Czy po transformacji logarytmicznej założenie normalności jest uzasadnione? Właściwie interesuje nas, czy zmienna L_Poprawa=Log(Lek) –Log(Placebo) może być modelowana rozkładem normalnym

Formułowanie i rozwiązywanie problemów testowania hipotez

Zadanie 1.

W celu zbadania efektu ochronnego pewnego leku w leczeniu astmatyków uczulonych na aspirynę poddano badaniom jedenastu pacjentów. W dwóch seriach badań podawano im lek lub placebo a następnie przeprowadzano prowokację aspirynową w celu określenia dawki aspiryny wywołującej 20% spadek wydolności płuc - PD20 [mg]. W trakcie badań pacjenci i personel medyczny nie wiedzieli, czy podano lek czy placebo (tzw. podwójnie ślepa próba).

Wyniki (tzn. PD20) przedstawiono w tabeli

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

Lek 0,135 23 0,38 106 0,3 106,2 52,6 1,9 19,5 5,8 6,4 Placebo 1,55 1,15 0,27 0,64 0,125 105 25 0,8 3,9 1,2 0,145

Czy można założyć, że wyniki w sesjach Lek i Placebo są niezależnymi obserwacjami zmiennej losowej o rozkładzie normalnym? A może obserwacje zmiennej Poprawa=Lek–

Placebo można potraktować jako próbę prostą z rozkładu normalnego. Z uwagi na właściwości organizmu ludzkiego, dla którego spadek wydolności płuc jest proporcjonalny do logarytmu dawki aspiryny do dalszych rozważań należy wziąć zlogarytmowane pomiary xi=ln(PD20, Lek)i i yi= ln(PD20, Placebo)i . Czy po transformacji logarytmicznej założenie normalności jest uzasadnione? Właściwie interesuje nas, czy zmienna L_Poprawa=Log(Lek) –Log(Placebo) może być modelowana rozkładem normalnym. Zamiast transformacji logarytmicznej można też użyć normalizującej transformacji Boxa-Coxa zmiennej poprawa. Transformacja ta dostępna jest w zakładce Dane.

1 lek

2

placebo 3

poprawa 4 l lek

5

l placebo 6

l poprawa 7

Poprawa box

8 Próg 1

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

0,1351,55-1,415-2,00 0,44 -2,440,000,8258 23 1,15 21,853,14 0,14 3,00 2,53

0,38 0,27 0,11-0,97 -1,31 0,34 0,86 106 0,64105,364,66 -0,45 5,11 3,36 0,3 0,1250,175-1,20 -2,08 0,88 0,89 106,2 105 1,2 4,67 4,65 0,01 1,17 52,6 25 27,63,96 3,22 0,74 2,66 1,9 0,8 1,1 0,64 -0,22 0,86 1,15 19,5 3,9 15,62,97 1,36 1,61 2,35 5,8 1,2 4,6 1,76 0,18 1,58 1,69 6,4 0,1456,2551,86 -1,93 3,79 1,84

Wsk:

Testy normalności ( w tym test Shapiro-Wilka) można uzyskać dla zadanej zmiennej wybierając Statystyka - > Statystyki podstawowe i tabele - > Tabele liczności w karcie Normalność.

1

Testy normalności (Arkusz9) Zmienna

Nmaks DK-S p

Lillief.

p

W p

Lek

Placebo

110,288222p > ,20p < ,010,7218110,000894 110,428435p < ,05p < ,010,4666160,000001

Ewentualnie, wybierając Statystyka - > Statystyki podstawowe i tabele - > Statystyki opisowe wybieramy zakładkę normalność i po wskazaniu zmiennych oraz wybraniu wszystkich trzech testów (K-S, Lilliefors i S-W) klikamy Histogramy otrzymując oprócz p-wartości wykresy histogramów i dopasowanych rozkładów.

Uwaga:

W wyniku analizy wyświetlone są p-wartości dla testów Kołmogorowa-Smirnowa, Lillieforsa oraz testu Shapiro-Wilka. Test K-S nie jest tutaj poprawnie użytym testem i nie powinno się interpretować obliczonej p-wartości! Zakłada on bowiem, że znane są parametry rozkładu, którego zgodność testujemy (w tym przypadku wartość oczekiwana i odchylenie std. rozkładu normalnego). Tymczasem są one jedynie oszacowane na podstawie danych przez ich

empiryczne odpowiedniki (średnią arytmetyczną i odchylenie std. z populacji) i „milcząco”

użyte jako znane. Dlatego, jeśli decydujemy się użyć testu K-S do testowania hipotezy o normalności rozkładu, gdy nie znamy jego parametrów powinniśmy użyć jego

zmodyfikowanej wersji – testu Lillieforsa.

Wybierając Statystyka - > Dopasowanie rozkładów można testować zgodność danych z wybranym rozkładem.

 Z uwagi na powtarzalne pomiary należy rozpatrywać zmienną Poprawa = Lek – Placebo (zarówno przed jak i po transformacji logarytmicznej. Wyjaśnić interpretację zmiennej typu Poprawa przed i po transformacji logarytmicznej

Zadanie 2.

Sformułować parametryczny model eksperymentu z zadania 1 i w tych warunkach

zweryfikować na poziomie =0.05 hipotezę o nieskuteczności leku - użyć testu t Studenta dla prób zależnych. Rozwiązać powyższe zadanie przyjmując nieparametryczny model eksperymentu - użyć testu Wilcoxona.

Wsk:

Test t-Studenta dla prób zależnych używamy wybierając:

Statystyka - > Statystyki podstawowe i tabele - > Test t dla prób zależnych Test Wilcoxona:

Statystyka - > Statystyki nieparametryczne - > Porównanie dwóch prób zależnych (zmiennych) -> Test kolejności par Wilcoxona

Zadanie 3.

Rozwiązać powyższe zadania bez założenia, że pomiary są pogrupowane w pary – użyć testu t Studenta dla prób niezależnych i testu U Manna-Wilcoxona-Whitneya. Jakie wnioski stąd wynikają ?

2

Wsk:

Test t-Studenta dla prób niezależnych używamy wybierając:

Statystyka - > Statystyki podstawowe i tabele - > Test t dla prób niezależnych(wzgl.zmiennych)

Test U Manna-Wilcoxona-Whitneya:

Statystyka - > Statystyki nieparametryczne - > Porównanie dwóch prób niezależnych(grup) -

> Test U Manna-Whitneya

Uwaga : dane muszą być przekształcone tak aby wyniki dla leku i placebo były w jednej kolumnie, natomiast dodatkowa kolumna Kod wskazuje, czy dany wynik dotyczy leku czy placebo.

Wyjaśnić, który sposób postępowania jest właściwy i dlaczego?

Zadanie 4a.

Niech X1,...,Xn będzie próbą prostą z rozkładu N(m,1). Niech n=9 i =0,05. Wykreślić funkcję mocy jednostajnie najmocniejszego testu na poziomie hipotezy H0: m=0 wobec alternatywy H1: m>0. Na tym samym rysunku wykreślić funkcję mocy jednostajnie najmocniejszego testu nieobciążonego testu na poziomie hipotezy H0: m=0 wobec alternatywy H1: m0.

Wsk:

Za pomocą funkcji Wykresy -> Wykresy 2W -> Wykresy funkcji użytkownika rysujemy wykresy funkcji (dla x zmieniającego się od –1.5 do 1.5):

y11-INormal(1,64486-3*x;0;1) (z wykorzystaniem standaryzacji) lub

y1 1-INormal(VNormal(0,95;0;1/3);x;1/3) (bez standaryzacji)

y21-INormal(1,9597-3*x;0;1)+INormal(-1,9597-3*x;0;1) (z wykorzystaniem standaryzacji) lub

y21-INormal(VNormal(0,975;0;1/3);x;1/3)+INormal(VNormal(0,025;0;1/3);x;1/3) (bez standaryzacji).

Zadanie 4b.

Wykreślić krzywą mocy (zależność mocy od poziomu istotności) testu najmocniejszego hipotezy H0: m=0 wobec alternatywy H1: m=1 testu uzyskanego w zadaniu 4a dla x z przedziału (0;0,4).

Wsk:

Jak w punkcie a)

y1-INORMAL(VNORMAL(1-x;0;1)-3;0;1) lub

y 1-INormal(VNormal(1-x;0;1/3);1;1/3)

3

Wykres funkcji Funkcja = 1-INORMAL(1,9597-3*x;0;1)+INORMAL(-1,9597-3*x;0;1)

Funkcja = 1-INORMAL(1,64486-3*x;0;1)

-2,0 -1,5 -1,0 -0,5 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0

X 0,0

0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0

Y

Wykres funkcji Funkcja = 1-INORMAL(VNORMAL(1-x;0;1)-3;0;1)

0,00 0,02 0,04 0,06 0,08 0,10

X 0,3

0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0

Y

4