Lista 5 (zbiory)

Lista 5 (zbiory)

Zad. 1 Uzupeªnij

{x : φ(x) ∨ ψ(x)} = {x : φ(x)} . . . {x : ψ(x)}.

{x : φ(x) . . . ψ(x)} = {x : φ(x)} ∩ {x : ψ(x)}.

{x : φ(x) . . . ψ(x)} = {x : φ(x)} \ {x : ψ(x)}.

{x : φ(x) ⇐⇒ ψ(x)} = . . . .

. . . = {x : φ(x)} ∪ ({x : ψ(x)} ∩ {x : φ(x)})^c Uzasadnij!

Zad. 2 Zaznacz na diagramie Venna nast¦puj¡ce zbiory A ∩ B ∩ C

A ∩ (B ∪ C) A \ (B \ C) (A ∪ C) \ (B ∩ C) (A ∩ C) ∪ (A ∩ B ∩ C)

Zad. 3 Zbiory A, B, C s¡ podzbiorami X. Zaznacz na diagramie Venna zbiory speª- niaj¡ce nast¦puj¡ce funkcje zdaniowe.

x ∈ A ∧ x ∈ B x /∈ A ∧ x /∈ B ∧ x /∈ C

x ∈ A ⇐⇒ x ∈ B x ∈ A =⇒ x ∈ B

(x ∈ A ⇐⇒ x ∈ B) ⇐⇒ x ∈ C

¬(x ∈ A ⇐⇒ x ∈ B) ⇐⇒ x ∈ C Zdeniuj te zbiory przy u»yciu ∪, ∩, itd.

1

Lista 5 (zbiory)

Zad. 4 Wska» (o ile to mo»liwe) przykªad zbiorów A, B, C, dla których a) (A ∪ B) ∩ C 6= (A ∩ C) ∪ B,

b) (A \ B) ∪ C 6= A ∪ C,

c) (A \ B) ∩ C 6= (C ∩ A) ∩ (A \ B), d) (C \ A) ∩ B 6= C ∩ B.

Zad. 5 Uzasadnij, ze zachodz¡ podane równo±ci:

a) A ∩ B = B ∩ A, b) A ∪ B = B ∪ A,

c) (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C), d) (A ∩ B) ∪ C = (A ∪ C) ∩ (B ∪ C),

e) (A^c)^c = A,

Da si¦ to zrobi¢ na par¦ sposobów (hasªa wywoªawcze: diagramy Venna, prawa rachunku zda«). Jak powinny si¦ nazywa¢ powy»sze równo±ci?

Zad. 6 Dane s¡ pewne zbiory A, B, C w przestrzeni X. Wiemy, »e A ∩ B = A \ C.

Czy st¡d wynika, »e a) A \ (B ∪ C) = ∅ ? b) A ∩ B ∩ C = ∅ ?

c) A ∩ C = ∅ ? Odpowiedzi uzasadnij!

Zad. 7 Ró»nic¦ symetryczn¡ deniujemy jako A 4 B = (A \ B) ∪ (B \ A).

• Poka», »e ró»nica symetryczna jest ª¡czna, tzn. A 4 (B 4 C) = (A 4 B) 4 C.

• Niech A = {1, 3, 5}, B = {2, 4}, C = {1, 5}. Znajd¹ zbiór X, dla którego zachodzi równo±¢

(A 4 X) 4 B = C.

Zad. 8 Czy pami¦tasz jeszcze swój wªasny spójnik logiczny (z lekcji sprzed dwóch tygodni)? Jak¡ operacj¦ na zbiorach deniuje Twój spójnik?

2