• Nie Znaleziono Wyników

12, (c) ∃N ∀n>N ln n &gt

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share "12, (c) ∃N ∀n>N ln n &gt"

Copied!
2
0
0

Pełen tekst

(1)

CIĄGI LICZBOWE 1. Napisać cztery początkowe wyrazy ciągu o wyrazie ogólnym (a) an= 3n−22n (b) bn= 4 − n2 (c) cn= 2nn!−12+3

2. Zbadać, czy podane ciągi są ograniczone z dołu, z góry, są ograniczone (a) an= 2n (b) bn= n+1n (c) cn= (−1)nn!

3. Zbadać, czy podane ciągi są monotoniczne od pewnego miejsca

(a) an= 2n+1n (b) bn= 1 +n1 (c) cn= n2− 5n (d) dn= 2nn

4. Zaznacz zdania prawdziwe, uzasadnij odpowiedź

(a) ∃Nn>N |n14 − 1| < 12, (c) ∃Nn>N ln n > 999, (b) ∃Nn>N |n21+1n12| < 0, 01, (d) ∃Nn>Nn

n < 12, 5. Korzystając z twierdzenia o trzech ciągach oblicz granice

(a) lim

n→∞

n

s 1 +1

3 + ... + 1

2n + 1, (b) lim

n→∞

pn

13+ 23+ ... + n3, (c) lim

n→∞

n · sin(n2)

n2+ cos(n), (d) lim

n→∞

n2+ cos(n!) n3 . 6. Obliczyć granice ciągów

(a) lim

n→∞

(2n − 1)(n2+ 3)

3n3+ 5 , (n) lim

n→∞

2 +12 +14 + ... + 21n

1 +13 +19 + ... + 31n

,

(b) lim

n→∞

n(13n + 1)(n + 2)

(2n2− 4)(n + 3), (o) lim

n→∞

5n· (3n+1− 2) (5n+1− 1) · 3n, (c) lim

n→∞n ·1 + 4 + 7 + ... + (3n − 2)

n3+ 1 , (p) lim

n→∞ 1 + 2 n2+ 2

!n

,

(d) lim

n→∞

1 − 2 + 3 − 4 + ... − 2n

n2+ 1 (r) lim

n→∞

2n − 1 n + 1 − 1

!3n

,

(e) lim

n→∞

2 · 3n+2+ 5n

2n+ 5n+3 (s) lim

n→∞

4log2(n) 8log2(n+1), (f) lim

n→∞

1

1 · 2+ 1

2 · 3 + ... + 1 n · (n + 1)

! , (g) lim

n→∞

p2n2+ n −p2n2− n, (h) lim

n→∞

n2+ 5 − n

n2+ 2 − n, (u) lim

n→∞n(p3 n3+ n − n), (i) lim

n→∞

2n + 1

n3+ 2n + 1sin(5n!), (w) lim

n→∞

n

5n− 2n, (j) lim

n→∞

pn

2 · 3n+ 4 · 7n+ 9 · 5n+1, (x) lim

n→∞

(n + 1)! − n!

(n + 1)! + n!, (k) lim

n→∞

pn

12+ 22+ ... + n2, Wskazówka: 12+ 22+ ... + n2= n(n+1)(2n+1)

6 ,

(l) lim

n→∞

2n+2+ n2+ 3n+3 2n+ n + 3n , (m) lim

n→∞

4

2 · 6+ 4

6 · 10 + ... + 4

(4n − 2) · (4n + 2)

!

, (z) lim

n→∞

n

s 1 n2+ 4n. 7. Oblicz granice ciągów określonych rekurencyjnie

(a) a1= 32, an+1=√

3 · an− 2, (b) a1= 1, an+1= a1

n + a2n, (c) a1= 1, a2 = 2, an+1=√

an−1+√

an, n ≥ 2.

(2)

8. Wskazać podciągi zbieżne (a) an= −2 + 2 · (−1)n,

(c) an= reszta z dzielenia n przez 5.

Cytaty

Powiązane dokumenty

ZaÃl´o˙zmy, ˙ze moneta byÃla symetryczna i zobaczmy, jakie jest prawdopodobie´ nstwo wypadni ecia nie mniej ni˙z 5200 orÃl´ow.. Stwierdzono, ˙ze przeci etnie 30%

[r]

[r]

Wykazać, że ciągi o ograniczonym wahaniu są zbieżne..

Ruch polega na wybraniu dwóch sąsiadujących w wierszu lub kolumnie pionów, a następnie przeskoczeniem jednym z nich przez drugi i zdjęciem drugiego.. Ruch wolno wykonać tylko o

Czy można pokolorować pewne punkty tego zbioru na czerwono, a pozostałe na biało, w taki sposób, że dla każdej prostej ` równoległej do którejkolwiek osi układu

grupa młodsza piatek, 26 września

a je±li kto± si¦ zastanawiaª i nie ma pomysªu, albo miaª i »aden pomysª si¦ nie sprawdziª to mo»e przeczyta¢ wskazówk¦: ile mo»e by¢ najwi¦cej kraw¦dzi w grae