Wśród wielu form aktywności matematycznej, jedną z ważniej­szych stanowi specyfikacja. Nasuwa się od razu pytanie: specyfika­cja, ale czego? W nauczaniu szkolnym, i to każdego etapu, a także

Zdzisław Dybiec

Kraków

O pewnej trudności związanej ze specyfikacją w nauczaniu matematyki

Wśród wielu form aktywności matematycznej, jedną z ważniej­

szych stanowi specyfikacja. Nasuwa s ię od razu pytanie: specyfika­

cja , ale czego? W nauczaniu szkolnym, i to każdego etapu, a także w rzeczywistej twórczości matematycznej, spotykamy w iele rodzajów sp e cy fik acji. Ustalamy zmienne, badamy określone rekurencje, it e ­ ra c je , rozpoznajemy pojęcia, twierdzenia w jakimś modelu, czy też konstruujemy ich modele, badamy ich szczególne przypadki, specyfi­

ku jemy całe te o rie , dokonujemy sensownych podstawień w językach różnych komputerów, it p . Proces specyfikacji je s t procesem prowa­

dzącym n ajczęściej od ogółu do szczegółu i mimo iż ma się wrażenie że je s t ono niejako „niższej rangi" niż proces uogólniania, to od­

grywa on bardzo dużą r o lę kształcącą, kontrolną, dodam także wycho wawczą. Propozycje nauczyciela wyszukiwania szczególnych przypad­

ków danego twierdzenia, zadania, podstawianie wyróżnionych wartoś­

c i, specyfikacja pojęć, mogą mieć charakter odkrywczy. Często od­

s ła n ia ją is to tę przyjętych założeń. Ostrzegają przed powierzchow­

nymi analogiami. Funkcję kontrolną procesu specyfikacji należy na­

tu ra ln ie przyjmować z dużą ostrożnością, zwłaszcza dla ustaleń po­

zytywnych, Rozumowanie: „ re la c ja S zawarta w RxR dana wzorem xSy = x-y e Q je s t symetryczna, ponieważ prawdziwa je s t implika­

cja, j e ś l i 1+ J 2 - \[2 € Q, to także \/2-(l+/2) ę Q"^ je s t błędne.

(Przykład je s t banalny, ale równocześnie typowy, zwłaszcza na pew­

nym etapie nauczania.) Natomiast do kontroli i korekty rozumowania

„ je ś l i dla danego ciągu ( an ) n € N spełniony je st warunek an+1^an

dla każdego n naturalnego, to ciąg ten przyjmuje nieskończenie w ie le różnych w artości" może posłużyć sp ecyfikacja: „w ciągu

1 , 0 ,1 ,0 ,... każde dwa sąsiednie wyrazy są różne i ciąg przyjmuje jedynie dwie w a rto ści". Co w ięcej, przykład ten pokazuje, że spe- cyfik u jąc p o ję c ie różnowartościowości fu n kcji dla ciągu, nie można go zastąpić innym warunkiem równoważnym, który uwzględniałby fa k t, że dziedziną rozważanej fu n k cji je s t zb iór lic z b naturalnych, jak to można zrobić np. w przypadku p o ję c ia monotoniczności. Konstruo­

wanie kontrprzykładów je s t w swej is t o c ie określoną sp ecyfik acją, a o ich wielostronnych zaletach w kształceniu matematycznym je s te ś ­ my wszyscy głęboko przekonani. Analizowanie sensowności podstawień, dyscyplina wobec p rzyjętych konwencji, konsekwencje w dokonywaniu ustaleń, badanie ich poprawności, to niektóre z aspektów s p e c y fi­

k a c ji o charakterze nie ty lk o poznawczym czy kształcącym. Docenia­

jąc r o lę s p e c y fik a c ji w nauczaniu matematyki, pragnę p o d z ie lić s ię z czytelnikami niektórymi spostrzeżeniami dokonanymi w praktyce uczenia, dotyczącymi zagadnień „w szczegó ln o ści". *

Bardzo charakterystycznym zjawiskiem zaobserwowanym wśród ucz­

niów klas uniwersyteckich, innych także, również wśród studentów, je s t wyraźny próg przy s p e c y fik a c ji p ojęć, twierdzeń, problemów, z^adań dla zbiorów, których elementami są zb iory. Przybliżmy nieco tę hipotezę, posługując s ię pewnymi przykładami sprawdzonymi w praktyce. P ojęcie kresów podzbiorów zbioru częściowo uporządkowane­

go je s t jednym z ważniejszych pojęć matematycznych. Wyspecyfikowa­

n ie tego p o jęcia dla zbiorów liczbowych, zbiorów zawartych w RxR^

częściowo uporządkowanym, np. lek syk ogra ficzn ie, zawiera zwykły stopień trudności, natomiast bariera pojawia s ię wówczas, gdy na­

le ż y j e przenieść dla podzbiorów zbioru potęgowego. Zadanie: „Wy­

kazać, że w zbiorze P(X) częściowo uporządkowanym przez r e la c ję in k lu z ji inf-[A,Bj = AnB dla dowolnych zbiorów A, B e P (X ), P(X) oznacza zb iór podzbiorów zbioru X" okazałb s ię zadaniem dostęp­

nym jedynie dla niektórych uczniów,

w

podejmowanych próbach rozwią­

zań widoczny był kłopot z oderwaniem myśli od elementów zbiorów A czy B i przeniesieniem j e j na A czy B jako elementy zbioru {A , B }. Prawie zawsze rozumowania zaczynały s ię tak: „aby oc było a ^ Oc " . Do rzadkości należała specyfikacja r e l a c j i częściowego po-

a, ć A, a ^ o c i dla każdego a € B

rządku, oznaczonej w d e f i n i c j i przez < , na tę szczególną w tym.

problemie in k lu zję , mimo i ż podawano ją wcześniej jako przykład in ­ teresu ją cej nas tu r e l a c j i . 0 kłopotach z przejściem od zbioru X do zbioru P(X ) przy sp e c y fik a c ji p o ję c ia kresu, świadczą także zapisy inf^A, b} = i n f {i n f A , i n f B j . Takie same trudności zaobserwo­

wano przy rozwiązywaniu w rów noległej grupie analogicznego zadania dla kresów górnych: wykazać, że sup£A,Bj- = AuB, dla dowolnych zbiorów A,B€ P (X ). Dla w yrazistości obrazu zaznaczmy, że analizo­

wane zadania były rozwiązywane przez uczniów klas pierwszych uni­

wersyteckich o p r o filu matematycznym, w których zasadniczo re a liz u ­ j ę pogłębiony program klas matematyczno-fizycznych. Po opracowaniu elementów lo g ik i klasycznej i t e o r i i zbiorów, zapoznawaliśmy s ię z różnego typu rela cja m i. Kresy zosta ły zdefiniowane odpowiednio jako najmniejsza majoranta, największa minoranta podzbioru zbioru -częściowo uporządkowanego. Badaliśmy różnego rodzaju zbiory i ró ż­

ne w nich r e la c je i dla ich różnych podzbiorów wyznaczaliśmy zbiory majorant, minorant, kresy, badaliśmy ograniczoność, wyszukiwaliśmy zbiory elementów minimalnych, maksymalnych, elementy najmniejsze i największe. Dużo różnych przykładów analizowaliśmy dla zbioru RxR ze względu na ładne in te rp re ta c je geometryczne. Były także przykłady liczbowe, a le było ich w tym miejscu mniej. Wyraźniej

zaakcentowaliśmy kresy zbiorów liczbowych wówczas, gdy porządkowa­

liśmy wiadomości o liczb ach rzeczywistych (aksjomatyka R), oraz przy o k a zji granic ciągów. Wtedy także specyfikowaliśmy ogólną de­

f i n i c j ę kresu podzbioru zbioru częściowo uporządkowanego podzbio­

rów liczbowych i doszliśmy do klasycznych sformułowań. Przy opraco­

wywaniu wspomnianych zagadnień używaliśmy dość rygorystycznych, formalnych zapisów. Naszkicowane t ł o pozwala przypuszczać, że sto­

pień trudności p o ję c ia kresu w analizowanym zadaniu został zw ielo­

krotniony specyficzną sytuacją: kresami były zbiory.

Sformułowaną hipotezę potwierdza i także zadanie: „Niech X będzie dowolnym zbiorem i -niech A c X i B cX, wykazać że zbiór ( Y t P ( X ) : Y c A } n [ Y € P ( X ) : Y C B } = {Y € P (X ) : Yc Ah b]

grupa równoległa

{y e P(X ) : Yo A jr \ {Y 6 P (X ) : YdB} = { y€ P ( X ) : Y D Au bJ".

Podstawowe trudności, które dały s ię tu ta j wyraźnie zauważyć, do­

ty c z y ły pytania, co to znaczy być elementem zbioru, np.

^Y€P(X) : Y C A ^ { Y 6 P(X) : Y c B j. Odnotujmy k ilk a uczniowskich myśli w związku z tym zadaniem:

" y e {y€ P(X ) : Yc A } , stąd wynika

(Y € P ( X ) : y € Y

C

a} =

(

y c

P(X)

: y e Y ^ y c A } " ,

"x€

[

yC A

A

Y c b

]

4 ( x e Y C A ) n ( x ę Y c B ) " , "(YcB)n(YcA)

c

(YCAnB)"

Nawet używanie małych l i t e r na oznaczanie zbiorów, wbrew umowie, świadczy o nierozróżnianiu odpowiedniego typu zbiorów. Na znane trudności związane z rozszyfrowaniem formalnego zapisu zbioru za­

danego funkcją zdaniową n ałożyły s ię trudności wynikające z faktu, że dziedziną formy d e fin iu ją c e j zbiór były podzbiory ustalonego zbioru. Elementami badanych zbiorów były zbiory. Specyfikacja pod­

stawowych pojęć mnogościowych i zapisanie rozwiązań w ta k ie j samej konwencji było dodatkowo utrudnione. (Na 34 rozwiązania poprawnych było 6 .) Zadanie rodzaju: „U stalić związek między zbiorami P (A n B ) a P (A )n P (B ), podobnie dla sumy, różn icy, iloczynu kartezjań skie- g o ", „Znaleźć wszystkie elementy zbioru p(p(p(j>a} ) ) ) " i t p . rów­

nież dostarczają podobnych obserwacji.

Kształcenie um iejętności „widzenia zbiorów'1 jako elementów je s t dość ważne, chociażby ze względu na dobre rozumienie wielu p ojęć. Wyróżnianie dla danych zbiorów rodzin podzbiorów tworzących ich rozkłady należy do stylu współczesnej myśli matematycznej. Czę­

sto rodzinę wyróżnia określona r e la c ja równoważności, a klasa ab­

s tr a k c ji danego elementu względem t e j r e l a c j i nierzadko d e fin iu je nowe p o ję o ie . Wektor swobodny, kierunek, orien ta cja , kąt swobodny, algebraiczne struktury ilorazow e, to ty lk o niektóre z podstawowych terminów, którym nadanie sensu wymaga operowania zbiorami zbiorów.

Rozumienie zapisu danej lic z b y naturalnej w różnych systemach, to oprócz konwencji także rozkład danego zbioru na pewną rodzinę j e ­ go podzbiorów,

w

zadaniu: „Czy rodzina zbiorów

{ AcchfX’

S^zie X je s t zbiorem prostych na płaszczyźn ie, natomiast A^ = £ x c X : x przecina o ę j tworzy jego rozkład", podstawową trudność stanowiło uzasadnienie, że A^n A^ ^ 0, j e ś l i tylk o zbiory A i A nie pokrywają s ię . Często szło ono w kierunku: „skoro zbiory Ap i

A są różne, więc proste p, q n ie są równoległe, c z y li ich częś­

c ią wspólną je s t punkt, zatem zbiory te nie są rozłączn e, mają bo­

wiem punkt wspólny". Kłopotliwym okazało s ię p rz e jś c ie od P h ^

4

^-

0

do A^n A^ 0 0. W pierwszym ilo c z y n ie częścią wspólną je s t punkt, który nie należy do drugiego iloczynu, jak to sugerowały rozwiąza­

nia zdecydowanej większości uczniów. Na marginesie dodam, że drugi model błędu przy rozwiązywaniu tego zadania był następujący. Rodzi­

nie tworzy rozkładu zbioru X, ponieważ re la c ja

„prosta x przecina prostą y" nie je s t równoważnościowa. J e ś li w tym przypadku można dopatrywać s ię źródła błędnego rozumowania w eksponowaniu rozkładu zbioru za pomocą klas abstrakcji r e l a c j i równoważnościowej, to w poprzednim ten argument nie może być brany pod uwagę. Rozumowanie wyraźnie dążyło do uczynienia zacfość d e fi­

n i c j i rozkładu zbioru, a jego r e a liz a c ja w uczniowskich próbach przemawia za sformułowaną na początku hipotezą.

Anonsując trudności dotyczące sp e c y fik a c ji p ojęć, problemów etc. dla zbiorów, których elementami są zb iory, nie sposób pominąć przykładów, których dostarcza nauczanie o pękach prostych i kierun­

kach. Tutaj każdy z uczących dysponuje dziesiątkami rozmaitych ucz­

niowskich odpowiedzi, w których uwidacznia s ię kłopot z rozróżn ie­

niem elementów zbiorów różnych typów. Przytoczmy tu ta j n iektóre z nich. Na pytanie, co je s t sumą mnogościową ( a ) u ( b ) dwu kierun­

ków, lub ich iloczynem ( a )ft (b ), prawie regułą je s t odpowiedź

„cała płaszczyzna", i to bez względu na wzajemne położenie prostych a, b, bo te proste „wypełnią całą płaszczyznę". Część wspólna k ie -, runku (a ) i pęku (A ), to w odpowiedzi ustnej pewna prosta b, ale w za p is ie (a )n (A ) = b, a więc ten ilo c zy n to zbiór punktów p ro s te j, a nie zbiór jednoelementowy { b j . Część wspólna półpła- szczyzny m/T* i pęku (A ) to zbiór pewnych półprostych, część wspólna płaszczyzny

7T\

£a} (bez wierzchołka pęku) i pęku (A) to też zb ió r półprostych. Część wspólna okręgu o środku w punkcie A i promieniu r i pęku (A) je s t okręgiem o (A ,r ), część wspólna okręgu i kierunku to te ż okrąg, it p . Zauważmy, że w tych ostatnich przykładach znamiona błędu, zarówno w pytaniach, jak i odpowiedziach są takie same: n ierozróżn ian ie odpowiednich typów zbiorów. Zostały tu naruszone rygory logiczn e tworzenia działań mnogościowych. Jeden czynnik iloczynu był podzbiorem płaszczyzny, natomiast drugi pod- na l M * e x

zbiorem zbioru podzbiorów płaszczyzny: mA“*c TT , o(A ,r)cTT , zaś (A ) c P(*?r), (a ) c P(sr). Dodajmy, i ż przy tych pytaniach nau­

c z y c ie la n ie odnotowano żadnych sprzeciwów ze strony uczniów. Po­

ję c ia występujące w zacytowanych tu ta j przykładach oznaczamy oraz interpretujem y zgodnie z konwencjami podręcznika £ 4 ]. Charakter przytoczonych tu ta j błędów je s t w pewnym sensie taki sam: zb iór ja - ]jo element zbioru, w zadaniach zawierających zarówno pęk (A ), jak i kierunek (a ), mimo i ż same te p o ję c ia w nauczaniu szkolnym de­

finiujem y ró żn ie . Może to j e s t banalne, a le chcę pewien aspekt t e j

„różn ości" wyraźnie p od k reślić. Do. d e f i n i c j i kierunku trzeba wyróż­

n ić prostą; kierunek stanowi określony zbiór prostych, a więc zb iór zbiorów tego samego typu, przy czym wyróżniona prosta należy do k ie ­ runku. Natomiast aby zdefiniować pęk, należy wyróżnić punkt; pęk stanowi określony zbiór prostych, a więc zbiór zbiorów innego typu, a wyróżniony punkt nie należy do pęku. Wiadomo, że p o ję c ia pęku i kierunku można lo g ic z n ie u je d n o lic ić , a le wówczas przechodzimy do innej geom etrii. W praktyce szkolnej trzeba w ie le cierpliw ego wy­

jaśn ian ia, i to w różnych kontekstach i przy różnych okazjach, aby dojść do jasnego rozumienia pojęć pęku i kierunku. Zasadnicze trud­

ności, ja k ie s ię tu ta j ujawniają, związane są z przejściem od zb io­

ru do zbioru zbiorów. Należałoby je s zc ze podkreślić, i ż są to trud­

ności zasadnicze ze względu na aktualny s t y l nauczania geom etrii.

Bowiem u podstaw pojęć pęku i kierunku le ż y in te rp re ta c ja pojęć p ro stej i płaszczyzny. Proste, płaszczyzny, fig u ry geometryczne interpretujem y jako zbiory punktów, i to je s t dla nas aktualnie bardzo naturalne; a le przypomnijmy, że to zaczęło s ię od nowszych czasów,

w

ujęciu Euklidesa proste, płaszczyzny nie b yły zbiorami punktów. W praktyce potw ierdzają s ię te z y Z. Krygowskiej ( [ i j , s t r . 70 i następne), i ż p r z e jś c ie do mnogościowej in te r p r e ta c ji przes­

trze n i geometrycznej stwarza w iele trudności i nieporozumień. Myś­

le n ie mnogościowe wymaga szczególn ej dyscypliny w stosowaniu f o r ­ malnych d e f i n i c j i . Tutaj chcemy wyraźnie podkreślić, że oprócz trudności pochodzących od u ję c ia mnogościowego i związanego z nim formalizmu, dodatkowy próg pojęciowy stwarzają zbiory zbiorów.

Stopień n a silen ia trudności, które sygnalizujemy w tym artyku­

l e , zależą, jak każde inne, od wielu różnorakich czynników. W pracy nad ich pokonywaniem warto pamiętać, i ż charakteryzują s ię one

szczególną natarczywością powrotów. J e ś li nawet w danym momencie nauczania zauważamy zrozumienie i właściwe rozróżniania, to po upływie pewnego czasu lub zmianie kontekstów pojaw iają s ię ponow­

n ie, chociaż trzeba dodać, i ż w bard ziej zróżnicowanej s k a li. Prze­

prowadzona wokół tych zagadnień w odpowiedniej ch w ili praca kontrol na bywa bardzo selektywna.

W praktyce n au czycielskiej różnego szczebla często stajemy przed problemem oceny zdolności abstrakcyjnego myślenia. Jego „zmie rżen ie" to zagadnienie niesłychanie trudne. U tarły s ię pewne sche­

maty postępowania. Czasami żądamy uporządkowania „jak iegoś chaosu", przeprowadzenia dyskusji ze względu na określoną własność, parametr zanalizowania przypadków. Żądamy uzasadnienia is tn ie n ia , jednozna­

czności, braku jednoznaczności określonych obiektów, niekoniecznie wskazując je efektywnie. Tymi cechami charakteryzują s ię bardzo

często zadania z zawodów olimpiad matematycznych. Dążymy do tego, by tego rodzaju cechy, choć w elementarnym stopniu, miały zadania z przeróżnych egzaminów. Do tych p rzyjętych schematów dodałabym postawienie problemu, w którym trzeba by operować zbiorami zbiorów.

BIBLIOGRAFIA

03 Z. K r y g o w s k a , Zarys dydaktyki- matematyki, część I , WSiP, Warszawa 1979.

[2] Zarys dydaktyki matematyki, część I I , WSiP, Warszawa 1980.

[3] - , Zarys dydaktyki matematyki, część I I I , WSiP, Warszawa 1980.

[4] - i J. M a r o s z k o w a, Geometria dl a klasy I Liceum Ogól­

n o k s z t a ł c ą c e g o , PZWS, Warszawa 1970.

[5] Z. 0 p i a 1, Z b i o r y formy zdaniowe r e l a c j a, WSiP, Warszawa 1976.

[6] H. R a s i o w a, Wstąip do matematyki ws pół cz esnej9PWN, War­

szawa 1971.

[7] Z. S e m a d e n i , Matematyka współczesna w nauczaniu d z i e c i } PWN, Warszawa 1975.

ON SOME DIFFICULTY CONNECTED WITH SPECIFICATION IN THE TEACHING OF MATHEMATICS

S u m m a r y

The a r t ic le shows a d i f f i c u l t y o f s p e c ific a tio n o f notions, theorems, and problems fo r sets, elements o f which are sets.

The author analyses examples, in which th is d i f f i c u l t y is d is t in c t ly observed. Those problems were solved by students of mathematical classes in the normal course o f teaching.