Mariusz Głąbowski Adam Kaliszan
Katedra Sieci Telekomunikacyjnych i Komputerowych Politechnika Poznańska
ul. Piotrowo 3A, 60-965 Poznań e-mail: akalisz@et.put.poznan.pl
SPLOTOWY ALGORYTM OKREŚLANIA WARUNKOWYCH WSPÓŁCZYNNIKÓW PRZEJŚCIA W WIĄZCE Z OGRANICZONĄ
DOSTĘPNOŚCIĄ
Streszczenie: W artykule przedstawiono nową metodę okre- ślania rozkładu zajętości w uogólnionym modelu wiązki z ograniczoną dostępnością. Podstawą proponowanej metody jest nowy algorytm wyznaczania tzw. warunkowych współ- czynników przejścia w wiązce z ograniczoną dostępnością.
Algorytm ten bazuje na operacji splotu rozkładów niedo- stępnych zasobów dla zgłoszeń poszczególnych klas ruchu.
Zaproponowany algorytm cechuje się niską złożonością ob- liczeniową.
1. Wprowadzenie
Podstawowym systemem z ruchem zintegrowanym jest tzw. wiązka pełnodostępna, która jest modelem poje- dynczego łącza z nieograniczonym dostępem do zaso- bów. Wiązce tej oferowane są niezależne poissonow- skie strumienie zgłoszeń, generowane przez nieskoń- czony zbiór źródeł ruchu. System ten może być mode- lowany wielowymiarowym procesem Markowa. Obli- czanie rozkładów zajętości oraz prawdopodobieństwa blokady poszczególnych strumieni zgłoszeń, na pod- stawie równań stanu wynikających z takiego proce- su, jest jednak bardzo złożone z powodu dużej licz- by stanów 1 , w których proces może się znaleźć [1, 2].
W praktycznych obliczeniach systemów z ruchem zin- tegrowanym stosowana jest powszechnie aproksyma- cja wielowymiarowego procesu Markowa, zachodzące- go w rozważanym systemie, jednowymiarowym łańcu- chem Markowa. Aproksymację tę zastososwano mię- dzy innymi w rekurencyjnym algorytmie Kaufmana- Robertsa.
Z punktu widzenia realizacji wiązek sieci szeroko- pasmowych większe znaczenie ma tzw. wiązka z ogra- niczoną dostępnością, która jest dyskretnym modelem systemu separowanych łączy transmisyjnych. Wiąz- ki z ograniczoną dostępnością były rozważane wielo- krotnie, np. w [3] [4] [5]. W [3] została zaproponowa- na prosta przybliżona metoda obliczania prawdopodo- bieństwa blokady w tzw. podstawowym modelu wiązki z ograniczoną dostępnością, tzn. w wiązce zbudowa- nej z pewnej liczby łączy o takich samych charakte-
1
Stan systemu (opisywany wielowymiarowym procesem Markowa) jest jednoznacznie określany przez liczbę aktualnie obsługiwanych zgłoszeń poszczególnych klas ruchu.
rystykach (pojemnościach). W pracy [4] podjęto nato- miast problem opracowania metody obliczeń charakte- rystyk ruchowych w tzw. uogólnionym modelu wiązki z ograniczoną dostępnością, tj. w wiązce zbudowanej zbudowanej z łączy o różnych przepływnościach. Uzy- skane rozwiązanie dla uogólnionego modelu wiązki z ograniczoną dostępnością cechuje się znaczną złożono- ścią obliczeniową, wynikającą z wielokrotnych obliczeń dwumianów Newtona. W celu zmniejszenia złożoności obliczeniowej, w tym artykule zaproponowano nową splotową metodę określania tzw. warunkowych współ- czynników przejścia w uogólnionym modelu wiązki z ograniczoną dostępnością.
Artykuł zorganizowany jest w następujący sposób.
W rozdziale 2 opisano model wiązki wiązki z ograni- czoną dostępnością oraz znane metody badania takich modeli systemów. W rozdziale 3 przedstawiono nowy algorytm modelowania wiązki z ograniczoną dostęp- nością. W rozdziale 4 rezultaty obliczeń wybranych wiązek porównano z danymi symulacji. Rozdział 5 za- wiera podsumowanie.
2. Modelowanie wiązek z ograniczoną dostępnością
2.1. Podstawowy model wiązki z ograniczoną dostępnością
Rozważmy podstawowy model wiązki z ograniczoną dostępnością, która jest systemem złożonym z k iden- tycznych separowanych łączy ze zbioru K. Przyjmij- my, że zasoby wiązki żądane dla realizacji zgłoszeń po- szczególnych klas ruchu stanowią wielokrotność pew- nej wartości przepływności, tzw. Podstawowej Jed- nostki Pasma (ang. BBU - Basic Bandwidth Unit) 2 . Załóżmy dalej, że każde łącze ma pojemność f PJP.
Całkowita pojemność systemu V jest zatem równa V = kf PJP. System obsługuje zgłoszenie tylko wte- dy, gdy może ono być całkowicie obsłużone przez jedno z łączy.
2
Przy konstruowaniu modeli multi-rate dla systemów szero- kopasmowych B-ISDN przyjmuje się, że PJP jest największym wspólnym podzielnikiem pasm równoważnych wszystkich ofero- wanych systemowi strumieni zgłoszeń [6].
2007
Poznańskie Warsztaty Telekomunikacyjne
Poznań 6 - 7 grudnia 2007
POZNAN UNIVERSITY OF TECHNOLOGY ACADEMIC JOURNALS
Łącza 1
1 2 3 . . . f 1
2 1 2 3 . . . f 2
k 1 2 3 . . . f k
Klasa nr 1: λ
1, µ
1, t
1- Klasa nr 2: λ
2, µ
2, t
2- Klasa nr 3: λ
3, µ
3, t
3-
Klasa nr m: λ
m, µ
m, t -
mRys. 1. Model wiązki z ograniczoną dostępnością
Wiązce oferowane są niezależne poissonowskie strumienie zgłoszeń od m klas źródeł ruchu (ze zbio- ru M ) z intensywnościami: λ 1 , λ 2 , . . . , λ M . Zgłosze- nie klasy i wymaga t i PJP do zestawienia połączenia.
Czasy obsługi zgłoszeń wszystkich klas mają charak- ter wykładniczy z parametrami: µ 1 , µ 2 , . . . , µ M . Ruch oferowany przez strumień klasy i może być zatem wy- rażony następującym wzorem:
A i = λ i /µ i . (1)
W pracy [7] wykazano, że rozkład zajętości [R] V w podstawowym modelu wiązki z ograniczoną dostępno- ścią może być wyznaczony na podstawie uogólnionego wzoru Kaufmana-Robertsa [8]:
n[R n ] V = X m i=0
A i t i σ i (n − t i )[R n−t
i] V , (2)
gdzie [R n ] V oznacza prawdopodobieństwo zdarzenia, w którym n PJP jest zajętych przez zgłoszenia klas ze zbioru M , natomiast σ i (n) oznacza warunkowe praw- dopodobieństwo przyjęcia do obsługi zgłoszenia kla- sy i w stanie n.
Podstawą, zaproponowanej w [3] metody wyzna- czania warunkowego prawdopodobieństwo przejścia σ i (n) jest określenie liczby wszystkich możliwych roz- mieszczeń x = V − n wolnych PJP w k łączach przy ograniczeniu pojemności każdego łącza do f . Licz- bę takich rozmieszczeń można określić na podsta- wie funkcji kombinatorycznej F (x, k, z), która pozwa- la określić liczbę rozmieszczeń x wolnych PJP w k łączach, z których każda ma pojemność ograniczoną do z PJP:
F (x, k, z) = b X
z+1xc
i=0
(−1) i
k i
x + k − 1 − i (z + 1) k − 1
. (3) Oznaczmy liczbę możliwych rozmieszczeń V − n wol- nych PJP w wiązce złożonej z k łączy o pojemności f PJP każde przez α(n). Na podstawie wzoru (3) otrzy- mujemy:
α(n) = F (V − n, k, f ). (4) Liczbę zdarzeń, odpowiadających stanom blokady (brak w każdym łączu t i wolnych PJP do obsługi zgło- szenia klasy i), można określić jako liczbę rozmiesz- czeń V − n wolnych PJP w k łączach przy ogranicze- niu pojemności każdego łącza do t i − 1 PJP. Zgodnie
ze wzorem (3) liczba takich rozmieszczeń – oznaczona symbolem β i (n) – jest równa:
β i (n) = F (V − n, k, t i − 1). (5) Warunkowe prawdopodobieństwo blokady dla stru- mienia zgłoszeń klasy i w wiązce z ograniczoną dostęp- nością w stanie n zajętych PJP można zatem przedsta- wić jako iloraz liczby rozmieszczeń odpowiadających stanom blokady do liczby wszystkich możliwych roz- mieszczeń n zajętych PJP:
γ i (n) = β i (n)
α(n) . (6)
Ostatecznie, warunkowe prawdopodobieństwo przej- ścia σ i (n) = 1 − γ i (n) można zapisać następująco:
σ i (n) = F (V − n, k, f ) − F (V − n, k, t i − 1) F (V − n, k, f ) . (7) Po określeniu wszystkich prawdopodobieństw σ i (n), można wyznaczyć rozkład zajętości [R] V , a następnie wartości prawdopodobieństwa blokady E i dla zgłoszeń klasy i. Stan blokady w wiązce z ograniczoną dostęp- nością występuje wówczas, gdy żadne z łączy wiązki nie dysponuje dostateczną liczbą wolnych PJP do ob- sługi zgłoszenia klasy i, tzn. gdy zawiera nie więcej niż t i − 1 wolnych PJP. Prawdopodobieństwo bloka- dy dla zgłoszeń klasy i może być zatem wyznaczone następująco:
E i =
X V n=V −k(t
i−1)
[R n ] V [1 − σ i (n)]. (8)
2.2. Uogólniony model wiązki z ograniczoną dostępnością
Rozważmy teraz model wiązki z ograniczoną dostęp- nością, która składa się z łączy o różnych pojemno- ściach (rys. 1). Załóżmy, że wiązka zbudowana jest z q typów łączy. Każdy typ jest jednoznacznie określony przez podanie liczby k q łączy danego typu oraz po- jemności f q każdego z łączy danego typu Całkowita pojemność wiązki z ograniczoną pojemnością i różny- mi pojemnościami łączy może być zatem wyrażona wzorem:
V = X q s=1
k s f s . (9)
Załóżmy, podobnie jak w podstawowym modelu wiąz- ki z ograniczoną dostępnością, że liczba wszystkich podgrup wiązki wynosi k = P q
j=1 k j .
W pracy [5] przyjęto, że rozkład zajętości w uogól- nionym modelu wiązki z ograniczoną dostępnością jest określany na podstawie uogólnionego wzoru Kaufmana-Robertsa, w którym warunkowe prawdo- podobieństwa przejścia σ i (n) są określane zgodnie z następującym rozumowaniem.
Rozważmy — jako pierwszy — przypadek wiązki
z ograniczoną dostępnością, zbudowanej z łączy dwóch
typów (q = 2). W rozważanym przypadku całkowitą
pojemność wiązki V możemy przedstawić jako sumę pojemności łączy typu pierwszego i drugiego, tj.
V = V 1 + V 2 , gdzie: V 1 = k 1 f 1 , V 2 = k 2 f 2 . (10) Problem określenia liczby wszystkich możliwych roz- mieszczeń x wolnych PJP w wiązce można w tym przy- padku rozważać w dwóch etapach:
1. w pierwszym etapie określamy liczbę wszystkich możliwych sposobów rozmieszczenia (podziału) x wolnych PJP w łączach dwóch typów, tzn.
wszystkie możliwości podziału x PJP na x 1 PJP w łączach pierwszego typu i x−x 1 PJP w łączach drugiego typu;
2. w drugim etapie określamy liczbę możliwych roz- mieszczeń danej liczby PJP w łączach tego same- go typu, tj. liczbę rozmieszczeń x 1 PJP w łączach typu pierwszego (z uwzględnieniem ograniczenia pojemności łącza do f 1 PJP) oraz x − x 1 PJP w łączach typu drugiego (z uwzględnieniem ogra- niczenia pojemności łącza do f 2 PJP).
Liczbę interesujących nas rozmieszczeń w drugim eta- pie określamy na podstawie wzoru (3). Ostatecznie, liczbę możliwych rozmieszczeń x wolnych PJP w łą- czach dwóch typów można wyrazić następującym wzo- rem:
F (x, k 1 , k 2 , f 1 , f 2 ) = X x x
1=0
F (x 1 , k 1 , f 1 )F (x−x 1 , k 2 , f 2 ).
(11) Kontynuując nasze rozważania, możemy — analogicz- nie jak dla wiązki złożonej z łączy dwóch typów — określić liczbę możliwych rozmieszczeń x wolnych PJP w wiązkach z ograniczoną dostępnością zbudowanych z łączy q typów:
F (x, k 1 , k 2 , . . . , k q , f 1 , f 2 , . . . , f q ) = X x x
1=0
. . .
x−
q−2
P
r=1
x
rX
x
q−1=0
( q−1 Y
z=1
F (x z , k z , f z ) · F (x −
q−1 X
r=1
x r , k q , f q ) )
. (12)
Ostatecznie, warunkowe prawdopodobieństwo przej- ścia σ i (n) w uogólnionym modelu wiązki z ograniczo- ną dostępnością (zbudowanej z q typów łączy) może zostać określone na podstawie zmodyfikowanego wzo- ru (7):
σ i (n) = 1 − F (V − n, k 1 . . . k q , t i − 1)
F (V − n, k 1 . . . k q , f 1 . . . f q ) , (13) w którym wartość funkcji kombinatorycznej F (·) jest wyznaczana na podstawie wzoru (12).
Po określeniu wszystkich prawdopodobieństw σ i (n) (wzór (13)), można na podstawie wzoru (2) wyznaczyć rozkład zajętości [R] V w wiązce złożonej
z różnych typów łączy, a następnie wartości prawdo- podobieństwa blokady E i dla zgłoszeń klasy i:
E(i) =
X V n=V − P
qs=1
k
s(t
i−1)
[R n ] V · (1 − σ i (n)) . (14)
Zauważmy, że szacowanie współczynnika σ i (n), zgodnie ze wzorem (13), zwiększa istotnie rząd złożo- ności algorytmu Kaufmana-Robertsa. W celu zmniej- szenia złożoności obliczeniowej algorytmu, w następ- nym rozdziale zaproponujemy alternatywną metodę szacowania warunkowych współczynników przejścia dla wiązki z ograniczoną dostępnością.
3. Algorytm splotowy dla wiązki z ograniczoną dostępnością 3.1. Założenia modelu
W tym rozdziale zaproponujemy nowy algorytm szacowania warunkowego współczynnika przejścia w wiązce z ograniczoną dostępnością. W tym celu roz- ważmy rozkłady prawdopodobieństw liczby wolnych PJP, które nie mogą zostać wykorzystane do obsłu- gi zgłoszeń klasy i. Zauważmy, że w każdej podgru- pie może być 0, 1, . . . , t i − 1 wolnych PJP, któ- re nie mogą zostać wykorzystane do obsługi zgło- szeń klasy i. Oznaczmy zatem przez [x] i,j t
i−1 = {[x 0 ] i,j t
i−1 , [x 1 ] i,j t
i−1 , . . . , [x t
i−1 ] i,j t
i−1 } rozkład prawdopo- dobieństwa, że 0, 1, . . . , t i − 1 wolnych PJP w pod- grupie j nie może zostać wykorzystanych do obsługi zgłoszeń klasy i. Nazwijmy taki rozkład [x] i,j t
i−1 rozkła- dem niedostępnych PJP w podgrupie j dla zgłoszeń klasy i.
Na początku przyjmijmy, że znane są rozkłady [x] i,j t
i−1 niedostępnych PJP w pojedynczej podgru- pie j dla wszystkich oferowanych wiązce klas zgło- szeń i ∈ M . Załóżmy dodatkowo, że rozkłady [x] i,1 t
i−1 , [x] i,2 t
i−1 , . . ., [x] i,k t
i−1 są niezależne od siebie. Oznacza to, że prawdopodobieństwo niedostępnych l j PJP w pod- grupie j dla klasy i nie zależy od prawdopodobieństwa niedostępnych l j+1 PJP w podgrupie j + 1 dla zgło- szeń klasy i. Zgodnie z tym założeniem, prawdopodo- bieństwo [X l ] i,{1,2} 2(t
i
−1) zdarzenia, że w podgrupach 1 i 2 jest l wolnych PJP, które nie mogą być wykorzy- stane do obsługi zgłoszenia klasy i, jest równe sumie iloczynów prawdopodobieństw zdarzeń, w których u wolnych PJP z podgrupy 1 oraz l − u wolnych PJP z podgrupy 2 nie może zostać wykorzystanych do ob- sługi zgłoszenia klasy i:
[X l ] i,{1,2} 2(t
i−1) = X l u=0
[x l−u ] i,1 t
i−1 · [x u ] i,2 t
i−1 . (15)
Zauważmy, że wzór (15) jest definicją l-tego elementu splotu. Zatem operacja splotu może zostać wykorzy- stana do szacowania rozkładu prawdopodobieństwa wolnych PJP (w podgrupach 1 i 2), które nie mogą być wykorzystane do obsługi zgłoszeń klasy i:
[X] i,{1,2} 2(t
i
−1) = [x] i,1 t
i−1 ∗ [x] i,2 t
i−1 . (16)
Zauważmy, że operacja splotu jest rozdzielna i prze- mienna. Zatem rozkład [X] i,K\{j} (k−1)(t
i−1) wolnych i nie- dostępnych dla zgłoszeń klasy i PJP we wszystkich k podgrupach, za wyjątkiem podgrupy j, można osza- cować za pomocą równania:
[X] i,K\{j} (k−1)(t
i
−1) = [x] i,1 t
i−1 ∗ [x] i,2 t
i−1 ∗ . . .
∗ [x] i,j−1 t
i−1 ∗ [x] i,j+1 t
i−1 ∗ · · · ∗ [x] i,k t
i−1 . (17) Rozważmy następnie prawdopodobieństwo p k V (j, n) zdarzenia, że w stanie zajętości n podgrupie j zaoferowano nowe zgłoszenie. Przyjmijmy rów- nież, że σ i (n)|p k V (j, n) oznacza prawdopodobieństwo warunkowego przejścia ze stanu n do stanu n + t i
po przyjęciu zgłoszenia klasy i, pod warunkiem, że zgłoszenie to zostanie obsłużone przez podgrupę j. Przyjęte założenia pozwalają nam oszacować współczynnik σ i (n) w następujący sposób:
σ i (n) = X k j=0
p k V (j, n) · σ i (n)|p k V (j, n). (18)
Zauważmy, że rozkład [X] n,K\{j} (k−1)(t
i
−1) zdefiniowany wzorem (17), określa prawdopodobieństwo, że l = 0, 1, 2, . . . , (k − 1)(t i − 1) PJP we wszystkich podgru- pach, za wyjątkiem podgrupy j, jest niedostępnych do obsługi zgłoszeń klasy i. Zatem jeśli l + n + t i 6 V , to system może przejść ze stanu n do stanu n + t i , gdy j-ta podgrupa przyjmie zgłoszenie klasy i.
σ i (n)|p k V (j, n) = X V −n−t
il=0 [X l ] i,K\{j} (k−1)(t
i
−1) . (19) Rozważmy teraz sposób szacowania rozkła- du [x] i,j t
i−1 . Zauważmy, że liczba l wolnych i niedostęp- nych PJP dla klasy i w podgrupie j, gdy podgrupa jest w stanie zajętości n j , może być określona następująco:
l = (f j − n j ) mod (t i ). (20) We wzorze (20) f j − n j oznacza liczbę wolnych PJP w podgrupie j, [(f j − n j )/t i ] liczbę PJP dostępnych do obsługi nowych zgłoszeń klasy i, a f j mod t j – liczbę niedostępnych PJP do obsługi nowych zgłoszeń klasy i. Zatem prawdopodobieństwo [x l ] {i,j} t
i−1 l niedostępnych dla klasy i PJP w podgrupie j jest równe:
[x l ] {i,j} t
i−1 =
fj −lti
X
y=0
[P f
j−l−yt
i] f
j|[R n>V −k(t
i−1) ] V , (21)
gdzie [P n
j] f
j|[R n>V −k(t
i−1) ] V jest prawdopodobień- stwem stanu n j w podgrupie j, określonym dla stanów zajętości wiązki spełniających warunek:
n > V − k(t i − 1). (22) W celu oszacowania rozkładu [P ] f
jwprowadźmy parametr p j (z), określający prawdopodobieństwo zda- rzenia, że ostatnio oferowanym podgrupie j zgłosze- niem jest zgłoszenie klasy z. W artykule przyjęto, że
p j (z) może być szacowany na podstawie intensywno- ści strumienia zgłoszeń oraz liczby żądanych zasobów przez tę klasę.
p j (z) = P A z t z
i∈M A i t i . (23)
Zauważmy, że podgrupa j nie przyjmuje do obsłu- gi zgłoszeń klasy z w następujących stanach zajętości podgrupy j: N {z} = {f j − t z + 1, t j − t z + 2, . . . , f j }.
Niech [P n
j∈N
{z}] f
j| p j (z) ∧ [R n>V −(t
i−1)k ] V
ozna- cza prawdopodobieństwo stanu należącego do zbio- ru N {z} dla podgrupy j pod warunkiem, że ostatnio oferowanym zgłoszeniem jest zgłoszenie klasy z i sys- tem jest w stanie n > V − (t i − 1)k. W artykule przy- jęto, że prawdopodobieństwa tych stanów są równe:
[P f
j−t
z+1 ] f
j| p j (z) ∧ [R n>V −(t
i−1)k ] V
= [P f
j−t
z+2 ] f
j| p j (z) ∧ [R n>V −(t
i−1)k ] V
= · · · =
= [P f
j] f
j| p j (z) ∧ [R n>V −(t
i−1)k ] V
= 1/t z . (24) Ze wzorów (23), (24) wynika, że:
[P n
j] f
j|[R n>V −(t
i−1)k ] V =
= X m z=1
[P n
j] f
j| p j (z) ∧ [R n>V −(t
i−1)k ] V
=
= P
z∈M :n
j⊂N
{z}A z
P
z∈M A z t z . (25) Wzór (25) pozwala na oszacowanie rozkładu zajętości w podgrupie j, gdy spełnione są warunki (22). Na pod- stawie rozkładu [P ] f
j|[R n>(t
i−1)k ] V oraz wzorów (21) i (25), można określić rozkład [x] {i,j} t
i−1 :
[x l ] i,j t
i−1 = X m z=1
t z
t i
+ y i (l, t z )
A z , (26)
gdzie y i (l, t z ) jest równy:
y i (l, t z ) =
( 1 dla l < (t z mod t i ) ,
0 dla l (t z mod t i ) . (27) Należy zwrócić uwagę, że prawidłowo oszacowany roz- kład [x l ] i,j t
i−1 spełnia warunek:
t X
i−1 l=0
[x l ] i,j t
i−1 = 1. (28)
Ze wzoru (26) wynika, że rozkład [x] i,j t
i−1 nie zależy od pojemności podgrupy j. Można zatem przyjąć, że rozkłady te są takie same dla każdej podgrupy:
[x l ] i,1 t
i−1 = [x l ] i,2 t
i−1 = · · · = [x l ] i,k t
i−1 = [x l ] i t
i−1 . (29) W konsekwencji rozkłady [X] i,K\{1} (k−1)(t
i
−1) prawdopodo-
bieństw niedostępnych PJP dla wszystkich podgrup
za wyjątkiem podgrupy j, oszacowane na podstawie
wzoru (17), są również niezależne od pojemności pod- grupy j:
[X] i,K\{1} (k−1)(t
i
−1) = [X] i,K\{2} (k−1)(t
i
−1) = . . .
= [X] i,K\{k} (k−1)(t
i
