WYZNACZANIE SIŁ MIĘŚNIOWYCH I OBCIĄŻEŃ W STAWACH KOŃCZYN DOLNYCH PODCZAS TRÓJSKOKU

99

WYZNACZANIE

SIŁ MIĘŚNIOWYCH I OBCIĄŻEŃ W STAWACH KOŃCZYN DOLNYCH PODCZAS TRÓJSKOKU

Zenon Mazur

^1a

, Krzysztof Dziewiecki

^1b

, Wojciech Blajer

^1c

1Instytut Mechaniki Stosowanej i Energetyki, Wydział Mechaniczny Uniwersytet Technologiczno-Humanistyczny w Radomiu

e-mail: ^az.mazur@pr.radom.pl; ^bkrzysztof.dziewiecki@pr.radom.pl; ^cw.blajer@pr.radom.pl

Streszczenie

Trójskok polega na wykonywaniu trzech kolejnych skoków: skoku (odbicie i lądowanie na tę samą kończynę dol- ną), kroku (lądowanie na kończynę przeciwną) oraz zeskoku (lądowanie obunóż na piasku). Jest to konkurencja lekkoatletyczna, w której zawodnik poddawany jest bardzo dużym obciążeniom w stawach, szczególnie w czasie kontaktu zawodnika z bieżnią. Prezentowany jest model symulacyjny dla analizy dynamicznej odwrotnej trójsko- ku, pozwalający na szacowanie obciążeń wewnętrznych w kończynach dolnych skaczącego (sił mięśniowych i reak- cji w stawach) oraz reakcji od podłoża. Rozważania są zilustrowane wybranymi wynikami symulacji numerycznej.

DETERMINATION OF MUSCLE FORCES AND JOINT LOADS IN LOWER EXTREMITIES

DURING THE TRIPLE JUMP

Summary

The triple jump is a demanding athletics event divided into the hop, step, and jump phases, and during each of the landings/take-offs a jumper must tolerate extremely high impact/impulsive forces. The developed (planar) model of the jumper is valid for all the movement phases. Its actuation involves muscle forces in the lower limbs, and the resultant muscle torques in the joints. The dynamic equations are derived in a compact form, and a dis- cussion is provided on computational aspects related to the inverse dynamics analysis, focused on effective assess- ment of muscle forces and joint reaction forces in the lower limbs and external reactions during the contact phas- es. Some numerical results of the inverse dynamics simulation are reported.

1. WSTĘP

Trójskok jest wymagającą konkurencją lekkoatletyczną, polegającą na wykonaniu trzech kolejnych skoków (skok, krok i zeskok) z zachowaniem zasady, że dwa pierwsze odbicia wykonywane są z tej samej nogi, a trzecie z nogi przeciwnej. Dwa pierwsze skoki odbywają się na twardej bieżni, trzeci skok kończy się lądowaniem obunóż na wypełnionej piaskiem zeskoczni. Jest to jedna z najbar- dziej kontuzjogennych konkurencji, szczególnie podczas odbić i lądowań dwu pierwszych skoków, gdy dochodzi

do znacznych przeciążeń aparatu kostno-stawowego.

Rezultat, a w dużej mierze również bezpieczeństwo wykonania trójskoku, zależą od przygotowania siłowo- skocznościowego zawodnika oraz prawidłowej techniki wykonania wszystkich elementów trójskoku: rozbiegu, trzech odbić i lądowania. Nawet przybliżona wiedza na temat wewnętrznych sił mięśniowych i obciążeń w stawach kończyn dolnych może mieć istotne znaczenie dla lepszego zrozumienia mechanizmów powstawania

urazów u trójskoczków, a także doskonalenia techniki skoków i metod treningowych. Siły te można oszacować (nieinwazyjnie) z wykorzystaniem modelu mięśniowo- szkieletowego zawodnika, dokonując symulacji dyna- micznej odwrotnej trójskoku.

W zależności od oczekiwanej dokładności i zakresu analizy ciało ludzkie można zamodelować za pomocą

różnych metod upraszczających jego bardzo złożoną strukturę mechaniczną i sterowanie [1-4]. W niniejszej pracy stosowany jest model płaski pokazany na rys. 1a, umożliwiający efektywne wyznaczanie, na drodze symu- lacji dynamicznej odwrotnej, sił mięśniowych i reakcji w stawach kończyn dolnych podczas trójskoku.

H

X

Y K

^L

3 5

1

2

A

R

K

_R

12 10

a)

A

_L

6

8 7

9 13

T

R

P P

MP A

c)

Rx Ry

A MP

Rx P Rx

y A R

MP y

b)

Rys. 1. Przyjęte uproszczenia modelowe:

a) model deterministyczny sterowany za pomocą wypadkowych momentów sił mięśniowych w stawach, b) model niedeterministyczny uwzględniający sterowanie za pomocą sił mięśniowych w kończynach dolnych, c) różne sposoby kontaktu stopy z podłożem i składowe reakcji od podłoża.

3. BUDOWA MODELU MATEMATYCZNEGO

Zagadnieniem kluczowym dla podjętego zadania symu- lacji dynamicznej odwrotnej trójskoku jest zbudowanie modelu matematycznego opisującego wszystkie jego sekwencje, niezależnie od tego czy jest to faza lotu czy faza kontaktu z podłożem za pomocą jednej z kończyn dolnych. Zaproponowany model skaczącego (rys. 1) jest płaskim otwartym łańcuchem kinematycznym składają- cym się z

N = 14

sztywnych członów połączonych za pomocą

k = 13

przegubów. W fazie lotu układ ma

16 3 + =

= k

r

stopni swobody (dodatkowe trzy stopnie swobody wynikają z przemieszczeń wybranego bieguna i obrotu wokół niego). Obciążeniami zewnętrz- nymi członów są ich siły ciężkości oraz sterowanie w przegubach. W fazie kontaktu z podłożem na stopę jednej z kończyn dolnych działają dodatkowo reakcje zewnętrzne. Wyjściowe dynamiczne równania ruchu

układu najwygodniej jest sformułować w

n = N 3 = 42

współrzędnych absolutnych

T b Cb Cb C

C

y x y

x ]

[

_{1 1}

θ

₁

^L θ

p =

, będących

współrzędnymi środków mas poszczególnych członów i kątami ich orientacji kątowej w inercjalnym układzie odniesienia XY. Równania te można zapisać w postaci macierzowej

u r T

g

C p λ f f

f p

M & & = − ( ) + +

₍₁₎

gdzie

M p & & = f

_g są równaniami ruchu dla członów swobodnych pod działaniem tylko sił grawitacyjnych,

) , , , , , , (

diag m

₁

m

₁

J

_C1

K m

_N

m

_N

J

_CN

=

M

i

T N

g

= [ 0 − m

₁

g 0 L 0 − m g 0 ]

f

,

m

_i i

J

Ci oznaczają masę i masowy centralny moment bezwładności członu i, a g jest przyspieszeniem ziem-

skim. Ruch członów wymuszany jest ponadto przez siły reakcji w stawach, reakcje od podłoża (w fazie kontaktu) i sterowanie układem, reprezentowane na kierunkach p przez

n -

wymiarowe, odpowiednio,

C λ

f

_λ

= −

^T _,

f

_r i

f

_u. Jak zostanie pokazane dalej, nie ma potrzeby jawnego formułowania

l = k 2 = 26

równań więzów połączeń w stawach,

Φ ( p ) = 0

, ani

- n

l ×

wymiarowej macierzy więzów

C = ∂ Φ / ∂ p

. Mnożniki Lagrange’a

λ = [ λ

₁

^L λ

_l

]

^T reprezentują składowe poziome i pionowe sił reakcji w stawach.

Rozważane są dwa modele sterowania: deterministyczny (prosty) i niedeterministyczny (złożony). W modelu deterministycznym sterowanie jest realizowane za pomocą wypadkowych momentów sił mięśniowych w stawach. Nie definiuje się w nim mięśni ani sił mięśnio- wych, a ich działanie zastępuje się

k = 13

momentami sterującymi

u

_τ

≡ τ = [ τ ′

^T

τ ′′

^T

]

^T, zarówno dla

= 6

k ′

stawów kończyn dolnych,

τ ′ = [ τ

₁

^L τ

₆

]

^T_,

jak i

k ′′ = 7

pozostałych połączeń stawowych górnej części ciała

τ ′′ = [ τ

₇

^L τ

₁₃

]

^T. W modelu niedeter- ministycznym momenty

τ′′′′

w stawach kończyn dolnych są zastąpione działaniem

m ′ = 18

sił mięśniowych (9 mięśni w każdej kończynie, rys. 1b), a parametrami sterowania są naprężenia mięśni

σ ′ = [ σ

₁

^L σ

₁₈

]

^T_,

j j j

= F / A

σ

, gdzie

F

_i jest siłą rozwijaną w i-tym mięśniu, a

A

_i jest wartością jego przekroju fizjologicz- nego. Sterowanie układem realizowane jest zatem za pomocą

m = m ′ + k ′′ = 25

parametrów

T T

T

]

[ σ τ

u

_στ

= ′ ′′

Tak zamodelowane sterowanie hybrydowe pozwala skoncentrować uwagę na uszczegó- łowionym modelu wyznaczania sił mięśniowych i obcią- żeń w stawach kończyn dolnych z uwzględnieniem dynamiki całego ciała człowieka, co zostało zastosowane wcześniej w pracy [5]. Dla opisanych modeli sterowania, wprowadzony w równaniu (1), wektor

f

_u sterowania układem można zapisać odpowiednio:

 

 





′′

′′ ′

= ′

= τ

τ B B u B

f

_{τ τ}

[

_τ

M

_τ

]

u ,

 

 





′′

′′ ′

= ′

= τ

σ B B u

p B

f

_στ

( )

_στ

[

_σ

M

_τ

]

u (2)

gdzie macierze

B

_τ i

B

_στ mają wymiary

n × k

i

n × m

,

n × k ′′ -

wymiarowa macierz

B ′′

_τ jest iden- tyczna w obu sformułowaniach, a wymiary macierzy

B′

τ i

B′

_σ wynoszą

n × k ′

i

n × m ′

. Modele sterowa- nia deterministyczny i niedeterministyczny nie są toż- same,

B

_τ

u

_τ

≠ B

_τσ

u

_τσ, a w szczególności

B σ

B ′

_τ

τ ′ ≠ ′

_σ

′

. Siły mięśniowe w modelu niedetermini- stycznym wpływają bowiem na reakcje w stawach kończyn dolnych, reprezentowane przez

p λ C

f

_c

= −

^T

( )

, co nie jest uwzględnione w modelu deterministycznym. Wyznaczanie sił reakcji w stawach danej kończyny dolnej wymaga zatem zastosowania modelu niedeterministycznego sterowania tą kończyną, o czym będzie mowa dalej.

Sformułowanie macierzy

B

_τ (model deterministyczny) jest zadaniem prostym. Ta rzadko upakowana macierz ma tylko dwa niezerowe elementy w każdej kolumnie, równe 1 oraz –1, co ilustruje się w pracy [5]. Określenie

B′

σ w

B

_τσ

= [ B

_σ

′ M B

_τ

′′ ]

(model niedeterministyczny) jest zdecydowanie bardziej złożone. Model działania każdego mięśnia wymaga indywidualnego podejścia w celu określenia jego oddziaływania na odpowiednie człony, z uwzględnieniem anatomicznych miejsc przy- czepów mięśni, oplatania stawów, zmiany ramion dzia- łania siły mięśniowej względem osi obrotu w stawach w zależności od kąta stawowego. Zagadnienia te opisy- wane są szczegółowo w pracy [6].

Reakcje zewnętrzne wywierane na stopę w kontakcie z podłożem modeluje się za pomocą

l

_r

= 3

składowych

T P y x

r

= [ R R M ]

λ

zredukowanych do punktu P

(rys. 1c) niezależnie od sposobu tego kontaktu (również w fazie lotu). Składowe

λ

_r, wyznaczane w procesie symulacji dynamicznej odwrotnej, w fazach lotu powin- ny być równe (bliskie) zeru, co stanowi kryterium dla oceny poprawności budowanych modeli, precyzji doboru parametrów tych modeli oraz dokładności użytych charakterystyk kinematycznych. Wektor uogólnionej siły reakcji od podłoża można zapisać w postaci

r r

r

A p λ

f = ( )

, gdzie macierz

A

_r dystrybucji skła- dowych

λ

_r na kierunki p ma wymiar

n × l

_r (

42 × 3

).

Macierz ta jest łatwa do sformułowania [5].

z

X z Y

2

H

2 2 2

z

₁

1

1

H

1

6

z

₃

4 4

3

1 3

2 4

z

2

K

R

6 2

3

z

₅

R

5 6

5

A

3 3

Rys. 2. Współrzędne więzów w stawach prawej kończyny dolnej i odpowiadające im składowe reakcji w stawach.

Wyjściowe równania ruchu (1) sformułowane są na kierunkach

n = 42

współrzędnych absolutnych p. Dla zadań symulacji dynamicznej wygodnie jest je zrzutować na kierunki

r = 16

współrzędnych niezależnych

T b T

T

y

x ]

[ θ

₁

^K θ

=

q

, gdzie

x

_T i

y

_T są współ-

rzędnymi absolutnymi punktu T na segmencie modelu- jącym głowę (rys. 1a), a

θ

_i są kątami zawartymi w p.

Zależność

p = g (q )

stanowi rozwikłaną postać równań

= 26

l

więzów połączeń w stawach, a ich postać uwikłana

z = Φ ( p ) = 0

jest spełniona tożsamościowo po wprowadzeniu q, tzn.

Φ ( g ( q )) ≡ 0

. Jak pokazano w pracach [5,7], rozwikłaną postać więzów połączeń w stawach można rozszerzyć do

p = g ( z q , ′ )

, gdzie współrzędne więzów

z ′ = [ z

₁

K z

₁₈

]

^T odpowiadają zablokowanym ruchom względnym w stawach kończyn dolnych (względnym przemieszczeniom na kierunkach X i Y; rys. 2). Zróżniczkowanie tej zależności względem czasu daje

q E q D z z

q g q p g

0 0 z

z

&

&

&

&

&  ′ = + ′



 





∂ ′ + ∂

 



 



∂

= ∂

=

= ′

′

(3)

gdzie macierze D i

E′

mają wymiary

n × r

i

n × m ′

. Dla układów płaskich z połączeniami przegubowymi macierz

E′

jest prostą macierzą stałą [7]. Jak dowodzi się w pracach [5,7], macierze te mają cechy:

0 C

D

^{T T}

=

oraz

E ′

^T

C

^T

= [ I ′ M 0 ]

₍₄₎

Macierz D jest więc macierzą uzupełnienia ortogonalne- go do macierzy więzów C wprowadzonej w równaniu

(1), a

I′

jest macierzą jednostkową o wymiarze

m

m ′ × ′

. Lewostronne przemnożenie wyjściowych równań dynamicznych (1) przez

D

^T i

E′

^T pozwala zrzutować te równania na kierunki q i

z′

. Rzut na kierunki q ma postać

u B D A λ

D f D p M

D

^T

& & =

^T _g

+

^T _{r r}

+

^T ₍₅₎

która, z racji

D

^T

C

^T

= 0

, jest wolna od reakcji więzów połączeń reprezentowanych w

λ

. Rzut na kierunki

z′

prowadzi natomiast do

u λ B E A λ

E f E p M

E ′

^T

& & = ′

^T _g

+ ′

^T _{r r}

+ ′

^T

− ′

₍₆₎

z której to zależności można wyznaczyć (selektywnie) reakcje w stawach kończyn dolnych.

Rys. 2. Współrzędne więzów w stawach prawej kończyny dolnej i odpowiadające im składowe reakcji w stawach.

3. ZAGADNIENIA SYMULACJI DYNAMICZNEJ ODWROTNEJ

Symulacja dynamiczna odwrotna [1-6] prowadzona jest z wykorzystaniem modelu dynamicznego układu i polega najogólniej na wyznaczaniu sił wywołujących zna- ny/zadany ruch tego układu. W odniesieniu do tej pracy, opisany wyżej (w dużym skrócie), model dyna- miczny wymaga określenia parametrów masowo- geometrycznych zawodnika, a danymi wejściowymi są charakterystyki kinematyczne badanego ruchu. Wyma- gane dane somatyczne skaczącego obejmują: długości, masy i centralne masowe momenty bezwładności czło- nów, położenia środków mas członów w lokalnych (dla danego członu) układach odniesienia (rys. 2), położenia punktów zaczepów mięśni oraz określenie linii/sposobu działania sił mięśniowych z uwzględnieniem ramion ich działania względem osi obrotu w stawach. Metodami

bezinwazyjnymi bezpośrednio mierzone mogą być tylko długości (niektórych) członów. Inne dane szacowane są z wykorzystaniem metod statystycznych (wzory regresji) na podstawie zmierzonych wysokości i masy ciała oraz szerokości, średnic i obwodów ściśle określonych części ciała osobnika [1,3,8,9]. Charakterystyki kinematyczne

)

d

(t

p

określane są na podstawie pomiarów videogra- metrycznych (rejestracja oraz obróbka numeryczna), skąd wyznacza się również

p&

_d

(t )

oraz

p& &

_d

(t )

_[10].

Stosując deterministyczny model sterowania,

B τ u B

f

_u

=

_{τ τ}

≡

_τ , w równaniu (5) sformułować

można (odwracalną) macierz

] [

)

( p D A B

_τ

W M

r

=

T o wymiarze

r r k l

r × (

_r

+ ) = ×

. Wykorzystując charakterystyki kinematyczne ruchu,

p

_d

(t )

i

& p&

_d

(t )

₍

p&

_d

(t )

nie są używane), problem symulacji dynamicznej odwrotnej sprowadza się wówczas do

) (

) ( )

1

(

g d d

T d

r

W p D p M p f

τ λ

−

 =



 





₋

&

&

₍₇₎

skąd jednoznacznie wyznaczane są przebiegi w czasie

= 3

l

r składowych reakcji zewnętrznych

λ

_rd

(t )

_oraz

= 13

k

wypadkowych momentów sił mięśniowych w stawach

τ

_d

(t )

podczas analizowanych skoków. Jest to rozwiązanie zagadnienia deterministycznego (proste- go) symulacji dynamicznej odwrotnej.

Zagadnienie niedeterministyczne jest konsekwencją faktu, że sterowanie ruchem w stawach realizowane jest w za pomocą większej liczby mięśni niż to jest teore- tycznie konieczne (niektóre z nich oddziałują jednocze- śnie na ruchy w dwu lub trzech stawach). W zagadnie- niach symulacji dynamicznej odwrotnej mamy więc do czynienia z problemem nadmiarowości sterowania.

W odniesieniu do prezentowanych tu sformułowań problem sprowadza się do dystrybucji

k ′ = 6

momen- tów sił mięśniowych w kończynach dolnych, wyznacza- nych ze sformułowania deterministycznego (7), na przebiegi

m ′ = 18

sił mięśniowych (naprężeń mięśni),

) ( )

( t

_d

t

d

σ

τ ′ → ′

. Dystrybucji tej dokonuje się zwykle z zastosowaniem odpowiednich kryteriów optymaliza- cyjnych. Dla zastosowanego hybrydowego modelu

sterowania ruchem modelu,

f =

_u

B

_τσ

u

_τσ oraz

T T

T

]

[ τ σ

u

_τσ

= ′

, wymagana jest bezpośrednia zależność między

σ′

_i

τ′

w kończynach dolnych.

Zależność tę można uzyskać rzutując

r -

wymiarowy wektor sterowania z równania (5),

f

_u

= D

^T

B

_τ

u

_τ i

f

_u

= D

^T

B

_τσ

u

_τσ odpowiednio dla sterowania deter- ministycznego i niedeterministycznego, na kierunki

u ≡

_τ

τ

. Efekt ten uzyskuje się poprzez lewostronne przemnożenie

f

_u przez

B

_τ^T

M

⁻¹, gdzie

B

_τ

= D

^T

B

_τ

oraz

M = D

^T

M D

. Z zastosowaniem symboliki równania (2), otrzymaną tak zależność

στ στ τ

τ τ

τ

M B u B M B u

B

^{T −1}

=

^{T −1} można przedstawić jako



 





′′

 ′









′′

′′

′

′′

′′

′

′

= ′



 





′′

 ′









′′

′′

′

′′

′′

′

′

′

−

−

−

−

−

−

−

−

τ σ B M B B M B

B M B B M B τ τ B M B B M B

B M B B M B

τ τ σ τ

τ τ σ τ τ

τ τ τ

τ τ τ τ

1 1

1 1

1 1

1 1

T T

T T

T T

T T

(8)

skąd wynika poszukiwana bezpośrednia zależność mię- dzy

σ ′

i

τ ′

w kończynach dolnych. Ma ona postać

= 6

k ′

zależności w zapisie macierzowym

p σ H p τ

G ( ) ′ = ( ) ′

(9)

gdzie

G = B

_τ

′′

^T

M

⁻¹

B

_τ

′′

i

H = B

_τ

′′

^T

M

⁻¹

B

_σ

′′

mają wymiary

k ′ × k ′

_i

k ′ × m ′

. Problem dystrybucji

) ( )

( t

_d

t

d

σ

τ ′ → ′

można następnie sformułować jako zagadnienie optymalizacyjne [1-4]

 

 



≤

≤

′′ =

, oraz

) ( )

( by

tak,

, ) ( j

minimalizu

max

min

σ σ

σ

p σ H p τ

G

σ

d d

d

J

(10)

gdzie

J (σ )

jest odpowiednio dobraną funkcją celu, a

σ

_{min i}

σ

max są dopuszczalnymi fizjologicznie mini- malnymi i maksymalnymi naprężeniami mięśni. W ten sposób wyznaczane są

σ′

_d

(t )

w kończynach dolnych, które minimalizują

J (σ )

i generują momenty

τ

_d

′ (t )

. Spośród wielu zaproponowanych funkcji J [4,9,11], najpowszechniej stosowane jest kryterium Crownishielda i Branda [12] minimalizacji sumy podniesionych do potęgi p naprężeń, gdzie p jest zwykle równe dwa lub

trzy. Dla (jednoznacznie) wyznaczonego

τ

_d

′′ (t )

_{, wynik}

)

d

(t

σ

otrzymany z (18) nie jest jednoznaczny, zależy (między innymi) od wyboru funkcji celu J [6].

Stosując

τ

_d

′′ (t )

_oraz

λ

_rd

(t )

otrzymane z rozwiązania deterministycznego oraz

σ′

_d

(t )

oszacowane z zagadnie- nia niedeterministycznego, reakcje

λ ′

_d

(t )

w stawach kończyn dolnych można wyznaczyć (selektywnie) z równania (6) jako

]

[ ^{( ) ( )}

d

d d d rd

d r g

T

M p

σ τ p B p λ

A f E

λ  − & &



 

 +  ′

′′ +

′′ =

_τσ

(11) W rozwiązaniu uwzględniony jest wpływ sił mięśnio- wych na wartości reakcji w stawach, a także dynamika

całego ciała człowieka i reakcje od podłoża na te reakcje wewnętrzne.

4. WYBRANE WYNIKI SYMULACJI DYNAMICZNEJ ODWROTNEJ

Analizie poddano trzy sekwencje trójskoku wykonywane przez zawodnika (wiek: 25 lat, masa ciała: 93.8 kg, wysokość ciała: 180 cm). Z całego trójskoku (skok, krok, zeskok) wyodrębniliśmy trzy odbicia, czyli interesujące nas fazy kontaktu kończyn dolnych z podłożem wraz z krótkimi odcinkami czasu przed i po kontakcie, opisu- jąc je jako fazy (lądowania i odbicia) pierwsza, druga i trzecia. Położenia sylwetki zawodnika w wybranych fazach podczas wykonywania trójskoku pokazano na rys. 3.

Faza 1 Faza 2 Faza 3

Rys. 3. Położenia sylwetki zawodnika w analizowanych fazach trójskoku

6.2 6.3 6.4 -2500

0 2500 5000

R_y R [N]

R_x

kontakt z podłożem

Faza 1

6.9 7 7.1

R_y

R_x

kontakt z podłożem

Faza 2

7.5 7.6 7.7 7.8

R_y

R_x

t [s]

kontakt z podłożem

Faza 3

6.2 6.3 6.4

-800 -400 0 400 800 τ [Nm]

skokowy kolanowy

biodrowy

6.9 7 7.1

kolanowy

skokowy biodrowy

7.5 7.6 7.7 t [s] 7.8

kolanowy

skokowy biodrowy

6.2 6.3 6.4

0 0.5 1

σ [MPa] vast.

sol.

rect. fem.

rect. fem.

^{6.9 7 7.1}

vast.

rect. fem. sol.

rect. fem.

7.5 7.6 7.7 t [s] 7.8

vast.

sol.

rect. fem.

6.2 6.3 6.4

-5000 0 5000 10000 15000

λ_y

λ_x λ [N]

staw kolanowy

6.9 7 7.1

λ_y

λ_x

7.5 7.6 7.7 7.8

λ_y

λ_x

t [s]

6.2 6.3 6.4

-5000 0 5000 10000 15000

λ_y

λ_x λ [N]

staw skokowy

6.9 7 7.1

λ_y

λ_x

7.5 7.6 7.7 7.8

λ_x

t [s]

λ_y

Rys. 4. Wybrane wyniki symulacji dynamicznej odwrotnej trójskoku: Faza 1 – naskok i odbicie z lewej nogi; Faza 2 – lądowanie i odbicie z lewej nogi; Faza 3 – lądowanie i odbicie z prawej nogi.

Dane kinematyczne uzyskano poprzez rejestrację ruchu, z częstotliwością 100 Hz, za pomocą czterech kamer cyfrowych systemu APAS. Synchronizację kamer prze- prowadzono za pomocą impulsu świetlnego. Zarejestro- wane dane kinematyczne poddano filtrowaniu nume- rycznemu [3,10], otrzymując położenia punktów bazo- wych w funkcji czasu oraz ich pierwsze i drugie pochod- ne. Na tej podstawie wyznaczono

p&

_d

(t )

oraz

p& &

_d

(t )

_.

Dane antropometryczne ciała sportowca zostały oszaco- wane zgodnie z wytycznymi przedstawionymi w [1,3,8,9].

Wybrane wyniki symulacji dynamicznej odwrotnej analizowanego skoku zebrano na rys. 4. Reakcje ze- wnętrzne na stopę nogi lewej (fazy 1 i 2) oraz prawej

(faza 3) to przede wszystkim składowe pionowe. Nie- wielkie niezerowe wartości reakcji zewnętrznych są złożeniem błędów modelowania, nieścisłości oszacowania parametrów masowo-geometrycznych modelu oraz niedokładności pomierzonych i obrobionych numerycz- nie parametrów kinematycznych analizowanego ruchu.

Jak widać, wszystkie trzy fazy kontaktu z podłożem cechuje pewne podobieństwo. Relatywnie niewielkie są składowe poziome reakcji od podłoża, głównie w po- czątkowych fazach kontaktu (lądowanie). Największa reakcja pionowa, wartościowo bliska reakcji wypadko- wej, oszacowana została dla fazy 3 (lądowanie po dru- gim skoku i odbicie do skoku trzeciego), około 4.2 kN.

Kolejny ciąg trzech wykresów to przebiegi momentów

sterujących w stawach biodrowym, kolanowym i skoko- wym nogi lewej (fazy 1 i 2) oraz nogi prawej (faza 3), otrzymanych podobnie jak przebiegi reakcji od podłoża z rozwiązania zadania deterministycznego. Z oczywi- stych względów momenty te są największe w fazach kontaktu z podłożem.

Kolejne wykresy ilustrują wybrane wyniki rozwiązania zadania niedeterministycznego. Są to naprężenia trzech mięśni (rys. 5) odpowiednio nogi lewej (fazy 1 i 2) oraz prawej (faza 3). Relatywnie duże wartości uzyskano dla mięśnia vastus (

σ

_max

= 0 . 8 MPa

). Kolejne wykresy pokazują przebiegi składowych poziomych i pionowych reakcji w stawach odpowiednich kończyn dolnych (kon- taktujących się z podłożem). Reakcje te są szczególnie duże w stawie kolanowym w fazie lądowania po drugim skoku. Wypadkowa reakcji w stawie kolanowym prze- kracza wówczas 17 kN, ponad osiemnastokrotnie więcej niż ciężar ciała zawodnika i ponad czterokrotnie więcej od wartości wypadkowej reakcji od podłoża. Jest to w dużej mierze konsekwencja wpływu sił mięśniowych, zawsze zwiększających obciążenia w stawach.

Rys. 5. Wybrane mięśnie aparatu ruchu kończyny dolnej, dla których przedstawiono przebiegi ich naprężeń podczas skoku.

5. WNIOSKI

Aparat ruchu człowieka jest bardzo złożony i trudny do zamodelowania. Budowane modele szkieletowo- mięśniowe są zawsze daleko idącym uproszczeniem rzeczywistości. Stosując je, można jednak bezinwazyjnie oszacować reakcje zewnętrzne działające na człowieka podczas różnych czynności ruchowych oraz siły mię- śniowe i reakcje w stawach. Niniejsza praca przedstawia efektywny model wykorzystujący wiele nowych i orygi- nalnych sformułowań i metod. Otrzymane wyniki ilo- ściowe symulacji dynamicznej odwrotnej trójskoku wydają się być racjonalne. Ich jakość silnie zależy od poczynionych założeń i uproszczeń modelowych. Popra- wa jakości modelu symulacyjnego wpłynie na uwiary- godnienie prowadzonych analiz.

Literatura

1. Yamaguchi G.T.: Dynamic modeling of musculosceletal motion. A vectorized approach for biomechanical analysis in three dimensions. Kluwer, Dordrecht, 2001.

2. Robertson D.G.E., Caldwell, G.E., Hamill, J., Kamen, G., Whittlesey, S.N.: Research methods in biomechanics.

Human Kinetics: Champaign, 2004.

3. Winter D.A.: Biomechanics and motor control of human movement. Hoboken: John Wiley & Sons, 2005.

4. Erdemir A., McLean S., Herzog W., van den Bogert A.: Model-based estimation of muscle forces exerted during movements. “Clinical Biomechanics” 2007, Vol. 22, No. 2, p. 131-154.

5. Blajer W., Dziewiecki K., Mazur Z.: Multibody modeling of human body for the inverse dynamics analysis of sagittal plane movements. “Multibody System Dynamics” 2007, Vol. 18, No. 2, p. 217-232.

6. Blajer W., Czaplicki A., Dziewiecki K., Mazur Z.: Influence of selected modeling and computational issues on muscle force estimates. “Multibody System Dynamics” 2010, Vol. 24, No. 4, p. 473–492.

7. Blajer W.: On the determination of joint reactions in multibody mechanisms. “Transactions of the ASME, Jour- nal of Mechanical Design” 2004, Vol. 126, No. 2, p. 341-350.

8. Mazur Z., Dziewiecki K., BlajerW.: Uwagi o wyznaczaniu danych somatycznych człowieka dla zadań symulacji dynamicznej. Zesz. Nauk. Kat. Mech. Stos. Pol. Śl. nr 5: Aktualne problemy biomechaniki. Gliwice: Pol. Śl., 2011, s. 89-94.

9. Tejszerska D., Świtoński E., Gzik M.: Biomechanika narządu ruchu człowieka. Radom: Wyd. Nauk. Inst. Tech- nologii Eksploatacji, 2011.

10. Dziewiecki K., BlajerW., Mazur Z.: Uwagi o sposobach obróbki danych z pomiarów kinematycznych dla zadań symulacji dynamicznej odwrotnej układów biomechanicznych. „Modelowanie Inżynierskie” 2011, nr 41, t. 10, s.

55-64.

11. Tsirakos D., Baltzopoulos V., Bartlett R.: Inverse optimization: functional and physiological considerations related to the force-sharing problem. “Critical Reviews in Biomedical Engineering” 1997, Vol. 25, No. 4-5, p.

371-407.

12. Crowninshield R.D., Brand R. A.: A physiologically based criterion of muscle force prediction in locomotion.

“Journal of Biomechanics” 1981, Vol. 14, No. 11, p. 793-801.

Publikacja jest wynikiem pracy naukowej finansowanej przez Ministerstwo Nauki i Szkolnictwa Wyższego ze środków na naukę w latach 2010–2012, jako projekt badawczy Nr N N501 156438.