Modelowanie i analiza sieci złożonych II. Historia

(1)

Modelowanie i analiza sieci złożonych

II. Historia sieciologii. Przykłady sieci rzeczywistych.

Grzegorz Siudem

Politechnika Warszawska

(2)

MASZ 1

(3)

Przed zajęciami

(4)

Przypomnij sobie – metody reprezentacji grafów

Macierz sąsiedztwa

A =





1 1 0 0 1 0 1 0 1



 .

Lista sąsiedztwa

L ={{1, 2}, {2}, {1, 3}} .

1 2

3

MASZ 2

(5)

Przypomnij sobie – stopień wierzchołka

Stopień wierzchołka

Liczba wchodzących albo wychodzących do wierzchołka krawędzi.

kout={4, 2, 3, 2, 4}, kin={3, 3, 3, 3, 3}.

1

2

3 4

5

MASZ 3

(6)

Przypomnij sobie – dyskretne rozkłady prawdopodobieństwa

Dyskretne rozkłady prawdopodobienstwa

• rozkład dwumianowy,

• rozkład Poissona,

• rozkład Zipfa.

●●

●

●●

●

●●●●●●

5 10 15 20

0.00 0.05 0.10 0.15

k

P(k)

P(k) = (n

k )

p^k(1−p)ⁿ^−k

●

●●

●

●●●●●

5 10 15 20

0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10 0.12 0.14

k PPoiss(8)(k)

P(k) = λ^ke^−λ k!

●

●●●●●

●●●●●●

1 2 5 10 20

0.001 0.010 0.100 1

k PZipf(30,1.5)(k)

P(k) = 1/k^s HN,s

Przypomnienie

Binom(N, p)→ Poiss(Np)

MASZ 4

(7)

Zadanie do przemyślenia – rozkłady ciągłe

W sieciologii często zastępuje się rozkłady dyskretne ciągłymi (o tym dlaczego porozmawiamy na zajęciach).

Znajdź ciągłe analogi rozkładów z poprzedniego slajdu.

MASZ 5

(8)

Wykład

(9)

Dlaczego sieci/grafy są tak użyteczne?

Grafy są ilustracją relacji

Jakie relacje ilustrują poniższe grafy?

Osama

Salim

Ali

Abouhlaima

Kherchtou Fawwaz

Abdullah

Hage

Odeh Owhali

Fazul Azzam

Atwah Fahad

Fadhil

Khalfan

Ghailani Awad

MASZ 6

(10)

Czym się różnią sieci od grafów?

MASZ 7

(11)

Dlaczego sieci są złożone?

Cechy rzeczywistych sieci

• rozkłady stopni wierzchołków mają grube ogony.

• wierzchołki są heterogeniczne.

• występują zjawiska małych światów (sześć kroków?).

• wierzchołki są ze sobą skorelowane (współczynnik gronowania).

Który z tych grafów przedstawia sieć rzeczywistą?

MASZ 8

(12)

Co to jest sieciologia?

Ang. Network Science to połączenie narzędzi

• matematyki (teoria grafów, probabilistyka, statystyka),

• ﬁzyki (narzędzia ﬁzyki statystycznej, przejścia fazowe),

• informatyki (metody wizualizacji sieci, przechowywanie i przetwarzanie dużych sieci),

• analizy i inżynierii danych, z wiedzą specjalistyczną z

• socjologii,

• ekonomii,

• biologii,

• medycyny,

• inżynierii,

• i wielu innych...

MASZ 9

(13)

Historia sieciologii – problem mostów królewieckich (1736)

Źródło:

wikipedia

MASZ 10

(14)

Historia sieciologii – problem mostów królewieckich (1736)

Źródło:

wikipedia

MASZ 11

(15)

Historia sieciologii – problem mostów królewieckich (1736)

Źródło:

wikipedia

MASZ 12

(16)

Historia sieciologii – prace socjologiczne (lata 90. XX wieku)

Duże zainteresowanie socjologów badaniami sieci społecznych Najbardziej cytowana praca z tej tematyki:

M. S. Granovetter. The strength of weak ties. American Journal of Sociology, 78: 1360, 1973.

• badania głównie jakościowe,

• niezależne od badań matematyków z teorii grafów,

• nie skupiamy się na tym kierunku badań (poza jednym wyjątkiem!).

MASZ 13

(17)

Historia sieciologii – Erdös i Rényi (1960)

Pierwszy ilościowy model sieci przypadkowych

P. Erdős, A. Rényi. On random graphs. Publicationes Mathematicae, 6:

290, 1959.

• prosty model probabilistyczny w którym łączymy przypadkowo wierzchołki krawędziami.

• występuje w dwóch wariantach:

• Rozkładamy E krawędzi pomiedzy N wierzchołków.

• Każdą parę spośród N wierzchołków łaczymy krawędzią z prawdopodobieństwem p.

Więcej szczegółów na wykładzie 5.

MASZ 14

(18)

Historia sieciologii – Erdös i Rényi (1960)

Rozkład stopni wierzchołków

P(k) = ułamek węzłów ze stopniem k

2 4 6 8

0 2 4 6 8 10 12

Czy to jest rzeczywista sieć?

MASZ 15

(19)

Historia sieciologii – eksperyment Milgrama (1967)

Uwaga!

Nie należy mylić eksperymentu korespondencyjnego ze słynnym eksperymentem posłuszeństwa względem autorytetów!

Słynne sześć uścisków dłoni

Milgram, Stanley, The Small World Problem, Psychology Today, 1967.

Opis eksperymentu

• Milgram rozsyła do 160 przypadkowo wybranych ludzi list z opisem eksperymentu.

• Celem doświadczenia było dostarczenie listu do pewnego, przypadkowego adresata, którego zdjęcie, adres i dane umieszczone były w liście.

• Jeśli odbiorca listu znał adresata osobiście powinien mu go dostarczyć, w przeciwnym wypadku powinien go wysłać do kolejnej osoby, którą podejrzewał, że może znać adresata.

MASZ 16

(20)

Historia sieciologii – eksperyment Milgrama (1967)

Wnioski

• Większość listów zaginęła.

• Do celu dotarło tylko 42 ze 160 wysłanych.

• Niektóre potrzebowały tylko dwóch pośrednikow by dotrzeć do celu!

• Średnio, listy, które dotarły przekazywane były dalej tylko sześć razy.

Ciekawostka:

• Liczbą Erdösa naukowca nazywamy liczbę prac, jaka dzieli go od Paula Erdösa.

• Liczbą Bacona aktora nazywamy liczbę ﬁlmów jaka dzieli go od Kevina Bacona.

Więcej szczegółów na wykładzie 4.

MASZ 17

(21)

Historia sieciologii – model Wattsa-Strogatza (1998)

Problem:

Grafy poissonowskie nie mają cechy małych światów!

Model WS

D.J. Watts, S.H. Strogatz, Collective dynamics of ’small-world’

networks, Nature. 393 440–442 (1998).

Opis:

• Zaczynamy od udekorowanej sieci regularnej z periodycznymi warunkami brzegowymi.

• Z prawdopodobieństwem p przełączamy każdy z wierzchołków.

Więcej informacji na wykładzie 5.

MASZ 18

(22)

Historia sieciologii – model Wattsa-Strogatza (1998)

1

2

3

4 5

6 7 8 9 10

1

2

3

4 5

6 7 8 9 10

1

2

3

4 5

6 7 8 9 10

MASZ 19

(23)

Historia sieciologii – model Barabásiego-Alberty (1999)

Problem:

Sieci rzeczywiste mają potęgowe rozkłady stopni wierzchołków!

2 4 6 8

0 2 4 6 8 10 12

5 10 15 20 25

0 5 10 15 20 25

Co to oznacza?

• Brak typowej skali.

• grube ogony.

• Epidemie...

MASZ 20

(24)

Historia sieciologii – model Barabásiego-Alberty (1999)

Model BA

A.-L. Barabási, R. Albert, Emergence on scaling in random networks, Science, 286:509-512, 1999.

A.-L. Barabási, R. Albert, H. Jeong, Mean-ﬁeld theory for scale-free random networks, Physica A, 272: 173-187, 1999.

Główne założenia:

• Sieć jest ewoluująca, tzn. z każdym krokiem dodajemy nowy wierzchołek i ją powiększamy.

• Krawędzie dodawane są zgodnie z regułą preferencyjnego dołączania (ang. rich get richer rule).

Oba założenia są konieczne!

MASZ 21

(25)

Historia sieciologii – model Barabásiego-Alberty (1999)

Procedura konstrukcji:

• Zaczynamy od małego grafu pełnego.

• Dodajemy nowy węzeł.

• Dołaczamy go krawędziami do istniejących węzłów zgodnie z regułą preferencyjnego dołączania.

• Powtarzamy dwa powyższe punkty.

MASZ 22

(26)

Historia sieciologii – model Barabásiego-Alberty (1999)

MASZ 22

(27)

Historia sieciologii – model Barabásiego-Alberty (1999)

MASZ 22

(28)

Historia sieciologii – model Barabásiego-Alberty (1999)

MASZ 22

(29)

Historia sieciologii – model Barabásiego-Alberty (1999)

MASZ 22

(30)

Historia sieciologii – model Barabásiego-Alberty (1999)

MASZ 22

(31)

Historia sieciologii – model Barabásiego-Alberty (1999)

Podsumowanie:

• Sieć ewolucyjna o potęgowym rozkładzie stopni wierzchołków.

• Początek nowoczesnej sieciologii.

• Znaczenie tzw. hubów.

5 10 15 20 25

0 5 10 15 20 25

MASZ 23

(32)

Zainteresowanych/e historią sieciologii odsyłam do

MASZ 24

(33)

Główne problemy sieciologii

Głównym zadaniem nauki o sieciach jest modelowanie rzeczywistych zjawisk i procesów przy pomocy sieci złożonych, będących de facto

odpowiednimi grafami.

Typowe narzędzia to:

• Ilościowy opis sieci, w tym także

• Proponowanie metryk sieci (wykład 4).

• Analiza ich własności (wykłady 4,8).

• Mierzenie przy ich pomocy sieci rzeczywistych (wykłady 4,8, 13-15).

• Opis procesów dynamicznych na rzeczywistych sieciach (np.

epidemie, propagacja informacji, etc.) (wykłady 8,11-15)

• Teoretyczne modele sieci złożonych (wykłady 5,6,9,10).

• Teoretyczne modele procesów na sieciach (wykłady 11,12).

• Wizualizacja sieci (zarówno teoretycznych jak i rzeczywistych) (wykład 3).

MASZ 25

(34)

Dziękuję za uwagę!

MASZ 25

(35)

MASZ 26