MODELOWANIE INŻYNIERSKIE ISSN 1896-771X 44, s. 187-198, Gliwice 2012
MODELOWANIE DRGAŃ UKŁADU MASZT-GONDOLA ELEKTROWNI WIATROWEJ Z TŁUMIKIEM DYNAMICZNYM
WALDEMAR ŁATAS1,PAWEŁ MARTYNOWICZ2
1Politechnika Krakowska, Instytut Mechaniki Stosowanej, e-mail: latas@mech.pk.edu.pl
2AGH Akademia Górniczo-Hutnicza, Katedra Automatyzacji Procesów, e-mail: pmartyn@agh.edu.pl
Streszczenie. Rozważono drgania układu maszt-gondola elektrowni wiatrowej.
Maszt zamodelowano jako pryzmatyczną belkę sztywno połączoną z masą skupioną reprezentującą gondolę. Do masy skupionej został dołączony tłumik dynamiczny pracujący w kierunku poziomym. Założono małe, liniowe drgania belki opisanej modelem Eulera-Bernoullego. Układ poddano wymuszeniu siłą poziomą. Równanie ruchu rozwiązano metodą rozdzielenia zmiennych Fouriera.
Dokonując czasowej transformacji Laplace’a, otrzymano zależności opisujące amplitudę w dziedzinie częstotliwości dla ugięcia dowolnego przekroju belki.
1. WSTĘP
Maszt elektrowni wiatrowej wraz z fundamentem, obok łopat, jest elementem wymagającym przeprowadzenia analizy naprężeń i odkształceń w warunkach pracy przy zmieniającym się obciążeniu ze strony wiatru, wirnika, czy też fal morskich/lodu, w przypadku instalacji zlokalizowanych na morzu. Analiza dynamiki konstrukcji układu maszt-gondola ma na celu określenie częstotliwości oraz postaci drgań własnych charakteryzujących się najmniejszymi wartościami tłumienności, a w związku z tym stanowiących największe wyzwanie z punktu widzenia projektowania i eksploatacji instalacji.
W podstawowym zastosowaniu prawidłowo dostrojone tłumiki dynamiczne, dołączone do drgającej konstrukcji poddanej wymuszeniu harmonicznemu, mają spowodować zanikanie drgań ustalonych w punkcie zamocowania [1–4]. Wykorzystuje się je zarówno do tłumienia drgań podłużnych, poprzecznych, jak i skrętnych. Wiele prac teoretycznych poświęcono metodom optymalnego doboru parametrów tłumików, zarówno dla zagadnień liniowych jak i nieliniowych [5–17].
W budownictwie tłumiki dynamiczne znalazły głównie zastosowanie w smukłych konstrukcjach: mostach wiszących [18–20], wieżowcach [21–26], kominach [27–28], masztach poddanych różnorodnym wymuszeniom związanym z oddziaływaniem wiatru bądź ruchem sejsmicznym podłoża. Podobnie smukłą budowlą jest konstrukcja wsporcza (maszt) elektrowni wiatrowej o poziomej osi obrotu.
Tłumiki dynamiczne znajdują zastosowanie w mostach drogowych i kolejowych [28–33]
oraz przeznaczonych do ruchu pieszego [34–35], w których dynamiczne obciążenie konstrukcji wynika ze sposobu ruchu pociągów, pojazdów samochodowych czy też specyfiki ruchu pieszych.
Rys. 1. Model układu maszt-gondola z tłumikiem dynamicznym
x
w
M m
k c
P(t)
x0
xE l
D
Z uwagi na ilość możliwych zastosowań w wielu różnorodnych konstrukcjach wiele uwagi poświęcono zagadnieniu prawidłowego doboru parametrów tłumików dynamicznych w układach belkowych [33–39]. Dla układów ciągłych, takich jak belki, z reguły najlepszym punktem zamocowania tłumika dynamicznego jest punkt przyłożenia obciążenia, ale może się to okazać technicznie niemożliwe. Zarówno wtedy, jak i w przypadku obciążenia rozłożonego, nieprawidłowo dobrany punkt zamocowania tłumika może spowodować wzrost amplitudy drgań w niektórych obszarach układu.
W zależności od tego, czy rozpatruje się lokalne zagadnienia optymalizacji – na przykład minimalizacja amplitudy drgań konstrukcji w ustalonym punkcie, czy też globalne zagadnienia optymalizacji – na przykład minimalizacja średniej energii kinetycznej całego lub części drgającego układu, można uzyskać różne parametry optymalne tłumika dynamicznego, czy też układu tłumików. Okazuje się, że dostrojone tłumiki dynamiczne mogą powodować wzrost energii kinetycznej układu w pewnych zakresach częstotliwości, a kluczowym zagadnieniem w globalnych problemach optymalizacji jest ich odpowiednia lokalizacja [37,40].
Wadą pasywnych tłumików dynamicznych jest efektywne działanie jedynie w wąskim zakresie częstotliwości, nieskuteczność tłumienia drgań niestacjonarnych oraz wrażliwość na niedokładne dostrojenie. W celu poprawy efektywności wprowadza się siłę aktywną pomiędzy tłumik a konstrukcję [22–23,41]. Wadą układów aktywnych jest z kolei duże zużycie energii i uzależnienie od jej bezawaryjnego dostarczania.
Układy semiaktywne, które mogą zmieniać sztywność albo tłumienie [21,42–44] w czasie rzeczywistym, mają lepszą efektywność od układów pasywnych i nie wymagają dużej ilości energii.
Aby poprawić skuteczność eliminacji drgań stosuje się układy tłumików dynamicznych, dostrajanych w najogólniejszym przypadku różnorodnymi metodami na jedną [29–31,45]
bądź też na kilka częstotliwości rezonansowych [33,35].
Uogólnieniem układów tłumików dynamicznych są tłumiki o parametrach rozłożonych [46], które są odpowiednie do zastosowania w przypadkach wymuszeń szerokopasmowych, na przykład w zagadnieniach redukcji hałasu [47].
Maszt elektrowni wiatrowej jest poddawany różnym rodzajom wymuszeń oddziałujących bezpośrednio (wiry Karmana, siła naporu wiatru), bądź za pośrednictwem wirnika turbiny (siła naporu wiatru). Wymuszenia zmienne w czasie są źródłem drgań, które mogą być niebezpieczne dla konstrukcji. Podczas projektowania konstrukcji wsporczej oraz fundamentu należy uwzględnić ekstremalne przypadki obciążeń dynamicznych. Zastosowanie w układzie maszt-gondola tłumika dynamicznego pozwoli zredukować wymagania wytrzymałościowe konstrukcji wsporczej i fundamentu.
W pracy rozważono drgania modelu układu maszt-gondola elektrowni wiatrowej z tłumikiem dynamicznym. Maszt został zamodelowany jako utwierdzona pryzmatyczna belka sztywno połączona z masą skupioną reprezentującą gondolę. Do masy skupionej został dołączony tłumik dynamiczny pracujący w kierunku poziomym (rys. 1).
2. MODEL TEORETYCZNY
Rozważanym układem, przedstawionym na rys. 1, jest pionowa pryzmatyczna belka utwierdzona na jednym końcu, ze sztywno zamocowaną masą skupioną M na drugim, swobodnym końcu. Belka ma długość l, średnicę D, gęstość , pole przekroju poprzecznego A, moment bezwładności przekroju I, moduł Younga E. Na końcu belki do masy skupionej dołączony jest dynamiczny tłumik drgań o masie m, sztywności k i współczynniku tłumienia c (DODATEK 1), wykonujący ruch w kierunku poziomym. Układ poddany jest wymuszeniu poziomą siłą przyłożoną w dowolnej odległości od podstawy. Założono małe, liniowe drgania belki opisanej modelem Eulera-Bernoullego z tłumieniem wewnętrznym opisanym parametrem .
Przy powyższych założeniach równanie drgań układu przedstawionego na rys. 1 ma postać:
2 5 4
2 4 4 ( ) ( 0) ( ) ( E)
w w w
A EI EI P t x x F t x x
t x t x
(1)
gdzie oznaczono:
( )
P t – siła wymuszająca przyłożona w punkcie o współrzędnej x , 0 ( )
F t – siła działająca na belkę pochodząca od dołączonego w punkcie o współrzędnej x E tłumika dynamicznego (w badanym przypadku przyjmujemy xE ). l
Przedstawione obliczenia oraz użyte oznaczenia są analogiczne do zawartych w pracy [40].
Do rozwiązania równania ruchu (1) zastosowano metodę rozdzielenia zmiennych Fouriera:
1
( , ) i( ) ( )i
i
w x t q t x
(2)W powyższym wyrażeniu przez i( )x oznaczono funkcje własne belki z masą skupioną na końcu bez dołączonego tłumika dynamicznego. Należy wyznaczyć funkcje czasu ( )q t . i Na wstępie przedstawiono w postaci szeregów Fouriera dystrybucje Diraca występujące po prawej stronie równania (1):
0 1
( ) i i( )
i
x x d x
(3)1
( E) i i( )
i
x x b x
(4)Po podstawieniu szeregu (2) do równania (1) i wykorzystaniu związków (3) oraz (4) dokonano transformacji Laplace’a tego równania ze względu na zmienną czasową:
2 4 4
1
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0
i i i i i i i i
i
As Q s EI sQ s EI Q s P s d F s b x
(5)gdzie: i4 A i2 EI
; jest i-tą częstością drgań własnych układu bez dołączonego tłumika i dynamicznego dla belki bez tłumienia wewnętrznego. Przez Q s , i( ) P s( ), F s( ) oznaczono transformaty Laplace’a odpowiednio q t , i( ) P t( ), F t( ).
Z liniowej niezależności funkcji własnych i( )x wynika, iż:
2 4
( ) ( )
( ) (1 )
i i
i
i
d P s b F s Q s As EI s
(6)
Wykorzystując zależność (6), otrzymano wyrażenie na transformatę funkcji opisującej linię ugięcia belki:
2 4
1
( ) ( )
( , ) ( )
(1 )
i i
i
i i
d P s b F s
W x s x
As EI s
(7)2.1. Siła w tłumiku dynamicznym przekazywana na belkę
x
w
m
k c
xE
w1
Rys. 2. Schemat części belki z dołączonym tłumikiem dynamicznym
Wykorzystując oznaczenia na rys. 2, można zapisać równanie ruchu masy tłumika oraz wyrażenie na rzut na kierunek w siły przekazywanej od tłumika na belkę:
1( ) ( 1( ) ( E, ) ( 1( ) ( E, )
mw t k w t w x t c w t w x t (8)
1
1
( ) ( ( E, ) ( ) ( E, ) ( ( )
F t k w x t w t c w x t w t (9) W porównaniu z rys. 1 tłumik na rys. 2 został zamocowany w dowolnym miejscu belki opisanym współrzędną x (dla przejrzystości belka na rys. 2 została narysowana poziomo). E Po wykonaniu transformacji Laplace’a wyrażeń (8) i (9) otrzymano:
1( ) ( 1( ) ( E, ) ( 1( ) ( E, )
mW s k W s W x s cs W s W x s (10)
1
1
( ) ( ( E, ) ( ) ( E, ) ( ( )
F s k W x s W s cs W x s W s (11) Z wyrażenia (10) uzyskano transformatę ruchu masy tłumika W s : 1( )
1( ) 2cs k ( E, )
W s W x s
ms cs k
(12)
Ostatnia zależność oraz związek (11) dają wyrażenie na transformatę siły przekazywanej na belkę od tłumika dynamicznego:
2 2
( )
( ) ( E, ) cs k ms
F s W x s
ms cs k
(13)
2.2. Przemieszczenie tłumika dynamicznego oraz linia ugięcia belki
Wykorzystując zależność (13), otrzymano ze związku (7) wyrażenie na transformatę linii ugięcia belki:
2 2
2 4
1
( )
( ) ( , )
( , ) ( )
(1 )
i i E
i
i i
cs k ms d P s bW x s
ms cs k
W x s x
As EI s
(14)Powyższa zależność powinna zachodzić także dla xxE:
2
2
2 4
1
( )
( ) ( , )
( , ) ( )
(1 )
i i E
E i E
i i
cs k ms d P s bW x s
ms cs k
W x s x
As EI s
(15)Z ostatniego wzoru uzyskano transformatę przemieszczenia przekroju belki w miejscu zamocowania tłumika dynamicznego:
2 4
1 2
2 2 4
1
( )
( ) (1 )
( , )
( )
( )
1 (1 )
i i E
i i
E
i i E
i i
d x
P s As EI s
W x s
b x
cs k ms
ms cs k As EI s
(16)
Ostatnie wyrażenie po podstawieniu do (12) oraz (14) pozwala uzyskać wzory na transformatę linii ugięcia belki W x s( , ) oraz transformatę przemieszczenia tłumika dynamicznego W s . 1( )
2.3. Moment gnący i siła tnąca w podporze
Wykorzystując wyprowadzone wcześniej związki, otrzymać można wyrażenia dla transformat siły tnącej oraz momentu gnącego dla dowolnego przekroju belki:
2 2
2 4
1
( )
( ) ( , )
( , ) (1 ) ( , ) (1 ) ( )
(1 )
i i E
i
i i
cs k ms d P s bW x s
ms cs k
T x s EI s W x s EI s x
As EI s
(17)2 2
2 4
1
( )
( ) ( , )
( , ) (1 ) ( , ) (1 ) ( )
(1 )
i i E
g i
i i
cs k ms d P s bW x s
ms cs k
M x s EI s W x s EI s x
As EI s
(18)2.4. Drgania ustalone, charakterystyki amplitudowo częstotliwościowe
Rozpatrując stan ustalony, można w miejsce s podstawić j j 1. Pozwala to otrzymać charakterystyki amplitudowo-częstotliwościowe dla badanych wielkości.
Przykładowo, poniższy wzór przedstawia stosunek amplitudy przemieszczenia przekroju belki w miejscu zamocowania tłumika dynamicznego do amplitudy siły wymuszającej:
4 2 4 1
2
2 4 2 4
1
( )
( )
( , )
( )
( )
1 ( ) ( )
i i E
i i i
E
i i E
i i i
d x
EI A EI j
W x j
b x k cj m
k m cj EI A EI j
(19)
Analogiczne wyrażenia można otrzymać na charakterystyki amplitudowo-częstotliwościowe linii ugięcia belki, przemieszczenia tłumika dynamicznego, siły tnącej oraz momentu gnącego.
2.5. Funkcje własne układu bez tłumika dynamicznego
Funkcje własne układu bez tłumika dynamicznego oraz ich drugie i trzecie pochodne występujące w wyrażeniach na moment gnący i siłę tnącą dane są wzorami:
sin( ) sinh( )
( ) (sin( ) sinh( )) (cos( ) cosh( ))
cos( ) cosh( )
i i
i i i i i
i i
l l
x x x x x
l l
(20)
2 sin( ) sinh( )
( ) (sin( ) sinh( )) (cos( ) cosh( ))
cos( ) cosh( )
i i
i i i i i i
i i
l l
x x x x x
l l
(21)
3 sin( ) sinh( )
( ) (cos( ) cosh( )) (sin( ) sinh( ))
cos( ) cosh( )
i i
i i i i i i
i i
l l
x x x x x
l l
(22)
Wartości własne wynoszą i zi
l , gdzie z są pierwiastkami równania charakterystycznego: i
1 cos cosh z zz sin coshz zcos sinhz z 0 (23) Wielkość oznacza stosunek masy skupionej znajdującej się na końcu pręta do masy belki pryzmatycznej: M Al. Funkcje własne są ortogonalne z wagą (DODATEK 2):
0
(1 ( )) ( ) ( ) 0,
l
i j
l x l x x dx i j
(24)Oznaczając funkcję wagową przez: ( )x 1 l (x l ), otrzymuje się wyrażenia na współczynniki szeregów funkcyjnych (3) oraz (4):
0 0
2
( ) ( ) ( )
l
i i
i
x x x x dx
d
, 0 2
( ) ( ) ( )
l
E i
i
i
x x x x dx
b
(25)
gdzie: 2 2
0
( ) ( )
l
i x i x dx
. Po obliczeniach otrzymuje się:0
2 2
0
( )
( ) ( )
i
i l
i i
d x
x dx l l
,
2 2
0
( )
( ) ( )
i E
i l
i i
b x
x dx l l
(26)
3. WYNIKI OBLICZEŃ
Przyjęto w obliczeniach, że amplituda siły wymuszającej jest równa P = 30 [N], a współrzędna jej przyłożenia jest równa współrzędnej zamocowania tłumika dynamicznego:
0 E
x x . Obliczenia przeprowadzono dla trzech wariantów parametrów masowo-l geometrycznych modelu. Przy przyjętych wartościach parametrów fizycznych i masowo- geometrycznych zadowalającą zbieżność numeryczną osiągnięto dla 10 wyrazów rozwinięcia wyrażeń w szeregi funkcyjne.
Parametry rozważanych trzech wariantów konfiguracji modelu dobrano po wzięciu pod uwagę zasady podobieństwa dynamicznego do rzeczywistych konstrukcji elektrowni wiatrowych oraz ograniczone możliwości laboratoryjne, tj. wysokość pomieszczenia, dostępne wzbudniki drgań oraz dostępny tłumik MR (który zostanie zastosowany docelowo w miejsce tłumika wiskotycznego). Przyjęto założenie, iż masa dodatkowa m tłumika dynamicznego będzie stanowić 10% masy modalnej pierwszej postaci drgań giętnych układu maszt-gondola (takie założenie pozwala uzyskać kilkunastokrotny wzrost tłumienności tej postaci):
– Model 1: D0.100 [ ]m , M 130.633 [kg], m16.397 [kg], c184.83 [Ns m/ ], 18488 [ / ]
k N m ,
– Model 2: D0.105 [ ]m , M 162.441[kg], m19.919 [kg], c224.61[Ns m/ ], 22472 [ / ]
k N m ,
– Model 3: D0.110 [ ]m , M 199.623 [kg], m23.997 [kg], c270.56 [Ns m/ ], 27068 [ / ]
k N m .
Ponadto przyjęto: 7800.00 [kg m/ 3], E2.10 10 [ 11 N m/ 2] (gęstość i moduł Younga stali konstrukcyjnej), 0.00008 [ ]s , l2.40 [ ]m . Na podstawie analizy wyników obliczeń stwierdzono, iż wyższe postacie drgań charakteryzują się znacznie większymi tłumiennościami (a)
i znacznie mniejszymi
amplitudami, w związku z tym zilustrowano jedynie amplitudy dla pierwszej postaci drgań giętnych. Charakterystyki amplitudowo-częstotliwościowe wychylenia gondoli
zamieszczono na rys. 3.
Wykres widoczny na rys. 3 (a) przedstawia amplitudy wychylenia gondoli ze sztywno połączonym tłumikiem, czyli bez działającego układu redukcji drgań. Dla trzech wariantów modelu otrzymano podobne wartości częstotliwości rezonansowych: 5.582 Hz (model 1), 5.586 Hz (model 2), 5.587 Hz (model 3).
5.25 5.35 5.45 5.55 5.65 5.75 5.85
Częstotliwość (Hz) 0.00
0.01 0.02 0.03 0.04 0.05
Amplituda wychylenia gondoli (m)
Model 1 Model 2 Model 3
(b) Wykres przedstawiony na rys. 3 (b) obrazuje amplitudy drgań gondoli z dostrojonym tłumikiem dynamicznym.
Włączenie tłumika dynamicznego skutkuje prawie 100-krotnym spadkiem amplitudy drgań przy
częstotliwości rezonansowej, a co za tym idzie, podobnym spadkiem wartości momentu gnącego oraz siły tnącej w punkcie utwierdzenia belki.
Zastosowanie tłumika
dynamicznego oznacza zatem możliwość znacznego
ograniczenia kosztów budowy konstrukcji wsporczej turbiny wraz z fundamentem.
Rys. 3. Charakterystyki amplitudowo-częstotliwościowe:
a) układ bez działającego tłumika dynamicznego, b) układ z tłumikiem dynamicznym
4. WNIOSKI KOŃCOWE
Zaprezentowaną metodykę wykorzystano do obliczenia amplitudy przemieszczenia masy skupionej (gondoli) (rys. 3), a także amplitud siły poprzecznej i momentu gnącego w miejscu zamocowania belki do podłoża. Na podstawie otrzymanych wyników możliwe jest zaprojektowanie stanowiska badawczego do analizy dynamiki modelu układu maszt-gondola elektrowni wiatrowej oraz rozbudowanie go o dynamiczny tłumik drgań.
DODATEK 1 – OPTYMALNE PROJEKTOWANIE TŁUMIKÓW DYNAMICZNYCH Tłumiki dynamiczne są zwykle dostrojone do pojedynczej formy drgań układu.
Z analitycznego punktu widzenia tłumik jest dołączony do oscylatora (modalnego) o jednym stopniu swobody, w wyniku czego powstaje układ o dwóch stopniach swobody. Dla takich układów liniowych istnieje kilka metod, których celem jest optymalne dostrojenie tłumika dynamicznego, opisanego dwoma parametrami:
a
S
, gdzie a k
m, – częstość drgań oscylatora (modalnego); S
2
c
km – bezwymiarowy współczynnik tłumienia tłumika dynamicznego.
Optymalne wartości wymienionych parametrów zależą od tego, czy rozpatrywany układ jest wymuszony siłą, czy też ruchem podłoża oraz czy wartość wymuszenia jest funkcją deterministyczną czy losową.
W przypadku drgań o jednym stopniu swobody z dołączonym tłumikiem dynamicznym z reguły pomija się tłumienie w układzie [1][3]. Dla przyjętej wartości parametru i przy zmieniającej się wartości istnieją dwa niezmiennicze punkty, przez które przechodzą wszystkie charakterystyki amplitudowo-częstotliwościowe. Dla ustalonego stosunku masy tłumika dynamicznego m do masy modalnej m (dla danej formy drgań) S m mS , położenie tych punktów zależy jedynie od parametru , który jest zmieniany, aż amplitudy
2 3 4 5 6 7 8 9
Częstotliwość (Hz) 0.0000
0.0001 0.0002 0.0003 0.0004 0.0005 0.0006 0.0007
Amplituda wychylenia gondoli (m)
Model 1 Model 2 Model 3
wychylenia w punktach niezmienniczych osiągną wartości minimalne (które okazują się być takie same). Tłumienie jest z kolei tak dobrane, żeby charakterystyki miały w punktach niezmienniczych poziomą styczną. Powyższe rozważania prowadzą do następujących optymalnych wartości parametrów tłumika dynamicznego [1]:
1
OPT 1
, 3
8(1 )
OPT
W przypadku tłumienia występującego w drgającym układzie można tak dobrać parametr
, że maksymalne amplitudy ruchu będą występować w pobliżu punktów niezmienniczych.
Przykładowo, biorąc średnią wartość ze współczynników tłumienia, dla których maksima amplitud znajdują się w jednym oraz drugim punkcie niezmienniczym, otrzymuje się optymalną wartość tłumienia daną wzorem [3]:
3
3 8(1 )
OPT
Wszystkie optymalne wartości parametrów podane powyżej zostały wyprowadzone przy założeniu małej, w porównaniu z jednością, wartości współczynnika mas .
DODATEK 2 – WARUNEK ORTOGONALNOŚCI FUNKCJI WŁASNYCH Funkcje własne i( )x , j( )x spełniają równania:
( ) 4 ( ) 0
IV
i x i i x
, IVj ( )x j4 j( )x 0 (1') Pierwsze równanie mnoży się stronami przez j( )x , drugie przez i( )x , a następnie odejmuje stronami:
4 4
(i j) ( )i xj( )x iIV( )x j( )x IVj ( ) ( )x i x (2') Wyrażenie (2') całkuje się po zmiennej x w granicach od 0 do l. Po przekształceniach otrzymuje się :
4 4
0 0 0 0
0
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
l l l l l
i j i x j x dx i x j x i x j x j x i x j x i x
(3')Rozdzielone warunki brzegowe dla belki utwierdzonej w punkcie x oraz z masą skupioną 0 M na końcu swobodnym belki dla x mają postać: l
(0) 0
i , i(0) , 0 i( )l 0, i( ) M i4 i( ) 0
l l
A
(4')
Po uwzględnieniu warunków (4') otrzymano ze wzoru (3'):
4 4 4 4
0
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
l
i j i j j i i j
x x dx M l l
A
(5')Ostatni wynik można zapisać w postaci:
4 4
0
( ) (1 ( )) ( ) ( ) 0
l
i j l x l i x j x dx
(6')LITERATURA
1. Den Hartog J.P.: Mechanical vibrations, Dover Publications, Mineola, NY, 1985.
2. Korenev B.G., Reznikov L.M.: Dynamic vibration absorbers :theory and technical applications. New York: Wiley, 1993.
3. Harris C.M., Piersol A.G.: Harris’ shock and vibration handbook. McGraw-Hill, 2002.
4. Mead D.J.: Passive vibration control. New York: Wiley, 1999.
5. Lee Ch.-L., Chen Y.-T., Chung L.-L., Wangd Y.-P.: Optimal design theories and applications of tuned mass dampers. “Engineering Structures” 2006, 28, p. 43–53.
6. Rüdinger F.: Tuned mass damper with fractional derivative damping.”Engineering Structures” 2006, 28, p. 1774–1779.
7. Li C., Zhu B.: Estimating double tuned mass dampers for structures under ground acceleration using a novel optimum criterion. “Journal of Sound and Vibration” 2006, 298, p. 280–297.
8. Krenk S., Høgsberg J.: Tuned mass absorbers on damped structures under random load.
“Probabilistic Engineering Mechanics” 2008, 23, p. 408–415.
9. Mohtat A., Dehghan-Niri E.: Generalized framework for robust design of tuned mass damper systems. “Journal of Sound and Vibration” 2012, 330, p. 902–922.
10. Leung A.Y.T., Zhang H.: Particle swarm optimization of tuned mass dampers.
“Engineering Structures” 2009, 31, p. 715–728.
11. Sgobba S., Marano G.C.: Optimum design of linear tuned mass dampers for structures with nonlinear behaviour. “Mechanical Systems and Signal Processing” 2010, 24, p.
1739–1755.
12. Marano G.C., Greco R., Sgobba S.: A comparison between different robust optimum design approaches: application to tuned mass dampers. “ Probabilistic Engineering Mechanics” 2010, 25, p. 108–118.
13. Chakraborty S., Roy B.K.: Reliability based optimum design of tuned mass damper in seismic vibration control of structures with bounded uncertain parameters.
“Probabilistic Engineering Mechanics” 2011, 26, p. 215–221.
14. Farshi B., Assadi A.: Development of a chaotic nonlinear tuned mass damper for optimal vibration response. “Communication in Nonlinear Science and Numerical Simulation” 2011, 16, p. 4514–4523.
15. Jokic M., Stegic M., Butkovic M.: Reduced-order multiple tuned mass damper optimization: a bounded real lemma for descriptor systems approach. “Journal of Sound and Vibration” 2011, 330, p. 5259–5268.
16. Tigli O.F.: Optimum vibration absorber (tuned mass damper) design for linear damped systems subjected to random loads. “ Journal of Sound and Vibration” 2012, 331, p.
3035–3049.
17. Bisegna P., Caruso G.: Closed-form formulas for the optimal pole-based design of tuned mass dampers. “ Journal of Sound and Vibration” 2012, 331, p. 2291–2314.
18. Chen S.R., Cai C.S.: Coupled vibration control with tuned mass damper for long-span bridges. “Journal of Sound and Vibration” 2004, 278, p. 449–459.
19. Abdel-Rohman M., Mariam J.J.: Control of wind-induced nonlinear oscillations in suspension bridges using multiple semi-active tuned mass dampers. “Journal of Vibration and Control” 2006, 12(9), p. 1011–1046.
20. Chen S.R., Wu J.: Performance enhancement of bridge infrastructure systems: long- span bridge, moving trucks and wind with tuned mass dampers. “Engineering Structures” 2008, 30, p. 3316–3324.
21. Nagarajaiah S., Varadarajan N.: Short time Fourier transform algorithm for wind response control of buildings with variable stiffness TMD. “Engineering Structures”
2005, 27, p. 431–441.
22. Wang A.-P., Lin Y.-H.: Vibration control of a tall building subjected to earthquake excitation. “Journal of Sound and Vibration” 2007, 299, p. 757–773.
23. Guclu R., Yazici H.: Vibration control of a structure with ATMD against earthquake using fuzzy logic controllers. “Journal of Sound and Vibration” 2008, 318, p. 36–49.
24. Liu M.-Y., Chiang W.-L., Hwang J.-H., Chu Ch.-R.: Wind-induced vibration of high- rise building with tuned mass damper including soil-structure interaction. “Journal of Wind Engineering and Industrial Aerodynamics” 2008, 96, p. 1092–1102.
25. Bekdaş G., Nigdeli S.M.: Estimating optimum parameters of tuned mass dampers using harmony search. “Engineering Structures” 2011, 33, p. 2716–2723.
26. Moon K.S.: Structural design of double skin facades as damping devices for tall buildings. “Procedia Engineering” 2011, 14, p. 1351–1358.
27. Ricciardelli F.: On the amount of tuned mass to be added for the reduction of the shedding-induced response of chimneys. “Journal of Wind Engineering and Industrial Aerodynamics” 2001, 89, p. 1539–1551.
28. Brownjohn J.M.W., Carden E.P., Goddard C.R., Oudin G.: Real-time performance monitoring of tuned mass damper system for a 183m reinforced concrete chimney.
“Journal of Wind Engineering and Industrial Aerodynamics” 2010, 98, p. 169–179.
29. Yau J.-D., Yang Y.-B.: A wideband MTMD system for reducing the dynamic response of continuous truss bridges to moving train loads. “Journal of Structural Engineering” 2004, 26, p. 1795–1807.
30. Yau J.-D., Yang Y.-B.: Vibration reduction for cable-stayed bridges travelled by high- speed trains. “Finite Elements in Analysis and Design” 2004, 40, p. 341–359.
31. Li J., Su M., Fan L.: Vibration control of railway bridges under high-speed trains using multiple tuned mass dampers. ASCE “Journal of Bridge Engineering” 2005, 10(3), p. 312–320.
32. Shi X., Cai C.S.: Suppression of vehicle-induced bridge vibration using tuned mass damper. “Journal of Vibration and Control” 2008, 14(7), p. 1037–1054.
33. Luu M., Zabel V., Könke C.: An optimization method of multi-resonant response of high-speed train bridges using TMDs. “Finite Elements in Analysis and Design” 2012, 53, p.13–23
34. Li Quan., Fan J., Nie J., Li Quanwang., Chen Y.: Crowd-induced random vibration of footbridge and vibration control using multiple tuned mass dampers. “Journal of Sound and Vibration” 2010, 329, p. 4068–4092.
35. Caetano E., Cunha Á., Magalhães F., Moutinho C.: Studies for controlling human- induced vibration of the Pedro e Inês footbridge. Part 2: Implementation of tuned mass dampers. “Engineering Structures” 2010, 32, p.1082–1091.
36. Esmalizadeh E., Jalili N.: Optimal design of vibration absorbers for structurally damped Timoshenko beams. ASME “Journal of Vibration and Acoustics” 1998, 120, p. 833–841.
37. Brennan M.J., Dayou J.: Global control of vibration using a tunable vibration neutralizer. “Journal of Sound and Vibration” 2000, 232(3), p. 585–600.
38. Younesian D., Esmailzadeh E., Sedaghati R.: Passive vibration control of beams subjected to random excitations with peaked PSD. “Journal of Vibration and Control”, 2006, 12(9), p. 941–953.
39. Yang F., Sedaghati R.: Vibration suppression of non-uniform curved beams under random loading using optimal tuned mass damper. “ Journal of Vibration and Control”
2009, 15(2), p. 233–261.
40. Cheung Y.L., Wong W.O.: Isolation of bending vibration in a beam structure with a translational vibration absorber and a rotational vibration absorber. “Journal of Vibration and Control” 2008, 14(8), p. 1231–1246.
41. Lim Ch.-W.: Active vibration control of the linear structure with an active mass damper applying robust saturation controller. “Mechatronics” 2008, 18, p. 391–399.
42. Ricciardelli F., Occhiuzzi A., Clemente P.: Semi active tuned mass damper control strategy for wind-excited structures. “Journal of Wind Engineering and Industrial Aerodynamics” 2000, 87, p. 57–74.
43. Keye S., Keimerb R., Homannc S.: A vibration absorber with variable eigenfrequency for turboprop aircraft. “Aerospace Science and Technology” 2009, 13, p. 165–171.
44. Kim H.-S., Kang J.-W.: Semi-active fuzzy control of a wind-excited tall building using multi-objective genetic algorithm. “Engineering Structures” 2012, 41, p. 242–257.
45. Li H.-N., Ni X.-L.: Optimization of non-uniformly distributed multiple tuned mass damper. “Journal of Sound and Vibration” 2007, 308, p. 80–97.
46. Du D., Gu X.-J., Chu D.-Y., Hua H.: Performance and parametric study of infinite- multiple TMDs for structures under ground acceleration by H∞ optimization. “Journal of Sound and Vibration” 2007, 305, p. 843–853.
47. Thompson D.J.: A continuous damped vibration absorber to reduce broad-band wave propagation in beams. “Journal of Sound and Vibration” 2008, 311, p. 824–842.
MODELLING VIBRATION OF WIND TURBINE TOWER-NACELLE ASSEMBLY WITH A TUNED MASS DAMPER
Summary. The paper deals with vibration of wind turbine tower-nacelle assembly. The tower is modelled as a prismatic beam with a lumped mass representing the nacelle. In order to attenuate vibration, a horizontal tuned mass damper is attached to the nacelle. Assuming small and linear vibration, an analytical Euler-Bernoulli model is introduced. The system is subjected to the horizontal excitation force. The solution to the problem is expanded in a Fourier series. Performing time-Laplace transform, formulas describing displacement amplitudes of arbitrary point of the beam may be written in the frequency domain.
Projekt został sfinansowany ze środków Narodowego Centrum Nauki.
