Lista 5. Chińskie twierdzenie o resztach 1. Jakie liczby x spełniają układ kongruencji:
(a) x ≡ 1 (mod 2), x ≡ 2 (mod 3), (b) x ≡ 1 (mod 2), x ≡ 4 (mod 8), (c) x ≡ 5 (mod 6), x ≡ 4 (mod 9),
(d) x ≡ 1 (mod 2), x ≡ 2 (mod 3), x ≡ 3 (mod 5), (e) x ≡ 3 (mod 7), x ≡ 5 (mod 11),
(f) x ≡ 5 (mod 9), x ≡ 3 (mod 8).
2. Udowodnij, że x ≡ 5 (mod 6) ⇔ x ≡ 1 (mod 2) i x ≡ 2 (mod 3).
3. Jakim (prostszym) kongruencjom jest równoważne przystawanie:
(a) x ≡ 17 (mod 30), (b) x ≡ 31 (mod 70), (c) x ≡ 13 (mod 20), (d) x ≡ 7 (mod 8).
4. Dlaczego w przykładach b i c z zadania pierwszego nie było rozwiązań?
Kiedy możemy być pewni, że znajdzie się rozwiązanie?
5. Znajdź jakiekolwiek, całkowite rozwiązanie (x, y) równania:
(a) 7x + 2y = 1, (b) 5x + 18y = 1, (c) 22x + 18y = 1, (d) 11x + 17y = 1, (e) 35x + 84y = 1, (f) 33x + 47y = 1.
Twierdzenie 0.1 Jeśli mamy dane parami względnie pierwsze liczby d1, d2, ..., dk
oraz dowolne całkowite r1, r2, ..., rk, to układ:
x ≡ r1 (mod d1) x ≡ r2 (mod d2)
...
x ≡ rk (mod dk)
ma nieskończenie wiele rozwiązań. Wszystkie one są postaci x = u + D · n,
gdzie D = d1·d2·...·dk, u ∈ {0, 1, 2, ..., D −1}, a n jest dowolną liczbą całkowitą.
1
