

− −

− −

−

−



 



− 

−



 



− 



 



− 

−

= +

=

12 12

10 2 12

8 4

12 6 6 12

4 8 12

2 12 10

2

7 ) 1 ( ) 6 )( 1 ( ) 45 )( 1 (

) 100 )( 1 ( ) 75 )( 1 ( ) 18 )(

1 ) (

1 2 (

1 28

12 ) 12 ( 2

R R b R

R r b R

R r b

R R r b R

R r b R

R r b R

b r R

R b R b r

b b v

k v

c c

co c

co

c co c

co c

co co

c c co

śr



















 − −

− −

− −

 −



 



− 

−



 



− 



 



− 

−

= +

=

12 6 6 12

4 8 12

2 12 10

2 (1 ) (1 )(18 ) (1 )(75 ) (1 )(100 )

1 2 28

12 ) 12 ( 2

R R r b R

R r b R

R r b R

b r R

b R R

b r

b b v

k v

c co c

co c

co co

c c co

śr























 



− 

− −

− −

− −

− −

−

−

=

=

12 12

10 2 12

8 4

12 6 6 12

4 8

7 ) 1 ( ) 6 )(

1 ( ) 45 )(

1 (

) 100 )(

1 ( ) 75 )(

1 ( 28

R b R R

R r b R

R r b

R R r b R

R r v b

k v

c c

co c

co

c co c

c co śr

(2.21)

(2.22) (2.20)

(2.23)

(2.24)