WYZNACZANIE SIŁ MIĘŚNIOWYCH I REAKCJI W STAWACH KOŃCZYNY DOLNEJ PODCZAS NASKOKU I ODBICIA K

MODELOWANIE INŻYNIERSKIE ISSN 1896-771X 44, s. 49-56, Gliwice 2012

WYZNACZANIE SIŁ MIĘŚNIOWYCH I REAKCJI W STAWACH KOŃCZYNY DOLNEJ PODCZAS NASKOKU I ODBICIA

KRZYSZTOF DRAPAŁA,KRZYSZTOF DZIEWIECKI,ZENON MAZUR, WOJCIECH BLAJER

Instytut Mechaniki Stosowanej i Energetyki, Wydział Mechaniczny, Politechnika Radomska e-mail: drapala.krzysztof@o2.pl; {krzysztof.dziewiecki; z.mazur; w.blajer}@pr.radom.pl

Streszczenie. W artykule opisano metodę wyznaczania – poprzez rozwiązanie zadania symulacji dynamicznej odwrotnej – sił mięśniowych i reakcji w stawach kończyny dolnej podczas naskoku i odbicia z jednej nogi. Kończynę wydzielono z ciała człowieka i zamodelowano jako płaski łańcuch kinematyczny zaczepiony w stawie biodrowym, sterowany za pomocą dziewięciu sił mięśniowych. Danymi wejściowymi dla symulacji są charakterystyki kinematyczne ruchu (pomierzone metodami fotogrametrycznymi) oraz, w fazie kontaktu z podłożem, reakcje od podłoża na stopę (zmierzone na platformie dynamometrycznej). Przedstawiono zarówno najistotniejsze elementy zbudowanego modelu obliczeniowego jak i wybrane wyniki symulacji dynamicznej odwrotnej analizowanego skoku.

1. WSTĘP

Symulacja dynamiczna odwrotna czynności motorycznych człowieka, prowadzona z wykorzystaniem modeli mięśniowo-szkieletowych oraz danych eksperymentalnych, jest podstawową techniką bezinwazyjnego szacowania sił mięśniowych oraz obciążeń zewnętrznych i wewnętrznych w trakcie tych czynności. Danymi wejściowymi dla takich symulacji są charakterystyki kinematyczne badanych czynności, otrzymywane poprzez rejestrację (za pomocą układu kamer cyfrowych) położeń w czasie odpowiednich punktów (markerów) na ciele człowieka oraz ich dalszą obróbkę numeryczną. Możliwa jest też rejestracja niektórych reakcji zewnętrznych, na przykład reakcji z podłożem (platforma dynamometryczna).

Analiza skoków koncentruje swoją uwagę na obciążeniach kończyn dolnych. Dla potrzeb analizy badanego skoku kończynę dolną wydzielono z ciała człowieka, a następnie zamodelowano jako płaski łańcuch kinematyczny składający się z trzech członów sztywnych (udo, podudzie, stopa), połączonych przegubowo w stawach kolanowym oraz skokowym.

Układ ten zaczepiono następnie przegubowo (staw biodrowy) do ruchomej podstawy (tułów), której ruch jest znany (pomiary fotogrametryczne). Podłoże, z którym kontaktuje się stopa, modelowane jest jako nieskończenie sztywne.

Analizowany skok na jednej nodze (rys. 1) obejmuje fazę lotu (naskok), kontakt z podłożem (lądowanie i odbicie) i znów fazę lotu (wyskok). Danymi niezbędnymi dla symulacji dynamicznej odwrotnej są charakterystyki kinematyczne ruchu (pomierzone metodami fotogrametrycznymi i obrobione numerycznie [8]) oraz, w fazie kontaktu

z podłożem, zmierzone reakcje zewnętrzne (lądowanie i odbicie wykonywane jest na platformie dynamometrycznej).

Rys.1. Wybrane kadry z filmu rejestrującego naskok i odbicie z platformy dynamometrycznej

2. MODEL MATEMATYCZNY

Budowa modelu człowieka (bądź też jego wydzielonej części) obejmuje podział na człony, traktowane jako ciała sztywne połączone przegubowo, oraz wyodrębnienie odpowiedniej liczby mięśni (lub grup mięśni) szkieletowych odpowiedzialnych za realizację analizowanego ruchu. W pracy zbudowano model kończyny dolnej złożony z trzech członów (udo, podudzie, stopa). Identyfikację modelu – parametry masowo-geometryczne (długości członów, masy, momenty bezwładności i położenia środków mas), sposób działania i miejsca przyłożenia sił mięśniowych oraz przekroje fizjologiczne mięśni – przeprowadzono na podstawie danych literaturowych [1-4] (tabele, wzory regresji) i częściowo pomiarów bezpośrednich (masa ciała, wybrane wymiary zewnętrzne).

Analizowany skok potraktowano jako ruch płaski, realizowany w płaszczyźnie strzałkowej. Model wydzielonej kończyny dolnej składa się z b3 sztywnych członów połączonych przegubowo w k3 stawach. Układ ma 3 stopnie swobody. Podczas kontaktu z podłożem na stopę oddziałują reakcje _r [R_x R_y M_A]^T sprowadzone do punktu A stopy ( rys. 2).

Rys. 2. Współrzędne więzów i siły reakcji więzów w stawach kończyny dolnej K

Y

X

H

A

1 1

2 2

3 3

1

3 2

z1

z2

z₃

z5 1

1 2 2

3

3

4 4

5 5

6 6

z₄

x (t)H

y (t)H

Do opisu położenia układu użyto n b3 9 współrzędnych absolutnych członów

T C C C

C C

C y x y x y

x

p[ _{1 1} _{1 2 2} _{2 3 3} ₃] , na które składają się współrzędne środków mas członów w inercjalnym układzie XY oraz kąty odchylenia członów od pionu (rys. 2). Ruch członów skrępowany jest l k2 6 więzami połączeń w stawach, a w fazie kontaktu z podłożem na stopę działają dodatkowo reakcje od podłoża  . Równania więzów we _r współrzędnych absolutnych p mają postać z(p)0 i definiują zablokowane kierunki (poziomy i pionowy) przemieszczeń względnych w stawach. Dynamiczne równaniu ruchu układu we współrzędnych p mają postać

) ( )

( )

(p C p f p

C f p

M _g  _^T  _r^T _r  _u (1) gdzie M p f_g jest złożeniem niezależnych równań ruchu dla członów swobodnych pod działaniem tylko sił grawitacyjnych. Siły bierne, wynikające z więzów połączeń, reprezentuje wektor uogólnionych sił reakcji więzówf_ C_^T ,gdzie C_ /p jest

n

l  wymiarową macierzą więzów, a  [₁ ₂ ₃ ₄ ₅ ₆] jest wektorem (fizycznych) sił reakcji w stawach (rys. 2). Analogiczne określenia dotyczą wektora uogólnionych sił reakcji w wyniku kontaktu z podłożem f_r C_r^T_r (w fazie lotu _r 0) oraz uogólnionych sił sterowania f _u B_Fu_F, gdzie B_F jest (n m) – wymiarową macierzą dystrybucji parametrów sterowania u_F [u₁ ... u_m]^T na kierunki p .

Wszystkie składniki równania (1) wyprowadza się relatywnie prosto, jedynie wyznaczenie macierzy wpływu sił mięśniowych B_F wymaga więcej zabiegów. Podstawowym problemem jest zdefiniowanie linii działania oraz punktów wprowadzania sił mięśniowych do odpowiednich członów. Dla wyodrębnionych mięśni (lub grup mięśni) linie działania sił mięśniowych są prostymi wyznaczanymi przez punkty ich przyczepów do układu kostnego (punkty O_j oraz I_j). Przy takim założeniu mogą pojawiać się (osobliwe) położenia kątowe członów, przy których ramiona działania sił mięśniowych względem osi obrotu w stawach osiągać mogą bardzo małe (zerowe) wartości. Konsekwencją tego jest pojawienie się bardzo dużych sił mięśniowych. W celu uniknięcia tych osobliwości punkty wprowadzenia sił mięśniowych zastępowane są przez efektywne punkty wprowadzenia tych sił, wynikające z uwzględnienia złożonego charakteru oplatania przez mięsień pewnych struktur anatomicznych w postaci torebki stawowej lub innych mięśni (punkty O^'_j,O_j^'' oraz I^'_j,I_j^'').

W rzeczywistości mięsień (ścięgno mięśniowe) generujący moment w stawie opiera się bowiem często na torebce stawowej. W związku z tym ramię działania siły mięśniowej nie osiąga nigdy wartości równej zeru, lecz pozostaje zawsze na pewnym poziomie (ścięgno oplata staw z zachowaniem pewnego promienia zapewniającego niezerowe ramię działania siły względem osi stawu). W ten sposób zachowywane są niezerowe ramiona działania sił mięśniowych względem stawów w każdej konfiguracji kątów stawowych.

Dana siła mięśniowa może mieć charakter siły jednostawowej, gdy miejsca jej wprowadzenia należą do członów połączonych w jednym stawie, lub wielostawowej, gdy miejsca jej wprowadzenia należą do członów niebędących bezpośrednio połączonych [1-3,7,9]. Na potrzeby tej pracy przyjęto niedeterministyczny model sterowania [3] kończyną dolną za pomocą dziewięciu sił mięśniowych . Zastosowany model układu mięśniowego prezentuje rys. 3.

K

A

O9

1

2

3

(0)

O8 (0)

H

I1 (2) =I2

(2)

I9

'(1)

m₁ m2

m3

m4

m5

m6

m7

m8

m9

I8 (1)

I9 (1)

I8

'(1)

F8

F9

1

O1 (0)

O2

O₃⁽⁰⁾ (1)

1

2

I1 (1)=I₂⁽¹⁾ F1 '

O6 (1)

(1)

F9 (0)

(1)

F8 (0)

(1)

F1 (0)

F3 (0)

F3 (2)

F6 (2)

F6 (1)

F1 (1),F2

(1)

O2

= (1)

I'₁⁽¹⁾ ' F1

(2), F2

I3 (2) (2)

I4 (3) =I5

I4 (3) (3)=I5

' '(3)

O4 (1)

O7 (2)

I7 (3)

I7

'(3)

O5 (2)

I4

''(2)

F4 (1)

F4 (2)

F₄⁽²⁾

F₇⁽²⁾ F₅⁽²⁾

F4 (3) F5

(3)

F7 (3) 1

2

3

a) b)

c)

d)

I3

'(2) I6 (2)

' ''

Rys. 3. Model sterowania kończyną dolną za pomocą sił mięśniowych

Jako parametry sterowania wybrano naprężenia mięśni _j F /_j A_j, j 1,...,m, gdzie

j pcsa

j A

A ( ) jest przekrojem fizjologicznym mięśnia j. Zależność na uogólnioną siłę sterującą przyjmie wówczas postać f_u  B_u_, gdzieA diag(A₁,...,A₉), a B_ B_FA jest

)

(n m -wymiarową macierzą dystrybucji parametrów sterowania u_ [₁ ... ₉] na kierunki p .

Dla danej chwili czasu t, dla której znane są przebiegi p(t) oraz _r(t), jednoznaczne wyznaczenie (t) z równania (1) nie jest możliwe (sterowanie nadmiarowe). Rozwiązanie można uzyskać z zastosowaniem metod optymalizacyjnych. Przedtem jednak należy zrzutować dynamiczne równania ruchu we współrzędnych absolutnych na k3 kierunki współrzędnych stawowych (współrzędnych niezależnych). Wybór współrzędnych niezależnych q nie jest jednoznaczny. Dla rozważanego modelu racjonalnym wyborem jest q[₁ ₂ ₃]T, gdzie  są kątami orientującymi poszczególne człony względem pionu. _i Punktem wyjścia dla takiego postępowania są składniki równań ruchu we współrzędnych absolutnych oraz zależności między n współrzędnymi absolutnymi p oraz k współrzędnymi niezależnymi q, będące równaniami więzów połączeń w stawach w postaci rozwikłanej [5,7].

W zastosowaniu do rozpatrywanego modelu równania te, na poziomie położeń i prędkości, mają postaci

) ( )

(q t

g

p   p D(q)q^(t) (2) gdzie Dg/q jest macierzą o wymiarze n k, a ( t) [x_H(t) y_H(t)]^T są współrzędnymi przegubu H (stawu biodrowego) w inercjalnym układzie odniesienia XY. Po

obustronnym przemnożeniu równania (1) przez D , zostaje wyeliminowany składnik ^T wpływu sił reakcji w stawach, bo D^TC^T 0 [5,7]. Poszukiwane równanie przyjmuje postać

)

( _{g r}^T _r

T

TB A D M p f C

D _      (3)

Równanie (3) pozwala na wyznaczenie, metodą optymalizacji statycznej, poszukiwanych przebiegów sił mięśniowych, przy wyborze naprężeń mięśni jako parametrów sterowania, Zagadnienie optymalizacyjne przedstawia się następująco

















max

oraz min

) (

by tak,

) ( j

minimalizu













 r

T r g T

TB A D M p f C

D

J



 (4)

gdzie J() jest odpowiednią funkcją celu, a _min i _max są dopuszczalnymi fizjologicznie minimalnymi i maksymalnymi wartościami naprężeń w mięśniach. W ten sposób znajdowane są przebiegi (t), które minimalizują J(), spełniają warunek wynikający z równań dynamicznych D^TB_A D^T(M p f_gC_r^T_r) oraz mieszczą się w zakresie

max

min  

   . Za funkcję celu przyjęto sumę kwadratów naprężeń mięśni, która uzasadnia fizjologicznie dystrybucję sił mięśniowych [2,3].







l

j

J j

1

) 2

( 

(5)

Z uwzględnieniem oddziaływania tak obliczonych sił mięśniowych wyznaczane są następnie przebiegi sił reakcji w stawach. Do ich wyznaczenia posłużono się metodą rozszerzonych współrzędnych złączowych [7]. Idea metody polega na tym, że tradycyjne równania więzów połączeń w postaci rozwikłanej, związki między współrzędnymi absolutnymi a niezależnymi, p g( tq, ), uzupełnia się o zależność od współrzędnych więzów z, czyli p g(q,z,t), gdzie z [z₁ ... z_l] oznaczają zablokowane kierunki przemieszczeń względnych w połączeniach (rys. 2), uzupełniające definiowane prze q kierunki

„dopuszczane” przez więzy. Zależność od z jest wprowadzana tylko dla wygenerowania macierzy E takiej, że

z q E q q D z z

q g q p g

z z

 

 

 ( ) ( )

0 0



 



 







 











 

 

(6)

Zależność na wyznaczenie reakcji w stawach kończyny dolnej,  [₁ ... ₆], uzyskuje się następnie poprzez zrzutowanie równań ruchu do l-wymiarowej podprzestrzeni definiowanej przez kolumny E, czyli przez lewostronne przemnożenie tych równań przez E , a więc ^T

] [f C B Au Mp E^T _g _R^T _R  

  _{ }

 (7)

Otrzymuje się w ten sposób zależność pozwalającą na efektywne wyznaczenie reakcji w stawach rozpatrywanej kończyny dolnej. Dla otrzymania (t) niezbędne są uzyskane na podstawie pomiarów charakterystyki kinematyczne p(t) i p(t), zmierzone na platformie dynamometrycznej przebiegi _r(t) oraz obliczone wcześniej przebiegi u_(t).

3. WYBRANE WYNIKI SYMULACJI DYNAMICZNEJ ODWROTNEJ

Prezentowane wyniki symulacji dynamicznej odwrotnej odnoszą się do fazy lotu tuż przed lądowaniem na jednej nodze (t0.3), fazy kontaktu z podłożem (0.3 t0.48) oraz fazy lotu po odbiciu (t0.48). Poniżej przedstawiono (rys. 4) wartości oszacowanych sił mięśniowych wybranych czterech mięśni (grup mięsni): dwóch prostowników stawu kolanowego – rectus femoris, vastus (later. medi. intermed.), jednego prostownika stawu skokowego – solueus oraz jednego prostownika stawu biodrowego – gluteus (maximus, medius, minimus). Mięśnie te mają ilościowo największy udział w realizacji badanego skoku na jednej nodze. Są odpowiedzialne za wyhamowanie układu w czasie kontaktu z podłożem (bezpośrednio po fazie lotu) oraz odbicie i znów przejście do fazy lotu. Charakterystyczny jest wzrost wartości charakterystyk czasowych sił mięśniowych podczas kontaktu zawodnika z podłożem oraz zauważalne „piki” sił mięśniowych spowodowane wpływem reakcji od podłoża.

0.2 0.3 0.4 0.5 0.6

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

t [s]

i [MPa]

^{0.2 0.3 0.4 0.5 0.6}

0 1000 2000 3000 4000 5000

t [s]

Fi [N]

Rys. 4. Wyniki symulacji dynamicznej odwrotnej dla wybranych mięśni kończyny dolnej

0.2 0.3 0.4 0.5 0.6

0 500 1000 1500 2000

0.2 0.3 0.4 0.5 0.6

0 2000 4000 6000

[N] [N]

t [s] t [s]

Rys 5. Przebiegi reakcji od podłoża (pomiar) na tle wyznaczonych reakcji w stawie skokowym oraz kolanowym

vastus

gluteus

rec. fem.

soleus

gluteus

soleus

rec. fem.

vastus rectus femoris (RF)

vastus (later. medi. intermed.)

gluteus

soleus (SOL)

H

K

A

(maximus, medius, minimus)

R_x





Ry



_

Siły rozwijane w mięśniach nie tylko generują momenty sił w stawach wymagane do realizacji badanego ruchu, wpływają one również na wartości sił reakcji w stawach. Na rys. 5 przedstawiono obliczone przebiegi reakcji w stawie skokowym oraz kolanowym na tle reakcji od podłoża zmierzonych na platformie dynamometrycznej, odpowiednio składowe poziome oraz pionowe. Jak łatwo zauważyć, w rozpatrywanym przypadku reakcje w stawach są kilkukrotnie większe niż siły reakcji od podłoża na stopę. Przyczyną tego wzrostu jest działanie sił mięśniowych, które zawsze wpływają na poziom obciążeń wewnętrznych [3].

4. WNIOSKI

Dla rozpatrywanego w pracy modelu kończyny dolnej wydzielonej z ciała człowieka danymi wejściowymi dla rozwiązania zadania symulacji dynamicznej odwrotnej muszą być, oprócz charakterystyk kinematycznych badanego ruchu, również zmierzone siły reakcji działające na stopę. Możliwe jest wówczas efektywne wyznaczenie przebiegu sił mięśniowych oraz reakcji w stawach kończyny dolnej bez uwzględniania dynamiki ruchu całego ciała. Brak znajomości reakcji od podłoża wymusza stosowanie modelu całego ciała człowieka, umożliwiającego obliczenie reakcji zewnętrznych metodami symulacji dynamicznej odwrotnej [7], co jest procesem bardziej pracochłonnym i „zbędnym”

w przypadku analizy skoncentrowanej wyłącznie na obciążeniach kończyny dolnej.

Zaproponowany model może być łatwo adaptowany również w kończynie górnej, zaczepionej w poruszającym się znanym ruchem stawie barkowym [6], przy uwzględnieniu adekwatnego modelu działających tam sił mięśniowych. Zaletą zaproponowanego modelu matematycznego jest jego prostota oraz efektywność.

LITERATURA

1. Zatsiorsky V.M.: Kinetics of human motion. Human Kinetics,2002.

2. Winter D.A.: Biomechanics and motor control of human movement. New York: John Wiley & Sons, 2005.

3. Yamaguchi G.T.: Dynamic modeling of musculoskeletal motion. Kluwer 2001.

4. Tejszerska D., Świtoński E., Gzik M.: Biomechanika narządu ruchu człowieka. Radom:

Wyd. Nauk. ITE-PIB, 2011.

5. Blajer W.: Metody dynamiki układów wieloczłonowych. Radom: Wyd. Pol. Radomskiej, 1998.

6. Blajer W., Czaplicki A., Dziewiecki K., Mazur Z.: Influence of selected modeling and computational issues on muscle force estimates. “Multibody System Dynamics” 2010, 24, p. 473-492.

7. Blajer W.: Problemy dynamiki w biomechanice. W: „Mechanika techniczna” pod red. R.

Będzińskiego, t. XII: Biomechanika. Cz. V. Warszawa: Komitet Mechaniki PAN, IPPT PAN, 2011, s. 364 – 484.

8. Dziewiecki K. Mazur Z., Blajer W.: Uwagi o sposobach obróbki danych kinematycznych dla zadań symulacji dynamicznej odwrotnej układów biomechanicznych. „Aktualne Problemy Biomechaniki” 2011, nr 5, s. 89-94.

9. Roy R.R, Edgerton V.R.: Skeletal muscle architecture and performance. In: P.V. Komi (ed.) “ Strength and Power in Sport”. Blackwell 1991, p. 115-129.

DETERMINATION OF MUSCLE FORCES AND JOINT REACTIONS IN LOWER LIMB DURING ONE-LEG JUMP Summary. The paper developes an effective method for the determination of muscle forces and joint reaction forces in the lower limb, developed as the inverse dynamics simulation during one-leg jump composed as a sequence of a short flight phase (hurdle from one leg to another), one-leg contact phase with the ground (landing and take-off), and another flight phase (ballistic flight after the take-off). The main steps of the developed formulation are shortly presented, and selected simulation results of the sample movement are reported.

Publikacja jest wynikiem pracy naukowej finansowanej przez Ministerstwo Nauki i Szkolnictwa Wyższego ze środków na naukę na rok 2011 jako projekt badawczy Nr 2917/23/M.